Аракелян А.К., Афанасьев А.А. Вентильные электрические машины в системах регулируемых электроприводов. Том 1

194 195

Решение системы уравнений (4.65) позволяет определить

составляющие комплексной амплитуды n-й гармоники магнитной

индукции в кольцевых участках ротора по формулам (4.57), (4.58).

Следовательно, находятся модули амплитуд первой гармоники

индукции в этих участках,

   





 





,

2

1

max1

2

1

max1

1

max1 

 BBB

i

r

ii

по которым (обращаясь к их действующим значениям [177]), с помо-

щью кривой намагничивания материала ротора, будет определяться

магнитная проницаемость i-го участка -

1



i

.

Если ввести обозначения













,Im, Re

2222

1111

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

CbCa

(4.66)

,ke

2

he,ke

2

he xrxixixr

nnnn









(4.67)

где

 

1

rSx

i

n

ii 



, (4.68)





, , ..., 2, ,1

11

0

rrmi 

то амплитудным значениям радиальных и тангенциальных

гармоник индукции на наружных границах кольцевых областей

ротора с радиусами





1

r

i





mi ..., 2, ,1



можно придать вид:

 

,

22

1

1 n

r

n

r

i

n

r

i

DC

r

n

B 



(4.69)

 

22

11

1

22

1

nn

n

ii

i

ni

DC

S

B











, (4.70)

где выражения для функций

n

C

и

n

D

зависят от знакаа

скольжения

n

S

6

.

6

Функции Бесселя второго рода с комплексными аргументами

0,

4343





n

jj

nnn

SxereqrSjrSk

;

0,

44





n

jj

nnn

SxereqrSjrSk ,

где

nn

Sjq  ,

rqx

n



,

выражаются через функции Кельвина:

 

























xrxijxixrxeY

nnnn

j

n

beke

2

beke

2

43

,

 

nxrxijxixrxeY

nnnn

j

n







































cosbeke

2

beke

2

4

.

При малых значениях аргумента x





10x

функции

xr

n

ke

и

xi

n

ke

(также,е,

как и функции

xr

n

be

и

xi

n

be

(см. предыдущую сноску)) вычисляются через опре-

деляющие их (теоретически) бесконечные суммы [197].

При больших значениях аргумента x





10x

расчет этих специальных функций

через бесконечные суммы приводит к быстрому накоплению ошибок округления.

Поэтому при

10



x

следует пользоваться формулами асимптотических

разложений [197]:

,coske

nnn

Nxr 

nnn

Nxi  sinke

где

















;

1

0

1

128

1311

2384

2511

28

1

2

ln

2

1

2

ln

543











































xxx

xx

x

N

n













;

1

0

1

2384

2511

16

11

28

1

8

1

2

532









































xxx

x

nx

n

.4

2

n

196 197

1)

0



n

S









   

, hebehebe

bebe

22

11

xixibxrxra

xrbxiaxCxC

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

r

n

r







(4.71)









   

, hebehebe

bebe

22

11

xrxrbxixia

xibxraxDxD

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

r

n

r







(4.72)













 









, hehebebe

hehebebe

bebebebe

1111

11112

1111

11112

11111

xixixixi

xrxrxrxrb

xrxrxrxr

xixixixia

xrxrxixib

xixixrxraxCxC

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

nn















(4.73)













 









. hehebebe

hehebebe

bebebebe

1111

11112

1111

11112

11111

xixixixi

xrxrxrxrb

xrxrxrxr

xixixixia

xrxrxixib

xixixrxraxDxD

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

nn















(4.74)

2)

0



n

S









   

, hebehebe

bebe

22

11

xixibxrxra

xrbxiaxCxC

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

r

n

r







(4.75)









   

, hebehebe

bebe

22

11

xrxrbxixia

xibxraxDxD

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

r

n

r







(4.76)













 









, hehebebe

hehebebe

bebebebe

1111

11112

1111

11112

11111

xixixixi

xrxrxrxrb

xrxrxrxr

xixixixia

xrxrxixib

xixixrxraxCxC

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

nn















(4.77)













 









. hehebebe

hehebebe

bebebebe

1111

11112

1111

11112

11111

xixixixi

xrxrxrxrb

xrxrxrxr

xixixixia

xrxrxixib

xixixrxraxDxD

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

nn

















(4.78)

Выражения (4.57), (4.58) позволяют сравнительно легко

рассчитать двухслойный ротор [175] (первый слой - массивный

цилиндр из железомедного сплава, второй слой - шихтованный

сердечник из электротехнической стали) или учесть наличие

омеднения поверхности массивного ротора, улучшающего рабочие

характеристики асинхронного двигателя [170, 188]. В этом случае

у одного или нескольких первых концентрических колец следует

принять

0



e

ii

и

си(Ае)



i

.

При наличии однородных концентрических кольцевых

элементарных участков формулы (4.35), (4.38) для определения

плотности тока и потерь в роторе будут другими. В соответствии с

исходным выражением (4.34) для плотности тока и, принимая во

внимание формулу (4.57) для радиальной составляющей n-й

гармоники магнитной индукции для i-го кольца, будем иметь для

комплексной амплитуды плотности тока в нем

















rSkYCrSkJCSj

n

i

nn

i

n

i

nn

i

n

ini

211





. (4.79)

198 199

Согласно введенным выше обозначениям (4.66)-(4.68), (4.71),

(4.72), (4.75), (4.76) справедливо

















,

]

[

21

xDjxCrSkYCrSkJCj

n

r

n

r

n

i

nn

i

n

i

nn

i 



где

rqrSx

n

i

n

ii



11

, знак (+) соответствует

0



n

S

,знак (-) -

0



n

S

.

Поэтому для модуля амплитуды n-й гармоники плотности тока

в i-ом кольце имеем

 









rqDrqCS

n

i

n

r

n

i

n

r

n

ini 22

1





. (4.80)

Потери в роторе от n-й гармоники плотности тока следует

находить по формуле

 





 

   

 

 

.

1

22

1

2

0 1

2

rdrrqDrqCSl

rdr

lP

r

n

i

n

r

n

i

n

r

m

i

n

r

i

ni

n

i























(4.81)

На рис. 4.18-4.20 показаны некоторые показатели магнитного поля

кольцевых концентрических участков массивного ротора в функции

скольжения, рассчитанные по формулам (4.65), (4.69), (4.70).

Рис. 4.18. Зависимость амплитуды основной гармоники радиальной со-

ставляющей магнитной индукции на внешних границах кольцевых кон-

центрических участков (m=12) массивного ротора от скольжения

Рис. 4.19. Зависимость амплитуды основной гармоники

тангенсальной составляющей магнитной индукции на внешних

границах кольцевых концентрических участков (m=4) массивного

ротора от скольжения

Рис. 4.20. Магнитная проницаемость кольцевых концентрических

участков (m=12) массивного ротора в функции скольжения



200 201

4.9. Асинхронизированная электрическая машина

с двухфазной обмоткой возбуждения

Рассмотрим электрическую машину, на роторе которой имеется

двухфазная обмотка возбуждения, с токами частоты скольжения







1

S

.

Скалярный магнитный потенциал (СМП) обмотки возбуждения,

находящейся в среде 2, будет









2/coscos,

2















nanarU

nqfndfff

, (4.82)

где











;





tS













10

1

;





01

cos









tSFa

nfndf

;





2/cos

01













tSFa

nfnqf

;

mf

f

nf

I

w

n

F

2

sin4

2







;

Рис.4.21. Поперечный разрез электрической машины с двухфазной

обмоткой возбуждения на массивном роторе



2 - обмотанная часть полюсного деления одной фазы ротора;

mff

Iw ,

- число витков и амплитуда тока одной фазы обмотки

возбуждения.

После ряда преобразований уравнение (4.82) может быть

преобразовано к виду













 

,

~

4/1coscos,

2



























nj

nf

tntj

nf

t

ntkj

nf

ntkj

nf

nnsnfff

eFeFeF

eF

nntkFrU

ns

nns









(4.83)

где





nSSk

ns 11

1









; здесь верхний знак соответствует гармони-

кам: n=1+4k (k=0,1,2, . . .), т.е. n=1,5,9,13,17, . . . ; нижний знак

соответствует гармоникам: n=-1+4k (k=1,2,3, . . .), т.е. т= 3 , 7 , 11 ,

15,19, . . . ;









4/4/

00



















n

;





4/1cos

~

 nFF

nfnf



;

n

j

nfnf

eFF





~



;





tkj

nfnf

t

ns

eFF





1



.

Значение радиальной координаты

f

rr



СМП обмотки

возбуждения (обмотка возбуждения "спрятана" в пазы ротора) будет

уточнено ниже после конформного отображения двухсвязной области

воздушного зазора с двухсторонней зубчатостью на круговое кольцо.

Будем в дальнейшем полагать, что







1

rr

f

, где

0





- малая (по

сравнению с размером воздушного зазора) величина.

На границе между областями воздушного зазора и ферромаг-

нитного массива ротора будет по-прежнему действовать скалярный

магнитный потенциал, определяемый формулой (4.11) и вызванный

якорной обмоткой и вихревыми токами стали ротора. Этому

потенциалу будет соответствовать граничная тангенциальная

составляющая напряженности магнитного поля, представленная

формулой (4.14).

При определении радиальной составляющей напряженности

магнитного поля на границе рассматриваемых сред будем полагать

постоянную



равной нулю.

202 203

Тогда дополнительная радиальная составляющая

напряженности МП на границе сред, вызванная обмоткой

возбуждения, в соответствии со структурой формул (4.11), (4.12),

(4.83)

будет равна

7

 

.

~

1

,

1

~

1

12











nj

nf

t

n

nr

eFn

r

rH



(4.84)

Из граничных условий для сред 1 и 2

rr

BB

21





;















1

12

21

,

r

rU

HH

f



с учетом формул (4.22), (4.23), (4.12), (4.14), (4.83), (4.84) следуют

уравнения





   

,

2

3

2

3

~

10

2

20

1

1011 nf

t

nnnnnnnn

FFFCrSkJj



 



(4.85)





 

nf

t

nnnnn

F

r

nj

F

r

nj

CrSkJS

k



1

11

1

~

2

3









. (4.86)

В результате их решения найдем

 

   

,

1

2

3

1

11

1

0

1

2

1

rSkJ

n

Srk

rSkJ

FF

jC

nn

nf

t

nnn

n



















(4.87)

 





 

.

~

3

2

1

10

1

10

1

~

1

2

1

nf

t

nn

n

nn

n

nnn

n

F

rSkJ

Srk

n

rSkJ

Srk

n

F































(4.88)

7

Поскольку, как показано выше, спектр гармоник обмотки возбуждения отли-

чен от спектра гармоник обмотки статора, то в формуле (4.84) и в нижесле-

дующих формулах номера гармоник обмотки возбуждения снабжаются знач-

ком ~ .

После подстановки найденного значения

n

C

1

в формулы (4.22),

(4.23) для магнитных индукций в среде 1 будем иметь, принимая

во внимание равенства (4.27),

   

 

 

   

 

,

2

3

1

1121111

1

2

211

1



































nj

n

nnnnnnn

nf

t

nnnnnnn

r

e

rSkJarSkJa

FFrSkJrSkJn

r

B







(4.89)

   

 

 

   

 

.

2

3

1

1121111

1

2

211

1





































nj

n

nnnnnnn

nf

t

nnnnnnn

e

rSkJarSkJa

FFrSkJrSkJn

r

j

B









(4.90)

Эти выражения по своей структуре идентичны формулам

(4.30), (4.31), полученным выше, и при отсутствии обмотки

возбуждения на роторе





0

nf

t

F



, естественно, совпадают с ними.

Требует уточнения (при наличии обмотки возбуждения на

роторе) магнитный потенциал





2

n

F



границы среды 2 при

2

rr



. Из

формулы (4.56), полученной при отсутствии обмотки возбуждения,

следует, что





2

n

F



становится равной





2

n

F



, если принять магнитную

проницаемость

3



статорного сердечника (среды 3) равной

бесконечности.

Для конечного значения

3



величину потенциала





2

n

F



, а такжее

и потенциала





1

n

F



найдем с помощью уравнений (4.88) и (4.56),

причем последнее при

0

nf

t

F



будет иметь вид

 

   

.

3

2

3103

2

3

1

320

2

nn

nnf

t

nnn

n

FFF

F



























(4.91)

204 205

Решая уравнения (4.88) и (4.91) относительно неизвестных





1

n

F



и





2

n

F



, получим

 







 



 



 



 

,

/

2

3

2

11011

110113

11

~

10101

11321132

11

~

1010132

2

nnnn

nnn

nf

t

nnnn

nnnnnn

n

FrSkJ

rSkJ

FrSkJ

rSkJggrSkJgg

rSkJ

F

































(4.92)

 









 



















































11321132

11211121

1

3

2

3

2

rSkJggrSkJgg

FrSkJggrSkJgg

F

nnnn

nf

t

nnnn

n



   

 

 

,

2

111123 nnnnnn

FrSkJrSkJ









(4.93)

где

 





nnnnn

g ~

131033

2

201

3

2



,

 

nn

g

3103

0

1

2







,

nnnnn

g

133

2

203

2

103



.

Легко убедиться, что при







3

и

0

nf

t

F



полученная

формула (4.93) совпадает с вышенайденной зависимостью (4.29).

4.10. Синхронная электрическая машина

с продольно-поперечным возбуждением

Установка на роторе синхронной машины двух независимых

обмоток возбуждения, расположенных по осям d и q и обтекаемых

постоянными токами, позволяет осуществить раздельное

регулирование активной и реактивной мощностей и повысить ее

устойчивость [68, 181].

Суммарный скалярный магнитный потенциал (СМП) обмоток

возбуждения будет определяться, как и в предыдущем случае,

уравнением









,2/coscos,

2















nanarU

nqfndfff

(4.94)

где

























;

2

sin

4

;

2

sin4

;;

2

0

qf

q

nqfnqf

df

d

ndfndf

I

w

n

Fa

I

w

n

Fa

t

(4.95)

 

qd



2

- обмотанная часть полюсного деления,

соответствующая обмотке возбуждения





qdf

;

   

qdfqdf

Iw ,

- число витков и ток обмотки возбуждения





qdf

.

Выражение (4.94) несложно привести к виду, аналогичному

(4.83)









 

 

 

 

 

,

1cos

cos,

1

2



















nj

nf

tntj

nf

tntntj

nf

nnf

nnfff

eFeFeF

ntntF

nFrU



(4.96)

206 207

 



























.,2,1

;

;;

;

2/cos

2

sin

arctq

;2/cos2

1

0

22







n

eFF

eFFn

nFF

n

F

nFFFFF

ntj

nfnf

t

nj

nfnfnn

nqfndf

nqf

n

nqfndfnqfndfnf

(4.97)

Из векторной диаграммы установившегося режима синхронной

машины, работающей в двигательном режиме (рис. 4.22), имеем

2/

1



с

(4.98)

Рис. 4.22. Векторная диаграмма синхронного двигателя с продольно-

поперечным возбуждением

или

.2/

100

 tt

с

Отсюда имеем для угла нагрузки синхронной машины

2/

100



с

. (4.99)

Дифференцируя по времени уравнение (4.98)

,

td

d

td

d

td

d

с











можем получить интегральное выражение для угла нагрузки как в

установившемся, так и в переходном режиме

 





d

t

0

p , (4.100)

где

td

d

с





- угловая частота напряжения обмотки статора;

td

d



p

- электрическая скорость вращения ротора машины.

При отсутствии поперечной обмотки возбуждения





0

1





уголл

нагрузки



совпадает, как видно из векторной диаграммы

(рис.4.22), с углом нагрузки



классической синхронной машины.

Основные явления преобразования энергии в электрической

машине происходят на основной, в данном случае, на первой

гармонике.

Для n=1 выражения (4.92) и (4.93), для скалярных магнитных

потенциалов на границах воздушного зазора (среды 2)





2

1

F



и





1

F



существенно упрощаются, поскольку для бесселевых функций





xJ

0

и





xJ

2

c нулевыми значениями аргумента а x (

0

11

 rSkx

так как скольжение

0

1



S

) имеем









.00;10

20



JJ

(4.101)

Отсюда следует

 

   

 

,

/

3

4

2

210

2

1101113101113

2

101113111013121

2

1









FF

F

f





(4.102)

208 209





 

 

 

,

/

3

2

210

2

1101113101113

2

12131

2

210

2

1101113101113

1







FF

F

f





(4.103)

где





















;

2

/2/

1

21

2

1

2

21

12

21

2

1

2

221

2

21

2

1

2

111



















rrr

rr

rrrrrrrrrr

(4.104)

 













1

12

2

1

2

1

2

21

22 r

rr

r

rr

; (4.105)

 

;

2

ср

32

ср

23

3223

2

3

2

3

31

















h

r

rh

rr

h

r

rrh

rr

h

rr

(4.106)

12

rr







- воздушный зазор между окружностями статора и

ротора;

23

rrh





- толщина статорного сердечника;





1/11

2

ср2

 rr

;





2/

23ср

rrr





.

Определим по формуле (4.89) амплитуду первой гармоники

магнитной индукции в воздушном зазоре, используя в ней

уравнение (4.102). Ввиду сравнительной сложности последнего

возможны два варианта его упрощения. В первом варианте

пренебрегаем магнитным напряжением в статорном сердечнике,

приняв







3

. Легко показать, что тогда









.

2

1

2

1

FF







(4.107)

Во втором варианте пренебрегаем магнитным напряжением в

стали ротора, приняв







1

. Из (4.102) имеем в этом случае

 













033111

2

10313121

2

1

/

/3/4









FF

F

f





или после подстановки (4.104)-(4.106)

 

















1

3/4

2

11

2

1

FF

F

f





, (4.108)

где

hrr













3ср10

/

. (4.109)

Величина коэффициента существенно зависит от размеров

синхронной машины. Так, для турбодвигателя СТД-6300-23У4

мощностью 6,3 МВт имеем, согласно (4.109),

30

/45,23







,

а для синхронного двигателя мощностью 37 кВт, выполненного на

базе асинхронной машины 4А 200 М2, имеем

30

/78,206







.

Приняв для обеих синхронных машин

500/

03





, получим

соответственно значения



равными 0,047 и 0,41. Поэтому в этомм

варианте только для крупных машин можно использовать равенство

(4.107).

При отказе от названных выше допущений будем формулу

(4.102) записывать в виде









2

1211

2

1

FFF

f







, (4.110)

где

 

 /

3

4

110131211

,



















//

011132

,













2

21

2

1101113101113

/ 

.

Амплитуда первой гармоники радиальной составляющей

магнитной индукции в воздушном зазоре на поверхности ротора в

соответствии с формулами (4.89) и (4.101) будет

 

0111

2

121111

1

/

2

3











FF

r

B

f

r





. (4.111)

Учитывая зависимости (4.104) и (4.105) для коэффициентов

11



и

21



, можно записатьть

210 211

 

011

2

11

1

//

2

3









r

FF

B

f

r





(4.112)

или, подставляя (4.110),

 

.

1

2

3

/1

1

ср

0

1

10

1

0

3

2

1

0

3

1

101

ср1

0

3

1

















































































r

h

r

FF

rh

rr

B

f

r





(4.113)

Отсюда следует, что при пренебрежении магнитным

напряжением статорного сердечника











3

имеем

 

,

//

2

3

011

2

1







r

FF

B

f

r





(4.114)

при пренебрежении магнитным напряжением в стали ротора

(







1

) -

 

.

2

3

1

03

ср1

2

11

3

ср10

1













































h

rr

FF

h

rr

B

f

r





(4.115)

Будем в дальнейшем определять первую гармонику радиальной

составляющей магнитной индукции по формуле

,

)2(

111

FbFaB

fr





(4.116)

где

a

и

b

- вещественные коэффициенты, значения которых

следуют из формулы (4.113), учитывающей влияние магнитных

проницаемостей статорного и роторного сердечников;

1

11





j

ff

eFF



;

)2/(

1101





























,

с

UI



,

1



;

IkwF

w



1

)2(

1

)/22( 

.

Вычисляя магнитный поток одного полюса





 lB

r1

2



,

можем определить результирующую ЭДС обмотки статора

a

EEE





 0

, (4.117)

где

)(

110

1





j

f

eFGaE



- ЭДС холостого хода;

2/

21





j

a

eIGbGE



- ЭДС самоиндукции обмотки статора;

prlkwG

w

/2

111



;

12

)/22(

w

kwG 

.

Из уравнения равновесия напряжения в цепи одной фазы

обмотки статора

)(

11 

 jXRIEU

с



получим квадратное уравнение для действующего значения тока

статора

,02)]sin(

)cos([)(

22

01

110

222

1





сс

с

UEIX

REIXR

(4.118)

где

aс

XXX





1

- синхронное индуктивное сопротивление;

21

GbGX

a



- индуктивное сопротивление взаимоиндукции.

Решение уравнения (4.118) имеет вид

 

  

 

,

1 cossin

cossin

22

1

2

0

222

1

2

1

22

1

0

c

ccc

c

XR

EUXRRX

XR

RX

EI

















(4.119)

где

1











.

212 213

4.11. Конформное отображение кругового кольца

на заданную двухсвязную область

Результаты, полученные для электрических машин с гладким

кольцевым воздушным зазором, могут использоваться и для

явнополюсных электрических машин, в том числе с учетом

двухсторонней зубчатости области воздушного зазора. Для этого

следует указанную двухсвязную область конформно отобразить на

круговое кольцо.

Отображение двухсвязных областей при помощи метода

тригонометрической интерполяции

Этот метод позволяет конформно отобразить круговое кольцо

10

21







rrr

комплексной плоскости t на двухсвязную область

в плоскости z достаточно произвольного вида, внешняя и

внутренняя границы которой являются простыми замкнутыми

кривыми, причем начало координат (точка нуль) содержится внутри

обеих границ [220]. Границы области (рис.4.23) могут быть заданы

аналитически, графически или дискретным рядом точек.

Рис. 4.23. Отображение кругового кольца в плоскости t на область

воздушного зазора с двухсторонней зубчатостью в плоскости z

(

•

- четные, * - нечетные точки плоскости t )

Конформно отображающая функция представляется конечным

(усеченным) рядом Лорана

 

ii

m

mi

i

BjACtCtfz 







1

,

. (4.120)

Его нормировка выражается равенством





00

tfz



, (4.121)

в котором примем

000

,1 xzt



. (4.122)

Каждая из окружностей в плоскости

t

с радиусами

1

2



rr

и

1





rr

разбивается на m2 равных частей посредством системы

четных и нечетных точек

 

mnert

n

j

n

2,,2,1,

21





. (4.123)

Четная система точек имеет фазовые углы

m

,,2,1,2

2









. (4.124)

Для нечетной системы точек справедливо

12,,3,1, 



 mkk

m

k



. (4.125)

Образами этих точек являются, согласно формулам (4.120),

(4.123), точки плоскости z, лежащие:

на внешней границе

























,cossin

,sincos

1

nin

m

mi

in

nin

m

mi

in

iBiAy

iBiAx

(4.126)

на внутренней границе

 





























.cossin

,sincos

1

m

mi

nini

i

n

m

mi

nini

i

n

iBiAry

iBiArx

(4.127)

Аракелян А.К., Афанасьев А.А. Вентильные электрические машины в системах регулируемых электроприводов. Том 1

Подождите немного. Документ загружается.