Чефанов В.М. Основы гидравлики: Учебное пособие
Подождите немного. Документ загружается.
Основы гидравлики
Гидравлическим диаметром канала называют учетверенное значение
гидравлического радиуса. Для круглой трубы, целиком заполненной жидкостью,
гидравлический диаметр равен диаметру поперечного сечения трубы.
Вопросы для самопроверки
1. Чем отличается жидкий объем от контрольного?
2. Чем отличается линия тока от траектории жидкой частицы?
3. Чем отличается элементарная струйка от потока конечных размеров?
4. Запишите функциональную зависимость параметров жидкости для случаев
стационарного, нестационарного, пространственного, двумерного,
осесимметричного и одномерного движений.
5. Почему боковая поверхность элементарной струйки непроницаема?
6. Что такое массовый (объемный) расход жидкости и как он вычисляется?
7. Почему расход вязкой жидкости через поперечное сечение канала конечных
размеров записывается в виде интеграла?
8. Используя уравнение неразрывности, показать, как изменяется скорость
несжимаемой жидкости с изменением площади поперечного сечения.
4.3. Уравнение Д.Бернулли для элементарной струйки и потока
вязкой несжимаемой жидкости
Рассматриваем установившееся течение вязкой несжимаемой жидкости,
находящейся под воздействием только одной массовой силы – силы тяжести.
В начальный момент времени t
1
выделим сечениями 1 и 2 участок
элементарной струйки – жидкий объем. Высоты расположения z
1
и z
2
центров
сечений 1 и 2 отсчитываем от произвольной горизонтальной плоскости 0 – 0 (рис.
4.3,а).
В.М. Чефанов
81
Основы гидравлики
За промежуток времени
t жидкий объем переместится в положение 1-2.
Применим к жидкому объему теорему механики о том, что изменение кинетической
энергии тела происходит за счет работы внешних сил, приложенных к телу.
а) б)
Рис.4.3
Определим изменение кинетической энергии жидкого объема за время
t. В
момент времени t
1
жидкий объем V
1
представим в виде суммы двух объемов:
объема, заключенного между сечениями 1-1 и объема, ограниченного сечениями 1-
2:
V
1
=
V
1-1
+V
1
-2
.
Этот объем обладает кинетической энергией E
1
, которую тоже можно представить
суммой:
E
1
=
E
1-1
+E
1
-2
.
В момент времени t
2
жидкий объем представляется суммой
V
2
=
V
2-2
+V
1
-2
, а
кинетическая энергия жидкости в этом объеме:
E
2
=
E
2-2
+E
1
-2
.
Изменение кинетической энергии жидкого объема за время
t=t
2
-t
1
равно:
Е=E
2
E
1
=
E
2-2
E
1-1
,
так как объем V
1
-2
не переместился и, следовательно, его кинетическая энергия при
установившемся движении жидкости осталась неизменной.
Кинетическая энергия объема
V
1-1
ввиду малости промежутка времени
t
равна:
В.М. Чефанов
82
Основы гидравлики
.
222
11
2
1
11
2
1
11
2
1
11
tuS
u
xS
u
V
u
E
.
Кинетическая энергия объема
V
2-2
равна:
.
222
22
2
2
22
2
2
22
2
2
22
tuS
u
xS
u
V
u
E
Тогда изменение кинетической энергии жидкого объема может быть записано
так:
Е=
E
2-2
E
1-1
=
tSu
u
Su
u
11
2
1
22
2
2
22
.
В соответствии с уравнением расхода величина
GSuSu
2122
- массовому
расходу жидкости. Поэтому можно записать, что
tG
uu
E
2
2
1
2
2
.
Теперь определим работу внешних сил.
Выделяя жидкий объем, окружающую его среду заменяем соответствующими
силами, действующими со стороны окружающей среды на выделенный объем –
поверхностными и массовыми. На сечение 1 в направлении движения действует
сила давления, равная
11
Sp
, за время
t совершающая работу вталкивания
tuSpxSp
111111
. В сечении 2 действует сила давления, направленная против
движения, совершающая работу
tuSpxSp
222222
. Силы давления,
действующие на боковую поверхность жидкого объема , работу не совершают, так
как они нормальны к этой поверхности, а , следовательно, нормальны и к
перемещению. Таким образом, работа сил давления, действующих на жидкий объем,
будет равна:
(
111
uSp
222
uSp
)
tG
pp
t
21
.
Величина
p
является работой силы давления, приходящейся на единицу
массы жидкости, на 1 кг. Выражение в скобках в правой части равенства,
В.М. Чефанов
83
Основы гидравлики
следовательно, представляет собой работу проталкивания силой давления 1 кг
жидкости из сечения 1 в сечение 2.
На боковую поверхность выделенного участка элементарной струйки кроме
силы давления действуют еще и касательные напряжения, вызванные вязкостью
жидкости, которые направлены против направления движения. Работу вязких
напряжений запишем следующим образом: l
r
G
t. Здесь l
r
работа вязких
напряжений, приходящаяся на 1 кг жидкости.
Определим работу массовых сил – силы тяжести. Для этого возьмем малый
участок элементарной струйки длиной dx, объемом dV=dx
S и массой
dm=
dV=
dx
S (рис.43,б). За время
t этот элементарный объем переместится на
расстояние
x=u
t, а сила тяжести совершит работу, которую можно вычислить
как скалярное произведение силы на путь:
g
dV
x
cos
==
g
dx
S
u
t
cos
.
Так как dx
cos
=
dz, то работу силы тяжести над жидким объемом в течение
интервала времени можно вычислять следующим образом, используя уравнение
неразрывности:
tgGzztgzSuzSuSudztgdVxg
z
zV
21222111
2
1
cos
.
Теперь можно записать уравнение закона изменения кинетической энергии
для жидкого объема за время
t:
tG
uu
2
2
1
2
2
tG
pp
21
l
r
G
t+(z
1
z
2
)G
g
t.
Сокращая обе части уравнения на G
t, получим уравнение закона изменения
кинетической энергии для элементарной струйки вязкой жидкости:
gzzl
ppuu
r
21
21
2
1
2
2
2
. (4.3)
Это уравнение утверждает, что изменение кинетической энергии 1 кг
жидкости при перемещении из сечения 1 в сечение 2 производится работой сил
В.М. Чефанов
84
Основы гидравлики
давления (работой проталкивания), работой силы тяжести и работой вязких сил.
Умножая уравнение (4.3) на плотность и перенося члены, относящиеся к первому
сечению, в левую часть, получим уравнение
r
p
u
pgz
u
pgz
22
2
2
22
2
1
11
(4.4)
которое носит название уравнение Д. Бернулли для элементарной струйки вязкой
несжимаемой жидкости. Даниил Бернулли получил уравнение энергии для
идеальной жидкости (невязкой) в 1738 году.
В уравнении (4.4) все члены имеют размерность давления и имеют такой
смысл:
gz
энергия положения единицы объема жидкости;
p энергия давления единицы объема жидкости;
2
2
u
кинетическая энергия единицы объема жидкости, динамическое давление;
2
2
u
pgz
полная энергия единицы объема жидкости;
p
r
потери полной энергии единицей объема жидкости, вызванные вязкостью.
Термин « потери» введен потому, что работа вязких напряжений превращается в
тепловую энергию и не может при движении преобразовываться в другие виды
энергии: энергию положения, энергию давления, кинетическую энергию.
Если поделить обе части уравнения (4.4) на
g, то все члены уравнения
Бернулли будут иметь размерность длины:
r
h
g
u
g
p
z
g
u
g
p
z
22
2
22
2
2
11
1
. (4.5)
Такой вид уравнения удобно использовать при расчетах, когда измерения
давлений осуществляется стеклянными трубочками, называемыми пьезометрами. В
уравнении (4.5):
z – геометрический напор (высота);
g
p
- пьезометрический напор (пьезометрическая высота);
В.М. Чефанов
85
Основы гидравлики
g
u
2
2
- скоростной напор;
g
u
g
p
z
2
2
=H - полный напор;
h
r
– потери полного напора, вызванные вязкостью.
Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости отличается от уравнения
Бернулли для элементарной струйки тем, что скоростной напор определяется по
средней скорости, а неравномерность распределения кинетической энергии, вызван-
ная вязкостью, учитывается коэффициентами Кориолиса
:
r
p
u
pgz
u
pgz
22
2
2
222
2
1
111
, (4.4а)
r
h
g
u
g
p
z
g
u
g
p
z
22
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
. (4.5)
Значение коэффициента Кориолиса зависит от режима течения.
Вопросы для самопроверки
1. Показать, что сила, нормальная к перемещению, работы не совершает. Что же
тогда она делает?
2. Чем будут отличаться уравнения Бернулли, записанные для элементарной
струйки и потока идеальной жидкости?
4.4. Режимы течения жидкости
Из практики известно, что существуют два режима течения жидкости:
ламинарное, или слоистое, и турбулентное, неупорядоченное.
Ламинарный режим течения жидкости – это такой режим течения, при
котором жидкие частицы движутся по параллельным траекториям, не совершая
поперечных и продольных хаотических малых перемещений, при котором
пульсации скоростей и давлений отсутствуют. В частном случае движения в прямой
В.М. Чефанов
86
Основы гидравлики
трубе, частицы жидкости перемещаются параллельно ее оси. Слово «ламинарное»
происходит от латинского слова laminara – пластина, полоска.
Турбулентный режим течения жидкости – это такой режим течения, при
котором жидкие частицы перемещаются по случайным траекториям, оно
сопровождается хаотическими поперечными и продольными пульсациями давления
с переменной амплитудой и частотами, интенсивным перемешиванием. Слово
«турбулентное» произошло от латинского слова turbulentus – беспорядочный.
В некоторых случаях течение жидкости имеет перемежающийся характер: в
одной и той же точке пространства происходит смена ламинарного режима
турбулентным через неравномерные промежутки времени. Это так называемая
переходная область течения. Переход ламинарного течения в турбулентное связан с
потерей устойчивости ламинарного движения при наложении на него малых
возмущений в виде двумерных колебаний, распространяющихся в направлении
движения.
Вид режима течения в трубе зависит от скорости жидкости u, диаметра трубы
d и свойств жидкости – вязкости
и плотности
. Эта связь определяется
безразмерным числом – числом Рейнольдса:
du
Re
.
При Re 2300 режим течения ламинарный, при Re
2300 – течение
турбулентное. При ламинарном течении коэффициент Кориолиса
, для
турбулентного в технических расчетах его можно принимать равным .
По критическому значению числа Рейнольдса можно найти критическую
скорость, т.е. скорость, ниже которой всегда будет иметь место ламинарное
движение жидкости:
dd
u
êð
êð
2300
Re
.
В трубопроводах систем отопления, вентиляции, газоснабжения,
теплоснабжения, водоснабжения движение, как правило, является турбулентным,
В.М. Чефанов
87
Основы гидравлики
так как движущаяся жидкость (вода, воздух, газ, пар) имеет малую вязкость. Так,
для газопроводов сети домового потребления числа Рейнольдса бывают обычно не
ниже 3000, в городских сетях – не ниже 200 000, в вентиляционных сетях – не ниже
150 000, в сетях сжатого воздуха – не ниже 400 000, в паропроводах центрального
отопления – не ниже 30 000, а в паропроводах ТЭЦ достигают (3 –10)10
6
.
Ламинарное течение воды и воздуха возможны лишь в трубах очень малого
диаметра. Более вязкие жидкости, например, масла, могут двигаться ламинарно
даже в трубах значительного диаметра.
Можно привести пример, характеризующий затраты энергии на поддержание
турбулентного течения, принадлежащий академику А.Н. Колмогорову: если бы не
было турбулентности, Волга потекла бы со скоростью 3000 км/час вместо 2-3
км/час. Тем не менее, турбулентный режим течения является устойчивым.
Экспериментально этот факт подтвержден до значений числа Рейнольдса порядка
10
12
.
4.5. Гидравлические потери
Чтобы можно было пользоваться уравнением Бернулли, необходимо уметь
вычислять потери полного напора
h
r
или потери полного давления
p
r
–
гидравлические потери.
В инженерной практике принято разделять гидравлические потери на путевые
потери и местные.
Путевые потери – это гидравлические потери на трение по длине
трубопровода постоянного сечения. Их принято рассчитывать по формуле Дарси:
В.М. Чефанов
88
Основы гидравлики
,
2
,
2
2
2
g
u
d
l
h
u
d
l
p
г
r
г
r
где
- коэффициент путевых потерь, в общем случае зависящий от числа
Рейнольдса и от шероховатости омываемой поверхности. При ламинарном течении
коэффициент путевых потерь от шероховатости не зависит и может быть вычислен
по формуле Пуазейля:
Re
64
.
При турбулентном течении в диапазоне чисел Рейнольдса
5
10Re2300
коэффициент путевых потерь также не зависит от шероховатости омываемой
поверхности и вычисляется по формуле Блазиуса:
25,0
Re
3164,0
.
Течение в этом диапазоне чисел Рейнольдса называется течением в
гидравлически гладких трубах;
S
d
г
4
- гидравлический диаметр трубопровода. Для круглых напорных тру-
бопроводов гидравлический диаметр равен геометрическому
dd
г
;
S – площадь поперечного сечения потока в трубопроводе, живое сечение
потока;
- смоченный периметр трубопровода.
Для расчета течений в шероховатых трубах в практических расчетах удобно
пользоваться формулой А.Д. Альтшуля /4/:
25,0
Re
68
11,0
d
к
э
.
В этой формуле к
э
– эквивалентная шероховатость. В таблице 4.1 приведены
значения эквивалентной абсолютной шероховатости к
э
для труб из различных
материалов.
В.М. Чефанов
89
Основы гидравлики
При течении с числами Рейнольдса
ý
k
d
500Re
толщина ламинарной части
пограничного слоя настолько мала, что не покрывает выступы шероховатости; они
непосредственно взаимодействуют с турбулентным ядром потока. Поэтому коэф-
фициент путевых потерь зависит только от относительной шероховатости омыва-
емой поверхности и может быть вычислен по формуле Б.Л.Шифринсона
25,0
11,0
d
k
ý
.
В этой области чисел Рейнольдса потери напора пропорциональны квадрату
скорости, поэтому ее называют областью квадратичного течения.
Эквивалентную шероховатость k
э
определяют экспериментально, используя
эмпирическую формулу Б.Л.Шифринсона
dk
ý
4
11,0
,
подставляя в эту формулу значение коэффициета путевых потерь λ, полученное
опытным путем.
При расчете путевых потерь необходимо учитывать, что приведенные
формулы предполагают равномерное течение, что возможно только в очень
длинных трубах. В действительности трубы имеют конечную длину, и эпюры
скоростей в начальном и конечном сечениях существенно отличаются от эпюры
скоростей для равномерного течения. Поэтому потери в коротких трубопроводах
могут быть больше, чем при равномерном течении. Для ламинарного потока, в
случаях, когда l/d
0,03 Re путевые потери могут быть определены по формуле:
2
64165,0
Re
1
2
u
d
l
p
r
.
При больших длинах дополнительным членом в скобках, равным 0,165 можно
пренебречь. В практике расчета гидравлических приводов получило достаточно
широкое распространение формула
=75
Re вместо
=64
Re.
В.М. Чефанов
90