Аракелян А.К., Афанасьев А.А. Вентильные электрические машины в системах регулируемых электроприводов. Том 1

Подождите немного. Документ загружается.

159158

Здесь

112

Rrr





- внутренний радиус статора), а угол



определяется согласно выражению



















cmp

. (3.56)

Оба участка соединены последовательно, откуда проводимость

всей ветви

131

cm0

внеш

dGdG































(3.57)

Соответственно нахождение суммарного потока подобласти

сведется к интегрированию (3.57) по r

и умножению результата

на

const)(

1μ



iwrU

)1(

1внеш

1конвнеш

внеш

cm0

131

0внеш

кон

RRb

iwl

iwlФ





































(3.58)



ко





на







а)

б)

Рис.3.24. Идеализация расчетной область между кромками зубцов:

а - с внешней (относительно зазора) стороны; б - с внутренней стороны

Расчеты показывают, что сумма (3.52) с увеличением n

возрастает по закону, очень близкому к кубическому

, т.е.

)( nkn





, (3.53)

где



- некоторый коэффициент..

Использование указанной зависимости позволяет определить



без полного вычисления (3.52). При этом расчет по (3.52)

проводится лишь для случая n=1, после чего полученное значение

потокосцепления (численно равное



) остается подставить в

(3.53), откуда





(3.54)

3.Область замыкания потока с зубца статора на зубец

ротора в рассогласованном положении зубцов (рис.3.24).

Принимаемые допущения:

потенциал ротора равен нулю,

  потенциал статора постоянен и равен величине м.д.с.

обмотки,

величина воздушного зазора во внимание не принимается.

Произведем аппроксимацию картины поля, полагая, что

силовые линии имеют форму дуг окружности с центрами в точках

и О

(рис.3.24). При этом рассматриваемая область распадется

на две подобласти – с внешней и внутренней относительно зазора

стороны. Рассмотрим первую из них (рис.3.24, а). Каждая

элементарная ветвь состоит из двух участков, проводимость

которых определяется аналогично (3.41):













(3.55)

К подобному выводу нетрудно прийти и из физических соображений: маг-

нитный потенциал поверхности обмотки растет пропорционально расстоянию

от ее основания (т.е. пропорционально n), число витков, охваченное элементарным

потоком, есть само n, а магнитная проводимость элементарной ветви (и,

соответственно, элементарный поток) также примерно пропорциональна n.

161160

Искомая индуктивность (для рассогласованного положения)

может быть вычислена простым суммированием (3.47), (3.54) и

(3.60) при i=1.

Пример.

Рассчитать минимальное значение фазной индуктивности для

двигателя электропогрузчика (

об/мин1350n кВт,4

нн



полагая, что все обмотки каждой фазы соединены последовательно.

Двигатель имеет следующие геометрические параметры:

т=3, w=70, Z

=12, Z

=8, l

=152 мм (0,152 м), R

=87 мм

(0,087 м), высота зубца статора h

=24 мм (0,024 м), ширина зубца

статора а

см

=23 мм (0,023 м).

Вначале рассчитываем индуктивность от основного потока,

замыкающегося между зубцами статора и ротора. Находим

вспомогательные параметры для внешней подобласти (рис.3.24):

угол



, согласно (3.56):

рад; 06545,0





















конечный радиус

; м 0985,02023,0087,02

1кон











aRR

параметр b

внеш

в (3.58):

.0417,1106545,0

внеш





b

Подставляем исходные данные и рассчитанные выше значения

в (3.58):

Вб.10192,1

087,0)10417,1(

087,00985,00417,1

0417,1

70152,01042

внеш











Ф

Для внутренней подобласти аналогичным образом имеем:

начальный радиус:

;м 0755,02023,0087,02

1нач



aRR

параметр b

внутр

в (3.59):

9583,0106545,0

внутр





b

Подставляя в (3.59), получим

Вб.10240,1

0755,09583,0087,0

087,0)9583,01(

9583,0

70152,01042

внеш













Ф

Индуктивность, обусловленная магнитным потоком со статора

на ротор, согласно (3.60):

В этом выражении введено обозначение

3внеш





b

. При

выполнении практических расчетов удобно

положить

1кон см

aRR





Проведем вывод аналогичного выражения для внутренней

подобласти (рис.3.24,б). Отличие здесь сводится к изменению

пределов интегрирования: в качестве верхнего выступает

, а в

качестве нижнего -

1нач см

aRR





. Произведя соответствующие

преобразования, получим

)1(

начвнутр1

1внутр

внутр

RbR

iwl









(3.59)

Здесь

3внутр





b

. Таким образом, суммарный поток между

зубцами определяется суммой выражений (3.58) и (3.59).

Соответственно, потокосцепление от рассматриваемой области

 

внутрвнеш3

ФФ



(3.60)

Разновидностью рассматриваемого случая можно считать

ситуацию, когда зубцы находятся в положении, при котором

начинается их согласование (т.е. при 0





). При этом проводимость

каждой элементарной ветви будет определяться лишь вторым

компонентом (3.55). В данном случае пренебречь величиной

воздушного зазора нельзя, что влечет за собой изменение пределов

интегрирования. Таким образом, имеем

, ln

212

1кон

0внеш



















cmcm

iwldr

FlФ

(3.61)

где



- величина зазора [м].

Для внутренней подобласти (рис.3.41,б) аналогичным путем

получим











нач

cmвнутр

iwlФ

. (3.62)

163162

Двигатель

4 кВт

ст

= 128)

230 Вт

ст

= 2416)

3 кВт

ст

= 128)

Геометрические

параметры

т=3,

=152 мм,

=87 мм,

=24 мм,

см

=23 мм

т=3,

=14,6 мм,

=107 мм,

=33 мм,

см

=14 мм

т=3,

=175 мм,

=55.5 мм,

=20 мм,

см

=14,5 мм

Число витков, w 70 167 64

Таблица 3.3

Рис. 3.25. Типичная зависимость фазной

индуктивности ВИД от положения ротора

Полученные результаты позволяют сделать вывод, что

расчеты по предложенной методике имеют достаточно хорошую

точность в случае относительно длинных ВИД, когда задачу можно

считать плоскопараллельной.

Для плоских машин результат оказывается сильно заниженным

( -17,7% для машины Z

ст

= 24х16), поскольку отсутствует учет

рассеяния со сто-

роны лобовых

частей обмоток. В

подобных случаях

метод годится

лишь для

о ц е н о ч н ы х

расчетов.

В завершение

п р е д с т а в л я е т с я

целесообра зн ым

затронуть еще один

вопрос, имеющий





Гн.0136,010240,110192,1

70122









i

Теперь необходимо определить индуктивность, обусловленную

потоком рассеяния на соседние зубцы статора. Как и ранее, сначала

определяем вспомогательные параметры.

Угловая ширина зубца статора:

.рад 2618,012/









Максимальный радиус в (3.50):

.м 06808,0

2618,02

023,0

111,0











tgtg

Коэффициент

.10296,7

2618,0

152,0104















Расстояние, приходящееся на один виток обмотки:

обм

10429,370024,0



 whh

мм.

Линейная плотность МДС:

 024,070

обм

.мм2917

1



Радиус

кон

при n=1 численно равен

, а

.м067737.0103,429-0,06808

-4

коннач

 hRR

Далее, с помощью (3.50) рассчитываем потокосцепление от

первого со стороны основания обмотки витка:





291710296,7

 

.Вб1084489,1067737,006808,0

067737,0

06808,0

ln06808,0

9

















Теперь вычисляем полное потокосцепление от подобласти,

используя (3.54):

.Гн1006,57010845,1

122

339

122











Соответственно, суммарная индуктивность:

.Гн 01866,01006,50136,0

рас





В табл. 3.2 приведены результаты аналогичных расчетов еще

для двух ИД, а также результаты их сравнения с экспериментом, а

в табл. 3.3 их обмоточные и геометрические параметры.

Таблица 3.2

Двигатель

рас

(расчетная),

мГн

рас

(измерен

ная),

мГн

Относительная

погрешность

расчета , %

4 кВт (Z

ст

= 128)

18,66 19,6

4,8

230 Вт (Z

ст

= 2416) 26,50 32,2 17,7

3 кВт (Z

ст

= 128)

18,70 17,5 +6,9

164

непосредственное отношение к рассмотренной выше проблеме.

Речь идет о том, какой порядок имеет разница между минимальной

индуктивностью, вычисление которой описано выше, и

индуктивностью фазы в момент начала согласования зубцов. Точное

значение указанной индуктивности проблематично вычислить

аналитически (возрастает погрешность аппроксимации), что

связано с более сложной картиной поля зубцовой области. Для

прояснения ситуации, были проведены соответствующие

эксперименты. На рис.3.25 представлена осциллограмма

индуктивности, снятая в бездатчиковом электроприводе (на базе

вышеупомянутого ВИД 230 Вт, Z

ст

= 24х16) с помощью ЦАП,

подключенного к одному из портов процессора. Во время

эксперимента рабочий ток в фазах отсутствовал, а двигатель

вращался от приводной машины. На приведенной кривой перепад

индуктивности в рассогласованном положении

рас



составляет

лишь примерно 5% от перепада индуктивностей на рабочем участке

раб



. Аналогичные осциллограммы были сняты и для других

двигателей.

Полученные результаты свидетельствуют, что фазная индуктив-

ность остается примерно постоянной на всем интервале "зубец

против паза". Следовательно, минимальная индуктивность в

большинстве инженерных расчетов может использоваться и в

качестве индуктивности начала согласования.

165

Г л а в а ч е т в е р т а я

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ К РАСЧЕТУ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ

КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КОЛЬЦЕВЫХ ОБЛАСТЕЙ

МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ФУРЬЕ

4.1. Постановка задачи

Вихревое магнитное поле в местах расположения проводников

(в пазах, межполюсных окнах) можно представить в виде суммы

потенциального

и некоторого дополнительного

(легкоо

вычисляемого) магнитных полей [115]. Локализация

дополнительного поля в месте нахождения проводников требует

расположения на части границы каждого паза (на дне или в

клиновой части) бесконечно тонких токовых слоев с линейной

плотностью

, суммарные токи которых равны полным токам

пазов [50].

Скалярный магнитный потенциал (СМП) токового слоя j-го

паза определится выражением

 

dlH









где

- полный ток паза, l - переменная интегрирования по границе

паза, отсчитываемая от края токового слоя,



- проекция вектора

дополнительного поля на направление интегрирования.

При суммировании СМП токовых слоев всех пазов















lUlU

получим результирующую зависимость, геометрическое

месторасположение которой диктуется удобством расчета

магнитного поля. Например, ее можно полагать фиксированной на

окружности воздушного зазора, проходящей по краям зубцов

статора.

Вначале, для упрощения задачи, пренебрегаем зубчатостью сер-

дечников статора и ротора (считаем их гладкими, в последующем

166 167

Рис.4.1. Поперечный разрез

электрической машины

с массивным ротором

при уточнении

решения будем

обращаться к

к о н ф о р м н о м у

о т о б р а ж е н и ю

воздушного зазора с

д в у х с т о р о н н е й

зубчатостью на

круговое кольцо)

принимаем длину

машины бесконечно

большой (краевые

эффекты отсутствуют).

Для большей

общности полагаем,

что ротор машины

выполнен из массивной

стали. Выбор этого

материала делает

математическую модель более универсальной, так как при переходе

на достаточно высокие значения магнитной проницаемости по

координатам r и



и удельного сопротивления по оси z массивная

среда приобретает свойства шихтованной стали.

На рис.4.1 показан поперечный разрез машины. Цифрами 1, 2

и 3 обозначены соответственно: массивный ферромагнитный ротор,

воздушный зазор, статорный сердечник, магнитную проницаемость

которого вначале принимаем бесконечно большой.

Использование СМП токовых слоев позволяет получить

аналитическое решение задачи Дирихле для круговых колец трех

указанных сред при постоянстве их магнитных проницаемостей.

В первом приближении за расчетную величину гладкого воздушного зазора

можно принять величину геометрического воздушного зазора



(расстояние

между окружностями, проходящими по головкам зубцов статора и ротора),

умноженную на коэффициенты воздушного зазора (коэффициенты Картера)

статора и ротора:

1

;

2

4.2. Расчет магнитного поля в воздушном зазоре

На поверхности статорного сердечника утолщенными дугами

показаны токовые слои пазов фазы А. Их скалярный магнитный

потенциал (СМП) можно представить тригонометрическим рядом

 









narU

cos,

, (4.1)

где









tFa

 cos

, (4.2)

 





, (4.3)

- амплитуда фазного тока частоты



;

kw,

- число витков и

обмоточный коэффициент фазы; p - число пар полюсов обмотки

статора;



- угловая координата точки наблюдения в магнитномм

поле (







, здесь



- угловая координата той же точки

наблюдения, но в механической (геометрической) системе

координат).

Суммируя (4.1) со СМП двух других фаз B и C

 







































2cos

2cos,

ntFrU

, (4.4)

 







































2cos

2cos,

ntFrU

, (4.5)

получим





 

     

cos

























ntj

eFeFntF





(4.6)

где верхний знак соответствует номерам гармоник





,...13,7,1,...;2,1,016







nkkn

, нижний знак - 16









.,...17,11,5,...;3,2,1



Для простоты анализа полагаем, что статорная обмотка имеет целое число

пазов на полюс и фазу. В этом случае четные гармоники в формулах (4.2), (4.5),

(4.6) отсутствуют.

168 169

На другой стороне воздушной области 2 (с радиусом

) ток

фазы A и вихревые токи ферромагнитного ротора будут наводить

СМП вида

 

   

,sincos,









nnA

nbnarU



(4.7)

где





)1(1



- неизвестные коэффициенты.

СМП, задаваемые формулами (4.1) и (4.7), позволяют найти

решение задачи Дирихле для кольцевой области 2 [187]

 

,sincos)(,











nDrBrnCrArrU

(4.8)

где коэффициенты

nnnn

DCBA ,,,

определяются по формулам

















   

 

   

 

   













221

rrbrbrrrD

rrararrrC

rrbrbrB

rrararA



(4.9)

Из выражений (4.8), (4.9) следует зависимость для радиальной

составляющей напряженности магнитного поля (МП) на границе

областей 1 и 2

 





   

 

   

 

,sin

cos

















nbbn

naan

nnnn



(4.10)

где









nnnn

rrrr

/ 









rrrr

2212

/2 

Учитывая действие двух других фаз (B и С) обмотки статора,

формулам (4.7), (4.10) можно придать вид

 

     

sincos

112

























ntj

eFeF

ntFntFrU













(4.11)

 

   





 

   

 



















nnnn

ntj

nnnnr

eFFn





(4.12)

где

















     















,sin,cos

nnn

nnnn

FjFF

tFbtFa





Из формулы (4.11) можем получить выражение для

тангенциальной составляющей напряженности МП

 





   

 

























ntj

eFn





(4.13)

4.3. Расчет магнитного поля в ферромагнитном роторе

Обратимся теперь к вращающемуся со скоростью



(в на-

правлении основной гармоники МП) ферромагнитному ротору -

среде 1. Полагая

const





и вводя векторный магнитный

потенциал

111

rot AH 

получим из первого уравнения Максвелла, записанного в

неподвижной системе координат

rotrot A

, (4.14)

Ниже это условие будет относиться только к сравнительно тонким элемен-

тарным концентрическим кольцевым областям, на которые будет разбиваться

массивный ферромагнитный цилиндр ротора. На границах этих колец магнит-

ная проницаемость будет испытывать скачки. Внутри же кольца среда будет

линейной, т. е. ее параметры





сохраняются неизменными. Монотонное

изменение этих параметров будет наблюдаться при бесконечно большом числе

элементарных концентрических колец.

170 171

где

 



















111

rotqrad Av

– (4.15)

– плотность тока в стальном роторе (здесь

- скорость движения

точки наблюдения ферромагнитной среды).

Из векторного анализа известно

divqradrotrot AAA 

Выбирая для калибровки векторного потенциала условие

Кулона

0div

A

и пренебрегая напряженностью электрического (кулоновского)

поля внутри стального массива

0qrad



из уравнения (4.14) будем иметь

 



















 Bv

При гармонически меняющемся МП справедливо



eBrAjA





. (4.16)

Поскольку рассматриваемое МП плоскопараллельно, то в

цилиндрической системе координат

rot



























Отсюда следует

zzr

eAAAA 

 111



































































.rot

rot

111

ArA

zrz

(4.17)

Поэтому уравнение (4.16) можно переписать





















zzzz





(4.18)

Будем его решать методом разделения переменных, полагая









 nrRA



, (4.19)

причем, если выбрать











то после подстановки (4.19) в (4.18) получим обыкновенное

дифференциальное уравнение









 

222

 rRrSkn

rdR

rRd

n ,

где

 jk

 

n 1

11 







 



где









pS 1

- скольжение ротора относительно первой г а р -

моники магнитного поля; верхний знак (-) соответствует значениям





(

; 2,... 1, ,0



k ... 13, 7, ,1



); нижний знак (+) соот-

ветствует значениям





(

; 3,... 2, ,1



k ... 17, 11, ,5



Его решение известно [142]:

 









rSkYCrSkJCrR

nnn

nnn 2









, (4.20)

где









rSkYrSkJ

nnnn

- бесселевые функции порядка n соответ-

ственно первого и второго рода;

- произвольные

постоянные.

Учитывая, что









, следует принять



. В результатете

будем иметь















erSkJCA





, (4.21)

где постоянные

будут найдены из граничных условий задачи.

172 173

Используя (4.17), получим















nnr

erSkJCn





, (4.22)



















nnn

erSkJCSkB





, (4.23)

где





xJxJ







На границе областей 1 и 2







имеем





2121

, HHBB



. (4.24)

Обращаясь к уравнениям (4.12) и (4.13) для

22

и HH

, из

уравнений (4.24) получим систему уравнений для нахождения неиз-

вестных











   





 

nnnnn

nnnnnnn

rSkJCS

FFrSkJCj





















Ее решение будет





   

111011

201

rSkJrSkrSkJn

Fnj

nnnnnn











(4.25)

 





 

nnn

rSkJrSk

rSkJ















(4.26)

Принимая во внимание известные равенства













     

 















xJxJxxJn

xJxJxJ

nnn

(4.27)

формулам (4.25), (4.26) можно придать вид





   

 

11211111

rSkJarSkJarSk

Fnj

nnnnnnnn











(4.28)

 





   

1111

nnnn

rSkJrSkJ



















(4.29)

где

.1 ,1













После подстановки выражения (4.28) для коэффициента

формулы (4.22), (4.23) для радиальной и тангенциальной

составляющих магнитной индукции в стальном цилиндре получим

















   

112111





















nnnnnn

nnnnn

rSkJarSkJa

erSkJrSkJFn





(4.30)

















   

112111

























nnnnnn

nnnnn

rSkJarSkJa

erSkJrSkJFn









(4.31)

На другой стороне воздушного зазора (в среде 2) - на

окружности радиуса



- имеем согласно формулам (4.8), (4.11),

(4.12), (4.29)

 









   

121





















nnnnnn

rqjJarqjJa





(4.32)

 















eFn





, (4.33)

где





































Полученные формулы использовались применительно к

асинхроному двигателю (АД) с массивным ротором, выполненному

на базе серийного трехфазного АД типа 4А200М 2УЗ, со

следующими данными:

н2



кВт;

2943



об/мин;

220

нф



06,120



Нм; 89,0cos





; 90,0





;



; 6



q ;



;