Антонов В.Ф. Практикум по биофизике

Подождите немного. Документ загружается.

Задание

2. Проанализируйте поведение системы при изме-

нении

коэффициента роста е<0 (у< о). Заполните таблицу:

1 система

2 система

3 система

0,5

0,4

0,6

-0,1

-0,2

-0,6

Закон

изменения x(t)

Задание

3. Проанализируйте поведение системы при

коэф-

фициенте роста 8 = 0 (у= с). Заполните таблицу:

Параметры

Система

0,6

Закон

изменения x(t)

Задание

4. Проанализируйте поведение системы при из-

менениях начальной численности особей XQ. Заполните таб-

лицу:

Параметры

1 система

2 система

3 система

0,8

0,6

0,2'

0,2

хо

100

Закон

изменения x(t)

4.2.

Модель изменения численности

популяции

с учетом

внутривидовой

конкуренции

(модель

ферхюльста)

Цель

работы:

1. Научиться составлять и решать (аналитически и с помо-

щью ПК) кинетические уравнения при моделировании процес-

сов изменения численности популяций.

2. Проводить анализ полученных решений, графически

представлять результаты.

141

Литература:

Антонов

В.Ф. и др. Биофизика. — М.: Владос.

2000.

Волъкенштепн

М.В. Биофизика. — М.: Наука. 1988.

Подготовка

работе

Повторить из школьного курса:

1. Производные функции.

2. Построение графиков функций.

Изучить по рекомендованной литературе следующие вопро-

сы:

1. Математическое моделирование. Основные этапы моде-

лирования. Основные допущения. Понятие об адекватности

модели.

2. Кинетические уравнения (общий принцип их построе-

ния).

Смысл переменных величин, входящих в них (аргумент,

параметры, функции).

3. Составление конкретных кинетических уравнений для

заданной системы.

4. Методы решения дифференциальных уравнений первого

порядка с разделяющимися переменными.

Теоретические

сведения

Усложним рассмотренную в предыдущей работе модель. С

целью получения решения, лучше описываемого изучаемый

объект, среди допущений, приведенных в модели 1, снимем

допущение 3. Пусть

существует

борьба

между

особями, напри-

мер, за место обитания, тем самым добавляется дополнитель-

ный

источник гибели. Считая, что скорость гибели за счет кон-

куренции

между

особями пропорциональна вероятности

встречи

двух

особей, можно записать S = -5х

•

х - ох (5 — ко-

эффициент

пропорциональности). Тогда уравнение баланса

численности особей:

ух. - ах -

или

ex - 8х

142

Это нелинейное дифференциальное уравнение. Сделаем за-

мену переменных: и = (е

—

•

х)/х. Тогда с учетом, что при t = О

х = х

получим:

/п(х/х

)

- In (е -

8х)/(е

- 8

•

)) = е

•

Отсюда х

•

x(t) = • —г

(е

- 8

•

) • е

+ 8

•

при

t -» °°

х->Х

ст

= е/8.

Графики

для различных параметров системы приведены на

рис.

1—3.

160

120-

80-

40-

= 0,002

I I 1 \

2 4 6 8 10

const

= 0,4 Х

const

= 10

Рис.

1. Влияние 8 на x(t)

Чем меньше вероятность внутривидовой конкуренции, тем

быстрее растет численность особей.

Выполнение

работы

Проанализируйте поведение системы при различных пара-

метрах е, 8, х

Для этого:

1. Запишите закон изменения x(t) для заданных парамет-

ров.

143

2 4 6 8 10

5 = const = 0,001 Х

= const = 10

Рис.

Влияние

Е на x(t)

-I

2 4 6 8

const

= 0,01 е =

const

= 0,6

Рис.

Влияние

Hax(t)

144

2. Рассчитайте с помощью ПК x(t).

3. Постройте графики x(t). Кривые для каждого вида пара-

метров должны быть представлены на одном рисунке (см. при-

меры в теоретических сведениях).

4. Оцените характерные величины процесса:

а) Стационарное значение х

ст

, сравните с расчетными дан-

ными

ст

= е/5.

Постройте графики х

ст

(е), х

ст

(8).

б) Характерное время Т

д, когда численность популяции

составляет х = 0,9 ст (т.е. практически

выходит

на стационар-

ный

уровень).

Постройте графики Т

g (х

), Т

g (е), Т

g (§)•

Сделайте вывод.

Рис.

4. Положение

точки

перегиба

в) параметры точки перегиба — время t

и численность

особей х

, когда проявляется конкурения их

между

собой

(рис.

4).

Для этого по графику оцените х

, сравните с теоретическим

значением:

145

По

графику найдите

Постройте графики

(е), х

(5), х

(х

)

(e), t

(5), t

Сделайте вывод.

Задание

Проанализируйте поведение системы

при

изме-

нении

коэффициента роста

е.

Заполните таблицу:

Параметры

1 система

2 система

система

е,

1/час.

2,2

1,6

1/час.

0,001

Закон

изме-

нения

X(t)

т Хк

Задание

Проанализируйте поведение системы

при

изме-

нении

коэффициента

(вероятности конкуренции). Заполните

таблицу:

Параметры

1 система

2 система

система

0,4

0,001

0,003

0,01

0,02

Закон

изме-

нения

X(t)

ст

Задание

Проанализируйте поведение системы

при из-

менении

начальной численности особей

XQ.

Заполните

таб-

лицу:

Параметры

1 система

2 система

система

0,6

0,01

Закон

изме-

нения

X(t)

Хст

146

4.3.

Модель

"хищник

—

жертва"

(модель

Вольтерра)

Цель

работы:

1. Научиться составлять и решать (аналитически и с помо-

щью ПК) кинетические уравнения при моделировании процес-

сов изменения численности популяций.

2. Проводить анализ полученных решений, графически

представлять

результаты.

Литература:

Антонов

В.Ф. и др.

Биофизика.

— М.: Владос, 2000.

Волькенштейн

М.В.

Биофизика.

— М.: Наука, 1988.

Подготовка

работе

Повторить из школьного курса:

1. Производные функции.

2. Построение графиков функций.

Изучить по рекомендованной

литературе

следующие

во-

просы:

1. Математическое моделирование. Основные этапы моделиро-

вания.

Основные допущения. Понятие об адекватности модели.

2. Кинетические уравнения (общий принцип их построе-

ния).

Смысл переменных величин, входящих в них (аргумент,

параметры, функции).

3. Составление конкретных кинетических уравнений для

заданной системы.

4. Методы решения дифференциальных уравнений второго

порядка.

Теоретические

сведения

На

рис. 1 приведены опытные данные по количеству числа

добытых

шкурок зайцев и рысей в Канаде с 1845 по 1935 гг.

Рассмотрим модель.

Среди допущений, введенных в работе 4.1, снимем допуще-

ние

4. Пусть в некотором пространстве

живут

два вида особей:

зайцы (жертвы) и рыси (хищники). Зайцы питаются расти-

147

160

1120

Заяц

Рысь

1845

1855 1865 1875 1885 1895 1905 1915 1925 1935

Рис.

1. Динамика популяций зайцев и рысей

тельной пищей, имеющейся всегда в достаточном количестве

(между ними

отсутствует

внутривидовая борьба). Рыси

могут

питаться только зайцами.

Введем величины:

х — число жертв в момент t;

у — число хищников в момент t.

Уравнения баланса

между

численностью рожденных и гиб-

нущих особей:

Жертвы: = ух - ах - аху,

скорость

раз-

скорость

множения

естеств.

гибели

скорость

ги-

бели

за счет

встречи

с хищ-

ником

Хищники:

или

8х

• у — (Зу

скорость

размножения

скорость

естест.

гибели

rdx

— =ех-аху

(1)

8xy —

В общем виде x(t) и y(t) — нелинейные функции времени.

Данные уравнения решаются с помощью ПК.

148

б)

Рис.

Функции

x(t)

y(t)

— (а) и

соответствующий фазовый

портрет

системы

(б)

—

схематичное представление

На

рис.

представлены схематично графики

x(t) и y(t) (а) и

соответствующий фазовый портрет системы

(б).

Аналитическое

решение при малых

отклонениях

от ста-

ционарных значений.

Найдем стационарное значение

ст

и у

ст

, т.е.

dx/dt

= О,

dy/dt

= 0.

Из

(1)

получим алгебраические уравнения,

из

которых най-

дем:

ст ~~

~Г~ ' Уст ~ •

При

малых отклонениях

u (t) от х

ст

и v (t) от у

ст

система

уравнений сводится

дифференциальным уравнениям второ-

го порядка, описывающим гармонические колебания величин

и v:

ePu

= 0

drj

e(3v = 0

решения уравнении:

= U

= V

max

sin

max

sin

(Ve p t + ф

Отношение амплитуд отклонений:

;

'max

max

149

результате

численности особей при малых отклонениях от

стационарных значений равны:

sin Vep t,

x(t) = х

ст

+ U

max

y(t) = Y

+ V

sin(

Vip

max

sin(Vip

t +

Фо

На

рис. З схематично представлены графики гармоническо-

го изменения x(t) и y(t) (а) при малых отклонениях от стацио-

нарных значений и соответствующий им фазовый портрет сис-

темы в виде эллипса (б).

Уст

ст

Рис.

Изменения

x(t) и y(t) при малых отклонениях (а)

фазовый

портрет

системы

(б)

Выполнение

работы

Задание.

Проанализируйте поведение системы при различ-

ных параметрах а, (3, е, 8, а также при различных начальных

условиях х

и у

Для этого:

1. Для каждой совокупности параметров постройте с помо-

щью ПК серию графиков зависимости x(t) и y(t) (на одном ри-

сунке) и соответствующие им фазовые портреты системы.

2. Оцените из графиков период колебаний численностей

хищников и жертв.

3. Оцените из графиков, при каких отклонениях от х

ст

и у

ст

гармонические колебания сменяются сложными колебания-

150