Аракелян А.К., Афанасьев А.А. Вентильные электрические машины и регулируемый электропривод. Книга 1

Подождите немного. Документ загружается.

221

Выводы

1. Предлагаемый способ синтеза частотно-независимых

параметров схемы замещения синхронной машины в коор-

динатах

d, q

основан на применении легко доступных стан-

дартных вычислительных операций — решении системы ал-

гебраических уравнений и нахождении корней полиномов.

2. Определение исходных опытных данных не требует фа-

зовых измерений в сильно индуктивных цепях электрических

машин, связанных со сравнительно большими погрешностя-

ми (особенно на низких частотах).

4.3. Синтез линейного пассивного двухполюсника на ос-

нове известных частотных зависимостей активных и реак-

тивных составляющих его входной проводимости

Для общности случая анализируется синхронная машина

явнополюсного типа, синтезируемая электрическая схема

замещения которой берется в координатах

d, q

. В этом вари-

анте спектр испытательных частот совпадает со спектром

частот реальных токов ротора, что позволяет более обосно-

ванно выбирать испытательные частоты по соображениям

лучшего выявления частотных свойств сложного токораспре-

деления в контурах ротора (например, в синхронных маши-

нах с массивными полюсами и с резким проявлением эф-

фекта вытеснения тока) и математической реализуемости

рассматриваемого метода синтеза параметров машины.

Полагаем также, что параметры обмотки статора (активное

сопротивление и индуктивность рассеяния) известны. Поэтому

конечной целью синтеза является расчет параметров ротора в

виде некоторой схемы замещения, наиболее удобной для даль-

нейшего использования. В качестве такой схемы целесообразно

выбрать схему, состоящую из

простых ветвей типа

r L

j j

;





j n

 1 2, ,..., (рис. 4.2,а), включенных параллельно индуктив-

ности взаимоиндукции обмоток статора и ротора

 

ad q

, опре-

деляющей основную гармонику реактивной составляющей тока

синхронизма по оси





d q

невозбужденной машины. При из-

222

вестных параметрах этой схемы легко составить дифференци-

альные уравнения электрического равновесия эквивалентных

(расчетных) контуров ротора, число которых равно числу синте-

зируемых ветвей. Введем обозначения:

— вектор-столбец ис-

комых переменных размером





2 1

 :





 



x x x x x

n n n

1 2 1 2

... ...







r r r L L L

n n

1 2 1 2

... ... ;

— вектор-столбец

результирующей элек-

трической проводимо-

сти всех синтезируемых

ветвей ротора для

значений частот







k n

 1 2, ,..., ,

имеющий размер





2 1

 . Причем первые

элементов этого

столбца равны вещест-

венной проводимости,

вторые — реактивной:





y y

1 2

... .

...



y y y y

n n n n

 1 2 2

... .

Искомые перемен-

ные





j n

 1 2 2, ,...,

связаны с элементами вектора

зависимостями:

 

x x

j k n j











, (4.9)

Рис. 4.2. Схемы замещения синхрон-

ной машины с частотно-

независимыми параметрами ротора

(а), статора и ротора (б)

223

 

x x

n k

k n j

j k n j





 







;





k n

 1 2, ,..., . (4.10)

Для конкретной машины с известными параметрами об-

мотки статора элементы вектора

, т.е. левые части равенств

(4.9), (4.10), могут быть найдены экспериментально. Эту

опытную реализацию вектора

обозначим в виде матрицы

. Таким образом, искомые переменные

удовлетворяют

уравнению:

y y

 

0 . (4.11)

Для его решения воспользуемся методом непрерывного про-

должения решения по параметру [119]. C этой целью урав-

нение (4.11) запишем в виде:

y c



 

 

 , (4.12)

где



— некоторый вещественный параметр с областью не-

прерывного изменения

0  

;

— значение вектора

, найденное по формулам (4.9),

(4.10) для некоторого произвольного значения вектора

x x



Как видно из (4.12), переменные

непрерывно зависят

от значения параметра







x x

j j

  ;





j n

 1 2 2, ,..., , (4.13)

причем решение

x x



соответствует значению параметра

  0

. При

 

уравнение (4.12) принимает вид (4.11). Его

решение





x x T

j j

 является искомым, соответствующим

опытной реализации вектора

224

Таким образом, уравнение (4.12) задает систему неявных

функций (4.13), являющихся его решением и непрерывно

зависящих от параметра



. В соответствии с теоремой о не-

явных функциях [251] решение уравнения (4.12) единствен-

но, если определитель матрицы Якоби этого уравнения:





(4.14)

отличен от нуля.

Дифференцируя матричное уравнение (4.12) по параметру



, получим обыкновенное дифференциальное уравнение по-

рядка 2





wx y c



 

0 1

, (4.15)

где



x x



d d

 — вектор-столбец производных искомых пере-

менных по параметру



Аналитические выражения для элементов квадратной

матрицы Якоби с размерностью





2 2

n n

 можно найти, ис-

пользуя формулы (4.9), (4.10), (4.14)

w w















11 12

21 22

где





 

x x

j k n j

 

 





















;

 

x x

n j

j n j

j k n j

  





















;

225

 

x x

n k

j n j

j k n j

  





















;

 

x x

n k

n j

j k n j

 

































 



Численное интегрирование дифференциального уравне-

ния (4.15) при соблюдении условия

 0 (4.16)

может производиться стандартными методами математиче-

ского обеспечения ЭВМ, например, методом Рунге-Кутта

того или иного порядка. Опыт его решения показывает, что

в ряде случаев возможно интегрирование методом Эйлера с

достаточно большим шагом (





 

1 3

). Полученные

значения





x x T

j j

 рассматриваются в качестве начального

приближения

при повторном интегрировании уравнения

(4.15) с целью повышения точности решения. Вместо по-

вторного интегрирования можно применить итерационный

метод Ньютона, для реализации которого из предыдущего

метода используется подпрограмма расчета матрицы Якоби.

В этом случае интегрирование уравнения (4.15) произво-

дится грубо (со сравнительно большой погрешностью) мето-

дом Эйлера, но в

опорных точках интервала

0  



i T s

 ,

i s

 1 2, ,...,

решения (4.13) уточняются до необходимой точности итера-

ционным методом Ньютона:

226

w Q

   , (4.17)

где

Q y

y c

 

 



 ;

— номер итерации в точке  

;

— матрица Якоби и векторная функция

, най-

денные для значений

x x



, взятых при  

;



 



x x

— вектор невязки для итерации с номером

Количество опорных точек

выбирается достаточно ма-

лым из условия, чтобы в каждой из них итерационный про-

цесс был сходящимся.

Продолжение решения





 при изменении



прекра-

щается, если для какого-либо



0    

кр

не выполняется условие (4.16). В этом случае одна из произ-

водных

dx d

 (

i n

 1 2 2, ,..., ) в точке  

кр

меняет знак,

проходя через бесконечность (имеем разрыв типа бесконеч-

ности). Для прохождения этой точки следует «инвертиро-

вать» переменные [277], приняв за аргумент в системе диф-

ференциальных уравнений (4.15) не параметр



, а данную

переменную

, производная которой терпит разрыв.

В качестве иллюстрации применения рассматриваемого

метода найдем параметры эквивалентных контуров ротора

применительно к синхронному двигателю СД—102—8 мощ-

ностью 75 кВт, полюсные сердечники из шихтованной стали

которого были заменены массивными. Для этой модернизи-

рованной машины аналитически рассчитывались параметры

известной схемы замещения массивного ротора [185] (будем

называть ее классической), по которой далее определялись

значения элементов вектора результирующей электрической

227

проводимости ротора

. Эти значения по оси

, соответст-

вующие номинальному возбуждению, отмечены на рис. 4.3

кружками. Рядом указаны значения частот, для которых они

рассчитаны. По значениям

на четырех частотах

k k

  2 (0,013; 0,047; 0,59 и 50 Гц) определялись предла-

гаемым методом параметры схемы замещения вида рис. 4.2,

а с четырьмя ветвями ротора





 4 .

Рис. 4.3. Суммарная электрическая проводимость контуров массивного

ротора по оси d для различных частот: 1 — по классической схеме за-

мещения; 2 — по схеме замещения вида рис. 4.2, а при n

 4

Их значения в относительных единицах приведены в верхних

строках табл. 4.2.

Таблица 4.2

Параметры

Номера ветвей

ветвей 1 2 3 4

, о.е.

0,002530 0,004287 0,034310 0,009594

0,000017 0,008008 0,234775 0,004423

, о.е.

10,6928 0,386391 0,068222 —0,223382

1,32341 2,02415 0,02415 0,111290

228

Видим, что не все полученные параметры положительны





0 . Это указывает на то, что схемная функция синтези-

рованного двухполюсника не принадлежит классу положи-

тельных вещественных функций [269]. Схема замещения

синхронной машины с такими параметрами не может быть

физически реализована.

В нижних строках табл. 4.2 приведены параметры, синте-

зированные для другого диапазона испытательных частот:

0,01; 0,1; 1,0; 100 Гц. Эти параметры (все они положительны)

будут принадлежать уже физически реализуемому двухпо-

люснику. Этот пример указывает на важность выбора значе-

ний испытательных частот с точки зрения возможности

практического использования полученных параметров.

При достаточно большом числе испытательных частот

реальная частотная характеристика ротора будет близка к

частотной характеристике синтезированной схемы замеще-

ния ротора в выбранном диапазоне частот. Обозначим через

y g jb

k k k

0 0 0

  ;

y g jb

k k k

 

результирующие электрические проводимости контуров ро-

тора, найденные соответственно из опыта и по схеме заме-

щения рис. 4.2,а. Значения этих проводимостей по оси

ро-

тора рассматриваемой синхронной машины для широкого

диапазона частот приведены в табл. 4.3. Причем за опытные

величины принимались значения, полученные аналитически

из классической схемы замещения массивного ротора.

Синтезированные параметры определялись при исполь-

зовании опытных значений

на четырех частотах (0,01;

0,1; 1; 100 Гц). Из таблицы 4.3. и рис. 4.4 видно, что даже

при сравнительно малом числе синтезированных ветвей





 4 значения активных и реактивных составляющих про-

водимостей

близки друг к другу на значительном

диапазоне частот (0,01—100 Гц). Максимальная погрешность

реализации активной составляющей проводимости составля-

ет в этом диапазоне 32%, реактивной — 24 %.

229

Таблица 4.3

 Испытатель-

ные

Электрические проводимости, См

п/п

частоты,

,Гц

1 0,01 379,217 379,156 145,710 145,951

2 0,05 244,809 228,857 69,3307 52,7377

3 0,1 212,544 212,523 54,5830 54,5741

4 0,5 157,860 149,883 59,3212 64,6908

5 1,0 121,330 121,357 74,9181 74,9456

6 5,0 24,4740 22,6036 44,9893 53,2053

7 10,0 11,9314 8,2594 25,3846 29,4767

8 50 3,9065 2,9308 6,3395 6,3716

9 100 2,6741 2,6764 3,5949 3,5892

10 500 1,1586 1,3280 1,0728 1,9746

11 1000 0,8125 0,5219 0,6602 1,3782

12 10000 0,2511 0,0064 0,1638 0,1628

Рис. 4.4. Частотные завис

и-

мости суммарных активной

(кривые 1,2) и реактив-

ной b

(кривая 3,4) проводи-

мостей массивного ротора

(масштаб I по оси ординат

имеют кривые 1,3 масштаб II

— 2,4); a,б — опытные значе-

ния соответственно

230

Синтезируемые параметры, в отличие от параметров

классической схемы замещения ротора, могут рассматри-

ваться как частотно-независимые, поскольку для них коэф-

фициенты вытеснения тока (коэффициенты Фильда) следует

считать равными единице. Это обстоятельство облегчает рас-

чет суммарных потерь в роторе, особенно в режиме совмест-

ной работы со статическим преобразователем частоты. Рас-

чет потерь в стали статора в этом режиме может произво-

диться с помощью схемы замещения рис. 4.2, б, где эквива-

лентные контуры стали статора по оси

представлены пара-

метрами

;





j m

 1 2, ,..., . Эти параметры находятся

рассмотренным выше методом на основе использования из-

вестных значений потерь в стали статора (из расчета или

опыта) для серии испытательных частот. Результирующие

проводимости статор-ной и роторной схем на испытатель-

ных частотах равны в сумме опытным значениям:













y y yj j j

    . (4.18)

Элементы вектора





 , относящегося к статору, мо-

гут находиться либо также из аналогичного опыта (при вы-

нутом роторе), либо расчетным путем на основе использова-

ния комплексной магнитной проницаемости электротехни-

ческой стали на переменном токе [280]. При известных зна-

чениях векторов

вектор

, относящийся к ротору,

определяется из равенства (4.18).

Поскольку схемы замещения машины рассматриваются в

системе координат

d, q

, то их ветви, соответствующие кон-

турам статора (обмотка и эквивалентные короткозамкнутые

контуры в стали статора), содержат внешние напряжения

 

d q

(для обмотки статора) и ЭДС вращения

 

 

q d j

(

 



q d j

— потокосцепление

контура стали статора от маг-

нитного потока по оси

(

)).

При наличии в схемах замещения ветвей, соответствую-

щим вихревым токам в стали статора, из ветви намагничива-