Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

180 Гпава 25

25Л.

Наивероятнейшее число

появлений события

Наивероятнейшее число т^ появлений события определя-

ется из двойного неравенства

np-quniQ <пр + р,

где р — вероятность появления события в отдельном испыта-

нии;

— число независимых испытаний; q

l- р.

7.1.

На каждые 20 деталей приходится в среднем 5 нестан-

дартных. Определить наивероятнейшее число стандартных де-

талей из наудачу взятых

деталей.

Решение. Вероятность появления стандартной детали

—

-; д

« =

Неравенство примет вид

20 4 4

или

о 3 1^ /о 3 3

4 4' 44

4 ' 2

откуда

ITIQ

= 6.

7.2.

Сколько раз следует стрелять из орудия, чтобы при

вероятности попадания р = 0,8 наивероятнейшее число попада-

ний оказалось равным 15?

Решение.

Здесь/WQ

=15; р = 0,8; q

0,2. Составляем

неравенства

0,8п-0,2<15<0,8«

+ 0,8.

Отсюда 0,8w<15,2; п<19; 0,8«>14,2; /2> 17,75. Таким

образом, n

\S или п

\9.

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 181^

25.8.

Локальная теорема Лапласа.

Формула Пуассона

Если вероятность р появления события в каждом испыта-

нии постоянна, то вероятность

того,

что событие появится ровно

т раз при п независимых испытаниях, где числа тип доста-

точно велики, определяется по формуле

с У12П С

_т

—

пр

где а = Jnpq; х =

Формулу Лапласа (1) иногда называют асимптотической

формулой.

1 -^

Функция (р(х) = -г=е ' четна фГ-Jc) = (р(х) и приведена

приложении (таблица (1)).

Формула Лапласа тем точней, чем больше а, т. е. чем боль-

ше л и pq. Если же р мало, т. е. события редки, то применяют

формулу Пуассона

Р..п=^^

(2)

т!

где Х = пр.

Использование формулы Пуассона (2) целесообразно при

А.

< 10 и она тем точней, чем больше п и меньше/?.

л m

Значения функции Пуассона Р(Х = т)

—-е'^ в зависи-

т!

мости оттиХ приведены в приложении (таблица (2)).

8.1.

Вероятность поражения мишени при одном выстреле

р = 0,8. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах стре-

лок поразит мишень

раз?

Решение. По условию п= 100; m = 70;/? = 0,8 и ^ = I -р =

= 0,2. Поскольку тип достаточно велики, то воспользуемся

асимптотической формулой Лапласа.

182 Гпава 25

Находим

а 4

Так как функция ф {х) четна, то при х- 2,5 из таблиц

находим,что ф (2,5) = 0,01753.

Откуда

^70 100

= ^ = 0,00438.

8.2.

партии из

1000

деталей имеется 20

браком. Для кон-

троля взяты

деталей.

Какова вероятность

того,

что среди них:

а) нет бракованных; б) число бракованных меньше двух?

Решение, а) По условию п = 60; /? = 0,02; q

0,98. Посколь-

ку

= «/? = 1,2 <

10,

то воспользуемся формулой Пуассона. От-

сутствие бракованной детали означает, что w =

^0,60

1 2V"

Р,,,=

' "^ ^0,32137.

0.60 Q,

б) Вероятность появления одной бракованной детали равна

/>,о=(Ь2Уе-'''=0,385644.

Отсюда вероятность того, что число бракованных меньше

двух по теореме сложения равна

Р(т < 2) =

Ро,бо

+^,60 =0,707014.

25.9.

Интегральная теорема Лапласа

Если производится большое число п независимых испыта-

ний и вероятность наступления события в каждом испытании

равна

/7,

то вероятность того, что число т появления события

удовлетворяет неравенству а<т<Ь имеет своим пределом

'~^\^~dx, когда п неограниченно возрастает. Здесь

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

183

а-пр

а- —

Р-

Ь-пр

yfnpq' yfnpq

Для непосредственного вычисления используют функцию

Лапласа

Ф{х)

2л:

•'^

dx,

которая представлена в виде таблицы (3) и вероятность появле-

ния события в заданных границах определяется формулой

Pia<m<b) = -^je~dx = ^[ф{p)-Ф{a)]. (j)

Функция Лапласа нечетная, т.

е.Ф(—х)

= -Ф(х). Если за

от вероятности

£=aJ—

обозначить отклонение частости

\ п

появления события

отдельном

испытании/?,

то вероятность

того,

что отклонение частости события от вероятности при п незави-

симых испытаниях не превышает заданного £, находится по

формуле

Р\

<£ кФ

(2)

9.1.

При вытачивании гаек наблюдается в среднем

10%

бра-

ка. Найти вероятность

того,

что в партии из

400

гаек число небра-

кованных гаек: а) заключено между 340 и 380; б) не более 380.

Решение, а) Здесь п

400;р = 0,9; q = 0,l;a = 340; b = 380.

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа. Найдем снача-

ла а и j8

340-400 0,9

Откуда

V400 0,9 0,l

380-4000,9

74000,90,1

= -3,33;

:3,33.

184

Гпааа 25

Р(340<т<380) = -[Ф(3,33)-Ф(-З,33)] =

= -[ф(3,33)+Ф(3,33)] = Ф(3,33) = 0,99913.

б) Вероятность того, что число небракованных гаек не бо-

лее 380означает, что Р(0<т<380) = ?

-4000,9

Отсюда а=

74000,90,1

=-60, )3=3,33.

Р(0 < /и < 380) = -[Ф(3,33)-Ф (- 60)] =

= 1[Ф(3,33)

Ф(60)]=.1,

так как для х >

можно принять

Ф (л:)

-1.

9.2. Найти вероятность того, что при 400 испытаниях час-

тость появления события будет отличаться от его вероятности не

более чем на 0,05, если вероятность появления события в каж-

дом испытании/7 =0,8.

Решение. Здесь

= 400;/? = 0,8; q = 0,2; £ =

0,05.

Надо найти

т .

~^;- Воспользуемся формулой (2). Так как

Р(

< 0,05) = Ф(2,5) = 0,98758.

= £

— =

2,5,

то Д| Р

\РЯ

9.3.

Вероятность появления события в каждом из независи-

мых испытаний равна

0,8.

Найти, какое отклонение относитель-

ной частоты появления события от его вероятности можно

ожидать с вероятностью

0,98785

при 2500 испытаниях.

Решение. По условию р = 0,8; q = 0,2; п = 2500;

Р(

£) = 0,98785. Пользуясь формуЛОЙ (2), ИМССМ

0,98785

= Ф

0,98785

= Ф(в125).

По таблице Ф(^) находим 125 г = 2,5, откуда г = 0,02.

Глава 26

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

26.1.

Дискретная случайная величина

и ее распределение

Случайной величиной называется переменная, которая в

зависимости от исхода испытания может принимать различные

числовые значения.

Законом распределения дискретной случайной величины X

называется соответствие между возможными ее значениями

jCpX2,...,JC„ и их вероятностями

Pi,P2^-->P„-

Закон распределения

обычно задается в табличном виде

Р(х,)

х^

Р(Х2)

p(Xi)

^п

P(XJ

Функция распределения F(x) дискретной случайной вели-

4W//6ZXопределяется соотношением F{x)

^р{х^\

{х-

х), т. е.

суммирование ведется по индексам, для которых х-

х.

186

Гпава 26

1.1.

Производится стрельба

по

мишени до первого попадания

или до израсходования всех патронов. Составить таблицу рас-

пределения случайной величины—числа израсходованных пат-

ронов, если патронов

а вероятность попадания при отдель-

ном выстреле/7 = 0,6. Построить график этого распределения.

Решение. Случайная величина может принимать значения:

Xj =

— попадание с первого выстрела, х^—2 — попадание со

второго выстрела и

Хз

— попадание

третьего выстрела или

три промаха. Вероятности этих событий

А =0,6;/72=^/7 =

0,4.0,6

= 0,24; P,=q^P

q'=q^ {p

q) =

= ^^ = 0,4^ = 0,16, отсюда таблица распределения

0.6

0.24

0,16

Проверка: J^j9,. =0,6

0,24 + 0,16 =

1=1

График закона распределения вероятностей случайной ве-

личины У имеет вид

(рис.

26.1).

P(x)i

0,6

0,3 \

1 2 3 X

Рис, 26.1

1.2. Вероятность появления события в каждом из 4 неза-

висимых испытаний равна р = 0,4. Составить функцию рас-

СЛУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 187

пределения дискретной случайной величины и построить гра-

фик.

Решение. Значения вероятностей появления события

раз

m =

О,

1, 2, 3,4 находим по формуле Бернулли. Отсюда таблица

распределения

0,1296

0,3456

0,1536

0,0256

F{x)

По данным таблицы находим функцию распределения

0 при -oo<jc<0

0Д296 при 0<jc<l

0,4752

при \<х<2

0,8208

при 2<jc<3

0,9744

при

3<х<4

1 при 4 <

< оо

График функции распределения дискретной случайной ве-

личины (рис. 26.2) наглядно отражает ступенчатый характер

функции.

Fix) i

10-

0,5-

op.

Рис. 26.2

188 Гпава 26

26.2.

Математическое ожидание

и его свойства

Математическим

ожиданием

(средним значением) случай-

ной величины называется сумма произведений всех значений

случайной величины на соответствующие им вероятности

M{X)

Yj^,p,=x,p,+x^p^+.,,

x^p„,

1=1

Здесь следует отметить, что

^^^^

Д =

1 •

Математическое ожидание числа появлений события Аъп

независимых испытаниях, если вероятность появления события

в каждом испытании равна/?, находится по формуле

М{Х)

пр,

Математическое ожидание постоянной величины равно

этой же постоянной М{С) = С.

Постоянный множитель можно выносить за знак

математического ожидания

М{СХ)

СМ{ХУ

Математическое ожидание суммы случайных величин

равно сумме их математических ожиданий

М(Х +

У)

= М(Х)

М(7).

Математическое ожидание произведения независимых

случайных величин равно произведению их математических

ожиданий

М(^У) = М(Х)М(У).

2.1.

Найти среднее значение числа попаданий стрелком в

мишень при

выстрелах, если вероятность попадания при каж-

дом отдельном выстреле /? =

—.

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 189

Решение. Пользуясь формулой Бернулли, составим табли-

цу распределения числа попаданий

6561

112

6561

448

6561

1120

6561

1792

6561

1792

6561

1024

6561

256

6561

Отсюда по определению математического ожидания нахо-

дим среднее значение числа попаданий

Х = М(Х) = (М6 + 2112 +

3-448

+ 41120

51792 +

+61792 + 71024 +

8-256)/6561

= 5,3.

2.2.

Вероятность промаха при стрельбе в мишень равна 0,2.

Найти математическое ожидание числа попаданий при 10 выстрелах.

Решение. Вероятность поражения мишени

j[7

= l--^ = 0,8.

Поскольку события независимы, то М(Х) =

л/?

10 •

0,8 = 8.

2.3.

Сколько нужно купить лотерейных билетов, чтобы

из

них были выигрышными, если вероятность выигрыша одного

билета

= 0,01.

Решение. Поскольку события независимые, то искомое чис-

ло билетов

р 0,01

2.4. Дискретные независимые случайные величины X и Y

заданы таблицами распределения

0,5

0,3

0,2

0,6

0,4

Найти математическое ожидание суммы X

Y и произве-

дения XY двумя способами:

а) составив закон распределения X

Y и XY;