Аракелян А.К., Афанасьев А.А. Вентильные электрические машины и регулируемый электропривод. Книга 1

Подождите немного. Документ загружается.

161

Выражения для постоянных могут быть получены из

уравнения (3.8) и условий (3.10).

Рис. 3.1. К расчету потенциальной составляющей магнитного поля

паза

Для паза с проводником по рис.3.1 имеем:





 

m h

 



 















sin

;



cos

sin

 



 



(3.11)

где

 



, sin

H u x h u dudx

  





 . (3.12)

162

При использовании наиболее распространенного допущения

[122]







H x y I b

const   , (3.13)

получим

  



cos

m h

. (3.14)

Потенциальное МП паза с проводником по рис. 3.1 име-

ет два источника. Первым источником является заданный

скалярный магнитный потенциал ферромагнитных границ

области

... А

. На левой стенке паза и линии

име-

ем

  

U U I

max

    2 . На правой стенке паза и линии

имеем

 

U U

max

 . Для дна паза (линия

) справедливо:

 



U I H dx

м г

  



На поверхности другого сердечника (линия

), так же как

на продольной оси паза, скалярный магнитный потенциал

равняется нулю. Напряженность потенциального МП от это-

го источника обозначим







H x y

. Она может быть сравни-

тельно эффективно рассчитана путем конформного отобра-

жения верхней комплексной полуплоскости на внутренность

многоугольника

... А

и применения интегральной

формулы Шварца для полуплоскости [53].

Вторым источником потенциального МП являются маг-

нитные заряды с объемной плоскостью:





 



sin 



 





   

0

H u x

y u du

, (3.15)

которые в пределах паза наводятся по сечению проводника с

током. При однородном характере потенциального МП объ-

емные заряды, как видно из формулы (3.15), отсутствуют.

163

Компонента



p x

при



const

представляет собой функ-

цию от

х,

которая симметрична (четна) относительно про-

дольной оси паза: на оси паза она имеет минимум, а у сте-

нок паза — максимум. Поэтому магнитные заряды, вызван-

ные неравномерностью МП



p x

, в соответствии с (3.15)

отсутствуют у стенок и на средней линии паза (кривая









при



const

проходит через нуль в точках

x b b

 0 2; ; ).

Объемные магнитные заряды вызывают появление до-

полнительного скалярного магнитного потенциала:





dxdy

м м



















 . (3.16)

Поскольку магнитный потенциал ферромагнитной границы

области

... А

задан, то дополнительный потенциал





на указанной границе и на продольной оси паза дол-

жен принять нулевое значение. Как известно [262], в соот-

ветствии с формулой Грина скалярный магнитный потенци-

ал границы области задается магнитными зарядами, распо-

ложенными вне этой области. При появлении магнитных

зарядов внутри области потенциал ее границы останется не-

изменным, если появятся дополнительные заряды и за пре-

делами области. Появление магнитных зарядов как внутри,

так и вне области с прямолинейными ферромагнитными

границами следует так же и из принципа «зеркального ото-

бражения» зарядов относительно границы. На рис. 3.1 пока-

зано расположение объемных магнитных зарядов вне облас-

ти паза в соответствии с указанным принципом. Там же

приводится периодическая кривая





 

 

U U x

м м

 при



const

, соответствующая заданному скалярному магнит-

ному потенциалу границы.

Потенциальное МП второго источника (объемных маг-

нитных зарядов) по оси









U x

 





(3.17)

164

будет также периодической зависимостью по координате

при



const

. Ее период равен ширине паза (проводника)

Этот вывод позволит значительно облегчить вычисление

комплексного сопротивления проводника переменному току.

В частности, при периодичности кривой 



определение

постоянных

в формулах (3.8), (3.9) не требует, как

видно из уравнения (3.12), учета потенциального МП второ-

го источника.

Формулы (3.8)—(3.17) дают возможность рассчитать МП в

пазу

  

H H i

 

p x

итерационным способом. При заданном

скалярном магнитном потенциале ферромагнитной границы

один раз вычисляется потенциальное МП



. На первом

итерационном цикле вычисляются последовательно



;



;



;



H U H

I I I



м м

  и

  

H H H

p x

 

 .

Найденное значение



является отправным для аналогич-

ных вычислений второго цикла:



;



;...

II II



и т. д.

Полная мощность энергии, входящей в проводник в пазу

по рис. 3.1 на его единичной длине, равна:

 

S E Í dx

 





пов

, (3.18)

где



пов

;



пов

— комплексная и комплексно-

сопряженная напряженность электрического и магнитно-

го поля на верхней поверхности проводника





y h

 

С учетом формул (3.8), (3.9), (3.11) имеем:

 







sin cos



sin

E C h C h

I m

b h

пов

 



 











 

 

1 2 2 2

;

165

 

Í H I x

х pх



 

пов пов

* *

 .

Тогда для комплексного сопротивления проводника справед-

ливо:

 

b h

x dx

  







sin

1 

 

 . (3.19)

При допущении об однородности МП в пазу когда







x b

  1 , и используя выражения (3.13), (3.14), получим

формулу

пy

ctg







, (3.20)

которая совпадает с аналогичным выражением в [221], если в

ней комплексное число



заменить на

 (

— мнимая еди-

ница).

В рассмотренном случае, как уже было отмечено, посто-

янные

, определяемые по формулам (3.11), не зависят

от потенциального МП, обусловленного объемными магнит-

ными зарядами. Поэтому, рассматривая структуру исходной

формулы (3.18), можно утверждать, что передача энергии

электромагнитного поля в проводник в пазу производится

без участия потенциального МП объемных магнитных заря-

дов.

При обращении к более общим вариантам поперечных

сечений проводника и его расположения в пазу (рис. 3.2,а,б)

следует снова отметить нечетную периодичность по коорди-

нате

относительно продольной оси паза потенциального

МП, вызванного только объемными (рис. 3.2,а), одновре-

менно объемными и поверхностными (рис. 3.2,б) магнитны-

ми зарядами. Для последнего варианта будем иметь еще и

третий источник потенциального МП — поверхностные маг-

нитные заряды, расположенные на участках плоскостей

r t

1 1

r t

2 2

с поверхностной плотностью [53]:

166

Рис. 3.2. К расчету потенциальной составляющей магнитного поля

паза при различных формах сечений и местах расположения про-

водников

167







  

  

Div    

0 0 0 0 2 0 1

H H H

x x

где

 



0 1 2

— значение напряженности дополнительного МП

на левой (правой) стороне линий

r t

1 1

r t

2 2

Пространственная периодичность по координате

при



const

потенциальных МП второго и третьего источников

позволяет находить постоянные

в формулах (3.8),

(3.9), как и для проводника рис. 3.1, на основе расчета по-

тенциального МП только первого источника. Это утвержде-

ние справедливо и для проводников, у которых ширина по-

перечного сечения меньше ширины паза. Важно только,

чтобы поперечное сечение проводника было расположено

симметрично относительно продольной оси паза.

Для проводников (рис. 3.2) дополнительное МП лока-

лизовано в пазу между верхней стороной сечения и дном па-

за, причем на верхней стороне





y h

 

оно равно нулю, а

для дна паза в соответствии с формулой (3.8) имеем

 

H H

y h

y y

0 0

0 2

 



; (рис .3.2,а), (3.21)

 

 

, ;

  

, ;

H H зона I

H H H зона II

y h

y y

y h

y y

0 0 0

0 2













 











(рис. 3.2,б). (3.22)

Граничную напряженность



0 г

дополнительного МП мож-

но рассматривать как линейную плотность тока в токовой

полосе на дне паза. Для полосы (рис. 3.2, б) справедливо:

Значения y в левой части формул (3.21), (3.22) равны пределам

интегрирования при расчете



по формуле (3.8).

168

  

H dx H dx I

г г

 

 

. (3.23)

Граничные условия дополнительного МП вида (3.21)—(3.23)

позволяют определить постоянные

Для проводника по рис. 3.2, а постоянные

будут

определяться по формулам (3.11), (3.12), причем в последней

формуле следует принять

h y

 

. Для проводника по

рис.3.2,б

так же будут вычисляться по формулам

(3.11), но у которых знаменатель будет другим: вместо sin 

должна фигурировать величина:

S S h S h

  

1 2 2 2

sin cos  ,

где

  





x y x x y y

1 1 3 2 1 1 3

   cos cos cos   ;

  





x y x x y y

2 1 3 2 1 1 3

   sin sin sin   .

Для



теперь будем иметь выражение:

 



, sin

H u x y u dudx

  







 

   

















1 3



, sin



, sin

H u x y u du H u x y u du dx

px px

  .

Легко видеть, что при

x x b

1 2

2  , когда формы сече-

ний проводников на рис. 3.2 а, б становятся одинаковыми,

будем иметь:

S h

 sin 

169

Электромагнитная мощность теперь будет входить в про-

водник не только через верхнюю, но и нижнюю стороны

проводников:

  

S E H dx E H dx

 



























 

 

пов

, (3.24)

где

 



sin cos

E C h C h

пов1 1 2 2 2

  





  ;

 

H I x





пов1

 ;

 

   



, cos sin cos

E H u x y u du C y C y

пов2

3 1 3 2 3

   













 

;

     

H I x H u x y u du C y C y

x px



    















пов2

2 3

3 2 3

    

* *

, sin cos sin

;

 



x H u x I



 

, ;





j u h u y

   1 2

1 2 2 3

, ; ; ;

y h

0 2

  (рис. 3.2, а и зоны I, IV на рис. 3.2, б),

y y

0 2

 (зоны II, III, на рис. 3.2, б).

Выражение (3.24) после деления на квадрат действующего

значения тока проводника позволяет определить его ком-

плексное сопротивление переменному току. Формула для

этого сопротивления имеет вид:





 





 

x dx

h y

 



 

















 

 









 





1 1

2 3



cos

170

   

  











































 

h y x dx

2 3 2

sin ,

где

 



, cos

Í u x y u du

1 3

 



 ;

 

H u x y u du



 



, sin  ;

h а

S б









sin , . . , ;

, . . , .



3 2

рис

3.2.2. Пример расчета магнитного поля и комплексного

сопротивления проводника в пазу

Для расчета МП проводника в пазу по рис. 3.1 произве-

дем конформное отображение верхней комплексной полу-

плоскости

на линейный многоугольник

... А

плоско-

сти

(рис. 3.3), представляющий собой левую половину не-

магнитной области рис. 3.1. Приняв

a a a

1 2 5

1 0    ; ; ,

будем иметь дифференциальное уравнение связи точек плос-

костей

в таком виде

   

t t t a

 



 







. (3.25)

Для его интегрирования в квадратурах выполним подстанов-

ку

   

   

t a t