Аракелян А.К., Афанасьев А.А. Вентильные электрические машины в системах регулируемых электроприводов. Том 1

Подождите немного. Документ загружается.

174 175

0652,0



Ом (0,0207 о.е.);

314





рад/с;

105,0 

(Ом.м)-1;



мм;

9,97



мм;

9,0





мм;

130



мм; материал ротора -

сталь 3.

На рис. 4.2 - 4.4 показаны амплитудные значения первой, пятой

и седьмой гармоник магнитной индукции на поверхности

массивного ротора в функции скольжения для данного двигателя,

подсчитанные по формулам (4.30), (4.31)

при

100











при

var









(здесь



- магнитная проницаемость стали на

поверхности ротора).

Функции Бесселя первого рода с комплексными аргументами:

4343 



nnn

xereqrSjrSk ;0

;0 ,





nnn

SxereqrSjrSk

где

Sq  ,

rqx



, выражаются через функции Кельвина:









xijxrxeJ

bebe













nxijxrxeJ





cosbebe

которые при малых значениях ар гумента могут выч исляться через

определяющие их теоретически бесконечные суммы [197]

 

knk































































4!!

cos

 

knk































































4!!

sin

Вычислительные эксперименты показывают, что при больших значениях

аргумента x (x>10) расчет функций Кельвина через бесконечные суммы приводит

к быстрому накоплению ошибок округления. Поэтому при x>10 следует

пользоваться формулами асимптотических разложений [197]:





nnn

Mx  cosber

;





nnn

Mx  sinbei

где

 











































543

128

1311

2384

2511

2ln

















































532

2384

2511

4n

Расчеты выполнены аспирантом А.В. Николаевым.

Рис.4.2. Амплитудные значения первых гармоник радиальной (а) и

тангенциальной (б) составляющих магнитной индукции на

поверхности массивного ротора в функции скольжения ротора

относительно основной гармоники магнитного поля (кривая

100

; - 2:



находится по кривой намагничивания стали 3)

Рис.4.3. Амплитудные значения пятых гармоник радиальной (а) и

тангенциальной (б) составляющих магнитной индукции на

поверхности массивного ротора в функции его скольжения

относительно основной гармоники магнитного поля при

100

4.4. Плотность тока в ферромагнитном роторе

В соответствии с выражениями (4.15), (4.16) комплексная

амплитуда плотности тока в роторе будет

rzz

BrAj

111







. (4.34)

После подстановки в (4.34) формул (4.21) и (4.22)

соответственно для



получим

176 177

Рис.4.4. Амплитудные значения седьмых гармоник радиальной (а) и

тангенциальной (б) составляющих магнитной индукции на

поверхности массивного ротора в функции его скольжения

относительно основной гармоники магнитного поля при

100















nnn

erSkJCSj





Учитывая выражения (4.27), (4.28) будем иметь

















   

112111

















nnnnnn

rSkJarSkJa

rSkJrSkJFS





В последующем нас будет интересовать квадрат модуля

плотности тока для n-ой гармоники. Из последней формулы,

опуская индексы 1z, получим

 

   

 

   























































rSkJ

rSkJa

rSkJ

nnn





(4.35)

Функция Бесселя с рассматриваемым комплексным аргументом

rqjrSjrSk

nnn

2/3



где

Sq 

, выражается через функции Кельвина













,beiber

2/3

nnnnnnn

ebrqjrqrqjJ





где

 





rqirqrb

nnnnn

bebe







 

rqr

rqi

arctq

В результате формула для квадрата модуля плотности тока

(4.35) получит вид

 































rqD

rqb



, (4.36)

где

 

   

     





































111111

cos2

nnnnnn

nnn

rqbrqb

rqb

arqD

На рис. 4.5, 4.6 по полученным формулам построены

зависимости амплитуд основной и высших гармоник плотности

тока на поверхности массивного ротора в функции его скольжения.

4.5. Потери в ферромагнитном роторе

Потери в стальном цилиндре от n-ой гармоники вихревых токов

с учетом (4.36) составят

 

   

 

,beiber

drrrqrq

rqD

drr

ddrr

nnnn

nnn



































 







(4.37)

где l - активная длина ротора.

178 179

Рис.4.5. Амплитуда первой гармоники плотности тока на поверхности

массивного ротора в функции скольжения (кривая 1:

100

; - 2:



находится по кривой намагничивания стали 3)

Рис.4.6. Амплитуды пятой (а) и седьмой (б) гармоник плотности

тока на поверхности массивного ротора в функции

скольжения при

100

Интеграл в этом выражении называется интегралом Ломмеля.

Его значение известно [92]. Получим окончательно

 

       

 

. beiberbeiber

111

1111

rqrqrqrq

rqD

Sln

nnn

nnnn































(4.38)

По этой формуле рассчитывались потери в массивном роторе

от основной и высших гармоник вихревого тока в функции

скольжения. Графики этих

зависимостей показаны на рис.

4.7-4.8.

Глубину проникновения в

стальной массив n-й гармоники

магнитного поля можно

определить по формуле



. (4.39)

График зависимости





111







для основной

гармоники магнитного поля

приведен на рис. 4.9.

Рис. 4.8. Потери в массивном роторе от пятой (а) и седьмой (б)

гармоник вихревого тока в функции скольжения при

100

Рис. 4.7. Потери в массивном

роторе от первой гармоники

вихревого тока в функции

скольжения (кривая 1:

100

;

2 -



находится по кривой

намагничивания стали 3)

Рис. 4.9. Глубина проникновения

в стальной массив ротора

основной гармоники магнитного

поля в функции скольжения

(кривая 1:

100

; - 2:



находится по кривой

намагничивания стали 3)

180 181

4.6. Электромагнитный момент. Расчет рабочих

характеристик

Как известно, поверхностная плотность электромагнитных сил,

действующих в касательном направлении к цилиндрической

поверхности ротора, будет равна [131].











HBT

где 0





- малая постоянная; r - радиус окружности, примыкающий

к ротору.

На этой окружности (при





) радиальная составляющая

магнитной индукции





и тангенциальная составляющая

напряженности





2

магнитного поля будут

 

   

,cos,

1max12









ntrBrB 



(4.40)

 

























1max12

cos,

ntrHrH 



, (4.41)

где

 





   

 

1max

2/3

121

2/3

1max

nnnnnn

nnnn

erB

rqjJarqjJa

rqjJrqjJ



















 





   

 

)2(

1max

2/3

121

2/3

1max





















nnnnnn

nnnn

erH

rqjJarqjJa

rqjJrqjJ

Fnj







В соответствии с теорией натяжений для электромагнитного

момента электрической машины будет справедливо выражение

   

 

.sin

cos

1max1

1 1

max

1max1

1 1

max

121

mnr

n m

rHrBlr

dmt

ntrHrBlr

drHrBlrdTlrM

























































 









(4.42)

С помощью этой формулы определялись электромагнитные мо-

менты от первой и высших гармоник магнитного поля в функции

скольжения для указанного выше тестируемого асинхронного

двигателя с массивным ротором. Результаты расчетов приведены

на рис. 4.10, 4.11.

Отталкиваясь от формулы

(4.32) для радиальной

составляющей магнитной

индукции на поверхности

статорного сердечника, легко

определить ток статора

асинхронной машины с

массивным ротором.

Для амплитуды первой

гармоники радиальной

составляющей магнитной

индукции справедливо

   

nnn

eGF











где ,





Рис. 4.10. Электромагнитный

момент первой гармоники

магнитного поля в функции

скольжения

(кривая

100

;

- 2:



находится по кривой

намагничивания стали 3)

182 183

здесь:









1121111

rqrarqraN

nnnnnn 













1121112

rqiarqiaN

nnnnnn 













1121113

bebe rqrarqraN

nnnnnn 













1121114

bebe rqiarqiaN

nnnnnn 







nnn 21











121

/arctq NN





342

/arctq NN













IkwnpF

wnn

 /22



Поскольку магнитный поток n-й гармоники одного полюса

 









то для действующего значения ЭДС обмотки статора имеем





,2/2

nnnnwnn

eIGQjkwfjE







где

 

nwnn

Q 





Принимая во внимание уравнение равновесия напряжения цепи

одной фазы обмотки статора

ZIEU





где







получим окончательно для тока статора

cossin



































nnn

GQXGQR

и его фазового угла

sin

cos

tqarc











nnn

GQR

GQX

Рис. 4.11. Электромагнитный момент пятой (а), седьмой (б) и

одиннадцатой гармоник магнитного поля в функции скольжения S1

(кривая 1:

100

; - 2:



находится по кривой намагничивания

стали 3)

184 185

На рис. 4.12, 4.13 показаны зависимости тока статора I и



cos

от скольжения для тестируемого асинхронного двигателя с

массивным ротором.

Вычисление тока статора, определяемого, как видим, в функции

скольжения ротора

относительно основной (первой) гармоники

магнитного поля, позволяет найти по предложенным выше

формулам все рабочие характеристики асинхронной машины

с массивным ротором.

Первая гармоника магнитной индукции перемещается по

поверхности ротора, имея амплитуду

   

 





 





1max1

1max1max1

rBrBB

rr 



(4.43)

Поскольку амплитуды ближайших высших гармоник (5-й и 7-й)

индукции существенно меньше первой (см. рис. 4.2, 4.3), то магнитную

проницаемость поверхности ротора







можно определять по

уровню действующего значения индукции первой гармоники [177].

На большей части полюсного деления поверхности ротора

(рис.4.14) магнитная проницаемость близка к минимальному

значению









1действ1min

rBf



, (4.44)

Рис. 4.13.



Сos в функции скольже-

ния асинхронного двигателя с

массивным ротором

(кривая 1:

100

; - 2:



находится по кривой намаг-

ничивания стали 3)

Рис. 4.12. Ток статора в функции

скольжения асинхронного двигате-

ля с массивным ротором

(кривая 1:

100

; -2:



находится по кривой на-

магничивания стали 3)

Рис. 4.14. Изменение магнитной

проницаемости на полюсном

делении поверхности ротора (

нач



начальная магнитная

проницаемость, соответст-

вуюшая нулевому уровню индукции;

max



- максимальное значение

проницаемости, соответствующее

точке перегиба кривой

намагничивания материала

ротора;

min



- минимальное зна-

чение проницаемости,

соответствующее максимуму

магнитной индукции)

соответствующему действу-

ющему значению первой

гармоники магнитной индукции

на поверхности ротора (4.43).

Поэтому в первом приближении

магнитную проницаемость

поверхности ротора можно

определять по выражению (4.44).

Более логично проница-

емость



определять как

среднее значение кривой













 

ср









 d

eee (4.45)

На этом этапе магнитная

проницаемость всего массива

ротора будет также приниматься

одинаковой и равной



магнитной проницаемости

поверхности ротора. Ниже будет

рассмотрен уточненный расчет проницаемости путем разбиения

цилиндра ротора на концентрические кольцевые области.

Характер изменения

min







функции скольжения ротора

показан на рис.4.15. Здесь кривая 2 получена с помощью кривой

намагничивания стали 3 и амплитуды первой гармоники магнитной

индукции, вычисляемой по формулам (4.40), (4.41), (4.43).

На рис. 4.16 показаны расчетные и опытные [170] зависимости

момента (a) и тока статора (б) от скольжения для асинхронного

двигателя с массивным ротором из стали 3, изготовленного на базе

серийного электродвигателя АО2-81-2 мощностью 40 кВт с

синхронной скоростью 3000 об/мин. Расчетные кривые

вычислялись с учетом лобового эффекта замыкания вихревых токов

ротора путем уменьшения удельной электрической проводимости

материала ротора на коэффициент [161]:

186 187









Завышение расчетных значений момента по сравнению с

опытными (примерно на 14%) связано на этом этапе расчета

с неучетом магнитного напряжения в статорном сердечнике

(принято







В заключение отметим, что аналитическим и численным

методам расчета асинхронных машин с массивным ротором

посвящено достаточно много работ. Аналитические подходы,

естественно, связаны с теми или иными допущениями. Назовем

те из них, которые сняты в данной работе:

1) не учитывается кривизна магнитных сердечников и

воздушного зазора (электромагнитные явления рассматриваются

в прямоугольной системе координат) [170];

2) не анализируется влияние высших гармоник МДС на рабочие

свойства машин [145, 161, 170, 188];

3) игнорируется рассеяние магнитного поля в воздушном зазоре

(магнитный поток, выходящий из статорного сердечника

принимается равным

магнитному потоку, входящему

из воздушного зазора в массив

ротора) [145, 161] или его учет

производится приближенно

[170, 188];

4) расчет магнитного поля

в стали ротора производится

при заданных на его

поверхности волнах магнитной

индукции (



) и напряженности

электрического поля (

) [170,

188];

5) связь между ЭДС ротора

и статора находится на основе

приближенного интегрального

представления закона

электромагнитной индукции

[145, 170, 188].

Рис. 4.15. Минимальное значение

относительной магнитной

проницаемости на поверхности

стального массива ротора в

функции его скольжения (кривая 1:



0mine

100; -2:

0min



находится по кривой намаг-

ничивания стали 3)

Рис. 4.16. Электромагнитный момент (а) и ток статора (б) в

функции скольжения асинхронного двигателя с гладким массивным

ротором из стали 3, изготовленного на базе асинхронной машины

АО2-81-2 (кривая 1 соответствует

-1

м)Ом( к106 

; -

-1

м)Ом( к105 

; -3:

-1

м)Ом(к104 

;

5,2к



; o - опытные

точки)

4.7. Расчет магнитного поля при конечном значении

магнитной проницаемости статорного сердечника

В предыдущих расчетах магнитная проницаемость статорного

сердечника (среды 3 на рис. 4.1) принималась бесконечно

большой. В этом случае среда 3 не оказывала влияние на

магнитное поле в соседней кольцевой области - воздушном зазоре.

Такое влияние имеет место в реальном случае, когда магнитная

проницаемость сердечника статора конечна.

Расчет магнитного поля при учете вихревых токов

в статорном сердечнике

Полагая статорный сердечник электропроводящим, расчет

магнитного поля в нем может производиться аналогично расчету

магнитного поля в массивном стальном роторе. В соответствии с

формулами (4.20), (4.22), (4.23) будем иметь для среды 3

   

 

32313











nnnnr

erkYDrkJDn





(4.46)

188 189

   

 

323133



















nnnn

erkYDrkJDkB





(4.47)

где

333

 jk

- постоянные, определяемые из

граничных условий.

В среде 2 (воздушном зазоре) на окружности с граничным

радиусом



имеем согласно формулам (4.8), (4.11), (4.12)

 

   

















nnnnr

eFFn





(4.48)

 













eFn





(4.49)

где













222

nnn

FFF







;









- дополнительное слагаемое, обу-у-

словленное магнитным полем статорного сердечника.

Формулы (4.46) - (4.49) содержат три неизвестных

коэффициента





nnn

FDD





, которые определяются из трехх

уравнений, выражающих граничные условия









 ,,

22023

rHrB







 



















,



=0.

Из этих трех уравнений несложно получить выражения для

неизвестных коэффициентов:

















32103

23330

NkrMn

FFrkYnj

nnnnn

























32103

23330

NkrMn

FFrkJnj

nnnnn











 













32103

2230

NkrMn

FFNrk

nnnn











где

















23333323

rkYrkJrkYrkJM

nnnn





















23333323

rkYrkJrkYrkJN

nnnn









Расчет магнитного поля при пренебрежении

вихревыми токами в статорном сердечнике

Магнитное поле в среде 3 (рис. 4.1) может быть определено

на основе решения краевой задачи Неймана. В этом случае

полагаем заданными радиальные (нормальные) составляющие

напряженности магнитного поля на границах области 3:













,sin

cos







nbnarH

nAr





.0,





Тогда скалярный магнитный потенциал в этой области будет

равен [187]

 









,sin

cos

knrDrBnrCrArU













(4.50)

где

 





























rrn

brr

rrn

arr

rrn

(4.51)

k - постоянная.

Ввиду четности магнитного поля фазы A (рис.4.1) можем

принять







. Тогда имеем



Обозначая









tHa

 cos



(4.52)

190 191

и суммируя магнитные поля всех трех фаз, получим

 

cos















eHntHrH









(4.53)

После подстановки выражений (4.51) в формулу для СМП

(4.50) имеем для внутренней границы области 3

 

,cos

223

kna

rrU













где









nnnn

rrrr

/ 

Суммируя СМП всех трех фаз, получим с учетом (4.52)

 

223

keH

rrU



















Тогда тангенциальная составляющая напряженности МП для



будет

 





 





















(4.54)

Граничные условия для границы между областями 2 и 3

представляются двумя уравнениями









,,,

233220











rHrH

   





2322











rHrH

Подставляя в них формулы (4.6), (4.48), (4.49), (4.53), (4.54),

получим два уравнения для нахождения двух неизвестных











n



   





 

nnnnn

HFF











     

nnnn







решая которые, найдем

 













 

31032

nnnn

FFn











(4.55)

 









3103

320

nnnn













(4.56)

Видим, что в идеальном случае, когда







, имеем













222

nnn

FFH







или









4.8. Учет изменения магнитной проницаемости

в массивном ферромагнитном роторе

Зависимость магнитной проницаемости от глубины погружения

магнитного поля в тело ротора легко учесть путем разбиения его

массива на элементарные участки, имеющие форму

концентрических колец (рис. 4.17). Каждому i-му элементарному

участку будет соответствовать свое значение магнитной

проницаемости, равное



На границах элементарных участков магнитная проницаемость

будет испытывать скачки. Внутри элементарного кольца параметры

среды





являются неизменными, т. е. сама среда будет

однородной (линейной), а исходное дифференциальное уравнение

(4.18) для векторного

потенциала в ней будет

линейным. Поэтому для таких

элементарных участков нет

необходимости изначально

рассматривать магнитную

проницаемость как непрерыв-

ную функцию пространствен-

ных координат. Таковой она,

очевидно, становится, если

число элементарных концентри-

ческих колец взять бесконечно

большим.

Рис. 4.17. Элементарные участки

ротора в форме концентрических

колец с номерами 1, 2, …,m

192 193

В соответствии с формулами (4.17), (4.20) будем иметь

следующие выражения для составляющих комплексной амплитуды

n-ой гармоники магнитной индукции в элементарном участке

 













211

rSkYCrSkJCn

 



(4.57)

















211

rSkYCrSkJCSkB

ini













(4.58)

где

.,,,2,1



jkmi 

Для последнего (m-го) участка, имеющего форму круга, следует

принять



Неизвестные коэффициенты







с помощью

формул (4.12), (4.13) для элементарных участков определятся из

граничных условий вида (4.24).

Например, из граничных условий воздушного зазора и

наружной поверхности ротора следуют уравнения

















 

,2/3

2/3

101

nnnnnnnn

FjrSkYCrSkJC









(4.59)





   

 

.02/3









nnnnn

nnn

FSkrnjrSkYC

rSkJC



(4.60)

Введем в рассмотрение вектор неизвестных





221

xxxx 

компоненты которого будут

     

.,,,

,,,,,

21122

221

322

nmn

mnnnn

FxCxCxC

xCxCxCxCx











Тогда из граничных условий i-го и (i+1)-го элементарных

участков, имеющих граничную окружность радиуса



получим уравнения

122,1212111

bxaxaxa



(4.61)

22,2222121



xaxaxa

(4.62)

2222,121212,1222,121212,12





 iiiiiiiiiiii

xaxaxaxa

(4.63)

2222,221212,2222,221212,22





 iiiiiiiiiiii

xaxaxaxa

(4.64)

где

i = 1, 2, ..., (m-1),





rSkJa







rSkYa



102,1 nm

ja  





rSkJa









rSkYa





Skrjna

2,2

23 





112,12

rSkJa

nii









12,12

rSkJa

nii











12,12

rSkYa

nii









22,12

rSkYa

nii















12,22

rSkJka

















2,22

rSkYka



















112,22

rSkJka



















122,22

rSkYka







,0,0

2,22,12



 mmmm

     

 

zYzYzY

nnn 11







Неизвестные постоянные колец будут определяться из

векторно-матричного уравнения



, (4.65)

где









201

Fjb





;



, mk 2 ..., ,3,2



;

матрица А имеет следующую структуру: