Бугров В.Г. Электромеханические переходные процессы в системах электроснабжения

Подождите немного. Документ загружается.

Рис.4.3. Схема замещения электрической системы с узловой точкой.

Из анализа множества изменяющихся параметров режима следует,

что существенной независимой переменной, определяющей состояние всех

элементов системы, является напряжение в узловой точке U

= var (пере-

менная δ в данном случае не существенна, т.к. она не определяет состояние

нагрузки).

Избыточная энергия системы, возникающая из-за возмущающих

воздействий, проявляется как изменение баланса реактивной мощности уз-

ла

ΔQ = Q

г рез

– Q

, (4.4)

где Q

г рез

= Σ Q

г i

– суммарная генерируемая реактивная мощность в

узле.

Взаимосвязь этих существенных переменных в установившемся ре-

жиме определяется уравнением:

(

)

()

(

)

Uxx

крезГрезГ

qээ

P /2^2^

++=

∑

ГiрезГ

;

EЕ

резГГi

qiqээ

∑

;

∑

Гi

Практический критерий статической устойчивости такой системы

имеет вид:

D(Q

г.рез

-Q

)/ dU

<0.

Он характеризует реакцию системы на изменение напряжения в узле.

Появление небаланса реактивной мощности в узле рассматривается как

малое возмущение, под действием которого изменяется напряжение.

Исследование системы уравнений по этому критерию заключается в

анализе по переменной U

уравнений установившегося режима:

(

)

хх

резгрезк

qээ

резГ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+−= (4.5)

(

)

(4.6)

Систему уравнений решают аналитически или графически в зависи-

мости от способов задания статической характеристики нагрузки. Решение

соответствует следующим критическим значениям существенных пара-

метров режима: U

к.кр

и d∆Q/dU

=0 (рис. 4.4). На основе результатов вычис-

лений строят кривую небаланса реактивной мощности ∆Q(U

), на которой

выявляют экстремальную точку критического напряжения.

к.кр.

Коэффициент запаса статической устойчивости определяют через по-

казатели установившегося и предельного режимов:

зап.u

=(U

-U

к.кр

)100/U

Питание асинхронной нагрузки от мощной ЭЭС. Предполагается, что

последняя обладает бесконечной мощностью и имеет узловую точку неиз-

менного напряжения. В этом случае действие возмущений влияет только

на баланс активной мощности в точке включения нагрузки, Нарушение ко-

торого можно оценить по критерию

d(P

мех

-P)/ds<0,

где Р – электромагнитная мощность асинхронной нагрузки, Р

мех

–

мощность, определяемая моментом сопротивления рабочего механизма.

При Р

мех

(s)=const получаем:

dP/ds>0.

∆Q

d/dU

*∆Q>0 d/dU

∆Q<0

=F(U

)

2Σ

)

d/dU

*∆Q=0

∆

Рис.4.4. Графическое решение системы уравнений (4.4;4.5;4.6.)

Система электроснабжения с эквивалентным источником, питаю-

щим комплексную нагрузку соизмеримой мощности.

В точке включения

нагрузки состояние равновесия характеризуется изменяющимися парамет-

рами режима U,Р

(U), Q

(U). В данном случае существенной пере-

менной является напряжение в узле подключения нагрузки, которое отра-

жает состояние всех элементов системы. Изменение всех переменных па-

раметров режима можно зафиксировать по показателям режима Е

эк

и Q

эк

по которым судят об избыточной энергии системы при возмущении.

Графический анализ зависимости

()

(

)()

rР

эк

экнэк

/2^2^

−+++=

с утяжелением режима по переменной U показывает, что она имеет

минимум при dЕ

эк

/dU>0 с координатами, соответствующими предельному

режиму Е

эк min

, U

кр

(рис. 4.5.)

Критерий статической устойчивости в данном случае имеет вид

Рис. 4.5. Схема замещения СЭС комплексной нагрузкой (а) и зависимо-

сти её существенных переменных (б,в)

эк

dЕ

эк

/dU<0

b a

эк

(U)

dЕ

эк

/dU>0

dЕ

эк

/dU<0

dЕ

эк

/dU(U)

кр

эк min

эк0

эк

(U)

эк

/dЕ

эк

= -∞

эк.кр

эк

+jx

эк

(U)

=const

эк

/dЕ

эк

dE/dU>0 ( критерий устойчивости Жданова).

4.2. Исследование статической устойчивости

методом малых колебаний.

В отличие от оценки статической устойчивости по практическим кри-

териям суть этого метода заключается в исследовании уравнений движе-

ния, записанных в виде уравнений малых отклонений.

При установлении простейших условий статической устойчивости

(практических критериев) ответ получается только в форме «да - нет»,

«уйдёт – не уйдёт» режим изначального состояния при малом возмущении

системы

. При установлении критериев устойчивости, основанных на ис-

следовании уравнений движения – уравнений малых колебаний (малых от-

клонений), физическая природа происходящих явлений выясняется более

полно: устанавливается в любом случае (устойчивость, неустойчивость)

характер движения (апериодическое, колебательное – затухающее или на-

растающее).

Электрическая система при изучении переходных процессов описыва-

ется системой нелинейных дифференциальных уравнений вида

Σ(А

/dt

)=F

(t).

Коэффициенты А, В и С – действительные. Они определяются пара-

метрами системы и нелинейными функциями Ф(х

) от переменных Х

, ха-

рактеризующих состояние системы в каждый момент времени; F

– внеш-

ние (возмущающие) силы, переменные во времени, отражающие измене-

ние внешних условий системы.

При F

(t)=F

система имеет решение

(t)=x

;

/dt=0;

/dt

=0;

ΣC

Это решение соответствует состоянию равновесия, т.е. определяет па-

раметры установившегося режима электрической системы. При изучении

статической устойчивости рассматриваются переходные процессы при ус-

ловии малости отклонения всех переменных и внешних сил от состояния

равновесия. Математически это условие записывается так:

(t) – F

(t);

(t) – x

=∆x

;

/dt=d∆x

/dt;

/dt

∆x

/dt

Нелинейные функции Ф(x

), входящие в коэффициенты исходной сис-

темы уравнений, линеаризуется в точке, соответствующей состоянию рав-

новесия. Эта процедура заключается в разложении нелинейной функции в

ряд Тейлора, оставляет только линейные члены этого ряда.

Приведя линеаризацию по первому приближению, перейдём от сис-

темы нелинейных дифференциальных уравнений к системе линеаризован-

ной – линейной. Решение таких систем

уравнений с помощью так назы-

ваемого

характеристического уравнения известно из математики.

Будем далее пользоваться им, изучая процессы при действии внешних

сил, меняющихся во времени:

Σ(а

/dt

/dt+c

∆x

)=f

(t).

Коэффициенты a,b,c включают в себя частные производные

(ðФ/ðх

ixi0

), взятые в точке исходного режима.

С помощью линеаризованных уравнений изучаются переходные про-

цессы:

- вынужденные, при действии внешней – возмущающей силы;

- свободные, после возникновения начальных отклонений и исчезно-

вения внешней силы, вызвавшей эти отклонения.

В первом случае при f

(t)≠0 ротор под действием заданной, например

малой синусоидальной возмущающей, постоянно действующей силы со-

вершает малые колебания.

Во втором случае ротор генератора, получивший под действием ка-

кой-то (не фиксированной) внешней (возмущающей) силы отклонение от

положения равновесия, т.е. от угла δ

на ∆δ, будучи предоставлен дейст-

вию только внутренних сил, будет совершать те или иные движения, «воз-

вращаясь» или «уходя» от положения равновесия δ

. При заданной внеш-

ней возмущающей силе f

(t) ≠0 условия статической устойчивости отлича-

ются от условий динамической устойчивости малостью, которая настолько

мала, что процесс практически

не зависит от её значения и места прило-

жения

(t). Это обстоятельство отражено в решении линеаризованного

уравнения,

из характеристического уравнения которого влияние значения

возмущения и места приложения его,

реально существующие, - в силу

сделанных допущений

исчезли.

Оценка устойчивости нелинейной системы возможна по виду корней

линеаризованных уравнений. Это было обосновано известным русским ма-

тематиком А.М. Ляпуновым. Им был предложен (1893) так называемый

метод первого приближения, предназначенный для обоснованного иссле-

дования тех линейных (линеаризованных) уравнений движения системы,

которые получаются после разложения в ряд линейной функции, Находя-

щейся в правой

части исходного уравнения. Для теоремы Ляпунова дали

строгое обоснование уравнений первого приближения.

Теорема 1 утверждает, что при характеристическом уравнении перво-

го приближения, имеющем корни только с отрицательными вещественны-

ми частями, невозмущённое движение устойчиво, и при том асимптотиче-

ски, каковы бы ни были нелинейные функции в правой части исходного

уравнения.

Теорема 2 утверждает, что если в числе корней характеристического

уравнения первого приближения имеются корни, вещественные части ко-

торых положительны, то невозмущённое движение неустойчиво, каковы

бы ни были нелинейные функции в правой части исходного уравнения.

Случай, когда характеристическое уравнение не имеет корней с поло-

жительной вещественной частью, но имеет хотя бы один корень с

нулевой

вещественной частью, является особым случаем.

В особых случаях по кор-

ням характеристического уравнения линеаризованной системы нельзя сде-

лать заключение об устойчивости исходной системы. Для получения тако-

го заключения необходимы дополнительные исследования вида нелиней-

ной функции.

4.2.1. Нерегулируемая система, рассмотренная без учёта электро-

магнитных переходных процессов.

Частный случай, когда в системе предполагается отсутствие регули-

рования возбуждения и не учитываются переходные процессы, представ-

ляется интерес для выяснения влияния этих факторов на предел переда-

ваемой мощности. Частный случай позволяет также выявить зависимость

характера процесса от начального режима.

Пусть система представлена схемой на

рис.4.6,а. Учтём демпферный

момент упрощённо, введя в уравнение движения член, пропорциональный

производной угла с постоянным коэффициентом P

В этой идеализации переходные процессы в электрической системе

будут описываться одним нелинейным дифференциальным уравнением

второго порядка

δ+P

- Р

эл.

Здесь P

=Р

sinδ

– мощность турбины, определяющая исходный

установившийся режим электрической системы (Р

) (рис. 4.4.), статиче-

ская устойчивость которого подлежит проверке; Р

эл

= Р

sinδ – электромаг-

нитная мощность синхронного генератора, являющаяся нелинейной функ-

цией одной переменной – угла δ.

Раскладывая Р

sinδ – в ряд Тейлора по малой величине ∆δ в окрестно-

сти δ

(т.е. полагая δ= δ

+∆δ ) и оставляя только два (нулевой и линейный)

члена разложения или, что то же самое, заменяя участок синусоиды в ок-

рестности δ

касательной, получим

∆δ+P

p∆δ= Р

sinδ

- Р

sinδ

- dР

Эл

/dδ) ∆δ. (4.7)

Введя обозначение с

=d Р

эл

/dδ=(E

U/x

dΣ

) cosδ

, получим линеаризо-

ванное по

первому приближению дифференциальное уравнение

∆δ+P

p∆δ+с

∆δ=0 (4.8)

Величина с

(которую иногда называют синхронизирующей мощно-

стью) зависит от исходного режима и становится равной нулю в режиме,

соответствующем Р

(δ

=90°).Уравнение (4.7) имеет решение

∆δ=А

p1t

p2t

Характеристическое уравнение для (4.8)

+ с

)

Е U

)

Tgε=c

=dP/dδ

∆P=c

∆δ

эл

=φ(δ)

=dP/dδ

∆δ

+∆δ

+∆P

Рис. 4.6. Основные соотношения при малых колебаниях простейшей системы:

а – схема; б – характеристика.

имеет два корня:

где

)/(

αγ

−=

- собственная частота колебаний ротора синхронной

машины,

)2(

−=

– декремент затухания.

При с

>0 система всегда будет устойчива. При с

/Т

<α

оба корня бу-

дут действительные отрицательные, процесс будет устойчивым, угол на-

грузки изменяется по экспоненциальному закону. При с

/Т

> α

оба корня

будут комплексными с отрицательными вещественными частями, процесс

будет устойчивым, характер процесса колебательный.

При с

<0 соотношение между с

/Т

и α не влияет на характер процесса.

Один корень всегда будет положительным, а другой отрицательным. Про-

цесс будет неустойчивый, угол нагрузки изменяется по экспоненциально-

му закону.. При с

=0 появляется один нулевой корень и один корень, рав-

ный –Р

/Т

. Наличие нулевого корня указывает, что для выяснения дейст-

вительного поведения системы нужно или провести дополнительные ис-

следования с учётом уточняющих факторов, или считать, что практически

система может получить некоторый единичный толчок, который приведёт

к нарушению устойчивости.

Рассмотрим устойчивость

без учёта электромагнитных переходных

процессов в контурах ротора и без учёта демпферного момента

(Р

=0).

Это частный случай, соответствующий исследованию простейшей системы

как консервативной, приводит к характеристическому уравнению

+ с

=0, которое имеет два корня:

и всякое возмущение в системе будет приводить к незатухающим колеба-

ниям с собственной частотой, если с

>0 и оба корня мнимые.

Самораскачивание и самовозбуждение. Проведенное исследование

статической устойчивости было недостаточно полным, так как в нем не

рассматривались нарушения устойчивости, имеющие характер самораска-

чивания и самовозбуждения. Такие нарушения могут наступать при нали-

чии в сети, связывающей исследуемую станцию (эквивалентный генера-

(

)

2,1

±=

(

)

()

{}

(

)

2,1

αγ

+±=−+−−±=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−±−=

PTP

Тc

TPP

jdd

тор) с системой (в частности с шинами бесконечной мощности), или за-

метного активного сопротивления (r/x>0,05), или значительной емкости (-

).В первом случае возникают установившиеся или нарастающие колеба-

ния -

самораскачивание, во втором происходит самопроизвольный рост

тока и напряжения генераторов, потребляющих емкостную реактивную

мощность, -

самовозбуждение.

4.2.2. Математические критерии устойчивости

Об устойчивости нелинейной системы судят по затуханию переход-

ного процесса, наличие которого устанавливают по виду корней характе-

ристического уравнения системы:

n-1

n-2

+…+a

n-1

p +a

=0.

Для устойчивости необходимо и достаточно чтобы корни характери-

стического уравнения имели отрицательные вещественные

части.

Наличие у корней отрицательной вещественной части можно устано-

вить прямым решением уравнений не выше четвертого порядка. При ана-

лизе уравнений более высоких порядков используют математические кри-

терии устойчивости, которые не требуют нахождения значений корней ха-

рактеристического уравнения.

Применяемые математические критерии устойчивости делятся на

ал-

гебраические

(Гурвица, Льенара –Шипара, Рауса) и частотные (Михайло-

ва, Найквиста, логарифмический). Используется также метод D - разбие-

ния. При этом выполняется анализ взаимосвязей отрицательного знака ве-

щественной части корней характеристического уравнения с его коэффици-

ентами a

(i=0,n). Необходимым, но недостаточным признаком устойчиво-

сти невозмущенного движения является наличие одинакового знака у ко-

эффициентов характеристического уравнения. Этот необходимый признак

устойчивости является достаточным для уравнений первого и второго по-

рядка.

5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ДИНАМИЧЕСКОЙ

УСТОЙЧИВОСТИ

Задачами анализа динамической устойчивости СЭС являются оценка

характера переходного процесса при сильных возмущениях, установление

критических параметров при изменении режима, а также расчет сущест-

венных параметров режима при переходе из одного состояния в другое.

Для решения этих задач используются приближенные методы, поскольку

точная оценка динамической устойчивости при учете всех переходных

процессов и изменений в СЭС, связанных с сильными возмущениями,

весьма сложна.

Приближенные методы анализа динамической устойчивости СЭС ос-

новываются на ряде допущений:

мгновенное изменение электрической мощности при смене режимов;

незначительное отклонение частоты вращения роторов генераторов от

синхронной;

3) неизменность вращающего момента первичных двигателей;

ограниченный интервал времени протекания переходного процесса;

сохранение симметрии трёхфазной системы источников при её наруше-

нии в электрической сети;

6) учёт только основных нелинейных характеристик и др.

Уровень принимаемых допущений должен соответствовать конечной

цели решаемой задачи. С этой точки зрения приближённые методы можно

разделить на

упрощённые и уточнённые, отличающиеся уровнем прини-

маемых допущений.

Уточнённые методы учитывают ряд факторов, не принимаемых во

внимание в упрощённых методах, но оказывающих существенное влияние

на переходный процесс:

⎯ автоматическое возбуждение, изменяющего ЭДС генераторов и, следо-

вательно, их электромагнитный момент;

⎯

автоматическое регулирование частоты вращения первичных двигате-

лей и их вращающий момент;

⎯

дополнительные тормозные моменты, возникающие в процессе КЗ от

периодической составляющей тока статора и токов, наводимых в успокои-

тельных обмотках ротора;

⎯

динамические характеристики узлов нагрузки.

Основными

упрощёнными методами анализа динамической устойчи-

вости СЭС являются:

⎯

метод площадей, используемый для определения предельных значений

угла и времени отключения КЗ;

⎯

численное решение нелинейных дифференциальных уравнений мето-

дом последовательных интервалов, применяемое для качественной оценки

характера переходного процесса по изменению угла нагрузки во времени.