Чефанов В.М. Основы гидравлики: Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Основы гидравлики

3. ГИДРОСТАТИКА

3.1. Силы, действующие в жидкости

Из-за текучести в жидкости не могут действовать сосредоточенные силы, а

возможно лишь существование сил, непрерывно распределенных по массе (объему)

или по поверхности. Поэтому силы, действующие на рассматриваемый объем

жидкости и являющиеся по отношению к нему внешними, подразделяются на

массовые (объемные) и поверхностные.

Массовые силы пропорциональны массе жидкого тела, это такие силы,

которые действуют на каждую частицу жидкости, независимо от того, есть ли рядом

другие частицы. Примером массовой силы является сила, вычисляемая по второму

закону Ньютона, в том числе и сила тяжести.

Напряжением массовых сил называют отношение вектора массовой силы

G

действующей на рассматриваемую массу жидкости m:





 0

lim

, м/с

Поверхностные силы - это силы, обусловленные воздействием окружающей

среды на выделенный объем жидкости.

В общем случае поверхностная сила





, действующая на площадку S с

внешней нормалью



, раскладывается на нормальную P и тангенциальную

(касательную) T составляющие (рис.3.1).

Рис. 3.1

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

Поверхностная сила, приходящаяся на единицу площади, называется

поверхностным напряжением;









lim



, Па.

Напряжение также раскладывается на нормальную



и касательную



составляющие. Нормальное напряжение считается положительным, если оно

растягивает жидкость, т.е. имеет направление внешней нормали в рассматриваемой

точке поверхности жидкости. Нормальное напряжение, взятое с обратным знаком,

называют гидромеханическим (или в случае покоя жидкости гидростатическим)

давлением или, чаще всего, просто давлением:





 0

lim



Знак минус в формуле говорит о том, что давление сжимает жидкость. Если

давление p отсчитывается от нуля, то оно называется абсолютным. Существуют

приборы, позволяющие измерять величину абсолютного давления, однако они

громоздки и неудобны в пользовании. Поэтому на практике измеряют не

абсолютную величину давления, а разность двух давлений: искомого и

атмосферного (барометрического). Атмосферное давление измеряется барометром

того или иного типа. Если определяемая величина давления больше атмосферного,

то положительная величина разности давлений называется избыточным давлением,

которое измеряется различного типа манометрами и потому называется еще и

манометрическим. Если же измеряемая величина давления меньше атмосферного,

то избыточное давление является отрицательной величиной, и его абсолютное

значение называют вакуумметрическим давлением или вакуумом.

Если измеряемое давление больше атмосферного, то p

абс

атм

изб

=B+p; если

измеряемое давление меньше атмосферного, то p

абс

атм

p

вак

=Bp и p

вак

= p

изб

Буквой B часто обозначают барометрическое давление, а p – разницу между

абсолютным и атмосферным давлением.

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

В системе СИ единица измерения давления называется паскаль (Па). 1Па = 1

Н/м

В инженерной практике еще используются такие единицы измерения

давления:

1 техническая атмосфера, 1 ат=1 кгс/см

=9,8110

Па;

1 физическая атмосфера, 1 атм=1,01310

Па;

1 бар= 10

Па;

1 миллиметр ртутного столба – 1 мм рт.ст.=133,3 Па;

1 миллиметр водяного столба – 1 мм вод.ст.=9,81 Па.

3.2. Свойство гидростатического давления. Основной закон гидростатики.

В покоящейся жидкости выделим элементарный (очень малый) объем в виде

тетраэдра, грани которого обозначим S

, Sy, Sz, S

. Нижний индекс указывает,

какой оси координат перпендикулярна грань тетраэдра. Чтобы при выделении

объема состояние жидкости в нем не изменилось, действие на него окружающей

среды заменим соответствующими силами: поверхностными и массовыми. Пос-

кольку жидкость покоится, на грани тетраэдра действуют со стороны окружающей

среды только нормальные напряжения - давления (в соответствии с законом трения

Ньютона в покоящейся жидкости касательные напряжения равны нулю), а на массу

жидкости в объеме тетраэдра действует сила тяжести

VgG 



с напряжением



(рис.3.2).

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

Рис. 3.2

Таким образом, на грани тетраэдра действуют

давления p

, p

, создающие соответствующие

нормальные силы:

nnnzzzyyyxxx

SpPPpPSpPSpP  ;;;

Условие равновесия тетраэдра – результирующая всех

внешних сил, действующих на выделенный объем, равна

нулю – в проекции на ось x принимает следующий вид:

   

0,cos,cos  xgGxnSpSp

nnxx



Поскольку

       

,,cos

,cos,cos;

,cos;

xgzgyxxgVgxgGzySxnSzyS

xnx







то уравнение равновесия принимает вид:

   

0,cos

 xggzyxzyxpp



Сокращая на

yx



z и стягивая объем в точку (

0;0;0  zyx

), в

пределе получим:

pp 

. Записывая условия равновесия в проекциях на оси y и z,

получим, что и

nzny

pppp  ;

. Такое обстоятельство, что в любой точке покоящейся

жидкости

nzyx

pppp 

означает, что в этой точке давление не зависят от

направления, от ориентации элементарной площадки. Этот закон изотропии

давления в точках сплошной среды, находящейся в равновесии, был открыт в

середине XVII в. Б. Паскалем.

Выделим теперь в жидкости, покоящейся в поле силы тяжести элементарный

объем в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz так, что ребро

dz было бы параллельно ускорению свободного падения (рис.3.3).

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

Рис. 3.3

Запишем уравнения равновесия этого объема в

поле силы тяжести. На нижнюю грань выделенного

объема вдоль оси z действует давление p с силой



xy. На верхнюю грань действует давление

p 





с силой (

p 





)



xy, направленной

противоположно оси z. В этом же направлении

действует и сила тяжести G=



gxy



z. В направ-

лении осей x и y никаких сил, кроме сил давления не действует. Уравнения

равновесия в проекциях на оси координат будут такими:

;0





























 zyx

;0





























 zxy

0zyxgyxz

pp 

































После сокращений получим:

0;0;0 













Из полученных уравнений видим, что давление p изменяется только под

действием силы тяжести, действующей в нашем случае в направлении,

противоположном оси z. Поэтому частную производную



можно заменить

полной и условие равновесия единицы объема жидкости в поле силы тяжести

записать в виде основного уравнения гидростатики в дифференциальной форме :





или

gdzdp





. (3.1)

Из этих уравнений видно, что в поле силы тяжести с увеличением высоты

(расстояния от поверхности Земли) давление в жидкости уменьшается.

Проинтегрировать основное уравнение гидростатики можно, если известна

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

зависимость плотности от давления. Если жидкость несжимаема (



=const.), то

плотность не зависит от давления и давление будет равно после интегрирования:

p=-



gz+const.

Постоянную интегрирования нужно определять из граничных условий.

Пусть, например, жидкость находится в сосуде, и ее свободная поверхность

располагается на высоте z

(рис.3.4). На свободную поверхность действует давление

. Определить давление на высоте z в точке М. Уравнение равновесия для единицы

объема жидкости на свободной поверхности z=z

(Рис. 3.4): p

= -



+const. (3.2)

Для единицы объема жидкости на высоте z основное

уравнение гидростатики:

p= -



gz+ const (3.3).

или

const

z 



. (3.3а)

Из уравнения (3.2) находим const= p



и подстав-

ляем ее в уравнение (3.3): p=p



g(z

-z).

Если ввести переменную h=z-z

, которую назовем

Рис.3.4

глубиной погружения, то основной закон гидростатики для несжимаемой жидкости

будет выглядеть таким образом:

p= p



gh, (3.4)

которое можно прочитать так: давление в любой точке покоящейся жидкости

складывается из давления на свободную поверхность жидкости p

и веса столба

жидкости



gh, или избыточного давления. Когда давление на свободную

поверхность в открытых сосудах равно атмосферному, то говорят, что абсолютное

давление равно сумме барометрического и манометрического давлений

(атмосферное давление измеряют барометром, а избыточное давление –

манометром). Если абсолютное давление ниже атмосферного, то разность между

ним и атмосферным называют вакуумметрическим давлением или вакуумом.

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

Таким образом, различают следующие виды давления: атмосферное

(барометрическое), абсолютное, манометрическое и вакууммерическое.

Барометрическое В (атмосферное p

) давление зависит от высоты места над уровнем

Мирового океана и от погоды. За нормальное барометрическое давление принимают

давление, равное 760 мм рт.ст., что соответствует p

=101 325 н/м

. На уровне

океана атмосферное давление наблюдалось в пределах от 90 000 н/м

до 110l000 н/

Давление, вычисляемое по формуле (3.4), называют абсолютным. Когда

давление на свободную поверхность равно атмосферному, т.е. p

, то основное

уравнение гидростатики перепишется так:

p = p

+ρgh ≡ p

≡ p

+∆p.

Таким образом, манометрическим давлением называют разность между

абсолютным давлением p и атмосферным p

,если p>p

Когда в жидкости давление меньше атмосферного, то разность между

атмосферным и абсолютным давлением называется вакуумметрическим давлением:

вак

= p

- p.

В этом случае абсолютное давление в жидкости вычисляется как:

p=p

- ρgh≡p

- p

вак

≡p

- Δp.

Следствия:

1. с увеличением глубины погружения давление возрастает по линейному

закону и тем быстрее, чем больше плотность жидкости;

2. на сколько изменилось давление на свободной поверхности, на столько

оно изменится в любой точке жидкости.

Так как точка М в жидкости взята произвольно, то в соответствии с уравне-

нием гидростатики в форме (3.3а) можно утверждать, что для всего рассматрива-

емого неподвижного объема жидкости z+p/(ρg)=const. Координата z называется

геометрической высотой. Величина p/(ρg) имеет линейную размерность и

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

называется пьезометрической высотой. Сумма z+p/(ρg)=H называется

гидростатическим напором. Таким образом, гидростатический напор есть величина

постоянная для всего объема неподвижной жидкости.

Рис.3.5

Перепишем уравнение (3.3а) в такой форме при-

менительной к рис.3.5.





и отнимем от обех частей уравнения величину



Получим основной закон гидростатики в таком

виде











который можно переписать в такой форме:

èçáèçá





. (3.3б)

Величину

èçá





называют пьезометрическим напором, а произвольную

горизонтальную плоскость, относительно которой записывают уравнения (3.3),

(3.3а), (3.3б), - плоскостью сравнения (нивелирной плоскостью).

Согласно уравнениям (3.3а) и (3.3б) гидростатический H и пьезометрический

напоры являются постоянными для всех точек покоящейся жидкости

относительно произвольно выбранной плоскости сравнения. Поэтому уровни

жидкости в стеклянных трубках, подсоединенных к разным точкам

рассматриваемого объема жидкости, установятся в одной горизонтальной плоскости

П - П, называемой пьезометрической.

3.2.1. Приборы для измерения давления

Для измерения барометрического давления применяются

барометры различных конструкций. Манометрическое

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

давление можно измерять высотой столба жидкости (рис.3.6).

Сосуд А наполнен жидкостью с плотностью ρ. Давление на

свободной поверхности р

> p

. Допустим, что требуется

измерить давление на уровне 1—1. Если на этом уровне

сделать отверстие и присоединить к нему стеклянную трубку

П, то жидкость в этой трубке подни-мется под действием

давления на некоторую высоту h. По основному уравнению

гидростатики (3.4) для точек на уровне 1 - 1 (ведя отсчет от

свободной поверхности жидкости в трубке П) абсолютное

давление равно p=p

+ρgh.

Рис.3.6

Отсюда







. А так как p - p

ман

≡Δp, то





. Этой высотой h поднятия

жидкости в трубке П можно измерять манометрическое давление Трубка П

называется пьезометром (по-гречески «пьезо» - давлю).

Вычислим давление в н/м

, соответствующее 1 м вод.ст. и 1 м.рт.ст.

При высоте водяного столба h = 1 м давление р

ман

= pgh = = 1000∙9,81∙1 = 9810 н/м

При высоте ртутного столба h = 1 мм давление р

ман

= pgh = 13600∙9,81∙0,001 =

133,416 н/м

Для измерения вакуумметрического давления применяется вакуумметр

(рис.3.7). Допустим, что требуется определить вакуумметрическое давление воздуха

в сосуде S, т. е. величину р

- р, где р — абсолютное давление в этом сосуде.

Присоединяем к сосуду изогнутую трубку Т, опущенную в жидкость. Применяя

основное уравнение гидростатики для точки, расположенной в трубке Т на уровне

свободной поверхности жидкости в резервуаре, получаем

âàêa

ghpp





Отсюда

âàê







а так как

В.М. Чефанов

Основы гидравлики

Рис.3.7

âàêa

ppp 

то

âàê





Таким образом, вакуумметрическому давлению будет соответствовать высота

подъема h

вак

жидкости в изогнутой трубке над уровнем в резервуаре.

Для измерения вакуумметрического давления применяются также приборы,

действие которых подобно действию манометров.

Прибор, предназначенный для измерения как манометрического, так и

вакуумметрического давления, называется мановакуумметром.

Пружинные манометры (с пружиной

Бурдона) состоят из трубчатой пружины

овального сечения, разгибающейся под

влиянием испытываемого дав-ления.

Трубчатая пружина Бурдона,

воспринимаю-щая давление, впаяна

одним концом 1 в держатель. В другой

конец впаяна трубка 2, соединяющая

трубку с поводком 3. Поводок передает

движение пружины зубчатому сектору 4,

сцепленному с шес-терней 5, насаженной

на оси указательной стрелки. Шестерня

может поворачиваться на угол до 270°.

Благодаря своей прочности и возможности измерения очень больших

давлений (от 0,25 до 5 000 кГ[см

) и использования в любых условиях пружинные

манометры получили очень широкое распространение. Этот тип манометра был

изобретен в 1848 г. французским ученым Э.Бурдоном.

В.М. Чефанов