Антонов В.Ф. Практикум по биофизике

Подождите немного. Документ загружается.

Используя ПК, получить гистограмму плотности относи-

тельных частот и рассчитать х

, о

Указание. Рекомендуется выбрать x

= 110,

max

= 200,

= 7. Гистограмму (б)

следует

построить под гистограммой за-

дания

(а), используя числовую ось с тем же началом и мас-

штабной единицей, что и в задании (а).

Сравнить

результаты, полученные в задании б) с результа-

тами задания а) Обсудить с преподавателем, вывод записать в

протокол отчета.

5.3.

Использование метода наименьших квадратов

элементов корреляционного анализа

при обработке медико-биологической информации

Метод наименьших квадратов используется для расчета па-

раметров функции заданного вида, наилучшим образом отра-

жающей экспериментально наблюдаемую зависимость между

двумя величинами.

Корреляционный

анализ позволяет изучить связи между

многими

признаками организма — морфологическими,

физи-

ологическими, а также между различными биологическими

процессами.

Цель

работы:

1. Изучить метод наименьших квадратов для случая линей-

ной

зависимости между изучаемыми величинами.

2. Научиться определять наличие и тесноту линейной кор-

реляции

двух

исследуемых величин; находить уравнение рег-

рессии и предсказывать по нему значение зависимой величи-

ны.

Литература:

Ремизов А.Н.

Медицинская

биологическая физика.

— М.:

Высш.

школа,

1996.

Морозов

Ю.В. Основы высшей математики

статистики.

— М.: Ме-

дицина,

1998.

3. Данная методическая разработка.

231

Подготовка

работе

Повторить и

уметь

объяснять следующие вопросы:

1. Что называется производной функции?

2. Что называется частной производной функции несколь-

ких переменных?

3. Как находят экстремумы функции одной переменной с

использованием производной 1-го порядка?

4. Для чего используется метод наименьших квадратов? В

чем состоит основная идея метода?

5. Из каких соображений выбирается тот или иной вид за-

висимости

между

изучаемыми величинами, наилучшим обра-

зом аппроксимирующий экспериментальные

результаты?

6. По каким формулам рассчитываются параметры "а" и "Ь"

аппроксимирующей функции вида у = ах + Ь? Как эти форму-

лы выводятся?

7. Что называется функциональной зависимостью, корре-

ляционной

зависимостью? Какая

между

ними разница? При-

ведите примеры.

8. Напишите формулу для коэффициента линейной корре-

ляции? Что он показывает?

9. Напишите уравнение линейной регрессии у на х. Какая

связь

между

коэффициентом линейной корреляции и

коэффи-

циентом линейной регрессии?

10. Какие возможности предоставляет ЭВМ для нахожде-

ния

аппроксимирующей функции методом наименьших квад-

ратов и анализа корреляционных зависимостей?

Теоретические

сведения

I. Метод

наименьших

квадратов.

Пусть производятся опыты, цель которых — исследование

зависимости некоторой величины у от величины х, например,

зависимости температуры электролита от времени воздейст-

вия

на него поля аппарата УВЧ. Исследуемые величины связа-

ны

определенной функциональной зависимостью у = f(x), со-

держащей в общем

случае

некоторое количество постоянных

(параметров) а, Ь, с, ...

Пусть в

результате

измерений величин х и у получены ре-

зультаты, представленные в таблице:

232

У1

У2

Уз

Уп

где п — общее количество экспериментально зарегистриро-

ванных пар значений изучаемых величин.

Если

полученные данные изобразить в виде точек на графи-

ке

с координатами х, у, то через совокупность этих точек мож-

но

провести сглаживающую (аппроксимирующую линию) ви-

да у = f(x, а, Ь,

с,...)

(см. рис. 1).

1,4

1,39

1,38

0,1 0,2 0,3 х| 0,5 0,6 0,7 0,8

Рис.

Экспериментальные

данные и сглаживающая прямая

Как

видно из рисунка, большинство точек обычно не лежат

на

сглаживающей линии, а имеет некоторый разброс относи-

тельно ее. Это объясняется тем, что каждое из измерений вели-

чин

х и у получено с некоторой погрешностью, а в

случае

изу-

чения

биологических характеристик имеются еще вариации,

связанные

с индивидуальными особенностями организмов.

Метод наименьших квадратов позволяет найти параметры

сглаживающей линии у = f(x, a, b, с,...), являющейся графи-

ком

искомой зависимости, так, чтобы ординаты найденной ли-

нии

минимально отличались от соответствующих эксперимен-

233

тальных

значений.

Полученное

таким

образом

уравнение

сглаживающей

линии

будет

наилучшим

приближением

к экс-

периментальным

данным.

соответствии

методом

наименьших

квадратов,

сумма

квадратов

отклонений

ординат

экспериментальных

точек

от

соответствующих

(имеющих

те же

абсциссы)

ординат

точек

сглаживающей

кривой

U(a,

с,...)

= £ [yi -

f(x

а, Ъ, с,...)]

(1)

должна

быть

минимальной.

соответствии

правилами

исследования

функции не-

скольких

переменных

для

существования

минимума

функции

U(a, b,

с,...)

должны

выполняться

следующие

условия

для ча-

стных

производных

этой функции

первого

второго

порядка:

— = 0; — =0; — =0; ...

да

дЪ дс (2)

да

' db

<Эс

Используя эти условия, можно получить необходимое коли-

чество алгебраических уравнений для нахождения искомых

параметров а, Ь, с, ...

В качестве примера рассмотрим простейший случай, когда

сглаживающая функция линейна, то есть имеет вид у = ах + Ь.

Сглаживающая функция имеет такой вид, если из теории

известно, что изучаемые величины находятся между собой в

линейной

зависимости.

Наоборот, к предположению о линейной зависимости меж-

ду величинами (если из теории это не известно), можно прий-

ти,

если расположение экспериментальных точек на графике

позволяет думать, что сглаживающая линия является прямой.

Подставляя эту функцию в уравнение (1), получим

U(a,

b) = I [

У1

- (axj + b)]

. (3)

234

Найдем частные производные этой функции и используем

условия (2):

2 X [(У! - (axi +

ЬХ-Xi)]

= О

да

1 - 1

1-1

(4)

2 I [(

У1

- (axi + b)(-l)] = 0

да

дЪ

xf>0

2n>0

(5)

Поскольку система неравенств (5) удовлетворяется при лю-

бых параметрах а и Ь, то решив систему уравнений (4), полу-

чим

а =

xf(

b =

I х

(6)

Пример.

При измерении сопротивления медного стержня в

процессе нагревания получены следующие данные:

Температура,

град

19,1

30,1

45,1

Сопротивление,

Ом

76,3

77,8

79,75

80,8

82,35

83,9

85,1

235

86-i

82^

t£ 80

78-

76 \

0,2986х

+70,224

35 40

град

45 50

Рис. 2. Зависимость сопротивления медного стержня от температуры

Методом наименьших квадратов найдем параметры линей-

ной

аппроксимирующей функции R = at + b (R — сопротивле-

ние,

t — температура стержня). Вводя последовательно пары

чисел в компьютер, получаем график сглаживающей прямой

(см.

рис. 2), а также параметры этой прямой а =

0,2986

и b =

70,224.

//.

Линейная

корреляция

Многие

из явлений, представляющих интерес для медицин-

ской

науки, находятся во взаимной связи

между

собой. Напри-

мер,

изменение температуры тела у человека приводит к изме-

нениям

белковых фракций, артериальное давление зависит от

возраста исследуемого и т.д. Но артериальное давление зави-

сит не только от возраста испытуемого, но и от ряда

других

факторов:

пола, состояния здоровья, психического состояния

момент исследования, характера

труда

и многих

других.

Так

как

учесть

все факторы, оказывающие влияние на изучаемое

явление,

практически невозможно, то принимают во внима-

ние

только важнейшие из них, оказывающие наибольшее вли-

яние

или представляющие наибольший интерес. В таких слу-

чаях говорят о корреляционной связи

между

исследуемыми

величинами.

Зависимость величины у от величины х называется корре-

ляционной,

если при изменении величины х меняется матема-

тическое ожидание (среднее значение) величины у.

236

Прежде всего, при изучении корреляционной зависимости

важно определить, насколько она приближается к функцио-

нальной,

если только она вообще

существует.

Напомним,

что две величины связаны функциональной за-

висимостью, если каждому допустимому значению одной из

них соответствует одно вполне определенное значение

другой

величины. Некоторые предварительные весьма приближен-

ные суждения о характере связи

между

двумя величинами х и

у можно сделать по расположению точек корреляционного по-

ля (см. рис. 3). Вытянутый характер кривой, охватывающий

точки корреляционного поля, и

угол

с осями графика, близ-

кий

к 45°, указывает на наличие корреляционной связи. Если

при

построении графика окажется, что длинная ось эллипса

параллельна одной из осей координат или скопление точек об-

разует

круг, то можно предположить, что

между

исследуемы-

ми

величинами связь

отсутствует.

По направлению линейная

связь может быть прямой (положительной), когда с увеличе-

нием

значений одной величины увеличиваются в среднем зна-

чения

другой, и обратной (отрицательной) — в противном слу-

чае.

Для оценки тесноты связи при линейной зависимости меж-

ду величинами водят т.н. генеральный коэффициент линейной

корреляции:

М[<Х - М(Х)) (Y - M(Y))]

Г =

г г •

(7)

°х- °

где х, у — исследуемые величины, М — символ математичес-

кого ожидания соответствующей величины, а£, о

— средне-

квадратические отклонения величин х и у соответственно:

VM[(X

—М(Х))

На

практике, имея данные не о

всех

значениях изучаемых

величин, а только те, что получены в эксперименте, вычис-

ляют выборочный линейный коэффициент корреляции,

приближенно равный генеральному. Его выражение нетруд-

но

получить из (7), понимая под математическим ожиданием

среднее арифметическое значение соответствующей величи-

ны:

237

ху

- х у

г =

(8)

где х, у, ху — средние арифметические значения соответствую-

щих величин, о

, Gy — выборочные среднеквадратические от-

клонения

х и у соответственно:

£ (Xi - х )

Yi - У )

здесь X — символ суммирования по всем измерениям,

— количество измеренных пар значений (х, у).

^ ' ' ^

- / "

\ * '

• У

\ у

ч. У

,' '\

у \

у ' 1

У '

' 1

•

0 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Рис.

3. Корреляционное поле

Последние легко привести к

другому,

более удобному для

расчетов

виду:

238

х^ -1

\ У

-(у)

(9)

Величина коэффициента корреляции колеблется от 0 до

1. При г = 0 связь

отсутствует,

при г = ± 1 — связь полная,

функциональная. В последнем несложно убедиться, подставив

в формулу (8) общий вид линейной функции у = ах + b и преоб-

разовав ее (Проверьте!). Знак коэффициента корреляции пока-

зывает направление связи (прямая или обратная), а абсолют-

ная

величина — тесноту связи.

Чем ближе к прямой группируются точки, тем больше абсо-

лютное значение г (см. рис. 4).

г=

1.0

= 0,0

Рис.

4. Примеры зависимостей и соответствующие им значения г

239

Принята

следующая градация оценки тесноты линейной

корреляционной

связи по значению коэффициента корреля-

ции:

Геснота

связи

Связь

отсутствует

слабая

« умеренная

« сильная

Связь

полная

(функциональная)

Величина

коэффициента корреляции при наличии

прямой

связи (+)

от

0 до +0,3

от+0,3

до+0,7

от+0,7

до+1,0

+1,0

обратной

связи (-)

от

0 до -0,3

от-0,3

до-0,7

от-0,7

до-1,0

-1,0

Коэффициент

регрессии р

ух

и параметр уравнения прямой

b находятся методом наименьших квадратов. Коэффициент

регрессии показывает, насколько изменяется в среднем вели-

чина у при некотором изменении величины х:

(У

- У) = Р

ух

(х - х).

(10)

Между

коэффициентом регрессии и коэффициентом корре-

ляции

существует

тесная связь:

ух

°У

(11)

Зная

уравнение регрессии, можно предсказать значение ве-

личины у при любом значении х.

Пример.

В эксперименте на 13 кошках получены

следую-

щие данные об интрасклеральном (х) и внутриглазном давле-

нии

(у):

19,8

32,5

7,8

16,1

12,7

21,3

13,4

26,8

10,3

23,4

13,7

19,7

16,2

22,9

15,4

22,2

21,5

22,6

8,1

17,6

11,7

14,3

7,6

18,6

6,1

21,4

Необходимо:

а) Установить, имеется ли корреляционная связь

между

этими

величинами, и какова ее теснота.

б) Составить уравнение регрессии и найти ожидаемое значе-

ние

у для х = 18.

Решение.

Построим график, отложив вдоль оси абсцисс

уровень интрасклерального давления (х), а вдоль оси орди-

240