Антонов В.Ф. Практикум по биофизике

Подождите немного. Документ загружается.

Проанализируем решение для

трех

способов введения ле-

карственного препарата (рис. 3).

способ.

Однократное введение лекарственного препарата

(рис.

За) (это соответствует случаю, когда пациенту "сделали

укол"), Q = 0.

В этом

случае

кинетическое уравнение:

-km.

Решение этого дифференциального уравнения с

учетом

на-

чального условия (при t = 0 масса m = nig) запишем в виде:

m = m

•

Это решение легко получается из решения (3) при Q = 0.

Примеры графиков при различных константах выведения

представлены на рис. 4.

1-ый вариант 2-ой вариант 3-ий вариант

Нагрузочная

масса,

мг

Скорость

введения,

мг/час

Константа

выведения, 1/час

0,3

0,2

0,1

т,

мг

0,1

1/час

\ I I I Г

0,00

2,00 4,00 6,00 8,00 10,00

Рис.

4. Изменение массы лекарства в

крови

при различных к (инъекция)

171

способ.

Непрерывное введение препарата с постоянной

скоростью (рис. 36) (это соответствует случаю, когда пациенту

"поставили капельницу"), гл

= 0.

В этом

случае

изменение массы лекарственного препарата в

организме определяется не только скоростью его удаления,

но

и скоростью введения Q — количеством лекарственного ве-

щества, вводимого в организм за единицу времени:

• = Q — km.

Решим

это дифференциальное уравнение, с учетом, что при

= 0 масса m = 0

m t

Or» 1,™ о

Q —km

Введем новую переменную

= Q-km, dU = -

dt.

-kdm, dm = -dU/k,

dm 1 j dU

Q — km k U

Тогда получаем

ln(Q - km)

k "

Q-km

K.XI

и,

наконец,

= — (1 - e~

Это решение легко получается из (3) при mQ = 0. Примеры гра-

фиков

при различных скоростях введения представлен на рис. 5.

способ.

Сочетание непрерывного введения лекарственного

препарата (2

способ)

с введением нагрузочной дозы (1

способ)

(рис.

Зв).

При

этом фармакокинетическая модель примет вид (см. ре-

172

Нагрузочная

масса,

мг

Скорость

введения,

мг/час

Константа

выведения,

1/час

т,

мг

4,00

-| т

3,00-

2,00-

1,00-

0,00

1-ый вариант 2-ой вариант 3-ий вариант

0 0

0,3 0,6 1

0,3 0,3 0,3

1,0 1/час

0,6 1/час

0,3 1/час

_t,

час

0,00

4,00 8,00 12,00 16,00

Рис.

Изменение

массы

лекарства в

крови

при различных Q (инфузия)

шение

(3)):

Q Q , _

= — -(—- m

)

•

График

этой зависимости в общем виде представлен на рис. Зв,

кривые 1 и 1'.

Если

выбрать соответствующие скорость введения лекарства

Q = km

onT

и нагрузочную

дозу

mQ = —, постоянная масса ле-

карства устанавливается мгновенно (прямая линия (2), рис. Зв).

Графики

при различных соотношениях Q и т

представле-

ны

на рис. 6.

Выполнение

работы

Проанализируйте изменение массы лекарственного препа-

рата в крови при различных способах введения и для различ-

ных параметров m

, Q и к.

173

Нагрузочная

масса,

мг

Скорость

введения, мг/час

Константа

выведения, 1/час

4,00

мг

1-ый вариант

2-ой

вариант

3-ий

вариант

3.5 0.5

0,6

0,6 0,6

0,3

0,3 0,3

0,00

час

0,00

4,00 8,00 12,00 16,00

20,00

Рис.

Сочетание инфузии

инъекции при различных соотношениях m

Q, k

Для

ЭТОГО:

1. Запишите закон изменения m(t) для заданных параметров.

2. Постройте серии графиков m(t).

3. Оцените из графиков характерные величины:

а) время Т

5> когда масса препарата в крови уменьшится в

2 раза по сравнению с первоначальной при 1-ом способе введе-

ния.

Сравните с теоретическим значением

1п2

,5 =

б) время Т

д, когда m = 0,9 • m

(m = 0,9 —) при 2-ом спо-

собе введения лекарства.

Сравните с теоретическим значением

1пЮ

0,9 = ~Т— •

4. Рассчитайте параметры т

и Q для того, чтобы при за-

данном

к = 0,2 час"* сразу устанавливалась бы оптимальная

174

масса лекарства в крови при 3-ем способе введения лекарст-

ва, если:

опт

= 2 мг,

2) ш

опт

= 4 мг,

опт

= 6 мг.

(т

опт

Постройте графики.

5. Оцените во сколько раз должна медсестра уменьшить

просвет в капельнице (при 2-ом способе введения лекарства),

чтобы уменьшить оптимальную массу лекарственного препа-

рата в крови с 5 мг до 1 мг при неизменном к = 0,2 чае*.

Постройте графики для этих

двух

случаев.

Задание

1. Проанализируйте изменение m(t) при 1 способе

введения лекарства — "инъекция" (укол):

Параметры

1 система

2 система

3 система

мг

мг/час

к,

1/час

0,2

0,1

0,05

Закон

изменения

m(t)

Задание 2.

Проанализируйте

изменение m(t) при 2 способе

введения

лекарства

— "инфузия" (капельница):

Параметры

1 система

2 система

3 система

мг

мг/час

1,2

0,8

0,4

к,

1/час

0,2

Закон

изменения

m(t)

Задание

3. Проанализируйте изменение m(t) при 3 способе

введения лекарства — "инъекция + инфузия" (укол + капель-

ница):

Параметры

система

мг

4,5

1,5

мг/час

0,6

к,

1/час

0,2

Закон

изменения

m(t)

175

4.6.

Моделирование кинетики кровотока

в эластичном сосуде (модель Франка)

В данной работе рассматривается модель сосудистой систе-

мы,

предложенной О. Франком, которая позволяет установить

связь

между

давлением и объемной скоростью кровотока в

крупном

сосуде

учетом

их эластичности. Модель позволяет

рассчитать изменение во времени гемодинамических показа-

телей в крупном

сосуде

в течение сердечного цикла.

Цель

работы:

1. Научиться составлять простейшие уравнения, описываю-

щие кровоток в эластичном сосуде.

2. Научиться анализировать решения данных уравнений

сопоставлять их с процессами в сердечно-сосудистой системе.

Литература:

Антонов

В.Ф. и др. Биофизика. — М.: Владос,

2000.

2. Физиология человека, под ред. Р. Шмидта и Т. Тевса. — М.: Мир,

1996.

3. Данное

учебное

пособие.

Подготовка к работе

Изучить по рекомендованной литературе следующие во-

просы:

1. Закон Пуазейля. График падения давления.

2. Решение дифференциальных уравнений первого порядка

с разделяющимися переменными.

3. Физическая модель системы "эластичный

сосуд

— мик-

рососуды".

4. Кинетические уравнения. Составления кинетического

уравнения кровотока в эластичном сосуде.

Теоретические сведения

Поставим цель: рассчитать изменение гемодинамических

показателей (например давления) во времени в некоторой точ-

176

ке х крупного

сосуда

(произвольность выбора точки обусловле-

на

малостью коэффициента затухания пульсовой волны вдоль

крупных сосудов).

На

рис. 1 схематично показаны экспериментальные данные

изменения

давления Р в полости левого желудочка и в аорте, а

также объемная скорость Q

, поступления крови из сердца в

аорту.

Видно, что Р и Q

нелинейно изменяются во времени.

Рис.

1. Изменение гемодинамических показателей при сокращении сердца: а

— давление крови в аорте (штриховая линия) и давление в левом желу-

дочке

сердца (сплошная); б — объемная скорость Q

поступления крови

в аорту во время систолы. Кривые F соответствуют первому сокраще-

нию,

R — повторение

процесса;

точки 1 и 1' соответствуют моментам

открытия

аортального клапана, точка 3 — его

закрытию,

точка 2 — мо-

мент

времени,

когда

достигает

максимального

значения

Для

удобства

рассмотрения выделим две фазы кровотока в

системе "левый желудочек сердца-крупные сосуды-мелкие со-

суды" (рис. 1, 2):

фаза — фаза притока крови в аорту из сердца с момента

открытия аортального клапана до его закрытия (рис. 2, т. 1 —>

—> 2 —» 3). Во время поступления крови из сердца стенки круп-

ных сосудов растягиваются благодаря их эластичности, часть

крови резервируется в крупных

сосудах,

а часть проходит в

мелкие сосуды (рис. 2а).

177

фаза

—

фаза изгнания крови

из

крупных сосудов

мепкие

после закрытия аортального клапана (рис.

2, т. 3

—>

1'). Во вре-

мя

этой фазы стенки крупных сосудов

за

счет упругости

воз-

вращаются

исходное положение, проталкивая кровь

в мик-

рососуды.

В это

время

левый желудочек поступает кровь

из

левого предсердия.

Эластичный

резервуар

Жесткая

трубка

а.

фаза. Аортальный клапан

открыт,

(крупные

сосуды)

w-o

(микрососуды)

со

б.

фаза. Аортальный клапан

закрыт,

= О

jdV/df

Рис. 2. Схематическое изображение кровотока в крупных и микрососудах при

открытом (а) и закрытом (б)

клапане

модели Франка сделаны следующие допущения:

Все

крупные сосуды объединены

один резервуар

элас-

тичными

стенками, объем которого пропорционален давле-

нию.

Они (а

следовательно,

резервуар) обладают высокой

эластичностью; гидравлическим сопротивлением резервуара

пренебрегают.

2) Система микрососудов представлена

как

жесткая трубка.

Гидравлическое сопротивление жесткой трубки велико; элас-

тичностью мелких сосудов пренебрегают.

3) Эластичность

сопротивление

для

каждой группы сосу-

дов постоянны

во

времени

и по

пространству.

178

4) Не рассматриваются переходные процессы установления

движения крови.

Существует

"внешний механизм" закрытия и открытия

аортального клапана, определяемый активной деятельностью

сердца.

Составим систему уравнений. Скорость изменения объема

резервуара

dv/dt

равняется разности скоростей притока в него

крови

из сердца Q

и оттока в систему микрососудов Q:

—

-Q.

где Q

(t) — объемная скорость поступления крови из сердца

(рис.

16), Q(t) — объемная скорость кровотока в начале мел-

ких сосудов, dv — изменение объема крупных сосудов.

Предполагаем, что изменение объема резервуара линейно

зависит от изменения давления крови в нем dP:

dv = CdP, (2)

где С — эластичность — коэффициент пропорциональности

между

давлением и объемом, С •

Применяя

закон Пуазейля для течения крови по жесткой

трубке получим, что:

Q = — , (3)

где P(t) — давление в крупных

сосудах

(в том числе на

входе

мелкие),

кон

— давление на

выходе

из жесткой трубки, W —

гидравлическое сопротивление мелких сосудов. Во

всех

урав-

нениях

под Р подразумевается избыточное давление (разность

между

реальным давлением и атмосферным).

Систему уравнений (1, 2, 3) можно решить относительно

P(t),

Q(t) или v(t). Решим систему относительно P(t).

учетом

1, 2, 3 получим уравнение

P Q

K0H

= — + —^^

•

(4)

WC С WC

Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение,

решение

которого определяется видом функции Q

(t).

179

Решение.

Из

теории дифференциальных уравнений известно, что для

произвольной функции Q

(t) решением данного уравнения бу-

дет общий интеграл:

P(t)

о WC

"кон

—

J(Q

(5)

где константа К находится исходя из начальных условий.

На

рис. 3 представлен график функции P(t), полученный на

основе расчетов давления по формуле (5) для аппроксимации

(t) в виде параболы:

(t) = -at

+ bt, (6)

а = ^—, b = ,

где Q

max

— максимальное значение кровотока, поступающего

из

сердца, время in равно половине длительности первой фазы

Расчетная зависимость P(t), представленная на рис. 2а

близка к наблюдаемой в действительности (рис. 1), Р

кон

= 0.

Представленная модель позволяет рассчитать P(t) и для лю-

бой аппроксимации реальной функции Q

(t).

Наиболее простыми являются решения уравнения для 2 фа-

зы,

когда аортальный клапан закрыт, следовательно Q

= 0.

Тогда система уравнений упрощается:

-Q (I')

dv = CdP (2')

Q = —. (3')

Тогда из системы уравнений 1'—3' получим уравнение для

P(t):

dt WC'

180