Андрієвський С.М. Климишин І.А. Курс загальної астрономії. Навчальний посібник

Подождите немного. Документ загружается.

111

ùóº â³äñòàíü â³ä Çåìë³ äî Ì³ñÿöÿ. Òîìó é ñåðåäí³é êóòîâèé ðàä³óñ ò³í³ Çåìë³, â

ÿêó ìîæå çàíóðèòèñÿ Ì³ñÿöü, ðóõàþ÷èñü ïî ñâî¿é îðá³ò³, ñòàíîâèòü 42'. Â ¿¿

ïåðåð³ç äèñê Ì³ñÿöÿ âêëàäàºòüñÿ 2,5 ðàçè. Òîìó ïîâíå ì³ñÿ÷íå çàòåìíåííÿ

(äîêè Ì³ñÿöü ðóõàºòüñÿ ó ìåæàõ êîíóñà ò³í³ Çåìë³) ìîæå òðèâàòè äî 1,8 ãîä., à

çàãàëîì, âêëþ÷àþ÷è ÷àñòêîâ³ ôàçè, — äî 3,8 ãîä.

ßêáè ïëîùèíà ì³ñÿ÷íî¿ îðá³òè ñï³âïàäàëà ñ ïëîùèíîþ åêë³ïòèêè, òî

ñîíÿ÷í³ çàòåìíåííÿ òðàïëÿëèñÿ á ï³ä ÷àñ êîæíîãî íîâîãî Ì³ñÿöÿ, à çàòåì-

íåííÿ Ì³ñÿöÿ — ÷åðåç ïðèáëèçíî ïîëîâèíó ñèíîäè÷íîãî ïåð³îäó ï³ñëÿ öüî-

ãî. Îñê³ëüêè æ âêàçàí³ ïëîùèíè ïåðåòèíàþòüñÿ ï³ä êóòîì i = 5°09', òî çäå-

á³ëüøîãî ñïîëó÷åííÿ Ì³ñÿöÿ ç Ñîíöåì íàñòàº ïðè ïîëîæåíí³ Ì³ñÿöÿ âèùå

àáî íèæ÷å â³ä ñîíÿ÷íîãî äèñêà (ðèñ. 5.8, ïîëîæåííÿ 1, 7, 8, 13). Ëèøå êîëè

â³äñòàíü Ì³ñÿöÿ ³ Ñîíöÿ â³ä âóçëà ì³ñÿ÷íî¿ îðá³òè ìåíøà â³ä 16–18°, òîáòî

êîëè äëÿ çåìíîãî ñïîñòåð³ãà÷à ¿õí³ äèñêè äîòèêàþòüñÿ àáî ïåðåòèíàþòüñÿ,

çàòåìíåííÿ Ñîíöÿ ìîæëèâå (ïîëîæåííÿ 2–6, 9–12).

Òîìó ìîæíà ñêàçàòè, ùî ïîáëèçó îáîõ âóçë³â ì³ñÿ÷íî¿ îðá³òè º çîíè ñî-

íÿ÷íèõ çàòåìíåíü çàãàëüíîþ ïðîòÿæí³ñòþ â³ä 32° äî 36°. Ñîíöå çì³ùóºòüñÿ

ïî åêë³ïòèö³ äî ñõîäó íà 1° çà äîáó. Ó ñâîþ ÷åðãó âóçëè ì³ñÿ÷íî¿ îðá³òè ïå-

ðåñóâàþòüñÿ â á³ê çàõîäó íà 0,053° çà äîáó. Òîìó çîíó çàòåìíåíü äèñê Ñîí-

öÿ ïðîõîäèòü çà 31–34 äîáè. Ôàçà æ íîâîãî ì³ñÿöÿ ïîâòîðþºòüñÿ ÷åðåç êî-

æí³ 29,53 äîáè. Îòæå, ÿê ò³ëüêè Ñîíöå íàáëèçèòüñÿ äî áóäü-ÿêîãî âóçëà ì³-

ñÿ÷íî¿ îðá³òè, çàòåìíåííÿ Ñîíöÿ â³äáóäåòüñÿ îáîâ’ÿçêîâî. ßêùî âîíî

òðàïèëîñÿ áåçïîñåðåäíüî â³äðàçó ï³ñëÿ âõîäæåííÿ Ñîíöÿ ó çîíó çàòåìíåíü

(òîä³ çàòåìíåííÿ ÷àñòêîâå, à öåíòðàëüíå íàñòàº ïðè â³äñòàí³ Ñîíöÿ â³ä âó-

çëà íå á³ëüøå 11,5°), òî âîíî ïîâòîðèòüñÿ ïðè íàñòóïíîìó íîâîìó ì³ñÿö³.

Çîíà ì³ñÿ÷íèõ çàòåìíåíü âóæ÷à: ìàº øèðèíó âñüîãî 24°, ïðè÷îìó ïîâíèì

çàòåìíåííÿ áóäå ïðè â³äñòàí³ Ñîíöÿ â³ä âóçëà, ìåíø³é â³ä 5,6°. Îñê³ëüêè

öå ìåíøå çà äóãó, ÿêó îïèñóº íà åêë³ïòèö³ öåíòð äèñêà Ñîíöÿ çà ñèíîäè÷-

íèé ì³ñÿöü, òî çàòåìíåííÿ íå îáîâ’ÿçêîâî â³äáóäåòüñÿ, õî÷à Ñîíöå ³ ïðî-

õîäèòü ÷åðåç âóçîë ì³ñÿ÷íî¿ îðá³òè.

Ð è ñ. 5.8. Ïîëîæåííÿ Ì³ñÿöÿ ³ Ñîíöÿ ó ð³çí³ íîâîì³ñÿ÷÷ÿ

Розділ5.Рх місяця. Затемнення

112

5.5. ×àñòîòà ³ ïåð³îäè÷í³ñòü çàòåìíåíü

ßê çàçíà÷àëîñÿ, âóçëè ì³ñÿ÷íî¿ îðá³òè çì³ùóþòüñÿ íàçóñòð³÷ ðóõîâ³ Ñîí-

öÿ ïî åêë³ïòèö³ íà 19,3° çà ð³ê. Îòæå, Ñîíöå ïîâåðòàºòüñÿ äî îäíîãî ³ òîãî

æ âóçëà íå ÷åðåç 365,3 (çîðÿíèé ð³ê), à ÷åðåç êîæí³ Ò



= 346,62 äîáè. Öåé

ïðîì³æîê ÷àñó íàçèâàºòüñÿ äðàêîí³÷íèì ðîêîì. Ïðîéøîâøè îäèí ì³ñÿ÷íèé

âóçîë, Ñîíöå äîñÿãàº ïðîòèëåæíîãî ÷åðåç 173 äîáè. Óíàñë³äîê öüîãî ñåçî-

íè çàòåìíåíü êîæíîãî íàñòóïíîãî ðîêó ìàëè á íàñòàâàòè ïðèáëèçíî íà 20

ä³á ðàí³øå, í³æ ïîïåðåäíüîãî.

Ïðîòå çàòåìíåííÿ áóâàþòü ó ìîìåíòè íîâîãî ì³ñÿöÿ (ñîíÿ÷í³) àáî ïî-

âí³ (ì³ñÿ÷í³), à ö³ ôàçè ïîâòîðþþòüñÿ ÷åðåç ïðîì³æêè ÷àñó S = 29,53 äîáè.

Îñê³ëüêè 12S =12× 29,53 = 253,36 äîáè, òî öå çíà÷èòü, ùî íàñïðàâä³ öèêë

çàòåìíåíü ìàâ áè ïîâòîðþâàòèñÿ ÷åðåç êîæí³ 354 äí³ ³ 8 ãîä. Çâ³äñè âèïëè-

âàº äâà âèñíîâêè: ó êîæíîìó íàñòóïíîìó ðîö³ ðåàëüí³ ñåçîíè çàòåìíåíü

íàñòàþòü íà 10–11 äí³â ðàí³øå, í³æ ïîïåðåäíüîãî; óìîâè çàòåìíåííÿ ³ñòîò-

íî çì³íþþòüñÿ, îñê³ëüêè Ñîíöå íà ìîìåíò íîâîãî ì³ñÿöÿ (÷è ïîâí³) îïè-

íèëîñÿ íà 10–11° áëèæ÷å (àáî äàë³) äî (â³ä) âóçëà ì³ñÿ÷íî¿ îðá³òè.

Ó êîæí³é çîí³ çàòåìíåíü ìîæå íå òðàïèòèñÿ ì³ñÿ÷íîãî çàòåìíåííÿ, îä-

íàê îáîâ’ÿçêîâî â³äáóäåòüñÿ ñîíÿ÷íå. Òîìó íàéìåíøà ê³ëüê³ñòü çàòåìíåíü

ó ðîö³ — äâà ñîíÿ÷íèõ. Íàéá³ëüøå çàòåìíåíü — ñ³ì (ï’ÿòü çàòåìíåíü Ñîí-

öÿ ³ äâà Ì³ñÿöÿ àáî ÷îòèðè Ñîíöÿ ³ òðè Ì³ñÿöÿ). Îñü ³ëþñòðàòèâíà ñõåìà

òàêèõ ïîä³é. Íà ïî÷àòêó ñ³÷íÿ Ñîíöå âõîäèòü ó çîíó çàòåìíåíü ³ ïðè ôàç³

íîâîãî ì³ñÿöÿ íàñòàº ÷àñòêîâå ñîíÿ÷íå çàòåìíåííÿ, à ùå ÷åðåç ñèíîäè÷-

íèé ì³ñÿöü — çíîâó ÷àñòêîâå ñîíÿ÷íå çàòåìíåííÿ, à ì³æ íèìè — ïîâíå ì³-

ñÿ÷íå çàòåìíåííÿ. ×åðåç 173 ä³á, ÿê ò³ëüêè Ñîíöå îïèíèòüñÿ ïîáëèçó ïðî-

òèëåæíîãî âóçëà, çíîâó â³äáóäóòüñÿ ò³ æ ÿâèùà — äâà ÷àñòêîâèõ ñîíÿ÷íèõ ³

îäíå ïîâíå ì³ñÿ÷íå çàòåìíåííÿ. Îñê³ëüêè äî ê³íöÿ ãðóäíÿ Ñîíöå çíîâó

íàáëèçèòüñÿ äî çîíè çàòåìíåíü, òî ïðè ÷åðãîâîìó íîâîìó ì³ñÿö³ â³äáóäåòüñÿ

ï’ÿòå ÷àñòêîâå çàòåìíåííÿ Ñîíöÿ. ² íàâïàêè, ÿêùî íà ïî÷àòêó ðîêó â³äáó-

ëîñÿ ïîâíå ì³ñÿ÷íå çàòåìíåííÿ, òî ï³ñëÿ íüîãî íàñòàº ÷àñòêîâå ñîíÿ÷íå,

÷åðåç ìåíø í³æ ï³âðîêó — ÷àñòêîâå ñîíÿ÷íå, ïîâíå ì³ñÿ÷íå ³ ùå ðàç ÷àñò-

êîâå ñîíÿ÷íå, à â ãðóäí³ — ÷àñòêîâå ñîíÿ÷íå ³ ïîâíå ì³ñÿ÷íå. Öÿ äðóãà êîì-

á³íàö³ÿ çàòåìíåíü ñïîñòåð³ãàëàñÿ, íàïðèêëàä, ó 1982 ð.

Ó ñåðåäíüîìó â ïåâí³é ì³ñöåâîñò³ Çåìë³ ïîâíå ñîíÿ÷íå çàòåìíåííÿ òðà-

ïëÿºòüñÿ îäèí ðàç íà 300 ðîê³â. ßêùî æ ãîâîðèòè ïðî ê³ëüê³ñòü çàòåìíåíü

óçàãàë³, ÿê³ ìîæíà ïîáà÷èòè ç ïåâíîãî ïóíêòó Çåìë³ çà ïåâíèé ³íòåðâàë ÷àñó,

òî á³ëüøå ñïîñòåð³ãàºòüñÿ ì³ñÿ÷íèõ. Öå òîìó, ùî ì³ñÿ÷íå çàòåìíåííÿ âèä-

íî ç óñ³º¿ ï³âêóë³ Çåìë³, äå â öåé ìîìåíò í³÷, òîä³ ÿê ñîíÿ÷í³ çàòåìíåííÿ

ñïîñòåð³ãàþòüñÿ ëèøå ç çîí ì³ñÿ÷íî¿ ò³í³ ³ ï³âò³í³, ùî â ð³çí³ ðîêè ïåðåá³-

ãàþòü ïî ð³çíèõ ÷àñòèíàõ çåìíî¿ ïîâåðõí³.

Íàñòàííÿ çàòåìíåíü âèçíà÷àºòüñÿ òðüîìà ïåð³îäàìè: ñèíîäè÷íîãî ì³ñÿ-

öÿ S = 29,5306

, äðàêîí³÷íîãî ì³ñÿöÿ S



= 27,2122

³ äðàêîí³÷íîãî ðîêó



= 346,6200

. Ìîæíà çíàéòè ïåâíó ê³ëüê³ñòü äí³â, â ÿêó ç äîñòàòíüîþ òî-

ЧастинаІІ.КінематиаCонячноїсистеми

113

÷í³ñòþ âêëàäåòüñÿ êîæåí ³ç çãàäàíèõ òóò ïåð³îä³â. Öå îçíà÷àòèìå, ùî ÷å-

ðåç òàêèé ïðîì³æîê ÷àñó òà æ ôàçà Ì³ñÿöÿ íàñòàíå íà ò³é æå â³äñòàí³ Ñîí-

öÿ â³ä âóçëà ì³ñÿ÷íî¿ îðá³òè. Îòæå, ïîâòîðÿòüñÿ òàê³ æ çàòåìíåííÿ, ùî é ó

ïîïåðåäíüîìó öèêë³.

Îäíèì ç òàêèõ öèêë³â º ñàðîñ (â³ä ºãèïåòñüêîãî ñëîâà, ùî îçíà÷àº «ïî-

âòîðåííÿ»), ÿêèé áóâ â³äîìèé ùå âàâ³ëîíñüêèì àñòðîíîìàì. Â³í áàçóºòüñÿ

íà ñï³ââ³äíîøåíí³ 223S = 242S



= 19T



. Ñïðàâä³,

223S = 223×29,5306

= 6585,32

;

242S



= 242×27,2122

= 6585,35

;

19T



=19×346,6200

= 6585,78

Îòæå, ÷åðåç êîæí³ 6585,3 äîáè = 18 ðîê³â 11,3 äîáè (àáî 10,3 äîáè, ÿêùî

ó öüîìó ïðîì³æêó ÷àñó áóëî ï’ÿòü âèñîêîñíèõ ðîê³â) çàòåìíåííÿ ïîâòîðþ-

þòüñÿ. Ïðîòå óìîâè öèõ çàòåìíåíü óæå áóäóòü ³íàêøèìè, áî æ çà 0,3 äîáè

(áëèçüêî 8 ãîä.) Çåìëÿ ïîâåðíåòüñÿ ìàéæå íà 120° íàâêîëî îñ³ îáåðòàííÿ,

à çàòåìíåííÿ íàñòàíå ìàéæå íà 8 ãîä. ï³çí³øå. Êð³ì òîãî, â³äáóâàºòüñÿ çì³-

ùåííÿ ñìóãè çàòåìíåííÿ â íàïðÿì³ äî ï³âí³÷íîãî ïîëþñà Çåìë³, ÿêùî çà-

òåìíåííÿ â³äáóâàºòüñÿ ïîáëèçó íèçõ³äíîãî âóçëà, ³ íàâïàêè.

Ïðîòÿãîì êîæíîãî ñàðîñó (òîáòî çà 18,03 ðîêó) â³äáóâàºòüñÿ 70–71 çàòåì-

íåííÿ, ç íèõ 42–43 ñîíÿ÷íèõ ³ 28 ì³ñÿ÷íèõ. Òðèâàë³ñòü ä³¿ öüîãî öèêëó äëÿ

êîíêðåòíîãî çàòåìíåííÿ áëèçüêî 1250 ðîê³â. Íàïðèêëàä, ÷àñòêîâå ñîíÿ÷-

íå çàòåìíåííÿ â³äáóëîñÿ 23 ÷åðâíÿ 727 ðîêó ó ï³âäåíí³é ï³âêóë³. Ðèòì³÷íî

ïîâòîðþþ÷èñü ÷åðåç êîæí³ 18,03 ðîêó, âîíî ñïîñòåð³ãàëîñÿ îñòàíí³é ðàç 22

ëèïíÿ 1971 ð. ó Ìàãàäàíñüê³é îáëàñò³.

Ìîìåíòè çàòåìíåíü òåïåð îá÷èñëþþòü çàâ÷àñíî ç òî÷í³ñòþ äî îäíî¿ ñå-

êóíäè. Öå â³äïîâ³äàº ïîõèáö³ ó ïîëîæåíí³ Ì³ñÿöÿ íà íåá³ 0,5" àáî â éîãî ïî-

ëîæåíí³ ó ïðîñòîð³ â 1 êì. Ó ôóíäàìåíòàëüí³é ïðàö³ àâñòð³éñüêîãî àñòðîíî-

ìà Òåîäîðà Îïïîëüöåðà (1841–1886) «Êàíîí çàòåìíåíü» (1887 ð.) íàâåäåíî

äàí³ ïðî çàòåìíåííÿ Ñîíöÿ ³ Ì³ñÿöÿ ç 1208 ð. äî í. å. äî 2163 ð. í. å. — óñüî-

ãî áëèçüêî 8000 ñîíÿ÷íèõ ³ 5000 ì³ñÿ÷íèõ çàòåìíåíü. Ïðîäîâæåííÿì «Êà-

íîíó» Îïïîëüöåðà º íîâèé «Êàíîí çàòåìíåíü» (1966 ð.), ñêëàäåíèé áåëüã³é-

ñüêèìè àñòðîíîìàìè. Ó íüîìó º â³äîìîñò³ ïðî 1449 çàòåìíåíü ç 1898 ð. ïî

2510 ð. Ó íàø ÷àñ îá÷èñëåííÿì çàòåìíåíü çàéìàºòüñÿ Ôðåä Åñïåíàê (ÑØÀ).

Ó íàéáëèæ÷³ ðîêè áóäóòü òàê³ çàòåìíåííÿ: ó 2008 ðîö³ — 7 ëþòîãî ê³ëüöå-

ïîä³áíå ñîíÿ÷íå, 21 ëþòîãî ïîâíå ì³ñÿ÷íå, 1 ñåðïíÿ ïîâíå ñîíÿ÷íå, 16 ñåð-

ïíÿ ÷àñòêîâå ì³ñÿ÷íå; ó 2009 ðîö³ — 26 ñ³÷íÿ ê³ëüöåïîä³áíå ñîíÿ÷íå, 22 ëèï-

íÿ ïîâíå ñîíÿ÷íå, 31 ãðóäíÿ ÷àñòêîâå ì³ñÿ÷íå; ó 2010 ðîö³ — 15 ñ³÷íÿ ê³ëü-

öåïîä³áíå ñîíÿ÷íå, 26 ÷åðâíÿ ÷àñòêîâå ì³ñÿ÷íå, 11 ëèïíÿ ïîâíå ñîíÿ÷íå, 21

ãðóäíÿ ïîâíå ì³ñÿ÷íå.

Розділ5.Рх місяця. Затемнення

×àñòèíà ²²²

ÅËÅÌÅÍÒÈ ÍÅÁÅÑÍÎ¯

ÌÅÕÀÍ²ÊÈ ² ÄÈÍÀÌ²ÊÈ

ÊÎÑÌ²×ÍÈÕ ÏÎËÜÎÒ²Â

116

Ó ö³é ÷àñòèí³ ïîÿñíåíî îñîáëèâîñò³ ðóõó ³ âçàºìîä³¿

íåáåñíèõ ò³ë ï³ä ä³ºþ ñèëè ãðàâ³òàö³¿, çîêðåìà ïëàíåò

Ñîíÿ÷íî¿ ñèñòåìè òà ¿õí³õ ñóïóòíèê³â, ùî âèïëèâàþòü ç

çàêîíó âñåñâ³òíüîãî òÿæ³ííÿ. Íàãàäàºìî, ùî öþ çàäà÷ó

²ñààê Íüþòîí ðîçâ’ÿçàâ øëÿõîì ãðîì³çäêèõ ãåîìåòðè÷íèõ

ïîáóäîâ. Çàãàëüíîïðèéíÿòîþ òåïåð ìîâîþ äèôåðåíö³àëü-

íîãî òà ³íòåãðàëüíîãî ÷èñëåííÿ ðåçóëüòàòè Íüþòîíà

îïèñàâ Ëåîíàðä Åéëåð (1707–1783) ó ïðàö³ «Ìåõàí³êà»

(1736 ð.) ÷åðåç 49 ðîê³â ï³ñëÿ âèõîäó â ñâ³ò «Ìàòåìàòè÷-

íèõ îñíîâ ïðèðîäîçíàâñòâà» Íüþòîíà.

117

Ðîçä³ë 6

ÎÑÍÎÂÈ ÍÅÁÅÑÍÎ¯ ÌÅÕÀÍ²ÊÈ

6.1. Çàêîí âñåñâ³òíüîãî òÿæ³ííÿ

ßê çãàäóâàëîñÿ, Êîïåðíèê âèñëîâèâ ïðèïóùåííÿ, çà ÿêèì òÿæ³ííÿ âëà-

ñòèâå óñ³ì íåáåñíèì ñâ³òèëàì. Ãàë³ëåé, âèÿâèâøè ñóïóòíèêè Þï³òåðà, ïå-

ðåêîíëèâî äîâ³â, ùî â íàâêîëèøíüîìó Âñåñâ³ò³, êð³ì Çåìë³, º é ³íø³

öåíòðè òÿæ³ííÿ. Êåïëåð, âèçíà÷èâøè ê³íåìàòèêó Ñîíÿ÷íî¿ ñèñòåìè,

âïåðøå ñïðîáóâàâ ç’ÿñóâàòè ïðè÷èíó ðóõ³â ïëàíåò. Â³í ïðèïóñòèâ, ùî â³ä

Ñîíöÿ äî ïëàíåò ïðîñòÿãàºòüñÿ ïåâíà ðóø³éíà ñèëà, ïîä³áíà äî ïðîìåí³â

ñâ³òëà ³ òåïëà, ÿêà ³ âòÿãóº ïëàíåòó â ðóõ íàâêîëî Ñîíöÿ. ¯¿ íàïðÿì ìàâ

áè áóòè ïåðïåíäèêóëÿðíèì äî íàïðÿìó «Ñîíöå — ïëàíåòà». Öå ñï³âïàäà-

ëî ç ïîãëÿäàìè Àð³ñòîòåëÿ òà éîãî ïîñë³äîâíèê³â: ðóõ òðèâàº äîòè, ïîêè

ä³º ñèëà, ùî ñïðè÷èíÿº öåé ðóõ. Ùîá ïîÿñíèòè ðóõ ïëàíåò ïî åë³ïòè÷-

íèõ îðá³òàõ, Êåïëåð ïðèïóñêàâ, ùî âñ³ ïëàíåòè º ìàãí³òàìè, ñèëè ÿêèõ

ñêëàäàþòüñÿ ç ä³ºþ Ñîíöÿ.

Ï³ñëÿ òîãî ÿê Ãàë³ëåé âñòàíîâèâ çàêîí ³íåðö³¿, ñòàëî î÷åâèäíèì òàêå:

ó ðóñ³ ïëàíåò òðåáà øóêàòè ñèëó, ùî çì³íþº ¿õí³é ïðÿìîë³í³éíèé øëÿõ íà

êðèâîë³í³éíèé. Ìîâà, îòæå, éäå ïðî ñèëó, ùî óòðèìóº ïëàíåòó íà ¿¿ îðá³-

ò³. Íåâäîâç³ ãîëëàíäñüêèé ô³çèê Õð³ñò³àí Ãþéãåíñ (1629–1695) äîñë³äèâ

êîëîâèé ðóõ, óâ³â ïîíÿòòÿ äîöåíòðîâî¿ ñèëè é îòðèìàâ ôîðìóëó, îïóáë³-

êîâàíó â êíèæö³ «Ìàÿòíèêîâ³ ãîäèííèêè» (1673 ð.): ï³ä ÷àñ ðóõó ìàòåð³-

àëüíî¿ ÷àñòèíêè (ïëàíåòè) íàâêîëî ñèëîâîãî öåíòðà (Ñîíöå) íà íå¿ ä³º â³ä-

öåíòðîâà ñèëà:

(6.1)

äå m — ìàñà ÷àñòèíêè; V — øâèäê³ñòü ¿¿ ðóõó ïî êîëó ðàä³óñîì r. Ç öüîãî ÷àñó

ñòàëî ÿñíî, ùî ïëàíåòà ðóõàºòüñÿ íàâêîëî Ñîíöÿ ïî åë³ïòè÷í³é (ìàéæå êî-

ëîâ³é) îðá³ò³ ï³ä ä³ºþ äâîõ ñèë: â³äöåíòðîâî¿ F

³ ïåâíî¿ äîöåíòðîâî¿ ñèëè

, çàëåæí³ñòü ÿêî¿ â³ä â³äñòàí³ ùå áóëà íåâ³äîìà.

118

Ùîïðàâäà, â 1645 ð. ôðàíöóçüêèé ó÷åíèé ²ñìà¿ë Áóéî (1605–1694) ñòâå-

ðäæóâàâ, ùî ñèëà, ÿêà ä³º íà ïëàíåòó ³ ñïðÿìîâàíà äî öåíòðà ñâ³òó, çì³íþ-

ºòüñÿ îáåðíåíî êâàäðàòó â³äñòàí³. Ó 1666 ð. ³òàë³éñüêèé ìàòåìàòèê Äæîâàíí³

Áîðåëë³ (1608–1679) âèçíà÷èâ, ùî íà ïëàíåòó, êð³ì ñèëè ïðèòÿãàííÿ, ä³º

ùå é â³äöåíòðîâà ñèëà, çíà÷åííÿ ÿêî¿ çóìîâëåíå øâèäê³ñòþ ðóõó ïëàíåòè.

Ðÿä âàæëèâèõ äóìîê ïðî çàêîíîì³ðí³ñòü ðóõó ïëàíåò âèñëîâèâ àíãë³éñüêèé

â÷åíèé Ðîáåðò Ãóê (1635–1703). Í³õòî îäíàê íå çàóâàæèâ, ùî ïðèíàéìí³

äëÿ êîëîâîãî ðóõó ïëàíåòè çàëåæí³ñòü äîöåíòðîâî¿ ñèëè â³ä â³äñòàí³ ìîæ-

íà âèçíà÷èòè ç òðåòüîãî çàêîíó Êåïëåðà (4.3) òà ñï³ââ³äíîøåííÿ (6.1).

Ñïðàâä³, ÿêùî Ò — ïåð³îä îáåðòàííÿ ïëàíåòè íàâêîëî Ñîíöÿ, òî ¿¿ êî-

ëîâà øâèäê³ñòü V = 2πr/T. Ç òðåòüîãî çàêîíó Êåïëåðà âèïëèâàº, ùî äëÿ

êîæíî¿ ç ïëàíåò T

= const = A. Çàì³íèâøè a íà r, çíàõîäèìî, ùî

=4π

/Ar. Îñê³ëüêè âèêîíóºòüñÿ ð³âí³ñòü F

= F

, òî ç ôîðìóëè (6.1)

îòðèìóºìî, ùî F

= 4π

m/Ar

: ñèëà îáåðíåíî ïðîïîðö³éíà êâàäðàòó â³ä-

ñòàí³ äî ñèëîâîãî öåíòðà — Ñîíöÿ.

ßê çíàºìî, Íüþòîí â³äêðèâ çàêîí âñåñâ³òíüîãî òÿæ³ííÿ øëÿõîì ïåâíèõ

ãåîìåòðè÷íèõ ì³ðêóâàíü, ðîçãëÿäàþ÷è ñïî÷àòêó â³äõèëåííÿ ò³ëà â³ä ïðÿìî-

ë³í³éíîãî øëÿõó òà âèêîðèñòîâóþ÷è äðóãèé çàêîí Êåïëåðà. Öå â ñóêóïíî-

ñò³ äàëî çìîãó âèëó÷èòè ç ïîäàëüøîãî ðîçãëÿäó ÷àñ ³ çâåñòè âñå äî ðîçâ’ÿ-

çóâàííÿ òðèêóòíèê³â ³ ñï³ââ³äíîøåíü ì³æ ¿õí³ìè ñòîðîíàìè. Ó ï³äñóìêó â³í

ñôîðìóëþâàâ òàêó òåîðåìó: «Ñèëè, ç ÿêèìè ïëàíåòè ïîñò³éíî â³äõèëÿþòü-

ñÿ â³ä ïðÿìîë³í³éíîãî ðóõó é óòðèìóþòüñÿ íà ñâî¿õ îðá³òàõ, ñïðÿìîâàí³ äî

Ñîíöÿ é îáåðíåíî ïðîïîðö³éí³ êâàäðàòàì â³äñòàíåé â³ä éîãî öåíòðà; óñ³ ò³ëà

òÿæ³þòü îäíå äî îäíîãî... ïðîïîðö³éíî ê³ëüêîñò³ ìàòåð³¿ êîæíîãî ç íèõ».

Öåé çàêîí âñåñâ³òíüîãî òÿæ³ííÿ çàïèñóþòü ó òàêîìó âèãëÿä³:

(6.2)

äå G — ãðàâ³òàö³éíà ñòàëà; M

³ M

— ìàñè ò³ë; r — â³äñòàíü ì³æ íèìè.

Íüþòîí äîâ³â, ùî ñèëà, ÿêà êåðóº ðóõîì ïëàíåò, º ò³ºþ æ ñèëîþ òÿæ³ííÿ,

ÿêà çìóøóº ò³ëà ïàäàòè íà Çåìëþ. Ïðèïóñòèâøè, ùî öÿ ñèëà ïîøèðþºòüñÿ äî

îðá³òè Ì³ñÿöÿ, Íüþòîí îòðèìàâ ÷èñëîâå ï³äòâåðäæåííÿ ³äåíòè÷íîñò³ îáîõ ñèë.

Ñïðàâä³, ÿêùî g = 9,8 ì/ñ

— ïðèñêîðåííÿ ñèëè òÿæ³ííÿ íà ïîâåðõí³ Çåìë³

(ïðè r = R

⊕

), à g

— ïðèñêîðåííÿ ñèëè òÿæ³ííÿ íà â³äñòàí³ r = 60 R

⊕

, ùî äîð³â-

íþº ðàä³óñó îðá³òè Ì³ñÿöÿ, òî, î÷åâèäíî, g

= g/60

àáî g

= 0,27 ñì/ñ

Ç ³íøîãî áîêó, íåâàæêî îá÷èñëèòè â³äöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ, ÿêå ä³º íà

Ì³ñÿöü ï³ä ÷àñ éîãî ðóõó ïî êîëîâ³é îðá³ò³ ç êóòîâîþ øâèäê³ñòþ ω:

grr

==ω=

(6.3)

Ï³äñòàâèâøè ÷èñëîâ³ çíà÷åííÿ, îòðèìóºìî, ùî g

= 0,27 ñì/ñ

ЧастинаIІІ.Елементинебесноїмеханіиідинаміи осмічнихпольотів

119

6.2. Çàäà÷à äâîõ ò³ë

Çàäà÷ó ïðî ðóõ äâîõ íåáåñíèõ ò³ë, ùî ïðèòÿãóþòü îäíå îäíîãî â³äïîâ³ä-

íî äî çàêîíó âñåñâ³òíüîãî òÿæ³ííÿ, ïðèéíÿòî íàçèâàòè çàäà÷åþ äâîõ ò³ë.

¯¿ ÷àñòêîâèé ðîçâ’ÿçîê âèçíà÷àºòüñÿ ð³âíÿííÿì Êåïëåðà, îñê³ëüêè ðóõ ïî

åë³ïòè÷í³é òðàºêòîð³¿ íå º ºäèíî ìîæëèâèì. Çàëåæíî â³ä ïî÷àòêîâèõ óìîâ

(øâèäêîñò³ V

ó ïåâí³é òî÷ö³ îðá³òè r

) ò³ëî ìîæå ðóõàòèñÿ ïî êîëîâ³é, åë³ï-

òè÷í³é, ïàðàáîë³÷í³é àáî ã³ïåðáîë³÷í³é îðá³ò³.

Ìàñè ò³ë M

³ M

ìîæóòü, çâè÷àéíî, áóòè äîâ³ëüíèìè, à ÿêùî ìîâà éäå ïðî

äâ³ çîð³, ùî îáåðòàþòüñÿ íàâêîëî ñï³ëüíîãî öåíòðà ìàñ, òî ³ ñï³âì³ðíèìè. Ðîç-

ãëÿíåìî âèïàäîê, êîëè M

<< M

, òîáòî êîëè ìàñà ñèëîâîãî öåíòðà (Ñîíöÿ)

çíà÷íî ïåðåâèùóº ìàñó ñóïóòíèêà (ïëàíåòè): m << M. Äëÿ ñïðîùåííÿ ïðè-

ïóñòèìî, ùî ò³ëî M º íåðóõîìèì. Íåõàé òàêîæ ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó t

ò³ëî m çàéìàº ïîëîæåííÿ Ï íà â³äñòàí³ r â³ä öåíòðà Î ìàñè M (ðèñ. 6.1).

Íàãàäàºìî, ùî ç ð³âíÿíü ðóõó, ÿê³ îïèñóþòü çì³ùåííÿ ìàñè m ó ïîë³ òÿæ³ííÿ

ìàñè M, âèïëèâàº îäèí ³ç ðîçâ’ÿçê³â, ùî íàçèâàºòüñÿ ³íòåãðàëîì åíåðã³¿:

−=

(6.4)

äå ïåðøèé äîäàíîê — ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ ÷àñòèíêè; äðóãèé — ïîòåíö³àëüíà

åíåðã³ÿ â ðîçðàõóíêó íà îäèíèöþ ìàñè; K — ñòàëà:

Розділ6.Основинебесноїмеханіи

Ð è ñ. 6.1. Òèïè òðàºêòîð³é ó çàäà÷³ ãðàâ³òàö³éíî¿ âçàºìîä³¿ äâîõ ò³ë: 1 — êîëî;

2 — åë³ïñ; 3 — ïàðàáîëà; 4 — ã³ïåðáîëà.

120

=−

(6.5)

äå a — âåëèêà ï³ââ³ñü îðá³òè. Ç (6.4) ³ (6.5) çíàéäåìî øâèäê³ñòü ò³ëà ÿê

ôóíêö³þ ìàñè ñèëîâîãî öåíòðà, ïîëîæåííÿ ò³ëà íà îðá³ò³ ³ çíà÷åííÿ ¿¿ âå-

ëèêî¿ ï³âîñ³:

M.VG



=−





(6.6)

Â îêðåìîìó âèïàäêó êîëîâî¿ îðá³òè (r = a) ìàºìî âèðàç äëÿ êîëîâî¿ àáî ïåð-

øî¿ êîñì³÷íî¿ øâèäêîñò³:

(6.7)

Ïðè à = ∞ ç ôîðìóëè (6.6) âèïëèâàº ôîðìóëà äëÿ ïàðàáîë³÷íî¿, àáî äðó-

ãî¿ êîñì³÷íî¿ øâèäêîñò³:

(6.8)

ßêùî æ øâèäê³ñòü ò³ëà â³äíîñíî ñèëîâîãî öåíòðà V > V

, òî ðóõàòèñÿ

âîíî áóäå

ïî ã³ïåðáîë³÷í³é îðá³ò³.

6.3. Óçàãàëüíåíèé çàêîí Êåïëåðà. Âèçíà÷åííÿ ìàñ

íåáåñíèõ ò³ë

Âèùå áóëî ïðèéíÿòî, ùî ìàñà ñèëîâîãî öåíòðà çíà÷íî á³ëüøà â³ä

ìàñè ïðîáíî¿ ÷àñòèíêè (m << M). Ó öüîìó âèïàäêó öåíòð ³íåðö³¿ ñèñ-

òåìè ñï³âïàäàº ç öåíòðîì ìàñè M. Íàñïðàâä³ æ öåíòðàëüíå ò³ëî M ìàº

ïðèñêîðåííÿ g

= Gm/r

ó íàïðÿì³ äî ìàñè m, òîä³ ÿê ïðîáíà ìàñà —

ïðèñêîðåííÿ g

= GM/r

ó íàïðÿì³ äî ìàñè M. Çíà÷åííÿ ïðèñêîðåíü

îáåðíåíî ïðîïîðö³éí³ ìàñàì: g

= m/M. ßêùî ñóì³ñòèòè ïî÷àòîê

â³äë³êó êîîðäèíàò ç öåíòðîì ìàñè M, òî â³äíîñíî íüîãî ïîâíå ïðèñêî-

ðåííÿ g = g

+ g

. Òîìó â ð³âíÿííÿõ ðóõó òà ¿õí³õ ðîçâ’ÿçêàõ ñòî¿òü ñóìà

ìàñ M + m. Çîêðåìà, òðåò³é, óçàãàëüíåíèé Íüþòîíîì, çàêîí Êåïëåðà

ìàº âèãëÿä:

11 1

22 2

(M )

mT a

(6.9)

ЧастинаIІІ.Елементинебесноїмеханіиідинаміи осмічнихпольотів