Антонов В.Ф. Практикум по биофизике

Подождите немного. Документ загружается.

нат — уровень внутриглазного давления (у). Тогда каждой па-

ре значений х и у на графике

будет

соответствовать определен-

ная

точка (см. рис. 1). По характеру расположения точек мож-

но

предположить существование линейной корреляционной

зависимости

между

х и у.

Для оценки тесноты связи вычислим коэффициент линей-

ной

корреляции г по формуле (8), с

учетом

(9):

х = (19,8 + 7,8 + ... + 6,1) = 12,64

у=

(32,5+ 16,1 + ... + 21,4) = 21,49

1о

з-

(19,8

+ 7,8

+ ... + 6Д

) = 180,5

= (32,5

+ 16,1

+ ... +

21,4

)

482,2

_ 1

ху = (19,8 • 32,5 + 7,8 • 16,1 + ... + 6,1 • 21,4) =

283,9

= V 180,5 — (12,64)

= 4,55

= V

482,2

—(21,49)

= 4,51

283,9

— 12,64 • 21,49

г = =0,593

4,55-4,51

Пользуясь таблицей градации оценки тесноты связи, дела-

ем вывод: связь у с х положительная, умеренная. По формуле

(11) находим коэффициент регрессии:

4,51

0,598

0,593

ух

4,55

Далее, подставляя его в формулу (10) и выражая у, запишем

уравнение регрессии в виде:

у =

0,593х

+ 14.

Наконец,

вычисляем ожидаемое значение у при х = 18:

у(18) =

0,593

• 18 + 14 = 24,7.

241

Выполнение

работы

Используя экспериментальные данные (по указанию препо-

давателя), с помощью компьютера выполните

следующие

за-

дания:

Задание

1. Методом наименьших квадратов найти пара-

метры линейной аппроксимирующей функции и построить ее

график.

Задание

2. Определить наличие и тесноту линейной корре-

ляционной

связи, найти уравнение линейной регрессии.

Варианты

экспериментальных

данных:

Вариант 1. У 10 человек были исследованы проницаемость

сосудов

сетчатки (х) и ее электрическая активность (у):

19,5

0,0

15,0

38,5

13,5

59,0

23,3

97,4

6,3

119,2

2,5

129,5

13,0

198,7

1,8

248,7

6,5

318,0

1,8

438,5

Вариант 2. У взрослых мужчин были измерены рост (х) и

вес (т):

х(см)

т (кг)

165

176

175

168

167

172

175

180

Вариант 3. Получены

следующие

данные о наибольшей мас-

се растворимого азотнокислого натрия (т) от температуры рас-

твора (t):

t(°C)

m(r)

66,7

4,0

71,0

10,0

76,3

15,0

80,6

21,0

85,7

29,0

92,9

36,0

99,4

Вариант 4. При измерении активности (А) у -препарата с по-

мощью газоразрядного счетчика через равные промежутки

времени (t) были получены данные:

(мин)

А, с-

242

Вариант 5. При изучении зависимости показателя прелом-

ления

(п) раствора от концентрации в нем соли (С) получены

следующие

результаты:

(г/смЗ)

0,000

1,333

0,025

1,338

0,050

1,340

0,10

1,350

0,20

1,362

0,4

1,377

0,8

1,389

5.4.

Использование

Фурье-анализа

задачах

медицинской

и биологической

физики

Многие

процессы, происходящие в живом организме, с ко-

торыми так или иначе имеет

дело

медицина, являются перио-

дическими.

Как известно, наряду с временными зависимостя-

ми,

представляющими собой зависимость от времени тех или

иных величин, характеризующих эти процессы, широко ис-

пользуется анализ их спектров (спектральное представление).

Этот анализ позволяет установить основные характеристики и

параметры гармонических колебаний, суммой которых и яв-

ляется

исследуемое

сложное колебание. Данный

метод

доста-

точно широко используется в медицине, например, спект-

ральный анализ сигналов ЭКГ и ЭЭГ позволяют диагностиро-

вать различные патологии.

Цель

работы:

1. Усвоить

теорему

Фурье как теоретическую основу спект-

рального анализа, познакомиться со спектральным представ-

лением различных физических процессов.

2. Уяснить различие

двух

важнейших типов спектров — ли-

нейчатого и сплошного (непрерывного).

3. Научиться проводить спектральное разложение простей-

ших сигналов.

Литература:

Ремизов А.Н.

Медицинская

биологическая

физика.

шк.,

1996.

Конспект

лекций.

Данная

методическая

разработка.

М.:

Высш.

243

Подготовка

работе

Изучить следующие вопросы:

1. Теорема Фурье, ее формулировка, аналитическая запись.

Спектр периодического процесса.

2. Спектр гармонического колебания и его изменение в за-

висимости от изменения частоты, амплитуды и начальной фа-

зы исследуемого колебания.

3. Спектр сложного колебания, примеры.

4. Примеры линейчатых спектров: спектры гласного и со-

гласного звуков; характеристического рентгеновского и лазер-

ного излучений; спектр атома водорода.

5. Примеры сплошных (непрерывных) спектров непериоди-

ческих процессов — теплового и тормозного рентгеновского из-

лучения. Спектральные и интегральные величины, их связь.

Теоретические сведения

Теорема

Фурье.

Приведем формулировку, математическую запись и графи-

ческую иллюстрацию теоремы Фурье.

Любой периодический процесс можно представить в виде

суммы гармонических колебаний, частоты которых кратны ча-

стоте сложного периодического процесса (сложного колебания).

В тех

случаях,

когда изучаемый процесс представляется не-

четной функцией, сложенной с некоторой постоянной состав-

ляющей, аналитически теорема может быть записана в

следу-

ющем виде:

x(t) =

Ajsi^m^t

+ ф

) + A

sm((O2t + Ф02) +

•••

2л

Частота w^ находится по формуле со^ = , где Т — период

сложного колебания x(t); коэффициенты AQ, AJ, А

, ... зави-

сят от конкретного вида функции x(t) и вычисляются по спе-

циальным формулам. (Каждой функции

соответствует

свой

собственный набор коэффициентов А

, А

,.. .)

На

рис. 1 приведены графики временной зависимости для

некоторого сложного колебания (например, зависимости коор-

динаты от времени x(t)) и его спектра (рис. 2) — специального

представления процесса, выражающего в общем

случае

зави-

244

Рис.

Сложное колебание

АоТ

А,

2ш,

Рис.

Спектр

сложного

колебания

Зш,

симость амплитуд различных гармонических составляющих

(гармоник) этого процесса

от их

частот

(А^; А

... —

амплиту-

ды гармоник; со^;

•••

—

частоты гармоник).

2. Спектр

гармонического колебания.

Изобразим спектр

временную зависимость (зависимость

координаты

от

времени)

для

гармонического колебания:

x(t)

Asincot,

а также различные

их

изменения

при

изменении частоты,

амплитуды

начальной фазы (рис.

3—6).

245

Рис. 3. Зависимость координаты от времени и спектр гармонического

колебания

it i

А,

(0=^

Рис. 4. Зависимость координаты от времени и спектр гармонического колеба-

ния при увеличении амплитуды, А-| > А (частота неизменна)

^ А

Рис. 5. Зависимость координаты от времени и спектр гармонического колеба-

ния при увеличении частоты (амплитуда неизменна)

А /

Хо

Рис. 6. Зависимость координаты от времени и спектр гармонического колебания

при

изменении

начальной

фазы

на гс/б (амплитуда и частота неизменны)

246

Спектры

сложных

колебаний:

к п

1) Пусть имеются два колебания: xj= 4cos-t, х

= 2 cos-t

8 4

(рис.

7).

Произведем их графическое сложение и изобразим спектр

полученного сложного колебания (рис. 8).

x,(t)

(t)

Рис.

7. Сложение двух

гармонических

колебаний (схематичное представление)

Л/8

Я/4

».

(О

Рис.

8. Спектр сложного колебания

2) Пусть имеется сложное колебание (рис. 9) и необходимо

представить его спектр (рис. 10).

Ас,

А,

(Г

Рис.

9. Сложное колебание

Рис.

10. Спектр сложного ко-

лебания

247

4. Сплошные

спектры

непериодических процессов.

При

изображении сплошных спектров непериодических

процессов (рис.

11, 12)

используются спектральная плотность

потока излучения (мощности)

или

спектральная плотность ин-

тенсивности.

Зная

зависимость спектральной характеристики

от

частоты

или длины волны, можно найти соответствующие интеграль-

ные характеристики

—

энергетическую светимость (интенсив-

ность)

поток, соответствующие некоторому конечному

или

бесконечному интервалу длин волн.

таблице приведены при-

меры:

Тип излуче-

ния

Спектральная характеристика

Интегральная характеристика

Равновесное

тепловое

из-

лучение

г\

— спектральная плотность

энергетической

светимости,

Энергетическая

светимость

оо

rBTl

•

где

R —

энергия, испускаемая

телом

единицы площади

по-

верхности

за

единицу времени

во всем спектральном интерва-

ле.

Графически выражается

пло-

щадью под кривой

Рис.

11.

Спектральная плотность

энергетической

светимости

энер-

гетическая

светимость

Тормозное

рентгенов-

ское

излуче-

ние

Спектральная плотность потока

рентгеновского

излучения

ей LM

Поток

рентгеновского излуче-

ния

Ф=

ей

[ВТ].

Графически выражается

пло-

щадью

под

кривой

ф^

(К)

klU

Рис.

12.

Спектральная плотность

потока

поток тормозного рентге-

новского

излучения

248

Выполнение

работы

Работа выполняется на ПЭВМ. Головное меню состоит из 10

пунктов. К кадру, содержащему это меню, вы

будете

возвра-

щаться каждый раз после выполнения того или иного пункта.

Используя клавишу >U , вы можете перейти к следующему

пункту. Порядок нажатия клавиши в процессе выполнения за-

дания

в каждом из пунктов

будет

понятен — на экране имеют-

ся

соответствующие указания. Выбирая меню, выполните за-

дания.

Задание

1. Ознакомление с теоретическими сведениями.

Нажав

клавишу "ENTER", внимательно прочтите краткие

вводные теоретические сведения, обратив внимание на анали-

тическую запись теоремы Фурье, а также на то, как соотносят-

ся

частоты гармоник, на которые разложен сложный периоди-

ческий

сигнал, какой частоте они кратны, как ее найти.

Задание

2. Сложение гармонических колебаний.

а) Пронаблюдайте графическое сложение

двух

гармоничес-

ких колебаний разных частот и амплитуд. Зарисуйте в тетради

графики,

представляющие зависимость координаты колеблю-

щегося тела от времени в обоих

случаях,

а также график, на

котором представлена зависимость y(t) для суммарного коле-

бания.

Зарисуйте также спектр суммарного колебания.

б) Пронаблюдайте процесс сложения

трех

различных гар-

монических колебаний. Зарисуйте в тетради временную зави-

симость и спектр полученного в

результате

сложного колеба-

ния.

Задание

3. Сложение произвольных гармонических колеба-

ний.

Введите с клавиатуры значения амплитуд и частот

трех

гар-

монических колебаний (они должны находиться в тех интер-

валах,

которые указаны на экране, но так, чтобы частоты

всех

трех

колебаний различались), пронаблюдайте их временные и

спектральные зависимости.

Пронаблюдайте сложение

двух

колебаний, а затем

трех.

По-

сле получения последней временной зависимости нарисуйте

249

самостоятельно в тетради спектр полученного сигнала. Про-

верьте правильность Вашего ответа, нажав ^aBHiny"ENTER".

Задание

4. Спектральное разложение прямоугольного им-

пульса.

а) После получения на экране временной зависимости на-

жмите еще раз клавишу "ENTER" и пронаблюдайте времен-

ную зависимость y^(t) для первой гармоники. Чему равна ее

частота? Согласуется ли это с теоремой Фурье?

б) Какую частоту должна иметь вторая гармоника? Ответ

проверьте, нажав клавишу "ENTER" и получив временную за-

висимость для второй гармоники.

в) После получения последней гармоники пронаблюдайте

решение компьютером задачи, обратной задаче спектрального

разложения — задачи последовательного сложения времен-

ных зависимостей, соответствующих каждой из гармоник Фу-

рье — разложения исследуемого сигнала. Обратите внимание

на

то, как по мере увеличения числа складываемых гармоник

графический

результат

все точнее приближается по форме к

прямоугольному импульсу (тому сигналу, который первона-

чально подвергался Фурье-разложению).

г) Зарисуйте в тетрадь временную зависимость и спектр

прямоугольного импульса.

Задание

5. Спектральное разложение треугольного им-

пульсного сигнала.

а) После получения на экране временной зависимости на-

жмите еще раз клавишу "ENTER" и пронаблюдайте времен-

ную зависимость y^(t) для первой гармоники. Чему равна ее

частота? Согласуется ли это с теоремой Фурье?

б) Какую частоту должна иметь вторая гармоника? Ответ

проверьте, нажав клавишу "ENTER" и получив временную за-

висимость для второй гармоники.

в) После получения последней гармоники пронаблюдайте

решение компьютером задачи, обратной задаче спектрального

разложения — задачи последовательного сложения времен-

ных зависимостей, соответствующих каждой из гармоник Фу-

рье-разложения исследуемого сигнала. Обратите внимание на

то,

как по мере увеличения числа складываемых гармоник

260