Чефанов В.М. Основы гидравлики: Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Основы гидравлики

Пластинчатый манометр Шеффера состоит

из упругой пластинчатой гофрированной

пружины (мембраны) 1, зажатой между

фланцами корпуса прибора. Дефор-мируясь

под влиянием давления, мембрана передает

движение через поводок 2 зубчатому

сектору 3. Зубчатый сектор передает

движение шестерне 4 и насаженной на ее

оси указательной стрелке 5.

К достоинствам манометра Шеффера

следует отнести надежность показаний в

условиях тряски, к недостаткам — малый

диапазон измерений: от 0,2 до 75 кГ/см

, а

также малую деформацию мембраны (2 мм).

Здесь следует отметить, что манометрами Бурдона и Шеффера измеряется

так называемое манометрическое давление (или избыточное), т. е. разность между

абсолютным (полным) давлением и атмосферным. Для получения полного давления

к давлению манометрическому необходимо прибавить давление атмосферное

(барометрическое).

(Единицей измерения давления является 1н/м

. Она называется Паскаль.

Соотношение между старыми единицами измерения давления таковы:

1 бар=10

Па; 1 мм рт. ст.=133,322 Па; 1 мм вод. ст.=9, 80665 Па; 1 ат

(техническая атмосфера) 1 кгс/см

= 10 м вод. ст.= 735,6 мм рт.ст=9, 8066510

Па; 1

атм (физическая атмосфера)=760 мм рт. ст.= 1,0132510

Па).

Пример 3.1. Использования второго следствия из основного уравнения

гидростатики для несжимаемой жидкости.

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

Рис.П 3.1. I - ножная педаль; 2 —

толкатель; 3 — главный

тормозной цилиндр; 4 — поршень;

5 — клапан; 6 — трубопровод; 7

— колесный тормозной цилиндр;

8 — поршни; 9 — тормозные

колодки; 10 — тормозной барабан;

N — сила, приложенная к педали

1, р — давление в системе; Р

, —

сила, действующая на поршень 4;

— сила, создаваемая поршнями

В случае изменения внешнего

давления р

на величину Δр

давление во всех точках жидкости,

находящейся в равновесии,

изменится согласно основному

уравнению гидростатики на

ту же величину Δр

. На рис.П1 представлена схема гидравлической тормозной

системы задних колес автомобиля.

Сила, приложенная к педали 7, передается через толкатель 1 поршню 4

главного тормоз-ного цилиндра 3, в котором создается давление





где P1 — сила, действующая на поршень 4; d

— диаметр поршня 4.

Вытесняемая жидкость поступает по трубопроводу 6 к колесному тормозному

цилиндру 7 и действует на поршни 8, которые развивают силу

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

=pπd

/4,

где р — давление, создаваемое в главном тормозном цилиндре; d

— диаметр

поршней 8.

Поршни 8, перемещаясь, прижимают колодки 9 к тормозному барабану 10,

осуществляя торможение колеса.

3.3. Относительное равновесие жидкости

Ранее (п. 3.2) были установлены свойства гидростатического давления в

жидкости, находящейся в абсолютном равновесии, т.е. неподвижной относительно

системы координат, связанной с поверхностью Земли. Теперь рассмотрим свойства

давления в жидкости, покоящейся в сосуде, который движется ускоренно, с

ускорением



, т.е. рассматриваем относительное равновесие жидкости

(относительно сосуда).

В системе координат, связанной с движущимся сосудом, жидкость находится

в равновесии при действии на нее двух массовых напряжений:



. Составляя,

как и ранее, уравнения равновесия для элементарного параллелепипеда, получим в

проекциях

 

;0







;0





 

0







Для прямолинейного горизонтального ускоренного движения вдоль,

например, оси x имеем: a

= - a; a

=0; g

= - g и

;0



 a



;0





.0



 g



Видно, что давление в любой точке жидкости зависит от двух координат,

поэтому изменение давления может быть записано как









, или,

используя уравнения равновесия,

 

gdzadxdp 



. Интегрируя его, получим:

 

constgzaxp 



Постоянную интегрирования найдем из граничных условий: при x=x

и z=z

давление равно давлению на свободной поверхности жидкости p

. Тогда

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

const=p



(ax

+g z

) и p - p



- x)+g



– z).

Уравнение свободной поверхности определим, используя условие постоянства

давления на свободной поверхности dp=0:

 

zz 

. Видно, что это

уравнение прямой (плоско-сти), расположенной к горизонтальной оси x под тупым

углом. Тангенс этого угла равен

tg 



(рис. 3.8).

Рис.3.8

Рис.3.9

Рис.3.10

(Напоминание. В относительном движении массовое напряжение a

направлено

противоположно направлению ускорения в абсолютном движении – согласно

принципу Даламбера).

Если жидкость находится во вращающемся сосуде, с осью вращения

параллельной ускорению свободного падения, то уравнения равновесия удобно

записать в цилиндрической системе координат r, z,



. В этой системе координат на

единицу объема жидкости действуют проекции массовых сил: в направлении

радиуса r – центробежная сила



r, а в направлении оси z – сила тяжести -



g. В

проекциях на оси координат уравнения равновесия примут вид:











Приращение давления

gdzrdrdz













. Интегрируя, находим:

p=0,5



(





gz+const. Постоянную интегрирования находим из граничного

условия: при r=0 в точке z=z

свободной поверхности давление p=p

. Тогда

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

распределение давления примет вид: p





g(z

z)+0,5



(



, а уравнение

свободной поверхности z





/2g – уравнение параболоида вращения (рис.3.9).

Пусть теперь жидкость вращается вместе с цилиндром радиуса R вокруг

горизонтальной оси с постоянной угловой скоростью ω. Рассмотрим случай, когда

ускорение силы тяжести пренебрежимо мало по сравнению с центробежным

ускорением (рис.3.10). Определим распре-деление давления и вид свободной

поверхности жидкости. Для этого рассмотрим произвольную точку М на рассоянии

r от оси цилиндра (рис.3.10). На единицу объема жидкости в этой точке в

направлении радиуса r действет только центробежная сила ω

r. В проекции на

направление радиуса условие равновесия жидкости имее такой просой вид:





. (3.5).

Давление изменяется только в радиальном направлении, поэтому приращение

давления

rdrdr





. Интегрируя, находим: p=0,5



(



+const. Постоянную

интегрирования нахо-дим из граничного условия: при r

=0, р=р

: const=p

(ωr

)

/2.

Теперь радиальное распределение давления

 

rrpp 



(3.6)

показывает, что давление по радиусу увеличивается по параболическому закону

(рис.3.10б); на стенке цилиндра оно имеет максимальное значение:

 

rrpp





. (3.7)

На поверхности постоянного уровня (постоянного давления) изменение давления

отсутствует (dp=0) уравнение равновесия в дифференциальной форме (3.5)

принимает такой вид:

rdr





В.М. Чефанов

Основы гидравлики

После интегрирования этого выражения получаем уравнение поверхности

уровня

 







из которого следует, что поверхности уровня - это цилиндрические

поверхности.

Уравнение (3.7) позволяет определить осевую нагрузку на рабочее колесо

консольного центро-бежного насоса, схема которого изображена на рис. 3.11.

Видно, что осевая нагрузка возникает в основном из-за асимметричности рабочего

колеса.

Рис. 3.11. Схема рабочего колеса

консольного цен-тробежного насоса и

эпюры давления:

1 — эпюра давления на рабочее колесо

слева; 2 - рабочее колесо; 3 -

пространство между рабочим колесом и

отводом; 4 - отвод; 5 - вал; 6 - эпюра

давления на рабочее колесо справа; 7 -

результи-рующая эпюра давления на

рабочее колесо; r

- ра-диус вала; r

радиус входа в рабочее колесо; r

радиус рабочего колеса; p

, р

- давление

на входе в рабочее колесо и на выходе из

него соответственно; р' - давление на

радиусе r

сзади рабочего колеса.

Положим, что в пространстве 3 между рабочим колесом 2 и отводом 4

жидкость вращается как твердое тело с угловой скоростью ω и в пространстве 3 с

обеих сторон рабочего колеса один и тот же закон распределения давления. В

пространстве 3 с передней стороны колеса давление изменяется от давления р

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

которым жидкость поступает в колесо до давления р

, которое жидкость

приобретает в проточной части колеса (в межлопаточных каналах колеса). В

пространстве 3 с задней стороны колеса давление умень-шается от давления р

на

радиусе r

до давления р на радиусе r

(поэтому силой осевого давления будет

являться сила давления на кольцевую поверхность с радиусом входа в рабочее

колесо r

, и радиусом вала r

Используя уравнение (3.7), определим разницу давлений на расстоянии r от

оси вращения рассматриваемой кольцевой поверхности. Для этого сначала выразим

текущее значение давление с задней стороны колеса:

 

rrpp 



Разность давлений Δр=р−р

, определяющая уосевое усилие на рабочее

колесо,будет равна:

 

rrppp 



где р

и р

— давление на входе в рабочее колесо и на выходе из него

соответственно; ω — угловая скорость вращения жидкости; r

— радиус на выходе

из рабочего колеса.

Осевая сила, стремящаяся сдвинуть рабочее колесо вместе с валом, на

который оно насажено, определяется как интеграл по кольцевой поверхности с

радиусами r

и r

 



















rdrrrppdSpP





где dS = 2πrdr — площадь элементарной кольцевой площадки. Таким образом:

 





























rpprrP





3.4 Силы давления на плоские и криволинейные поверхности

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

Для определения силы давления жидкости на плоскую стенку, наклоненную к

горизонту под углом α, используем основное уравнение гидростатики.

Расположим систему координат так, что стенка будет находиться в

координатной плос-кости xOy, ось Oy пройдет вдоль стенки, начало координат О

поместим в точку пересечения свободной поверхности и стенки (рис. 3.12). На

схеме: dS — площадь элементарной площадки; h, z — глубина погружения и

координата центра тяжести элементарной площадки; С — центр тяжести смоченной

поверхности стенки; h

, y

— глубина погружения и координата центра тяжести

смоченной поверхности стенки; р

— давление на свободной поверхности; Р — сила

давления на плоскую стенку; α — угол наклона стенки к горизонту.

Определим силу давления Р, действующую на стенку со стороны жидкости.

Со строны жидкостина стенки действует сила, вызванная гидростатическим

давлением. Для вычисления силы

Рис.3.12. Рис.3.13

давления на стенку на ней выделяют элементарную площадку dS, малые размеры

которой позволяют считать ее плоской, давление - равномерно распределенным по

площадке. В таком случае силу давления dP на элементарную площадку dS

определяет соотношение:

dP=(p

+ρgh)dS,

где р

- давление на свободной поверхности; h - глубина погружения центра

площадки, измеренная вдоль оси y от свободной поверхности. Заменяя h=y∙sinα для

силы давления на площадку dS, будем иметь выражение

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

dP=(p

+ρgy∙sinα)dS,

а сила давления, действующая на плоскую стенку площадью, вычисляется

интегрированием по площади стенки, соприкасающейся с жидкостью

 





SSS

ydSgSpdSgypdPP



sinsin

Интергал



ydS

представляет собой статический момент смоченной площади

стенки S относительно оси Оx. Он равен



ydS

∙S. Таким образом, выражение для

силы давления, действющей со стороны жидкости на плоскую стенку приобретает

вид:

 

SpSghpSygSpP

CCC





sin

. (3.8)

Из полученного выражения можно видеть, что значение силы давления равно

произве-дению давления в центре тяжести смоченной поверхности p

на площадь

смоченной поверхности.

Результирующая сила давления на стенку - это разность сил давления на

стенку с двух сторон. Если с одной стороны на стенку действует давление на

свободную поверхность р

и давление жидкости pgh, а с другой - атмосферное

давление р

, то результирующая сила:

R = (p

+ ρgh

)S−p

S = (p

+ pgh

−p

представляет собой силу избыточного давления, т.е.

R = p

избC

∙S (3.9)

где

избC

= p

+ ρgh

−р

является избыточным давлением в центре тяжести смоченной поверхности.

Точку D, в которой приложена сила P

называют центром давления. Так как

внешнее давле-ние р

передаетсявсем точкам площади S одинаково, то равно-

действующая этого давления будет приложена в центре тяжести площади S. Для

нахождения точки приложения силы избыточного давления жидкости (точка D)

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

используем теорему Вариньона: сумма моментов составляющих сил относительно

какой-либо оси равна моменту равнодействующей относительно той же оси



MM

Предположим, что центр избыточного давления находится в точке D с

координатой y

. Тогда момент равнодействующей силы избыточного давления

относительно оси у

M = Ry

= pgh

, (3.10)

где h

— расстояние от центра тяжести смоченной поверхности до оси Oy.

Момент составляющих силы избыточного давления относительно той же оси









ghydSpydSM



Поскольку

h = y∙sina,







dSygM

sin



Интеграл

JdSy 



представляет собой момент инерции рассматриваемой смоченной поверхности

относительно оси x. Таким образом:

∑M

=pgJ

sinα (3.11)

Из равенства выражений (3.9) и (3.10)

pgh

= pgJ

sinα

получим

= J

sinα/(h

S) = J

/(y

S),

где y

— координата центра тяжести смоченной поверхности.

Выражая момент инерции J

через центральный момент инерции смоченной

поверхности J

= J

+ y

определим координату центра избыточного давления

В.М. Чефанов