Чефанов В.М. Основы гидравлики: Учебное пособие
Подождите немного. Документ загружается.
Основы гидравлики
dtRSpSpdtuuG
221112
.
Разрешая уравнение относительно силы, действующей со стороны боковых стенок
на выделенный объем, получим уравнение движения для элементарной струйки в
такой форме:
111222
SpuGSpuGR
. (4.8)
Введем величину
SpuG
- полный поток импульса и перепишем
уравнение движения (4.8) с его помощью:
12
R
(4.9)
Уравнение движения в полных импульсах гласит: сила, действующая на
боковую поверхность выделенного объема жидкости, равна разности полных
потоков импульса, выносимых и вносимых в выделенный объем (контрольный
объем).
В выражении для полного импульса составляющая его Gu называется
динамической составляющей полного импульса, а pS - статической составляющей
полного импульса.
4.7. Уравнение момента количества движения
Уравнение моментов количества движения не является самостоятельным
уравнением механики, а следствием из уравнения количества движения. Мы его
получим, используя теорему теоретической механики: скорость изменения
момента количества движения тела равна моменту внешних сил, действующих на
тело
M
dt
dM
кд
, (4.10)
где
uкд
mrcM
- момент количества движения тела массой m, центр массы которого
находится на расстоянии r от оси вращения; c
u
– окружная (тангенциальная)
составляющая скорости вращения центра массы тела. Для применения этой теоремы
выделим, как и ранее, жидкий объем в виде кусочка элементарной струйки 1 -.2,
В.М. Чефанов
101
Основы гидравлики
вращающейся вокруг оси 0 – 0 (рис. 4.11): жидкость движется вдоль оси потока и
одновременно вращается вокруг неподвижной оси О - О с угловой скоростью .
Рис. 4.11
В начальный момент
времени t
1
жидкий объем занимает положение 1 – 2 и обладает моментом
количества движения M
кд1
,который представляется суммой:
21111
кдкдкд
MMM
.
В момент времени t
2
жидкий объем перемещается в положение
21
, и обладает
моментом количества движения, который также можно представить в виде суммы
моментов количества движения:
21222
кдкдкд
MMM
.
Так как рассматривается установившееся течение жидкости, то на участке
потока
21
параметры потока за промежуток времени t не именились, а потому
.
21
constM
кд
и изменение момента количества движения будет равно:
11221
2
кдкдкдкдкд
MMMMM
.
Момент количества движения жидкости в объеме между сечениями
11
равен:
uuкд
crtGcrmM
111111
, а между сечениями
22
-
uuкд
crtGcrmM
1222222
. Поэтому изменение момента количества движения за
интервал времени t будет равно:
uuкд
crcrtGM
2122
.
Скорость изменения момента количества движения:
uu
кд
t
кд
crcrG
t
M
dt
dM
1122
0
lim
.
Подставляя это выражение в уравнение (4.10) получим уравнение момента
количества движения:
uu
crcrGM
1122
,
В.М. Чефанов
102
Основы гидравлики
которое словесно можно сформулировать так – момент внешних сил, приложенный
к контрольному объему, изменяет поток момента количества движения,
проносимый жидкостью через контрольный объем (потоком какого-то свойства
жидкости называют количество этого свойства, проносимое в единицу времени
через рассматриваемое сечение – «расход» свойства).
К внешним силам, действующим на жидкость во вращающемся канале,
относятся силы, с которыми стенки канала действуют на жидкость – силы давления
и силы трения.
Вопросы для самопроверки.
1. Вычислить, чему равна работа силы, нормальная к перемещению. Что
делает сила, нормальная к перемещению тела, к которому она приложена?
2. Используя уравнение Бернулли показать, как изменяется давление в
диффузоре (конфузоре).
3. Показать уменьшение коэффициента местных потерь при увеличении
числа Рейнольдса.
4. Использовать уравнение движения в полных импульсах для того, чтобы
узнать, как изменяется поток полного импульса в диффузоре(конфузоре).
5. Записать уравнение движения в полных импульсах для канала с
криволинейной осью симметрии (первое сечение составляет угол
1,
,а второе -
2
с
горизонтальной осью x)
6. От чего зависит величина гидравлических потерь при течении жидкости
в трубе при одной и той же скорости.
В.М. Чефанов
103
Основы гидравлики
5. Примеры решения задач гидравлики
В предыдущих разделах были рассмотрены основные физические
характеристики движущейся жидкости, выведены уравнения законов сохранения,
которым подчиняется движение жидкости, указана методика решения задач
гидравлики. Проиллюстрируем эту методику на некоторых примерах.
5.1. Ламинарное течение в круглых трубах
Будем рассматривать равномерное движение несжимаемой ньютоновской
жидкости в цилиндрической трубе. Целью изучения является нахождение
закономерностей распределения скорости по поперечному сечению канала,
распределения давления по длине трубы, определение расхода и других
характеристик движения, которые необходимы для пользования уравнениями
законов сохранения.
Сначала рассмотрим, при каких условиях можно получить равномерное
движение жидкости. Предположим, что жидкость поступает в трубу с однородным
профилем скорости. Под действием вязкости происходит перераспределение
скорости по поперечному сечению вдоль трубы. Слои жидкости у стенки
тормозятся, а центральная часть потока движется ускоренно. Толщина слоев
приторможенной жидкости постепенно увеличивается, пока не станет равной
радиусу трубы (рис.5.1).
Рис. 5.1 Схема течения на начальном
участке и зависимости поправочного
коэффициента к и коэффициента
В.М. Чефанов
104
Основы гидравлики
Кориолиса
Участок трубы, на котором происходит нарастание слоев заторможенной
жидкости, называется начальным участком течения. За пределами этого участка
течение имеет постоянный профиль скорости. Длина начального участка для
ламинарного течения, как уже упоминалось ранее, может быть определена по
формуле Шиллера: l/d = 0,03 Re. Сопротивление начального участка трубы больше,
чем на последующих участках стабилизированного течения, так как больше
поперечные градиенты скорости du/dy. Потери давления на участке трубы, длина
которого l<l
нач
, необходимо определять с поправочным коэффициентом к, большим
единицы, коэффициент Кориолиса же меньше, чем на участке стабилизированного
течении (рис.5.2). Будем рассматривать ламинарное течение на основном участке
трубы – после начального участка (рис. 5.2).
1 2
Рис.5.2 Расчетная схема
Выделяем контрольный объем длиной l и диаметром, равным диаметру трубы
d. На рассматриваемом участке выделим цилиндрический объем радиуса r с
основаниями в выбранных сечениях 1 – 2. Для выбранного участка запишем
уравнение движения в полных импульсах (4.8):
111222
SpuGSpuGR
.
На поверхности выделенного элементарного объема действуют нормальные и
касательные напряжения: давление p и вязкие напряжения
. Сила давления,
действующая на боковую поверхность в проекции на ось трубы равна нулю;
В.М. Чефанов
105
Основы гидравлики
параллельно оси, следовательно, действует только сила трения, направленная
против потока и равная
Rrl
2
.
Граничные и начальные условия: так как канал цилиндрический и движение
жидкости равномерное, то, в соответствии с уравнением неразрывности, u
2
=u
1
,
S
2
=S=
r
2
. Подставляя эти условия и выражение для силы, действующей на боковую
поверхность в уравнение движения, получаем:
2
12
2 rpprl
.
Получившееся уравнение является условием равномерного движения:
результирующая всех внешних сил, действующих на тело в направлении движения
равна нулю (сила тяжести нормальна к направлению движения и поэтому не
изменяет количество движения жидкости). Из этого уравнения находим выражение
для касательных напряжений:
l
r
pp
2
21
, (5.1)
из которого видно, что вязкие напряжения распределены по сечению канала (по
радиусу) линейно – максимальное значение вязкое напряжение имеет на стенке
трубы (
w
max
). Для нахождения распределения скорости по сечению трубы
необходимо привлечь к рассмотрению природу вязких напряжений, их связь с
распределением скоростей. При изучении характеристик жидкости нами был
рассмотрен закон трения Ньютона. В рассматриваемом случае он может быть
записан в следующем виде:
dr
du
.
Знак минус стоит потому, что радиус отсчитывается от оси, а не от стенки, на
которой скорость жидкости равна нулю (в соответствии с гипотезой сплошности
жидкости). Подставляем уравнение Ньютона в уравнение движения (5.1) и после
разделения переменных имеем:
rdr
l
pp
du
2
21
.
В.М. Чефанов
106
Основы гидравлики
Интегрирование позволяет получить выражение для скорости:
Cr
l
pp
u
2
21
4
,
в котором постоянную интегрирования C находим из граничных условий. На стенке
трубы r=r
0
; u=0, откуда следует, что
2
0
21
4
r
l
pp
Ñ
. После подстановки выражения
для постоянной интегрирования будем иметь параболическое распределение
скорости по радиусу трубы, определяемые законом распределения вязких
напряжений:
2
2
0
21
4
rr
l
pp
u
. (5.2)
Из формулы (5.2) можно узнать, что максимальное значение скорости
жидкость имеет на оси трубы:
2
0
21
4
r
l
pp
u
m
.
С использованием выражения для максимальной скорости формула (5.2)
принимает такой вид:
2
0
2
1
r
r
uu
m
. (5.2а)
С прикладной точки зрения распределение скорости необходимо для,
определения объемного расхода. С этой целью все поперечное сечение трубы
разобьем на множество элементарных площадок dS в пределах каждой из них
скорость жидкости можно полагать постоянной, Тогда элементарный объемный
расход dQ через площадку dS будет равен dQ=udS, а полный расход будет равен
сумме элементарных расходов, которую можно записать в виде интеграла по
площади:
S
dSuQ
.
Вычислить этот интеграл можно, используя формулу (5.2а) и выражение для
элементарной площадки dS. Для последнего воспользуемся следующим
В.М. Чефанов
107
Основы гидравлики
соображением: элементарная площадка должна вычисляться на любом текущем
значении радиуса r, поэтому эта площадка должна представлять элементарное
кольцо (рис.5.2) площадью dS=2
rdr.
Тогда расход в любом сечении основного участка трубы может быть вычислен
так:
4
0
21
2
0
0
2
0
2
82
12 r
l
pp
r
u
dr
r
r
uudSQ
m
R
m
S
. (5.3)
Формула (5.3) примечательна тем, что показывает очень сильную зависимость
расхода от радиуса трубы - в четвертой степени. С точки зрения практики,
небольшие отложения на стенках трубы приводят к значительному уменьшению
расхода при одном и том же перепаде давления на трубе (разнице давления p
1
-p
2
).
Среднерасходная или средняя скорость определяется как отношение расхода к
площади поперечного сечения трубы:
28
2
0
21
m
ñð
u
r
l
pp
S
Q
u
. (5.4)
Для вычисления гидравлических потерь (путевых потерь) по длине трубы
запишем уравнение Бернулли (4.4) для расчетного участка:
r
p
u
pgz
u
pgz
22
2
2
222
2
1
111
.
Граничное условия z
1
=z
2
; равенство среднерасходных скоростей в граничных
сечениях преобразовывают это уравнение к искомой формуле для путевых потерь
давления:
21
pppp
пr
. (5.5)
Формула (5.5) говорит, что из-за гидравлических (в данном случае путевых)
потерь давление вдоль трубы уменьшается. Для заданной средней скорости,
вязкости, геометрии трубы (l, r
0
) путевые потери как вычисляются так:
QKQ
d
l
Q
r
l
r
lu
ppp
ï
4
4
0
2
0
21
12888
.
В.М. Чефанов
108
Основы гидравлики
Видно, что в ламинарном потоке потери давления пропорциональны расходу в
первой степени. Коэффициент K называют сопртивлением трубопровода.
С другой стороны, в практике принято вычислять путевые потери по формуле
Дарси (см. (4.5)). Приравнивая эти два выражения для путевых потерь и разрешая
получившееся уравнение относительно коэффициента путевых потерь, получим:
Re
6464
ud
.
Таким образом, при ламинарном течении коэффициент путевых потерь
обратно пропорционален числу Рейнольдса и не зависит от шероховатости
омываемой поверхности.
Можно вычислить и коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность
распределения кинетической энергии по сечению трубы:
2
2
2
2
2
2
Su
u
rdru
u
ср
ср
R
r
. (5.6)
Вопросы
1. Почему касательные напряжения максимальны на стенке трубы. Написать
формулу для
w
.
2. Откуда видно, что скорость максимальна на оси трубы?
3. Показать, что значение коэффициента Кориолиса в выражении (5.6)
действительно равно двум.
4. Как изменится величина путевых потерь давления при увеличении числа Re?
5.2. Коэффициент местных потерь при внезапном расширении
канала
Внезапное расширение трубопровода от диаметра d
1
до диаметра d
2
очень
часто встречается на практике (рис. 5.3). Для определения местных потерь при
внезапном расширении вначале рассмотрим структуру потока, знание которой
В.М. Чефанов
109
Основы гидравлики
необходимо для выбора контрольного объема и выработки граничных условий на
границах его.
Как показывают наблюдения, поток, выходящий из трубы малого диаметра, не
сразу заполняет все поперечное сечение большой трубы; жидкость сама создает себе
постепенно расширяющийся на длине l жидкий контур, в котором происходит
изменение скорости и давления. В кольцевом пространстве между струей (жидким
контуром) и стенками трубы жидкость находится в вихревом движении: жидкость
из этой зоны вовлекается в центральную струю вязкими силами; с другой стороны,
жидкость из центральной зоны попадает в вихревую зону. На образование и
поддержание вихрей и обратных токов затрачивается энергия, которой обладает
жидкость.
u
1
u
2
Рис. 5.3 Схема течения при внезапном расширении канала:
1 - протекающий поток жидкости; 2 - вихревые области
Расположим контрольную поверхность следующим образом. Контрольную
поверхность 1 расположим сразу за малой трубой. Будем полагать, что в этом
сечении все параметры потока соответствуют площади S
1
, но давление p
1
действует
на всю торцевую площадь, равную S
2
. Сечение 2 выберем там, где контур струи
расширяется до стенок трубы. Для выбранного контрольного объема запишем
уравнения законов сохранения:
2211
SuSu
- уравнение неразрывности (а);
r
p
u
pgz
u
pgz
22
2
2
2
22
2
1
111
- уравнение Бернулли (б);
211222
SpGuSpGuR
- уравнение движения в полных импульсах (в).
В.М. Чефанов
110