Чефанов В.М. Основы гидравлики: Учебное пособие
Подождите немного. Документ загружается.
Основы гидравлики
Рис.3.20. Рис.3.21.
центра водоизмещения, то плавающее над водой тело тоже может находиться в
состоянии равновесия. В этом случае основное значение приобретает расположение
точки М — метацентра. Метацентром называется точка пересечения оси плавания с
линией действия силы Р (рис.3.20). Если метацентр расположен выше центра
тяжести, то плавающее над водой тело остойчиво, так как возникающая при крене
пара сил G — Р стремится возвратить его в состояние равновесия.
Расстояние вдоль оси плавания от центра тяжести тела до метацентра
называется метацен-трической высотой Н
т
. Метацентрическая высота
положительна, если она отмеряется вверх от центра тяжести. Если метацентрическая
высота положительна, плавающее тело остойчиво.
Метацентрическая высота вычисляется по формуле
H
m
= I
0
/V ± h = ρ±h
где I
0
—момент инерции площади ватерлинии (плоскости плавания) относительно
продольной оси, проходящей через центр тяжести этой площади;
V — водоизмещение;
h — расстояние между центром тяжести тела и центром водоизмещения
(рис.3.20);
ρ— метацентрический радиус.
На рис.3.20 показано остойчивое положение судна, а на рис.3.21 -
неостойчивое.
В.М. Чефанов
71
Основы гидравлики
Пример 3.2. Определить глубину погружения железобетонного понтона,
имеющего форму параллелепипеда высотой h=1,8 м, шириной b=2,5 м, длиной l=6
м. Плотность бетона
б
=2500 кг/м
3
, толщина стенок понтона
=0,1 м.
Решение. Вес понтона равен
G=
б
gV==
б
g2lb
+ 2b(h-2
)
+ 2(l-2
)(h-2
)
=139 кН.
Силу выталкивания (подъемную силу) определяем в соответствии с законом
Архимеда, – она равна весу воды, вытесненной погруженной части тела, который, в
свою очередь, при плавании понтона в воде, равен весу понтона:
P
выт
=
gV
погр
=
gblh
1
=G.
Откуда глубина погружения понтона h
1
будет равна:
95,0
65,281,91000
10139
3
1
gbl
G
h
м.
Пример 3.3. Порожний прямоугольный понтон размерами: длиной L = 8 м и
шириной b = 2,5 м (рис. 3.22) имеет осадку Т
0
= 0,2 м.
Проверить остойчивость нагруженного понтона, если осадка его при этом Т =
1,0 м, высота центра тяжести над дном h = 1,5 м.
Определить вес груза.
Рис. 3.22.
Решение. Для определения веса груза находим водоизмещение понтона в
нагруженном состоянии
G = ρgV =ρgLbT = 1000 9,8 8·2,5·1 ≈ 200 000 H.
Водоизмещение порожнего понтона
В.М. Чефанов
72
Основы гидравлики
G
0
= ρgVo =ρgLbT
0
= 1000·9,8·8·2,5·1 ≈4 0000 H,
отсюда вес груза G
гр
= 20 — 4 = 16 кН.
Определяем расстояние CD от центра тяжести нагруженного понтона до
центра водоизмещения D
CD = d = h — Т/2 = 1.5 - 0.5 = 1.0 м,
а затем метацентрическую высоту /о , Lb*
ìd
LbT
Lb
d
V
I
H
m
48.0152.01
0.15.2812
5.28
12
33
0
.
Так как метацентрическая высота Н
m
отрицательна, то нагруженный понтон не
остойчив.
Вопросы для самопроверки.
1. Какие напряжения вызывает сила, величина которой определяется по
второму закону Ньютона? Зависят ли эти напряжения от направления?
2. Какие напряжения в жидкости вызывает давление, действующее на
свободную поверхность? Как направлены эти напряжения?
3. На сколько изменится давление в любой точке покоящейся жидкости,
если плотность ее увеличится в два раза? Изменится ли давление на свободной
поверхности?
4. Скалярной, векторной или тензорной величиной являются массовые
напряжения в любой точке жидкости?
5. Как направлены массовые напряжения, вызванные силой тяжести, в
любой точке земной поверхности?
6. Показать, что разность между гидростатическим и пьезометрическим
напорами равна
p
a
HH
g
p
(рис.3.5).
7. Определить, чему будет равна разность
g
pp
a
0
на схеме рис.3.5.
В.М. Чефанов
73
Основы гидравлики
8. Какое тело будет более остойчивым (не опрокинется): у которого центр
давления ниже центра тяжести или у которого центр давления выше центра
тяжести?
9. Какими силами, поверхностными или массовыми, обусловлено плавание
тела?
10.В каком виде находилась бы жидкость на Земле, если бы отсутствовала
сила тяжести?
11.При каком условии получено уравнение свободной поверхности
вращающейся жидкости?
12.Как математически показать, что жидкость ньютоновская?
13.Почему в соответствии с законом трения Ньютона в покоящейся
жидкости касательные напряжения равны нулю?
14.Связаны ли поверхностные и массовые напряжения в жидкости между
собой? Если связаны, то привести пример такой связи.
Задачи.
3.1. Определить высоту налива нефти в резервуаре, сообщающемся с
атмосферой, если манометр, установленный на один метр выше днища, показывает
давление p=0,5 ати, а плотность нефти равна
=900,6 кг/м
3
.
Ответ. H=6,56 м.
3.2. В сосуд, наполненный жидкостью, вставлены два плунжера, расположен-
ные в одной горизонтальной плоскости; площади плунжеров S
1
=15 см
2
и S
2
=5 см
2
.
На первый из них действует сила P
1
=30 кгс. Определить показание манометра и силу
P
2
, удерживающую в равновесии второй плунжер. Ответ. P
м
=2 ати,
P
2
=10 кгс.
3.3. Определить высоты h
1
и h
2
, если на поршни площадью S
1
,S
2
, и S
3
действуют силы P
1
,P
2
,P
3
.
В.М. Чефанов
74
Основы гидравлики
Ответ.
.
1
;
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
1
S
P
S
P
g
h
S
P
S
P
g
h
3.4. Определить силу R, которую необходимо приложить к штоку для
движения поршня с постоянной скоростью. Трением пренебречь; D=20 мм, d=10
мм, B=750 мм рт.ст.: а) p
1
=2 бар изб; p
2
=6 бар изб; б) p
1
=0,5 бар вак; p
2
=5,6 бар
изб; в) p
1
=5,2 бар изб; p
2
=1,6 бар изб; г) p
1
=6,2 10
5
Па изб; p
2
=3 бар изб; д) p
1
=2 бар
изб; p
2
=6 ат изб; е) p
1
=4 бар изб; p
2
=6 бар изб; ж) p
1
=6 бар изб; p
2
=14 бар изб;
К задаче 3.1. К задаче 3.2. К задаче 3.3. К
задаче 3.4
В.М. Чефанов
75
Основы гидравлики
4. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ
4.1. Некоторые понятия
Кинематика рассматривает движение жидкости, не интересуясь причинами
его вызывающего; она устанавливает связь между геометрическими
характеристиками движения и временем.
Чтобы при изучении движения жидкости можно было пользоваться аппаратом
механики твердого тела, вводятся следующие определения.
Жидкая частица – весьма малая частица жидкости. При движении жидкая
частица может менять свою форму и объем, но заключенная в ней масса остается
неизменной. Объем жидкой частицы настолько мал по сравнению с размерами
течения, что ее можно полагать точкой.
Жидкий объем – объем жидкости конечных размеров, состоящий из одних и
тех же жидких частиц. При движении жидкий объем может деформироваться, но
масса его сохраняется неизменной.
Контрольный объем – выделяемый в пространстве постоянный объем,
сохраняющий неизменное положение. Через этот объем протекает жидкость.
Контрольная поверхность – поверхность, ограничивающая контрольный
объем (для жидкого объема – поверхность жидкого объема).
Местная скорость – скорость движения центра массы жидкой частицы,
проходящей в данный момент через данную точку пространства.
Линия тока – линия в жидкости, в каждой точке которой векторы мгновенных
скоростей касательны к ней в рассматриваемый момент времени. Через каждую
точку пространства, заполненного жидкостью, в данный момент времени можно
провести, вообще говоря, только одну линию тока (в противном случае в точке
пересечения линий тока жидкость имела бы несколько значений скоростей или их
В.М. Чефанов
76
Основы гидравлики
направлений, что, конечно, невозможно). Нормальная составляющая скорости в
точке линии тока (к линии тока) равна нулю.
Элементарная струйка – это объемный пучок линий тока небольшого
поперечного сечения. Сечение выбирается настолько малым, чтобы во всех его точ-
ках все параметры потока можно было считать постоянными. Боковая поверхность
элементарной струйки называется трубкой тока. Поскольку трубка тока состоит из
линий тока, то нормальная составляющая скорости к трубке тока равна нулю.
Траектория – линия пути, проходимая жидкой частицей за определенный
промежуток времени. Если скорости жидкости во всех точках контрольного объема
не изменяются во времени, то траектории жидких частиц и линии тока совпадают
друг с другом.
При изучении движения жидкости ее рассматривают как сплошную среду. Это
означает, что изучаются не характеристики движения конечного числа отдельных
жидких частиц, а поля различных физических величин: скорости, давления,
плотности и т.д.
В общем случае течение является пространственным и неустановившимся
(нестационарным) – все характеристики течения зависят от координат пространства
x, y, z, в котором течет жидкость (точек контрольного объема) и от времени t:
u
x
(x,y,z,t), u
y
(x,y,z,t), u
z
(x,y,z,t), p(x,y,z,t), T(x,y,z,t) и т.п.
Течение называют установившимся или стационарным в том случае, когда
его характеристики во всех точках контрольного объема не зависят от времени.
В тех случаях, когда полагается, что можно пренебречь изменением
параметров жидкости по какой-либо координате, то рассматривают двумерное или
плоское течение – течение, в котором параметры жидкости изменяются только по
двум направлениям (координатам). Частным случаем двумерного движения является
осесимметричное течение, в котором параметры потока изменяются только в
осевом и радиальном направлениях – течение в каналах с круговой симметрией,
например, в круглых трубах.
В.М. Чефанов
77
Основы гидравлики
Самой простой моделью течения является одномерное течение, в котором
полагается, что параметры потока меняются только вдоль движения: по остальным
двум координатам характеристики жидкости не изменяются. Течение в
элементарной струйке является одномерным течением. В дальнейшем будут
рассматриваться только одномерные течения.
4.2. Уравнение неразрывности
После рассмотрения свойств жидкости, движение которой необходимо
изучить, наступила пора сформулировать законы движения ее.
Уравнение неразрывности является математической формой записи закона
сохранения массы. Выведем это уравнение для элементарной струйки в той
последовательности, которая была рассмотрена ранее, в п.1.2.
Выделим из потока жидкости контрольный объем в виде кусочка
элементарной струйки, которая ограничена сечениями 1 и 2 (рис. 4.1).
Рис. 4.1
За промежуток времени
t=1с в контрольный объем через входное сечение S
1
потоком будет внесен со скоростью u
1
объем жидкости
V
1
=u
1
S
1
, содержащий массу
m
1
=
1
V
1
=
1
u
1
S
1
. За этот же промежуток времени из контрольного объема через
сечение выхода S
2
потоком будет вынесена масса жидкости
m
2
=
2
V
2
=
2
u
2
S
2
.
Поскольку боковая поверхность элементарной струйки непроницаема, то масса
жидкости, внесенная в контрольный объем будет равна массе жидкости вынесенной
из контрольного объема за интервал времени
t=1с :
m
1
=
1
u
1
S
1
=
m
2
=
2
u
2
St. Та-
ким образом получили уравнение неразрывности
В.М. Чефанов
78
Основы гидравлики
1
u
1
S
1
=
2
u
2
S
2
, (4.1)
говорящее о том, что в установившемся течении масса жидкости, протекающая в
единицу времени через любое поперечное сечение элементарной струйки постоянна.
Этот закон сохранения массы можно записать и в такой форме:
uS= const. вдоль элементарной струйки. (4.2)
Величину G=
uS, кг/c - называют массовым расходом жидкости или газа.
Используя определение массового расхода, уравнение неразрывности (4.2) можно
записать в таком виде:
G=const. вдоль элементарной струйки. (4.2а)
Для потока конечных размеров, ограниченного твердыми стенками, который
состоит из множества элементарных струек с поперечным сечением dS, в общем
случае скорость и плотность жидкости в разных точках поперечного сечения канала
будут различными. Поэтому расход через любое поперечное сечение канала должен
быть вычислен как интеграл по площади поперечного сечения:
SS
dSudGG
.
Если рассматривается поток несжимаемой жидкости, которая, как уже
известно, имеет уравнение состояние
= const., то уравнение неразрывности (4.2)
можно переписать в такой форме:
uS =const.,
а уравнение расхода (4.2а)
Q=uS=const. вдоль элементарной струйки.
Величина Q=uS представляет собой объем жидкости, протекающий через
поперечное сечение в единицу времени, и называется объемным расходом, м
3
/c.
Для потока несжимаемой жидкости конечных размеров, в каждой точке
поперечного сечения скорость в общем случае будет иметь разные значения,
объемный расход должен быть вычислен как:
SS
dSudQQ
.
В.М. Чефанов
79
Основы гидравлики
Средняя скорость несжимаемой жидкости в поперечном сечении канала конечных
размеров можно вычислить, воспользовавшись теоремой о среднем:
S
Q
S
dSu
u
S
ср
.
В дальнейшем будем применять уравнения неразрывности (расхода) для
элементарной струйки, к потоку конечных размеров, полагая скорости в сечениях,
равными среднерасходным.
Для разветвленного потока (рис. 4.2) уравнение неразрывности (расхода) при
разделении потока Q=Q
o
+(Q-Q
o
) (рис.4.2а) и при слиянии потоков (Q-Q
o
)+Q
o
=Q
Рис.4.2
показывает, что расход жидкости, вытекающий из разветвления, равен расходу в
него поступающему.
Понятие живого сечения. В гидравлике для характеристики размеров и
формы поперечного сечения потока жидкости пользуются понятиями о живом
сечении и его элементах: смоченном периметре и гидравлическом радиусе.
Живым сечением потока называют часть поперечного сечения канала,
заполненную жидкостью.
Смоченным периметром называют ту часть периметра живого сечения, по которой
жидкость соприкасается со стенками канала.
Гидравлическим радиусом называют отношение живого сечения потока к
смоченному периметру. В частности, для круглой трубы, заполненной жидкостью,
гидравлический радиус равен четверти диаметра.
В.М. Чефанов
80