Антонов В.Ф. Практикум по биофизике

Подождите немного. Документ загружается.

Результат

представьте

графически.

Приложение.

Значение коэффициента Стьюдента t

a n

при

различных значениях а и п:

n\a

0,6

1,38

1,06

0,98

0,94

0,92

0,91

0,90

0,89

0,8

3,08

1,89

1,64

1,53

1,48

1,44

1,42

1,40

0,9

6,31

2,92

2,35

2,13

2,02

1,94

1,90

1,86

0,95

12,71

4,30

3,18

2,78

2,57

2,45

2,37

2,31

0,99

63,66

9,93

5,84

4,60

4,03

3,71

3,50

3,36

5.2.

Использование

гистограмм

задачах

медицинской

статистики

Целью

любого

эксперимента,

будь

то медицинский, биоло-

гический или физический эксперимент, является получение

надежных выводов об измеряемых величинах или каких-либо

функциях

от них. Эта цель еще не достигается с окончанием

измерений.

Результаты измерений необходимо подвергнуть

тщательному анализу и провести

необходимую

математичес-

кую обработку. Только после этого возможно сформулировать

выводы относительно величин, представляющих интерес. На

предстоящем практическом занятии Вы познакомитесь с од-

ним

из методов обработки и графическим представлением экс-

периментальных данных — методом гистограмм, широко ис-

пользуемым в практике медицинских исследований.

Цель

работы:

1. Ознакомиться с нормальным законом распределения слу-

чайных величин (законом Гаусса). Научиться строить график

кривых распределения по нормальному закону для различных

параметров.

211

2. Научиться проводить статистическую обработку резуль-

татов измерений, строить гистограммы и на базе этих данных

обосновывать выводы о

результатах

проведенных эксперимен-

тов.

Литература:

Ремизов А.Н.

Медицинская

биологическая физика.

— М.: Выс-

шая школа,

1996.

2. Данное методическое пособие.

Морозов

Ю.В. Основы высшей математики

статистики.

— М.: Ме-

дицина,

1998.

Подготовка

работе

Изучить следующие вопросы:

1. Понятие дискретной и непрерывной случайной величины

(уметь привести примеры).

2. Понятие частоты, плотности частоты, относительной ча-

стоты, плотности относительной частоты, случайной величи-

ны.

3. Статистическая вероятность случайного события.

4. Функция плотности распределения вероятностей.

5. Что называется статистическим интервальным рядом

распределения?

6. Что называется гистограммой?

7. Формулы для вычисления среднего выборочного значе-

ния

и выборочного среднего квадратического отклонения не-

прерывной

случайной величины.

Теоретические

сведения

При

измерении какой-либо величины несколько раз, экспе-

риментатор получает ряд значений, которые, как правило,

оказываются различными. Этому есть много причин, напри-

мер,

отклонения от начальных условий эксперимента, кото-

рые

могут

быть малы и не поддаваться контролю. Или, напри-

мер,

в клинике врач измеряет один и тот же физиологический

показатель пациента несколько раз (температуру, артериаль-

ное

давление, количество сокращений сердца в минуту и т. д.)

и,

естественно, получает разные значения этого показания. В

212

этом

случае

результатах

эксперимента говорят как о случай-

ных величинах.

Случайная величина — это одно из важнейших основных

понятий

теории вероятностей. Рассмотрим несколько приме-

ров. Число космических частиц, попадающих на определен-

ный

участок земной поверхности в единицу времени подверга-

ется значительным колебаниям в зависимости от многих слу-

чайных обстоятельств.

Размер уклонения точки попадания снаряда от центра цели

определяется большим количеством разнородных причин, но-

сящих случайных характер. В

результате

в теории стрельбы

вынуждены считаться с явлением рассеивания снарядов около

центра цели как со случайными явлениями и рассматривать

указанное отклонение как

случайную

величину.

Скорость молекул газа не остается неизменной, а меняется

в зависимости от столкновений с другими молекулами. Этих

столкновений очень много

даже

в течение короткого проме-

жутка

времени.

Зная

скорость молекулы в данный момент,

нельзя с полной определенностью указать ее значение, напри-

мер, через 0.001 с. Изменение скорости молекулы носит слу-

чайный характер.

Случайной величиной является и количество эритроцитов в

мазке крови в поле зрения микроскопа.

Со

случайными величинами приходится иметь

дело

в самых

разнообразных областях науки и техники. Поэтому важна за-

дача

создания и изучения

метода

исследования случайных ве-

личин.

Случайной величиной называется величина, которая в ре-

зультате

опыта может принимать то или иное значение, при-

чем неизвестно заранее какое именно.

Случайная величина может быть дискретной, то есть при-

нимать счетное множество значений, которые можно прону-

меровать (например, число клеток в поле зрения микроско-

па, число пациентов в отделении, количество показателей со-

стояния

больного и т.д.) или непрерывной, которая может

принимать все значения из некоторого интервала (бесчислен-

ное множество возможных значений, сплошь заполняющих

некоторый промежуток). Непрерывными величинами явля-

ются, например, длительность интервалов

между

зубцами в

213

ЭКГ,

значение артериального давления, размер диаметра

зрачка

и др.

Полученное отдельное значение результата

из-

мерения

какого-либо

из

указанных параметров

обозначим

"х". Например,

А —

температура,

х —

значение температу-

ры:

х = 36,9°.

Функция

плотности

распределения

вероятностей. Пусть

—

некоторая непрерывная случайная величина, например,

вес новорожденного,

х —

значение случайной величины.

Со

значением

случайной величины связана функция

f(x) —

функция

плотности распределения вероятностей

(ПРВ),

такая

что произведение

f(x)dx

пропорционально вероятности собы-

тия,

состоящего

в том, что

значение

величины

заключено

интервале

]х, х + dx[.

Функция

ПРВ

имеет очень важное значение. Происхож-

дение каждого эмпирического распределения

(то

есть

вид

функции

f(x))

обусловлено совокупностью определенных

причин.

Совокупность причин, приводящих

тому

или ино-

му виду

f(x)

может быть

каждом

случае

иной.

Задача состо-

ит

в том,

чтобы представить себе,

за

счет каких причин

мог-

ло получиться найденное распределение,

то

есть построить

подходящую математическую

или

физическую модель явле-

ния.

Таким образом, установление вида функции

f(x)

имеет

большое значение

для

получения информации

об

изучаемом

процессе.

Нормальный закон распределения (закон Гаусса).

Значительное число случайных явлений, встречающихся

природе, может быть описано

помощью нормального закона

распределения (закона Гаусса).

Закон

Гаусса:

(х

- ц)2

где

х —

любое значение изучаемой величины;

(I —

математиче-

ское ожидание;

а —

среднее квадратическое отклонение.

max

""77==

И х

V-

214

График

функции f(x) нормально распределенной случайной

величины представляет собой колоколообразную кривую (рис.

1, 2), симметричную относительно оси, проходящей через

точку х = (I параллельно ординате. Максимальное значение

кривая

достигает в точке х = \i.

Функция

имеет точки перегиба при х = ц ± а, ось абсцисс

служит для нее асимптотой при х -> ± °°.

Если

изменить значение ц, а б оставить постоянной, то кри-

вая

будет

перемещаться вдоль оси ОХ, сохраняя свою форму

(рис.

1).

-20

-15 -10 -5

15 20

Рис.

Закон

Гаусса (различные

математические

ожидания)

Если

изменить о — среднее квадратическое отклонение, а

\л

оставить неизменной, то изменяется форма кривой (рис. 2).

Параметр а характеризует не положение, а форму кривой рас-

пределения. Это есть характеристика рассеивания. При увели-

чении

а максимальная ордината уменьшается. Так как пло-

щадь под кривой распределения всегда должна оставаться рав-

ной

единице, то при увеличении о кривая становится более

плоской

(пологой). Наоборот, при уменьшении о кривая рас-

пределения вытягивается вверх.

Вероятность попадания случайной величины А в интервал

значений

х, заключенный

между

числами х^ и Х2> определяет-

ся

формулой:

215

0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

f(x)

\i=0,

oj=1

/ \ \ \ H=0,

-20

-15

-10 -5 0 5 10 15

Рис.

Закон

Гаусса (различные

дисперсии)

]

f(x)dx,

т. е. это площадь криволинейной трапеции, ограниченной

сверху

функцией f(x), снизу — осью х, слева и справа — ор-

динатами, проходящими через точки х^ и х

. Раздвинем гра-

ницы

отрезка [х^, х

]: х^ —» - °о, х

—>

+ °° , тогда

-f-oo

Р(—

оо <х< + оо) = J

f(x)dx

= 1, то есть площадь под всей кривой

—оо

f(x) должна оставаться постоянной и равной 1.

Правило

3-х

сигм.

Расчетами показано, что вероятность попадания нормально

распределенной случайной величины в интервал значений

(рис.

3):

Р(ц - о <х< (л + а) =

68,26%

И.

Р(ц - 2а <х< ц + 2а) =95,44%.

III.

Р(ц - За <х< ц + За) = 99,72% .

216

0,25

0,2

•

0,15

0,05 -

а-Зо ° а-2о а-о

а+о а+2а

а+За

Рис.

Закон

Гаусса (ц = 5, а = 2)

Таким образом, вероятность того, что отклонение значений

нормально распределенной случайной величины превысит За,

чрезвычайно мала, а именно

0,0028.

Такое событие можно счи-

тать

практически невозможным. Поэтому границы |j. + За и

- За принимаются за границы практически возможных значе-

ний

нормально распределенной случайной величины. Это позво-

ляет, зная среднее квадратическое отклонение и математическое

ожидание случайной величины, ориентировочно указать интер-

вал ее практически возможных значений. Такой способ оценки

диапазона возможных значений случайной величины известен в

математической статистике под названием "правило

трех

сигм".

Пример.

На рис. 4 приведены графики нормального закона

распределения температуры

тела

человека в норме и при пато-

логии (например, при заболевании гриппом). Изменяются оба

параметра ц и а.

Графическое

изображение

статистического

распределе-

ния.

Гистограмма.

Для оценки вида функции распределения вероятностей по

экспериментальным данным часто используют графический

метод, связанный с построением гистограммы. Он состоит в

следующем.

Пусть проведено п измерений непрерывной слу-

чайной величины А. Обозначим минимальное значение слу-

чайной величины

min

максимальное —

тах*

217

2.5

1.5

0.05

f(x)

I 1

норма

1 1

^=36,5

I 1

Зо=0,5

I 1

патология

LA XL -

35 36 40 41

38 39

температура,

град.

Рис. 4.

Закон

Гаусса

(изменения

ц и а)

Разобьем интервал, содержащий полученные значения ве-

личины

А, на "к" интервалов одинаковой ширины Дх.

Подсчитаем количество значений случайной величины (ча-

стоту), попавших в каждый интервал Дх^ (i = 1, 2, ..., к).

Получим частоты пц (i = 1, 2, ..., к), каждую частоту поделим

на

ширину интервала Дх.

Величина

Дх

называется плотностью частоты. Затем на

каждом интервале Дх;

следует

построить прямоугольник с ос-

нованием

Дх; и высотой (или высотой — плотностью

Дх Дх

относительной частоты Pi =

—=-

)

Полученную ступенчатую фигуру, состоящую из прямо-

угольников, называют гистограммой. (Гистограмма — от гре-

ческих слов "histos" — столб и "gramma" — запись.)

Задача. В 20 экспериментах непрерывная случайная вели-

чина

А принимает значения: 21, 11, 17, 23, 28, 14, 19, 22, 24,

33,

16, 21, 18, 29, 23, 22, 31, 24, 27, 26. Построить гистограм-

му частот и гистограмму относительных частот.

218

Решение.

Находим среди данных минимальное и макси-

мальное значения случайной величины:

min

И>

тах

^3. Самым простым было бы разделить

разность

тах

- х

тш

на равное число частей. Но часто эта раз-

ность не делится нацело на требуемое число частей. В таком

случае

весь интервал несколько расширяется как в сторону

меньших, так и в сторону больших значений. В рассматривае-

мой

задаче удобно выбрать Дх = 5. Тогда логично рассмотреть

интервал (10, 35). Получаем, что в первый интерал

(10—15)

по-

падают всего два значения переменной х, равные 11, 14, то есть

частота 1112=2. Во второй интервал

(15—20)

попадают значения

переменной

х, равные 17, 19, 16, 18, из чего

следует

=4.

Про-

должая аналогичные рассуждения, составим таблицу, содер-

жащую последовательность интервалов и соответствующих им

частот — статистический интервальный ряд распределения:

10-15

15-20

20-25

25-30

30-35

В общем виде статистический интервальный ряд распреде-

ления

имеет вид таблицы:

интервалы значений

частоты

(х

х,)

т.

(х,,х

)

(

к-1>

к)

Зная

частоты и величину Ах, найдем плотности частот

* Ах

Р*

плотности относительных частот .

Например,

для 1-го

Ах

HI;

интервала

плотность частоты

Ах 5

Pf 2

сительной частоты = =0,02.

-= Т),4,

плотность отно-

Ах 20-5

Данные обработки результатов представлены в таблицах:

Ах

Дх

10-15

0,4

0,02

15-20

0,8

0,04

20-25

1,6

0,08

25-30

0,8

0,04

30-35

0,4

0,02

219

Рис.

Гистограмма

плотности

частот

Рис.

Гистограмма

плотности

относительных частот

Замечание.

Гистограммы на рис. 5 и рис. 6 имеют один и тот

же вид, что и следовало ожидать, исходя из

метода

обработки

экспериментальных данных. Поэтому с точки зрения вида ги-

стограммы не имеет значения, представлять ли данные в виде

гистограммы плотности

частот

или гистограммы плотности от-

носительных частот. Однако для установления вида функции

плотности распределения вероятностей (ПРВ) необходимо

пользоваться гистограммой плотности относительных частот.

Это можно пояснить, рассматривая предельный случай, когда

объем совокупности очень большой, а интервал разбиения

220