Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 3)

Подождите немного. Документ загружается.

190

Гпава 26

б) пользуясь свойствами.

Решение, а) Составим распределение суммы X

Л-Y

^,+х

Pi4i

1+2

0,5-0,6

1+4

0,5-0,4

2+2

0,3 0,6

2+4

0,3-0,4

3+2

0,2 0,6

3+4

0,2-0,4

Отсюда

М(Х +

У)

= 30,3

5-0,2 + 4-0,18 +

6-0,12

5-0,12

-f7-0,08 = 4,5.

Составим распределение произведения XY

Pi4i

1-2

0,5 0,6

1-4

0,5 0,4

2-2

0,3-0,6

2-4

0,3-0,4

3-2

0,2-0,6

3-4

0,2-0,4

Отсюда

Л/(Х7) = 2-0,3

4-0,2 + 4-0,18 +

8-0,12

+6-0,12 + 12-0,08 = 4,76.

б) Математические ожидания случайных величин

Л/(Л = 10,5 + 2-0,3 + 30,2 = 1,7;

М(У) = 2-0,6 + 4-0,4 = 2,8.

Отсюда

М(Л' +Г) = Л/(Х) + М(7) = 1,7 + 2,8 = 4,5 ;

М(АТ) = М(Х)-М(У) =

1,7-2,8

= 4,76.

26.3« Дисперсия и среднее квадратическое

отклонение

1°.

Математическое ожидание квадрата отклонения случай-

ной величины от

ее

математитческого ожидания называется

дис-

персией

случайной величины

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 191

D{X)

M{X-df=Y.^x,-dfp,=M{X')-a\ (1)

Дисперсия числа появлений события А ъп независимых

испытаниях, если вероятность появления события

каждом ис-

пытании равна

/7,

находится по формуле D{X) =

npq^

где

9 = 1-/?.

2°.

Свойства:

Дисперсия постоянной величины равна

нулю D{C)

= 0.

Постоянный множитель можно

выносить за знак

диспер-

сии, возводя его в квадрат Z)(Of) = C^D{X).

Дисперсия суммы независимых случайных величин рав-

на сумме

их

дисперсий D{X

Г) =

£>(Х) +

/)(7).

4) Дисперсия разности независимых случайных величин

равна сумме

их

дисперсий D{X -

У)

= D{X)

I>(F).

3"".

Среднее значение абсолютной величины отклонения

1^-^

называется средним отклонением

1=1

(2)

Средним квадратическим отклонением

случайной величи-

ны X называют квадратный корень

из

дисперсии

Щх),

3.1.

По таблице распределения случайной величины

0,15

0,2

0,3

0,2

0,15

определить среднее отклонение и среднее квадратическое от-

клонение.

Решение.

Находим

среднее

значение случайной величины

М(Х) = 10,2

20,3

30,2

40,15 = 2.

192

Гпава 26

Составим таблицу распределения абсолютных величин от-

клонений

|х,-х|

0,15

0,2

0,3

0,2

0,15

Отсюда по формуле (2) имеем

|jc.-X| = 20,15 + 1.0,2 + 00,3 +

0,2+

0,15 = 1.

Составим таблицу распределения квадратов отклонений

случайной величины от

ее

среднего значения

u-^r

0,15

0,2

0,3

0,2

0,15

Отсюда дисперсия

ДХ)=4.0,154-10,2+00,3+10,2+40,15=1,6.

Среднее квадратическое отклонение

^D(X)=yll6=l29,

3.2.

Дисперсия случайной величины X равна

Найти дис-

персию следующих величин: а) Х-

б) - 4 X; в) 2Х + 1.

Решение. Воспользуемся свойствами дисперсии

а) D(Z-3) = D(X) + D(3) = 4;

б) D{-4X)=:('-4fD(X)

64;

в) D(2X

l)=^2^D(X)

Dil)

l6.

3.3.

Найти дисперсию случайной величины X— числа по-

явлений события в 100 независимых испытаниях, если вероят-

ность появления его в каждом отдельном испытании равна 0,6.

Решение. Вероятность непоявления события q = \-р = 0,4.

Так как испытания независимы, то

СПУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА

И ЕЕ

ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

D(X)

Ai/7^-1000,60,4-24.

3.4. Случайная величина

может принимать два возмож-

ных значениях,

и х^,

причем

х, <х^.

Найти

JC,

Х^, зная,

что

/7,

=0,4; Л/(Л = 3,6; D(X)

0,24.

Решение.

По

определению математического ожидания

дисперсии имеем

х,/7,

+Х2Р2

-^^Х)\

(х,

- of

р, +

(Х2

- af

р^

= D{X).

Так как

p^^l

—

р^,

то

0,4jc,+0,6x2

=3,6;

0,4(х,

3,6)^

+ 0,6

(Х2

3,6)'

0,24.

Решая систему относительно

х^,

приходим

квадрат-

ному уравнению

Х2-7,2х2+12,8 =

откуда ^2

=4 или

х^ =3,2.

Условию X, <

Х2

соответствует

х,

=3;

Х2

= 4.

26.4. Закон больших чисел

1°.

Неравенство Маркова. Если

X—

неотрицательная слу-

чайная величина,

то

для любого положительного

имеет

место неравенство

где

М(Х),

2°.

Неравенство

Чебышева.

Вероят1тость того, что отклоне-

ние случайной величины

от ее

математического ожидания

по

абсолютной величине меньше некоторого положительного

5 >

О,

определяется неравенством

194

Гпава 26

Pi\X-a\<8)>\-^.

3°.

Теорема

Чебышева.

Если

Х^.Х^.^.^.Х^

независимые слу-

чайные величины, причем дисперсии их не превышают постоян-

ного числа

С.

то каково бы ни было положительное число 5

W л п

-1^.--1м(х,)

и при л

—>

оо lim

-I^,--SM(X,)

Л.

Если случайные величины имеют одинаковые математичес-

кие ожидания

одинаково ограниченные дисперсии, то

+Х2+

—

Х^

-а

>1-

п5''

т. е. среднее арифметическое случайных величин при большем п

сколь угодно мало отличается от математического ожидания.

4°.

Теорема Бернулли. Вероятность того, что отклонение

частости появления события А при п независимых испытаниях

от вероятности появления его в отдельном испытании по абсо-

лютной величине не превышает некоторого £>0, удовлетворя-

ет неравенству

— Р

<£

>1-

РЯ

пе

2 •

Отсюда, переходя к пределу при ц -^

оо,

имеем

limP

— Р

<£

= 1.

4.1. В

среднем университет ежегодно заканчивает 600 чело-

век. Какова вероятность того, что в этом году университет за-

кончит не более 630 студентов?

СПУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 195

Решение. Чтобы оценить вероятность Р{х

600), восполь-

зуемся неравенством Маркова. По условию а = 600, S = 630.

Р(Л-<630)>1-^

= ±.

630 21

4.2.

Среднее значение длины удочки

м, а дисперсия равна

0,15.

Какова вероятность того, что купленная удочка окажется

по своей длине не меньше 2,5 м и не больше 3,5 м?

Решение. По условию а

3; D(X) = 0,15, а возможная дли-

на заключена в пределах 2,5 <

А"

< 3,5. Поскольку |Х -

<я|

< 0,5,

то полагая S = 0,5, воспользуемся для нахождения вероятности

этого события неравенством Чебышева

Р(|^~3|< 0,5) > 1-^ = 0,4.

' ' 0,25

4.3.

По данным ОТК вероятность стабильной работы теле-

визора равна р

0,9.

Найти вероятность того, что из

1500

теле-

визоров отклонение числа стабильно работающих телевизоров

от математического ожидания по абсолютной величине не пре-

вышает 50.

Решение. Поскольку стабильная работа телевизора собы-

тия независимые, то математическое ожидание числа работаю-

щих телевизоров равно M(Z) =

A2;7

= 1500 0,9 = 1350, а диспер-

сия Z)(X) = «/7^ = 1500 0,9 0,1 =

135.

Вероятность того, что

находим с помощью неравенства Чебышева

Р{\Х-а\<50)>1—^^^

0,946.

' ' 2500

4.4.

При каком числе независимых испытаний вероятность

того,

что отклонение частости от вероятности появления собы-

тия в отдельном испытании р = 0,8 по абсолютной величине

меньше 0,04, превысит

0,75?

Решение. Из условия в = 0,05; p

0,S;

= 0,2. По теоре-

ме Бернулли имеем

196

Гпава 26

--0,8

<0,04

)

>\-

РЯ

ПЕ

2 *

Отсюда

7>0,75;

^1<0.25;

„>-ММ.

пе

0,04' 0,25

400.

4.5.

Вероятность изготовления бракованной детали равна

0,1.

Какова вероятность того, что в партии из 1500 деталей от-

клонение установленного процента брака не превышает 5%?

Решение. Требуется найти р\

<£

если известно, что

/? =

0,1;

^ = 0,9; г = 0,05;

= 1500. По теореме Бернулли

-0,1

<0,05

>1 —

0,Ь0,9

1500 (0,05)'

:0,976.

4.6.

Для определения средней урожайности поля площадью

в 2000 га с каждого гектара взяли на выборку по 1м^. Известно,

что среднее квадратическое отклонение на каждом гектаре не

превышает 0,5 ц. Найти вероятность того, что отклонение сред-

ней выборочной урожайности от средней урожайности по всему

полю отличается не более чем на

0,1

ц.

Решение. При определении вероятности воспользуемся тео-

ремой Чебышева. По условию задачи: п = 2000, 5 =

0,1,

/)(Х) = С7'<0,25.

Отсюда

JC,

+Х^ +... +

1 П

-а

<0,1

>1 —

0,25

2000 0,01

или

Р>1-0,0125 = 0,9875.

СПУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 197

4.7.

Истинное значение величины равно

а.

Сколько

раз

нуж-

но провести эксперимент, чтобы

вероятностью

О,

можно было

утверждать, что отклонение средней арифметической этих изме-

рений от среднего значения а отличается не более чем на

если

дисперсия не превышает 8?

Решение. Применяя теорему Чебышева, по условию имеем

Р>\——- = 0 9

по

где С = 8, 5 =5.

Число измерений находим из выражения

1—^

= 0,9;

А2

= 3,2.

/225

Таким образом,

А2

- 4.

26.5.

Начальные и центральные моменты

Центральным моментом к-го порядка случайной вели-

чины X называется математическое ожидание величины

{X-M{X)f:

Ц,=М[{Х-М{Х))'\

(1)

Если М{Х)

О,

то момент называется

начальным

v,=M{X'). (2)

Нетрудно заметить, что начальный момент первого поряд-

ка равен математическому ожиданию

v,=M(Xl

(3)

а центральный момент второго порядка равен дисперсии

//^ =0(Х)

М{Х^М(Х))\ (4)

Центральные моменты через начальные моменты выража-

ются по формулам

198 Гпава 26

(5)

jU3=V3-3v,V2+2vf;

5.1.

Дискретная случайная величина X задана законом

распределения

0,1

0,4

0,5

Найти:

а) начальные моменты первого, второго и третьего

порядка; б) центральные моменты первого, второго, третьего и

четвертого порядка.

Решение, а) Начальный момент первого порядка по форму-

ле (3) равен

Vi=M(X) = 10,l + 20,4

40,5 = 2,9.

Запишем закон распределения случайной величины

Х^

0,1

0,4

0,5

Начальный момент второго порядка равен

V2=M(^') = 10,l + 40,4 + 160,5 = 9,7.

Закон распределения Х^ имеет вид

0,1

0,4

0,5

Начальный момент третьего порядка равен

Уз=М(^') = 10,И-80,4 + 640,5 = 35,3.

б) Центральный момент первого порядка по формуле (1)

равен

СПУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 199

/|, = М(Х-~М(Х)) = М(Х)-М(Х) = 0.

Центральные моменты второго, третьего и четвертого по-

рядков находим по формулам (5)

Ai^

=9,7-2,9^=1,29;

^/з =35,3-3-2,9-9,7 + 2-2,9' =~0,312.

Начальный момент четвертого порядка равен

V4=M(^') = 10,l + 160,4 + 2560,5 = 184,5.

Центральный момент четвертого порядка будет

/i4=184,5-4.35,3-2,9+6-9,7-2,9'-3-2,9'=52,2977.

26.6.

Простейший поток событий

Простейшим (пуассоновским) потоком событий называ-

ется последовательность событий, которые наступают в случай-

ные моменты времени.

Вероятность появления т событий простейшего потока за

время t определяется формулой Пуассона

т\

где

— интенсивность потока (среднее число событий в едини-

цу времени).

Простейший поток характеризуется свойствами:

а) стационарности, т. е. вероятность появления т событий

за некоторый промежуток времени зависит только от длитель-

ности t промежутка и не зависит от начала его отсчета;

б) ординарности, т. е. появление двух и более событий за

малый промежуток времени невозможно, поскольку вероятность