Антонов В.Ф. Практикум по биофизике

Подождите немного. Документ загружается.

кие

изменения в областях а-, р- и у-дисперсии. Количество теп-

ла, выделяющееся в объеме V диэлектрика за время t вследствие

диэлектрических потерь, определяется выражением:

— электрическая постоянная,

е— диэлектрическая проницаемость,

v — частота изменения знака поля.

Высокочастотное магнитное поле вызывает в тканях вихре-

вые электрические токи, энергия которых

переходит

в тепло.

Вихревые

токи образуются преимущественно в токопроводя-

щих тканях, содержащих растворы электролитов.

Количество тепла Q, выделяющееся в объеме раствора V за

время t, выражается формулой:

со =

2к\>

— круговая частота,

фф — эффективное значение магнитной индукции.

Воздействие переменным магнитным полем ВЧ на ткани ор-

ганизма при индуктотермии проводится на

частоте

13,56 МГц.

Воздействие на ткани организма с лечебной целью электро-

магнитными волнами в сантиметровом диапазоне называется

микроволновой терапией (МВ-терапия). Частоты 460 МГц (к =

65 см) и

2375

МГц (X = 12,6 см). Воздействие осуществляется

путем

облучения поверхности соответствующей областц

тела

направленным потоком волн, который образуется с помощью

специального излучателя, называемого волноводом.

Сантиметровые волны поглощаются преимущественно в по-

верхностных слоях тканей организма (глубина проникнове-

ния

несколько сантиметров). Первичное действие их обуслов-

лено колебаниями (осцилляцией) ионой в растворах электро-

литов, а также полярных молекул в диэлектрике, которые вы-

зываются электрической составляющей поля волны, проника-

ющей в ткани. При этом выделяется теплота. В этом отноше-

нии

действие микроволн сходно с действием электрического

поля УВЧ. Однако при колебаниях СВЧ, используемых в этом

методе, преимущественное значение имеет поведение молекул

воды, которые принимают

участие

в ориентационных колеба-

ниях. Поэтому наибольшее поглощение энергии волны и, сле-

довательно, выделение теплоты происходит в водосодержа-

131

щих тканях, например, мышечной ткани и крови, наимень-

шее — в жировой ткани в подкожной клетчатке. Этим МВ-те-

рапия

отличается от терапии электрическим полем УВЧ.

Выполнение

работы

Задание

1. Изучить на опыте нагревание диэлектриков и

электролитов при действии электрического поля УВЧ.

Для выполнения задания необходимы

следующие

приборы

оборудование: аппарат УВЧ с терапевтическим контуром;

раствор NaCl (1—2% концентрации), касторовое масло, поме-

щенные

в одинакового объема и формы сосуды; термометры

для определения температуры раствора NaCl и касторового

масла с ценой деления не меньше

0,2°С;

секундомер.

Для выполнения задания необходимо:

1. Расположить

сосуды

с диэлектриком и электролитом

между

электродами терапевтического контура аппарата УВЧ.

2. Включить аппарат УВЧ (мощностью 40 Вт), установив

ручку

включения на делении 3. Измерить начальную темпера-

УРУ

to электролита и диэлектрика.

3. Переключить

ручку

"контроль" на настройку и, меняя

емкость подстроечного конденсатора, настроить прибор в резо-

нанс;

при этом стрелка прибора отклоняется максимально.

4. Измерить

температуру

через каждые 3 минуты в течение

9—12 минут после настройки в резонанс.

Результаты занести в таблицу:

Жидкость

Электролит

Диэлектрик

Время

нагрева

в минутах

Температура,

град.

Изменение

температуры

от

начального

значения

град.С

At.=

ti —to

5. После окончания нагревания выключить аппарат УВЧ из

сети.

132

6. Построить график зависимости изменения температуры

At от х времени нагревания в электрическом поле УВЧ для диэ-

лектрика и электролита (оба графика построить на одних осях).

Сделать выводы, что нагревается в электрическом поле

УВЧ сильнее — диэлектрик или электролит.

Задание

2. Решить задачи.

Задача 1. Какой емкостью должен обладать ТК аппаратов

для УВЧ-терапии и для индуктотермии, если их резонансные

частоты и индуктивности равны соответственно: Vj =

40,68

МГц,

= 13,5 МГц; Ц = 0,3 мкГн, L

= 5 мкГн?

Емкость ТК аппаратов УВЧ-терапии и индуктотермии рас-

считывать по формуле Томпсона:

= 2л Vic"; T = —

Ответ:

= 51 пФ

- 28 пФ.

Задача 2. Определить количество тепла, выделяющееся в

см

мышечной (Q

) и жировой (О„

) ткани соответственно за

счет

тока проводимости при УВЧ-терапии за время процедуры

10 мин. Напряженность электрического поля

между

электро-

дами терапевтического контура Е

фф =194 В/м. Считать поле

рассматриваемом объеме однородным; положить при расче-

тах значение коэффициента К

равным единице.

Для мышечной ткани о

0,690

Ом~

м~

Для жировой ткани о

0,035

Ом~

м~

Количество тепла, выделяющееся в 1 см

мышечной и жи-

ровой ткани за

счет

тока проводимости, Q = аЕУ1

Ответ:

= 0,79 Дж, Q

= 15,6 Дж.

Задача 3. Определить относительное количество тепла, вы-

деляемое в мышечной ткани по сравнению с жировой при ми-

кроволновой

терапии (v = 2,45 • 10

Гц).

= 5,5; Е

= 47

tg5

= 0,21; tgo

= 0,34.

Ответ:

количество теплоты, выделяющееся в мышечных тка-

нях

приблизительно в 14 раз больше, чем в жировой

ткани.

133

Математическое

моделирование

биофизике

Математическое

моделирование

в биофизике базируется на

методах

математической

физики.

Промежуточное положение

между

физикой и математикой занимает математическая фи-

зика

— теория математических моделей физических явлений.

При

построении моделей используются физические законы,

однако

методы исследования полученных уравнений являют-

ся

математическими.

Постановка

задач

математической физики заключается в

построении

математических моделей, описывающих основные

закономерности

изучаемого класса физических явлений. Та-

кая

постановка состоит в выводе уравнений (дифференциаль-

ных, интегральных, алгебраических). При этом исходят из ос-

новных физических законов, учитывающих только наиболее

существенные черты явления, отвлекаясь от второстепенных

характеристик. Такими законами являются обычно законы

сохранения,

например энергии, частиц и т. д. Поэтому для

описания

процессов различной физической природы, но имею-

щих общие характерные черты, применимы одни и те же мате-

матические модели.

Для полного описания эволюции физического процесса по-

мимо

уравнений необходимо, во-первых, задать параметры

процесса в некоторый фиксированный момент времени (на-

чальные условия) и, во-вторых, задать режим на границе той

среды, где протекает этот процесс (граничные условия).

Примерами

уравнений математической физики являются

уравнения Максвелла, уравнение Шредингера.

Методы математической физики используются и при иссле-

довании биофизических процессов. В частности используются

законы

гидродинамики, уравнения диффузии, волновые урав-

нения

распространения электрического возбуждения вдоль

нервного волокна и др.

В биофизике выделяется

круг

явлений, описываемых так

называемыми кинетическими моделями.

134

Поскольку

все процессы в живых организмах или сообщест-

вах живых объектов разворачиваются как во времени, так и в

пространстве, то наиболее адекватные модели этих процессов

являются системами уравнений в частных производных. Од-

нако

в большом числе

случаев

можно считать, что во

всех

час-

тях рассматриваемого объема процессы синхронны и, следова-

тельно, зависимость от координаты

отсутствует.

В этом

случае

можно упростить систему, рассматривая ее как точечную, по-

ведение которой описывается уравнениями в обыкновенных

производных.

Рассмотрим общий вид кинетических уравнений, которые

служат

математическими моделями в биологической кинети-

ке

при изучении точечных систем:

dx^

Fjixi,

, ..., x

) (i = 1, 2, ..., п),

где x^t), x

(t),..., x

(t) — неизвестные функции времени, опи-

сывающие переменные величины системы, -пр — скорость из-

менения

этих переменных, F^ — функции, зависящие от внеш-

них и внутренних параметров ситсемы.

Параметры — это величины, которые поддерживаются не-

изменными

в течение времени наблюдения над системой. Пе-

ременные — величины, которые изменяются с течением вре-

мени.

В разных биологических системах в качестве переменных

могут

выступать различные измеряемые величины: в биохи-

мии

— это концентрации веществ, в микробиологии — число

микроорганизмов,

в экологии — численность вида, в фармако-

кинетике

— концентрация лекарственного препарата, в био-

физике

мембранных процессов — потенциал мембраны, в ге-

модинамике

сердечной деятельности — артериальное давле-

ние,

объемная скорость кровотока.

Уравнения обычно нелинейные. Величины, как правило,

состоят из нескольких

слагаемых.

Положительные члены опи-

сывают прибыль компонента, отрицательные —

убыль.

Для

построения

системы необходимо знать скорости притока и от-

тока каждого компонента и их зависимость от переменных.

Кроме

этого, должны быть заданы начальные значения

(t=0).

135

В ряде

случаев

можно получить точное аналитическое ре-

шение уравнений. В общем

случае

задача может быть решена

лишь приближенно численными методами с помощью персо-

нального компьютера (ПК).

4.1.

Моделирование

изменения

численности популяции.

Модель

естественного роста (модель Мальтуса)

Традиционной областью приложения математических мо-

делей является теория развития биологических популяций.

Математическое моделирование в биофизике важно как для

понимания

фундаментальных биологических закономернос-

тей, так и для решения прикладных задач, например в микро-

биологии.

Данная теория рассматривает с единой точки зрения раз-

личные аспекты основных закономерностей изменения чис-

ленности популяций, в том числе и клеток, обитающих как в

естественных условиях, так и в искусственных лабораторных

установках. Основные особенности связаны с лимитирующи-

ми рост факторами среды, со взаимодействием различных ви-

дов в процессе роста.

Цель

работы:

1. Научиться составлять и решать (аналитически и с помо-

щью ПК) кинетические уравнения при моделировании процес-

сов изменения численности популяций.

2. Проводить анализ полученных решений, графически

представлять

результаты.

Литература:

Антонов

В.Ф. и др. Биофизика. — М.: Владос,

2000.

Волъкенштейн

М.В. Биофизика. — М.: Наука, 1988.

Подготовка

работе

Повторить из школьного курса:

1. Производные функции.

2. Построение графиков функций.

136

Изучить по рекомендованной

литературе

следующие

во-

просы:

1. Математическое моделирование. Основные этапы моде-

лирования. Основные допущения. Понятие об адекватности

модели.

2. Кинетические уравнения (общий принцип их построе-

ния).

Смысл переменных величин, входящих в них (аргумент,

параметры, функции).

3. Составление конкретных кинетических уравнений для

заданной системы.

4. Методы решения дифференциальных уравнений первого

порядка с разделяющимися переменными.

Теоретические

сведения

Реальная система: имеется некоторая популяция одного ви-

да (микроорганизмы, зайцы и т.п.), в которой происходят жиз-

ненные

процессы во всем их многообразии.

Постановка задачи. Найти законы изменения численности

популяции во времени.

Основные допущения:

Существуют

только процессы размножения и естествен-

ной

гибели, скорости которых пропорциональны численности

особей в данный момент времени.

2. Не учитываем биохимические, физиологические про-

цессы.

3. Нет борьбы

между

особями за место обитания, за пищу

(бесконечно большое пространство и количество

пищи).

4. Рассматриваем только одну популяцию, нет хищников.

Модель.

Введем

величины:

х — численность популяции в момент t;

R — скорость размножения, у — коэффициент размноже-

ния;

S — скорость естественной гибели, о — коэффициент

естест-

венной

гибели;

— — скорость изменения численности популяции, е-коэф-

фициент

роста.

Тогда

R = ух, S = -ах.

137

Составим дифференциальное уравнение баланса: изменение

численности особей в единицу времени определяется количе-

ством рожденных за это время и умерших:

(у—а)х,

или

ex.

Начальное условие: при t = 0 численность особей х = х

Решим

уравнение:

edt

et,

„et

отсюда

= х

. е

Графики

для различных параметров системы приведены на

рисунках 1—4.

= 0,5

1600,00

1200,00

800,00

= 0,4

0,3

1 1 1 [

0,00

2,00 4,00 6,00 8,00 10,00

у> о, х

= 10

Рис.

Изменение

численности

особей

при Е > О

138

100

80 -

60 -

Е = -0,1

40 -

20 -

0 2 4 6 8 10

у< с

Рис. 2. Изменение численности особей при е < 0

Рис. 3. Постоянное значение численности особей при е = О

200,00 "

160,00-

120,00-

80,00 -

40,00

0,00

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00

е = const = 0,2

Рис. 4. Изменение численности особей при вариации хд

139

Выполнение

работы

Проанализируйте поведение системы при различных пара-

метрах

у, о, х

Для этого:

1. Запишите закон изменения x(t) для заданных парамет-

ров.

2. Рассчитайте с помощью компьютера x(t).

3. Постройте графики x(t). Кривые x(t) для разных у

долж-

ны

быть представлены все на одном рисунке, соответственно

для разных о — на

другом,

для разных х

— на

третьем

(см.

примеры в теоретических сведениях).

4. Оцените из графиков характерные величины процесса:

а) Время Т

§, когда численность особей изменится в 2 раза

по

сравнению с первоначальной. Сопоставьте с расчетными ве-

личинами:

/п2

Постройте график зависимости Т

о 5

( 1е !)•

Сделайте вывод о влиянии коэффициента роста на харак-

терное время Т

б) Скорость изменения численности популяции при t = 0.

Сопоставьте с расчетными величинами:

е.

= 0

Сделайте вывод о влиянии е на скорость изменения числен-

ности

популяции в начальный момент времени.

Задание

1. Проанализируйте поведение системы при из-

менении

коэффициента роста е > 0 (у > а). Заполните табли-

цу:

Параметры

система

у, 1/час.

0,9

1,0

1,1

о,

1/час.

0,6

е,

1/час.

0,3

0,4

0,5

Закон

изменения

х (t)

140