Barber J.R. Intermediate Mechanics of Materials
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Intermediate Mechanics of Materials
SOLID MECHANICS AND ITS APPLICATIONS
Volume 175
Series Editor: G.M.L. GLADWELL
Department of Civil Engineering
University of Waterloo
Waterloo, Ontario, Canada N2L 3GI
Aims and Scope of the Series
The fundamental questions arising in mechanics are: Why?, How?,andHow much?
The aim of this series is to provide lucid accounts written by authoritative research-
ers giving vision and insight in answering these questions on the subject of mech-
anics as it relates to solids.
The scope of the series covers the entire spectrum of solid mechanics. Thus it in-
cludes the foundation of mechanics; variational formulations; computational mech-
anics; statics, kinematics and dynamics of rigid and elastic bodies: vibrations of
solids and structures; dynamical systems and chaos; the theories of elasticity, plas-
ticity and viscoelasticity; composite materials; rods, beams, shells and membranes;
structural control and stability; soils, rocks and geomechanics; fracture; tribology;
experimental mechanics; biomechanics and machine design.
The median level of presentation is the first year graduate student. Some texts are
monographs defining the current state of the field; others are accessible to final year
undergraduates; but essentially the emphasis is on readability and clarity.
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Intermediate Mechanics
of Materials
123
J.R. Barber
University of Michigan
Department of Mechanical Engineering
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48109-2125 Ann Arbor
Michigan
USA
jbarber@umich.edu
This is a revised and updated second edition of Intermediate Mechanics of Materials,
McGraw-Hill, 2000.
ISSN 0925-0042
ISBN 978-94-007-0294-3 e-ISBN 978-94-007-0295-0
DOI 10.1007/978-94-007-0295-0
Springer Dordrecht Heidelberg London New York
c
Springer Science+Business Media B.V. 2000, 2011
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Contents
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 The Engineering design process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Design optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Predicting the behaviour of the component . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Approximate solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Relative magnitude of different effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Formulating and solving problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Use of procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Inverse problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.3 Physical uniqueness and existence arguments . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Review of elementary mechanics of materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.1 Definition of stress components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.2 Transformation of stress components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.3 Displacement and strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.4 Hooke’s law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.5 Bending of beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.6 Torsion of circular bars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Material Behaviour and Failure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Transformation of stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1 Review of two-dimensional results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Principal stresses in three dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Failure theories for isotropic materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 The failure surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 The shape of the failure envelope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.3 Ductile failure (yielding) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.4 Brittle failure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Cyclic loading and fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.1 Experimental data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
vi Contents
2.3.2 Statistics and the size effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3.3 Factors influencing the design stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.3.4 Effect of combined stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.3.5 Effect of a superposed mean stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.3.6 Summary of the design process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3 Energy Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.1 Work done on loading and unloading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2 Strain energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3 Load-displacement relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.3.1 Beams with continuously varying bending moments . . . . . . . 106
3.3.2 Axial loading and torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.3.3 Combined loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3.4 More general expressions for strain energy . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.3.5 Strain energy associated with shear forces in beams . . . . . . . 109
3.4 Potential energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.5 The principle of stationary potential energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.5.1 Potential energy due to an external force . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.5.2 Problems with several degrees of freedom . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.5.3 Non-linear problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.6 The Rayleigh-Ritz method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.6.1 Improving the accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.6.2 Improving the back of the envelope approximation . . . . . . . . 126
3.7 Castigliano’s first theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.8 Linear elastic systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.8.1 Strain energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.8.2 Bounds on the coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.8.3 Use of the reciprocal theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.9 The stiffness matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.9.1 Structures consisting of beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.9.2 Assembly of the stiffness matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.10 Castigliano’s second theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.10.1 Use of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.10.2 Dummy loads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.10.3 Unit load method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.10.4 Formal procedure for using Castigliano’s second theorem . . 155
3.10.5 Statically indeterminate problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.10.6 Three-dimensional problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.11 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Contents vii
4 Unsymmetrical Bending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.1 Stress distribution in bending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.1.1 Bending about the x-axis only . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.1.2 Bending about the y-axis only . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.1.3 Generalized bending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.1.4 Force resultants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.1.5 Uncoupled problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.1.6 Coupled problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.2 Displacements of the beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.3 Second moments of area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.3.1 Finding the centroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.3.2 The parallel axis theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.3.3 Thin-walled sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.4 Further properties of second moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.4.1 Coordinate transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.4.2 Mohr’s circle of second moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.4.3 Solution of unsymmetrical bending problems in principal
coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.4.4 Design estimates for the behaviour of unsymmetrical sections 215
4.4.5 Errors due to misalignment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5 Non-linear and Elastic-Plastic Bending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.1 Kinematics of bending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.2 Elastic-plastic constitutive behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.2.1 Unloading and reloading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.2.2 Yield during reversed loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
5.2.3 Elastic-perfectly plastic material. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
5.3 Stress fields in non-linear and inelastic bending . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
5.3.1 Force and moment resultants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.4 Pure bending about an axis of symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.4.1 Symmetric problems for elastic-perfectly plastic materials . . 244
5.4.2 Fully plastic moment and shape factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.5 Bending of a symmetric section about an orthogonal axis . . . . . . . . . 250
5.5.1 The fully plastic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
5.5.2 Non-zero axial force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
5.5.3 The partially plastic solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
5.6 Unsymmetrical plastic bending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.7 Unloading, springback and residual stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
5.7.1 Springback and residual curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
5.7.2 Reloading and shakedown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
5.8 Limit analysis in the design of beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
5.8.1 Plastic hinges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
5.8.2 Indeterminate problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
viii Contents
5.9 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6 Shear a nd Torsion of Thin-walled Beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.1 Derivation of the shear stress formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
6.1.1 Choice of cut and direction of the shear stress . . . . . . . . . . . . 292
6.1.2 Location and magnitude of the maximum shear stress . . . . . . 297
6.1.3 Welds, rivets and bolts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
6.1.4 Curved sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
6.2 Shear centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
6.2.1 Finding the shear centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
6.3 Unsymmetrical sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6.3.1 Shear stress for an unsymmetrical section . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6.3.2 Determining the shear centre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6.4 Closed sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
6.4.1 Determination of the shear stress distribution . . . . . . . . . . . . . 313
6.5 Pure torsion of closed thin-walled sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
6.5.1 Torsional stiffness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
6.5.2 Design considerations in torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
6.6 Finding the shear centre for a closed section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
6.6.1 Twist due to a shear force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
6.6.2 Multicell sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
6.7 Torsion of thin-walled open sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
6.7.1 Loading of an open section away from its shear centre . . . . . 331
6.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
7 Beams on Elastic Foundations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
7.1 The governing equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
7.1.1 Solution of the governing equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
7.2 The homogeneous solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
7.2.1 The semi-infinite beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
7.3 Localized nature of the solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
7.4 Concentrated force on an infinite beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
7.4.1 More general loading of the infinite beam . . . . . . . . . . . . . . . . 364
7.5 The particular solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
7.5.1 Uniform loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
7.5.2 Discontinuous loads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
7.6 Finite beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
7.7 Short beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
7.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
Contents ix
8 Membrane Stresses in Axisymmetr ic Shells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
8.1 The meridional stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
8.1.1 Choice of cut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
8.2 The circumferential stress. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
8.2.1 The radii of curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
8.2.2 Sign conventions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
8.3 Self-weight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
8.4 Relative magnitudes of different loads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
8.5 Strains and Displacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
8.5.1 Discontinuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
8.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
9 Axisymmetric Bending of Cylindrical Shells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
9.1 Bending stresses and moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
9.2 Deformation of the shell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
9.3 Equilibrium of the shell element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
9.4 The governing equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
9.4.1 Solution strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
9.5 Localized loading of the shell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
9.6 Shell transition regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
9.6.1 The cylinder/cone transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
9.6.2 Reinforcing rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
9.7 Thermal stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
9.8 The ASME pressure vessel code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
9.9 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
10 Thick-walled Cylinders and Disks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
10.1 Solution method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
10.1.1 Stress components and the equilibrium condition . . . . . . . . . . 450
10.1.2 Strain, displacement and compatibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
10.1.3 The elastic constitutive law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
10.2 The thin circular disk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
10.3 Cylindrical pressure vessels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
10.4 Composite cylinders, limits and fits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
10.4.1 Solution procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
10.4.2 Limits and fits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
10.5 Plastic deformation of disks and cylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
10.5.1 First yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
10.5.2 The fully-plastic solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
10.5.3 Elastic-plastic problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
10.5.4 Other failure modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
10.5.5 Unloading and residual stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476