Чефанов В.М. Основы гидравлики: Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Основы гидравлики

SyJ







. (3.12)

Из полученной формулы видно, что центр давления не совпадает с центром

тяжести смоченной поверхности стенки (расположен ниже него).

Если давление ро равно атмосферному и оно действует с обеих сторон стенки,

то точка D и будет центром давления. Когда же р

является повышенным, то центр

давления находится по правилам механики как точка приложения

равнодействующей двух сил: R и р

S. При этом, чем больше вторая сила по

сравнению с первой, тем очевидно ближе центр давления к центру тяжести площади

Выше было дано определение лишь одной координаты центра давления—y

Для опреде-ления другой его координаты — x

следует составить уравнение

моментов относительно оси оу.

В том частном случае, когда стенка имеет прямоугольную форму, причем одна из

сторон прямоугольника совпадает со свободной поверхностью жидкости, положение

центра давления находится очень просто. Так как эпюра давления жидкости на

стенку изображается прямоугольным треугольником (рис.3.13), центр тяжести

которого находится на 1/3 высоты b треугольника, то и центр давления жидкости

будет расположен на 1/3 b, считая снизу.

Силу давления и центр давления можно определить по эпюре давления.

Построим эпюру давления на стенку (рис. 3.13), учитывая, что стенка имеет

прямоугольную форму, причем одна из сторон совпадает со свободной

поверхностью жидкости и что на свободной поверхности атмосферное давление р

т.е. с одной стороны на стенку действует атмосферное давление и давление

жидкости pgh, с другой — атмосферное давление.

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

Рис.3.14

Сила давления Р на стенку равна весу жидкости в объеме призмы:

P=S

эп

где S

эп

—площадь плоской эпюры; a — длина стенки.

В данном случае площадь эпюры - это площадь треугольника. Тогда сила

давления на стенку

P = pgh∙b∙a/2,

где h — глубина жидкости; b — высота стенки.

Линия действия силы давления P будет проходить через центр тяжести

пространственной эпюры давления и проектироваться на центр тяжести основания

(в данном случае треугольника), который отстоит от вершины треугольника на 2/3

его высоты, т.е.



Определим силу давления и центр давления аналитически.

Согласно (3.8) сила избыточного давления равна

P = р

избС

S = ρgh

∙ba= ρgh∙b∙a/2,

где р

избС

= ρgh

=ρgh/2; S = b∙a.

Определим центр давления по формуле (3.12):

 

abb

bab

yó

ÑD

212/







Таким образом, результаты определения силы давления и центра давления по эпюре

давления и аналитически совпадают.

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

В случае вертикальной стенки (рис.3.14а) эпюра распределения избыточного

давления по высоте стенки имеет вид треугольника. Соответствующая этой эпюре

сила давления на прямо-угольную стенку равна

P 



где b — ширина стенки.

Глубина h

погружения центра давления будет находиться в центре тяжести

треугольника, который отстоит от вершины треугольника на 2/3 его высоты, или в

соответствии с формулой (3.12)

CÄ



Как показывает формула (3.8), силы давления на горизонтальные стенки

(днища сосудов), будут одинаковыми, если эти стенки имеют равные площади S и на

них действуют одинаковые гидростатические давления. Форма сосуда не влияет на

значение силы. На первый взгляд из-за различного количества одной и той же

жидкости в показанных на рис. 3.14б сосудах силы давления на их днища будут

разными. Такое неправильное суждение, противоречащее доказан-ному выше

равенству сил давления, называют гидростатическим парадоксом.

Теперь определим силу давления на криволинейную поверхность АВ

(рис.3.15а) при следу-ющих условиях. На свободную поверхность жидкости

действует давление р

, которое больше ат-мосферного р

, а на поверхность АВ с

одной строны действует полное гидростптическое давление р=р

+ρgh, а с другой

стороны - атмосферное давление. Определить силу избыточного давления на

цилиндрическую поверхностью.

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

а б в

Рис.3.15

Проекция силы давления на горизонтальную ось равна интегралу





ÃÃ

dPP

где dP

— проекция на горизонтальную ось элементарной силы dP, приложенной к

выделенной на криволинейной стенке мощадке dS (рис. 3.15б) и равной

dP = (Р

+ ρgh)dS

Здесь h — глубина погружения центра площадки, измеренная от свободной

поверхности жидкости; ро — давление на этой поверхности. Обозначив через α угол

наклона dP к горизонту, можно найти

= (ро + ρgh) cosαdS.

Произведение cosαdS соответствует проекции dS

элементарной площадки на

вертикальную плоскость:

cosadS = dS

Поэтому

= (Р

+ pgh)dS

Интегрируя, получаем

= (р

+ ρgh

) S

где h

— измеренная от свободной поверхности жидкости глубина погружения

центра тяжести проекции криволинейной стенки на вертикальную плоскость; S

—

площадь этой проекции.

Чтобы вычислить проекцию Р

на вертикальную ось, следует аналогичные

операции выполнить с проекцией dP

элементарной силы давления. В этом случае

= (p

+ pgh)dS

где S

- площадь проекции элементарной площадки на горизонтальную плоскость.

При интегрировании правой части этого уравнения получается два члена,

первый из которых равен P

, второй весу ρgV жидкости, занимающей объем

В.М. Чефанов

Основы гидравлики





hdSV

между криволинейной поверхностью, свободным уровнем жидкости и

вертикальными стенками 1,2,3:

= р

+ ρgV.

Объем V называют телом давления.

Полная сила гидростатического давления на криволинейную стенку составит

ÂÃ

ÐÐÐ 

У стенок постоянной кривизны (цилиндрических, сферических) линия

действия силы давления Р проходит через центр или ось кривизны. Точку

приложения равнодействующей силы Р необходимо определять с помощью

уравнения моментов.

Приведем другой вариант определения силы давления жидкости на

криволинейную стенку.

Возьмем цилиндрическую поверхность АВ с образующей, перпендикулярной

плоскости чертежа (рис.3.15), и рассмотрим определение силы давления жидкости

на эту поверхность в двух случаях: а) жидкость расположена сверху (рис.3.15б) и б)

жидкость .расположена снизу (рис.3.15в).

В случае «б» выделим объем жидкости, ограниченный рассматриваемой

поверхностью АВ, вертикальными поверхностями, проведенными через границы

этого участка, и свободной поверхностью жидкости, т. е. объем ABCD, и рассмотрим

условия его равновесия в вертикальном и горизонтальном направлениях. Если.

жидкость действует на поверхность АВ с силой Р, то поверхность АВ оказывает на

жидкость такое же усилие Р, но направленное в обратную сторону. На рис.3.15б

показана эта сила реакции, разложенная на две составляющие: горизонтальную Р

и вертикальную Р

Условие равновесия объема ABCD жидкости в вертикальном направлении

имеет вид:

= p

+ G

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

где р

—давление на свободной поверхности жидкости;

— площадь горизонтальной проекции поверхности АВ; G — вес

выделенного объема жидкости, вес тела давления.

Условие равновесия того же объема жидкости в горизонтальном направлении

запишем с учетом того, что силы давления жидкости на поверхности ЕС и AD

взаимно уравновешиваются и остается лишь сила давления на площадь BE, т. е. на

вертикальную проекцию поверхности АВ — S

. Будем иметь

= S

ρgh

Определив вертикальную и горизонтальную составляющие полной силы

давления Р, найдем эту по-следнюю:

ÃÂ

ÐPP 

В том случае, когда жидкость расположена снизу (случай «в», см. рис.3.15),

величина гидростатического давления во всех точках поверхности АВ будет иметь

те же значения, что и в случае «б», но направление его будет противоположным, и

суммарные силы Р

и Р

будут определяться теми же формулами, но с обратным

знаком. При этом под величиной G следует понимать, так же как и в случае «б», вес

жидкости в объеме ABCD, хотя этот объем и не заполнен жидкостью - вертикальная

составляющая силы давления жидкости на твердую стенку направлена вверх.

Положение центра давления на цилиндрической стенке легко может быть найдено,

если силы Р

и Р

известны не только по величине, но и по направлению, т.е. если

определены центр давления на вертикальной проекции стенки и центр тяжести

выделенного объема ABCD. Задача значительно облегчается в том случае, когда

рассматриваемая цилиндрическая поверхность является круговой, так как

равнодействующая сила при этом пересекает ось поверхности. Это следует из того,

что любая элементарная сила давления dP нормальна к поверхности, т. е,

направлена по радиусу.

Изложенный способ определения силы давления на цилиндрические

поверхности применим также и к сферическим поверхностям, причем

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

равнодействующая сила в этом случае также проходит через центр поверхности и

лежит в вертикальной плоскости симметрии.

3.5. Закон Архимеда

Рис.3.16

Рис.3.17

К рис.3.17. r — радиус цилиндра; h — глубина погружения оси цилиндра; pg(h

- r), pg(h + r) — давление на глубине h - r и h + r соответственно; Р

г1

и Р

г2

—

горизонтальные составляющие силы давления на цилиндрическую поверхность; Р

в1

и Р

в2

— вертикальные составляющие силы давления на верхнюю и нижнюю части

погруженного тела; Р

— вертикальная составляющая силы давления на

погруженное тело.

Рассмотрим твердое тело, погруженное в покоящуюся жидкость (рис.3.16).

Оно находится в равновесии под действием двух сил, имеющих вертикальное

направление: массовой силы G – веса тела, и поверхностной – результирующей

силы давления жидкости P, окружающей тело. Результирующая сил давления в

горизонтальном направлении равна нулю – силы давления, действующие на боковые

поверхности справа и слева на тело, уравновешивают друг друга. Результирующую

силу давления можно представить суммой двух составляющих P=P

верхн.

нижн.

Составляющая P

верхн

действует сверху на тело в направлении силы тяжести,

погружая тело. Составляющая P

нижн

действует на нижнюю поверхность тела,

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

выталкивая его на поверхность, поскольку давления во всех точках нижней

поверхности в соответствии с основным законом гидростатики больше давлений в

точках верхней поверхности. Разность этих сил уравновешивается силой тяжести G

тела:

   

 GSghpSghp



, или

0 GgV



. Если плотность тела равна

плотности жидкости, то можно сформулировать условие равновесия тела как закон

Архимеда: погруженное в покоящуюся жидкость тело испытывает со стороны

жидкости вертикальное подъемное усилие, равное весу жидкости в объеме

погруженного тела. Точка приложения результирующей силы давления,

выталкивающей тело, называется центром давления.

Закон Архимеда можно вывести и с точки зрения действия силы давления на

криволинейную поверхность.

Определим силу давления жидкости на погруженное в нее тело (рис. 3.17),

поверхность которого будем рассматривать как замкнутую криволинейную

поверхность (например, цилиндр радиусом r, ось которого погружена на глубину h

относительно пьезометрической плоскости).

Силу давления на данную криволинейную поверхность можно определить как

геометрическую сумму вертикальной и горизонтальной составляющих.

Горизонтальная составляющая силы давления в рассматриваемом случае равна

нулю, так как левая Р

г1

и правая Р

г2

составляющие численно равны и направлены в

противоположные стороны:

Сила давления на поверхность погруженного тела равна вертикальной

составляющей:

ââãâ

ÐÐÐÐÐ 

222

которая является результирующей двух сил:

=Р

в1

+Р

в2

где Р

в1

и Р

в2

—- вертикальные составляющие, действующие соответственно на

верхнюю и нижнюю части погруженного тела.

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

Определим разность сил Р

в1

и Р

в2

. Рассечем погруженное тело горизонтальной

плоскостью по диаметральной плоскости и построим тела давления на верхнюю и

нижнюю части, а затем графически определим результирующее тело давления.

По рис. 3.17 видно, что результирующим телом давления является объем

рассматриваемого цилиндра, и вертикальная составляющая силы давления равна

весу жидкости в объеме, вытеснен-ном погруженным телом:

=ρgV,

где V — объем тела.

Полученная формула выражает закон Архимеда: на погруженное в жидкость

тело действует направленная вверх сила, численно равная весу вытесненной телом

жидкости. Эта сила называется выталкивающей, или архимедовой, силой.

При выходе тела на свободную поверхность капельной жидкости

выталкивающая сила уменьшается вследствие уменьшения объема погруженной

части тела, и тело будет плавать на свободной поверхности. Условием плавания

является выражение

G=ρgV

где G — вес тела; V

— объем погруженной части тела.

С помощью этой формулы рассчитывается поплавковое устройство.

П о д в о д н о е п л а в а н и е тел. Рассмотрим остойчивость тела при подводном

плавании. Тело будет плавать под водой, если сила тяжести тела под водой G равна

силе Архимеда, т. е. G = Р. Тело будет тонуть, если G > Р и, наконец, тело всплывет,

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

Рис. 3.18. Рис. 3 19,

если G <Р. Точка приложения подъемной силы D называется центром давления или

центром водоизмещения. Прямая, проходящая через точки С — центр тяжести и D

— центр водоизмеще-ния, называется осью плавания.

При отклонении тела от состояния равновесия получаем пару сил G — Р. Если

центр тяжести С расположен ниже центра водоизмещения D, то пара сил стремится

возвратить тело в перво-начальное состояние равновесия, и плавающее под водой

тело будет обладать остойчивостью (рис.3.18). Если же центр тяжести С расположен

выше центра водоизмещения D, то плавающее под водой тело будет не остойчиво

(рис.3.19).

Н а д в о д н о е п л а в а н и е тел. Если сила P>G, то тело будет всплывать и часть

тела при этом будет обсыхать. Тело будет всплывать до тех пор, пока сила Р не

уменьшится настолько, что снова будет восстановлено равенство

P = G,

где Р равно весу жидкости в объеме погруженной части тела. Вес жидкости,

вытесненный погруженной в нее частью тела, называется водоизмещением.

Плоскость сечения плавающего тела свободной поверхностью жидкости

называется плос-костью плавания. Периметр плоскости плавания называется

контуром плавания (ватерлинией).

При надводном плавании тело должно обладать остойчивостью, т. е. при

малом крене (до 15—20°) тело должно возвращаться в первоначальное положение.

Тело обладает остойчивостью, если центр тяжести расположен ниже центра

водоизмеще-ния. Но в плавающих судах это трудно бывает осуществить. Если центр

тяжести расположен выше

В.М. Чефанов