Аракелян А.К., Афанасьев А.А. Вентильные электрические машины и регулируемый электропривод. Книга 1

Подождите немного. Документ загружается.

181

где

   

F F

 





— суммарная величина МДС (взятых в

обычном смысле, то есть без выделения постоянных

(униполярных) составляющих [95]) всех

обмоток ма-

шины.

При расчете магнитного поля (МП) в ВЗ используются

уравнения непрерывности магнитного потока на периоде его

пространственного изменения:

 

B d





 







(3.42)

и равновесия магнитных напряжений для (2

—1) контуров,

из которых

имеют шаг по оси



, равный

счетным точ-

кам, остальные (

—1) — шаг, равный одной счетной точке.

Такой способ расчета МП позволяет вычислять МДС обмо-

ток с точностью до постоянной составляющей, так как для

каждого данного контура используются разности этих МДС.

Однако несложно показать, что при выполнении равенства

(3.42) постоянные составляющие МДС обмоток всегда будут

равны нулю. Действительно, уравнение (3.42) с помощью

формул (2.3), (3.41) можно записать в виде:

 

   

 





  





i w

j j













, (3.43)

где









j j j j

F i w

  — (3.44)

относительное значение магнитного потенциала

обмотки в

долях полного тока ее элементарной катушки

, занимающей

Числа витков

элементарных катушек: обмотки якоря — w w a

j k



(

a — числа соответственно витков катушек и параллельных вет-

вей); обмоток возбуждения — w w p

j f

 2 ;

ДО

—

 1.

182

два паза (катушки якоря, обмотки возбуждения одного по-

люса, контура ДО из двух соседних стержней).

Равенство (3.43) должно выполняться при любых (в общем

случае, произвольных) значениях токов обмоток, поэтому

для каждой обмотки справедливо:

 

   

 

d j N



  







0 1 2





 , , ,... . (3.45)

Полученная зависимость (3.45), принимая во внимание

(3.44), указывает на отсутствие постоянной (униполярной)

составляющей МДС обмоток.

Формулы (2.3), (3.41) позволяют рассчитать потокосцеп-

ления и индуктивности само- и взаимоиндукции обмоток,

обусловленные магнитным потоком ВЗ. Например, потокос-

цепления фаз обмотки якоря







 

 

i j

j j

pl w w i





, (3.46)

где

i A B C

 , , ;

   

 



 

  















, (3.47)





 — коэффициент веса счетной точки ВЗ, учиты-

вающий влияние на потокосцепление и МДС фазной об-

мотки укорочения шага катушек, их распределения по

пазам и соединения (встречно, согласно) катушечных

групп друг с другом.

Модуль этого коэффициента в некотором смысле анало-

гичен известному обмоточному коэффициенту, связанному с

представлением МП и его источников пространственными

рядами Фурье. Для практических расчетов с высокой степе-

нью точности можно принять, что коэффициент

является

целочисленной функцией номера

зубцового множества

якоря, которая будет оставаться неизменной для счетных то-

чек этого множества:

k k

i s i

в в

 , например,





s i

 1 1 , если

магнитный поток зубца с номером

сцеплен только с одной

183

катушкой фазы

в положительном (отрицательном) направ-

лении оси катушки. Максимальное по модулю значение это-

го коэффициента совпадает с числом катушек в катушечной

группе (полугруппе для двухслойной обмотки). Операцию

нахождения значений коэффициента

s i

(

i A B C

 , , ;

s z





1 2

, ,... ) можно формализовать, опираясь на связь этого

коэффициента с относительными значениями пазовых токов

фазы.

Для расчета целочисленных коэффициентов

s i

(

i A B C

 , , ;

s z





1 2

, ,... ) введем в рассмотрение векторы:

в в в в

i i i z i

k k k

















1 2 1

... ,

П









 

  

 

   

1 2

2 1

1 1 1

П П П П

i i

... ,

где







i i i

F F i w

П  

1

— относительное значение пол-

ного тока

фазы в пазу между





 1 и

зубцами якоря;

— значение МДС

фазы, приходящееся на зубец

якоря с номером

При известном значении одного коэффициента



осталь-

ные находятся по формуле:



1

П

, (3.48)

где

















1 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0

0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 1

...

... ... ... ... ... ... ...

...

—

квадратная матрица

размерностью



 .

184

В качестве примера в табл.3.1 представлены значения коэф-

фициента

, подсчитанные по формуле (3.48), для син-

хронной машины СД102—8, имеющей обмотку якоря с дроб-

ным





q q

 2 5, и пространственный период МП, равный

2





p z

 

 1 15

; .

Таблица 3.1

-1

-2

-1

-2

-1

Аналогичными с (3.46), (3.47) будут выражения для пото-

косцеплений других обмоток, в которых коэффициент веса

принимает также целочисленные значения. Например:



  







1 2 2

1 2 3 2

, ,

 

k x x x i r

i i

   



1 1 2

, , , ,... .

Выражения для потокосцеплений обмоток типа (3.46) да-

ют возможность ввести в рассмотрение индуктивные пара-

метры, обусловленные магнитным потоком взаимоиндукции

ВЗ:

L pl w w

i j j

 





 

i j N

, , ,... 1 2 . (3.49)

Они могут трактоваться как статические индуктивности об-

моток, связанные с линеаризацией «в большом» магнитных

характеристик машины. В матричном виде уравнение (3.46)

применительно ко всем обмоткам получит вид:







L i



,       (3.50)

где



— квадратная матрица размерностью



185

Такая линеаризация позволяет методически строго [152] рас-

считать электромагнитный момент ВМ с насыщенной маг-

нитной цепью, используя безинтегральную операцию нахож-

дения коэнергии МП обмоток:









i i L i





т т



Тогда для электромагнитного момента будем иметь зависи-

мость:

M p

W p

 









i L i

т т



, (3.51)

где



L L

 

 

 ,



— угол в электрических радианах между

осями

индуктора и фазы

якоря.

ЭДС, наведенные в обмотках главным МП, находим с

помощью формулы (3.50):







 



. (3.52)

Учитывая, что





L L

 



i i i

1 1

, ,... , , уравнение (3.52) нетруд-

но преобразовать







 

  

L L

L i

  





, (3.53)

где





   

L L L L

   



1 2

...

, 





 ,

k N

 1 2, ,... , 





Следует отметить, что матрица (



 



) в формуле (3.53)

совпадает с матрицей дифференциальных индуктивностей

д













.Видим, что ее расчет является сравнительно

186

трудоемкой операцией, так как требует вычислений МП ма-

шины в количестве

раз. Однако надобность в дифферен-

циальных параметрах возникает только на первом (началь-

ном) шаге интегрирования дифференциальных уравнений

ВМ, когда матрица



в уравнении (3.52) является неиз-

вестной, и по этой причине вместо (3.52) приходится ис-

пользовать (3.53). На последующих же шагах матрица



может быть вычислена по данным всего двух расчетов МП

машины (на данном и предшествующем шагах). Поэтому

при составлении системы дифференциальных уравнений ВМ

уравнение (3.52) используется как основное. Кроме того, на

каждом шаге (или, в общем случае, с пропуском нескольких

шагов) вычисляется также матрица





, которая нужна для

определения электромагнитного момента по формуле (3.51).

Выводы

1. Введенные в рассмотрение весовые коэффициенты

счетных точек воздушного зазора и пазовые токи позволяют

математически формализовать выявление и учет особенно-

стей дискретного расположения проводников обмоток.

2. По сравнению с динамическими индуктивностями

использование аппарата статических индуктивностей, осно-

ванных на локальном учете (для каждой счетной точки воз-

душного зазора) коэффициентов насыщения, двухсторонней

зубчатости и линеаризации «в большом» магнитных характе-

ристик машины, дает возможность в

раз (

— количество

обмоток машины) сократить число обращений к программе

расчета магнитного поля машины.

3. Использование статических индуктивностей взамен

динамических делает операцию нахождения коэнергии маг-

нитного поля обмоток безынтегральной. Это вызывает сни-

жение методической погрешности и ускорение процедуры

расчета электромагнитного момента машины.

187

3.5. Магнитное поле и индуктивные параметры синхронной

машины при учете зубчатости воздушного зазора в среднем

В электрических машинах автономной энергетики, на-

пример, в вентильных, частота вращения, уровень и гармо-

нический состав напряжения якоря, степень насыщения маг-

нитной цепи могут иметь значительный диапазон изменения.

Для анализа установившихся и переходных процессов как в

самих таких машинах, так и в сопряженных с ними электри-

ческих цепях и устройствах необходимы сравнительно досто-

верные, реализуемые при относительно малых затратах вре-

мени методы расчета магнитного поля и параметров маши-

ны, учитывающие основные физические факторы.

Рассматриваемый ниже метод предполагает следующие

допущения:

1) магнитное поле в машине плоско-параллельное;

2) зубчатость якоря и полюсных наконечников индуктора

учитывается в среднем с помощью коэффициента Кар-

тера;

3) магнитная проводимость зубцовых зон в тангенциаль-

ном направлении равна нулю;

4) любой сколь угодно малый в тангенциальном направ-

лении элемент зубцового слоя имеет такую же магнит-

ную характеристику, что и элемент этого слоя с угло-

вым размером в зубцовый шаг;

5) магнитные поля рассеяния обмоток не зависят от на-

сыщения магнитной цепи.

На базе этого метода определяются динамические индук-

тивные параметры машины, которые, в частности, исполь-

зуются для оценки показателей ее статической устойчивости.

Рассмотрим участок зубцового слоя, ограниченный двумя

осевыми плоскостями, проходящими через радиальные оси

двух соседних пазов. Цилиндрические поверхности этого

участка, концентричные поверхности якоря, примем за эк-

випотенциали магнитного поля. Магнитное напряжение ме-

жду указанными эквипотенциалями найдем, подразделяя

магнитный поток зубцового деления на потоки в зубце и в

пазу:

188

 

B l t

B H k H

zy zy zy

 

 

0 пy

, (3.54)

где



— среднее значение нормальной составляющей ин-

дукции в воздушном зазоре на зубцовом делении

;

— площадь поперечного сечения зубца на расстоянии

от дна паза;

;

— индукция и напряженность магнитного поля

в данном сечении;

пy

 — коэффициент ширины паза;



— расчетная длина машины.

Кривую намагничивания материала зубцов





B H

z z

ап-

проксимируем сплайнами третьего порядка [163], коэффици-

енты которых неизменны для фиксированного диапазона

изменения индукции. Задаваясь численным значением ин-

дукции



при решении уравнения (3.54), можно найти со-

ответствующие величины

и рассчитать магнитное на-

пряжение зубцового слоя элементарного участка:

F H dy

z zy





, (3.55)

где

— высота зубца.

Фиксируя ряд дискретных значений



, например в пре-

делах от 0,1 до 1,25 Тл, найдем табличную зависимость





F f B





, (3.56)

которую можем также аппроксимировать совокупностью со-

ответствующих сплайнов.

189

Разобьем полюсное деление по средней окружности воз-

душного зазора на 2

равных элементарных частей. Ось

свяжем с ротором таким образом, чтобы нулевая точка ее

совпала с продольной осью полюса. Точки деления, соответ-

ствующие координатам:









k n n n

   , ,... , , ,...1 0 1 2 , (3.57)

считаем расположенными в центре отрезков с размером







В соответствии с отмеченным выше допущением 4, для

элементарного участка зубцовой зоны с координатой

x x



связь между средним значением индукции воздушного зазора



и магнитным напряжением этого элемента

выража-

ется зависимостью (3.56). Это допущение значительно облег-

чает расчет магнитного поля, поскольку отпадает необходи-

мость в формировании совокупностей дискретных точек,

принадлежащих участкам реальных зубцов якоря и полюсов

индуктора. Выделение таких совокупностей требует введения

еще одной координатной оси, жестко привязанной к по-

верхности якоря.

Для зубцовых слоев якоря и индуктора будем иметь зави-

симости:





F f B

z x z x

1 1





;   

 

2 2

, (3.58)





F f B

z x z x

2 2





;



, (3.59)

где

— ширина полюсного наконечника.

Суммируя левые части уравнений (3.58) и (3.59) при одном и

том же значении аргумента



, получим результирующую

характеристику зубцового слоя машины:

190

 

F f B x

F f B

zx z x

 

  















; ,

; .

2 2

(3.60)

Магнитное напряжение воздушного зазора в пределах

полюсной дуги рассчитываем по формуле:







;



, (3.61)

где

 

   

  













min max min

k k k

  



1 2

 

   

t b



1 2

1 2 1 2





 

 

   

  

min max min

Магнитную индукцию в точках средней окружности воз-

душного зазора, относящихся к межполюсному пространст-

ву, рассчитываем, ввиду относительной малости индукции,

методом наложения, выделяя продольное и поперечное поля.

Имеем [122]:





















(3.62)

где

2 2

 



, 

































tg arctg

max