Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної. Практикум

Подождите немного. Документ загружается.

16. Інтегрування тригонометричних виразів 171

sin

;

cos



sin

;

cos



ctg ;

xdx



10)

tg ;

xdx



11)

;

5 3 cos





12)

;

5 4 sin





13)

;

5 4 sin 3 cos

x x

 



14)

;

3 2 sin cos

x x

 



15)

2 2

;

4 sin 7 cos

x x





16)

2 2

4 3 cos 5 sin

x x

 



15)

sh ;

xdx



16)

ch ;

xdx



17)

4 4

;

sin cos

x x





18)

4 4

sin 2

cos sin

xdx

x x





Відповіді

16.4. 1)

1 1

sin 2 sin 4 ;

4 8

x x C

 

1 11 1 9

sin sin ;

11 2 9 2

x x C

  

cos cos ;

2 2

x C

  

3 sin sin 2

8 2 16

x x x

  

16.5. 1)

cos

cos ;

x C

  

3 5

2 sin sin

sin ;

3 5

x x

x C

  

3 2

cos (3 cos 5) ;

x x C

 

3 5 7

1 2 1

sin sin sin ;

3 5 7

x x x C

  

sin 4

;

8 32

x x

 

sin 4 sin 2

;

16 64 48

x x x

  

1 1

;

cos

3 cos

 

1 3

tg sin 2 ;

4 2

x x x C

  

ctg ctg ;

x x x C

  

10)

4 2

1 1

tg tg ln cos ;

4 2

x x x C

  

11)





arctg 2 tg ;

2 2



12)

5 tg 4

arctg ;

3 3



13)

;

2(tg 1)

 



14)

arctg tg 1 ;

 





 









 

15)

arctg(3 tg ) ;

x C



16)

1 2 tg 7

ln ;

4 7 2 tg 7





17)

ch ch ;

x x C

 

18)

sh sh ;

x x C

 

17)

arctg( 2 ctg 2 ) ;

C x C

 

18)

arctg(tg ) .

x C



172 Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

17. Інтегрування ірраціональних виразів

Навчальні задачі

17.1. Зінтегрувати, використовуючи відповідну замінну змінної:

;

1 1

xdx

x x

  



2 1

;

2 1 2 1

x dx

x x



 



;

3 6 4

x x

 



x x x

 



Розв’язання.

[3.8.]

[3.8.4]

6 5

3 3 2

1 ,

( 1)

1, 6

1 1

x t

xdx t t dt

x t

t t

x x

dx t

 



    



  



 

 

3 6

8 7 6 5 4 3

9 8 7 6 5 4

( 1)

6 6

6 .

9 8 7 6 5 4

t x

t t

dt t t t t t t dt

t t t t t t

 



       



 







      











 

 

[3.8.4]

2 2 2

2 1 1 1

2 1

2 1 2

2 2

2 1 2 1

; 2 1

(1 ) 1

x t

t x

x dx

tdt

x x

dx x

t t

 

   







 

 

  

 



2 2

2 1

1 1

(1 )

1 1 2 1 1 2 1 2 1

ln ln .

2 1 2 1 2

2 1 2 1

t tdt t

dt dt

t t

t x x x

t C C

t x

x x

 







    









 

 



    

       

 

  

  

[3.8.1]

2 2

3 6 4

4 1

3 2 3 ( 1)

3 6 4

3 3

x x

x x x

x x

  

 

   

 

 

     

 

 

 

 

 

   



1 1 1

ln 1 ( 1) .

3 3

( 1)

x x C

      

 



[3.8.3]

1 1

; ;

dx dt

t x dx

x t

x x x

     

 



17. Інтегрування ірраціональних виразів 173

 

2 2

5 1

4 2

1 1

2 1 2

arcsin arcsin arcsin .

5 5

dt dt dt

t t

t x

C C C

      

 

  



 

        

  

17.2. Використовуючи тригонометричні підстанови, знайти:

2 2

;

x x





2 3

(4 )





Розв’язання.

[3.8.6–3.8.8.]

2 2

3 tg , 0; ;

cos

9 9 tg 9

cos

x t t dx

x x

x t

 







  









 

 



   



3 2 2

2 2

cos

2 2

3 1 cos 1 sin 1

9 9 9 sin

sin sin

cos 9 tg

1 1 1 1 9

1 .

9 cos tg 3 9 9

dt tdt d t

t t

x x

C C C

t t x x

      

 



         

  

2 3

2 2

2 sin , 0; ; 2 cos ; sin ;

2 2

(4 )

4 4 4 sin 2 cos

x t t dx tdt t

x t t

 



 

   

 



 



   



3 2

2 2

2 cos 1 1

4 4

8 cos cos

1 sin 1

4 4

1 sin 4 4

2 1

tdt dt

t C

t t

t x x

C C

t x

    

    

 



 

17.3. Знайти, використовуючи теорему Чебишова:

;

(1 )

x x





;









Розв’язання.

[3.8.5.]

174 Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

НСК

1 3

1 3 3

1, , 3

(1 ) (1, 3) 3; ;

(1 )

m n p

x x dx k x t

x x

dx t dt

 

     

      





 

записуємо підінтегральний вираз

як диференціальний біном

визначаємо випадок

3 2

3 3

(1 ) 3 3

(1 )

t t dt

t t t



   



 

3 3 2

2 3

1 1 1

...

(1 ) (1 ) (1 )

1 1 1 1

(1 ) (1 )

t t

t t t t t

t t

 

    

  

 

   



 

2 3

1 1 1 1

(1 ) (1 )

t t

 







    













   



3 3

3 ln 3 ln 1

2(1 )

t t C

      



3 3 3

3 3

3 ln .

1 1 2( 1)

x x x

   

  

1 2 1 4 1 3

2) (1 )

dx x x dx





  

 

1 4 1 4 1 3

3 4

1 1 1

, , ;

2 4 3

2 1 ; (1 ) ;

m n p

x t t x

x dx t dt



   



       



1 4 1 4 1 3 3 4

3 2 6 3

7 4

4 4

3 7 3 4

(1 ) ( 1) 12 12 ( )

12 (1 ) 3 (1 ) .

7 4 7

x x x dx t t t dt t t dt

t t

C x x C



       

 







       











 

  

1 4

0 4

(1 )

x x dx



  



 

17. Інтегрування ірраціональних виразів 175

1 4

4 4 4 1

1 4 5 4

4 4

0, 4, ;

0 1 ; ( 1)

;

( 1) ( 1)

m n p

p x t x x dx

t dt

x dx

t t



  

   



        

  

 



1 4

4 3 2

5 4 4 2 2

( 1) 1 1 1

1 1 1

( 1)

t t dt t dt

t t t

 







       









 

  



  

1 1 1 1 1 1 1

ln arctg ln arctg 1 .

4 1 2 4 2

1 1

t x

t C x C



  

       



 

Задачі для самостійного розв’язання

17.4. Знайдіть:

;

x x





3 4

;

x x x

 



;

2 1 2 1

x x

  



2 3

;

2 3 1



 



;

x dx

x x







;

 

















 



;

5 13 8

x x

 



;

11 9 7

x x

 



;

2 5 3

xdx

x x

 



10)

;

3 9

x x



 



11)

;

8 3 2

xdx

x x

 



12)

5 3

;

1 13 5

x x



 



13)

;

(2 3) 4

x x x

 



14)

;

2 1

x x





15)

;





16)

;

x x

 



176 Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

17)

(1 ) ;

x x dx





18)

1 3

(1 ) ;

x x dx

 





19)

;

x x





20)

5 3 2

(1 ) ;

x x dx





21)

;





22)

;





23)

;





24)

1 .

xdx





Відповіді

17.4. 1)

6 3

3 6 6

5 2

6 3

2 3 6 6 ln 1 ;

5 2

x x x x x x C

      

3 4 6 12 12 6 12

2 3 8 6 48 3 ln(1 ) ln( 2)

x x x x x x x x

         

171 2 1

arctg ;

7 7



 

3 6 6

2 1

3 3 ln( 1) ;

t x

t t t t C

 

    

6 6

7 5

2 3

3 3

3 3 arctg ;

7 5

t x

t t t t t C

 

    

1 1 1

ln 2 arctg ;

1 1 1

x x x

   

 

   

1 1

(5 ) 6 arctg ;

1 1

x x

x C

x x

 

  

 

1 13 13 5

ln ;

2 2 16 8 8

x x x C

    

1 14 9

arcsin ;

7 389





2 2

1 5 5 5 3

2 5 3 ln ;

2 4 2 2

4 2

x x x x x C

       

10)

2 2

1 47 1

3 9 ln 3 ;

3 6 3

6 3

x x x x C

       

11)

1 3 4 3

8 3 2 arcsin ;

4 2 73

x x C



    

12)

19 10 13

1 13 5 arcsin ;

2 5 189

x x C



    

13)

1 6 60 15

ln ;

15 2 3

x x x

  



14)

arccos ;



15)

1 2 2

ln ln( 1) ;

2 2

x x

x x C

x x

 

   

 

17. Інтегрування ірраціональних виразів 177

16)

2 2

1 ln 1 ;

2 2 2

x x

x x x C

     

17)

6 6

5 2 2 2 5

2 24 36 8 6

;

3 11 13 5 17

x x x x x x x x x x C

    

18)

3 3

2 3

3 ln ;

2(1 )

x x

 







 











 

19)

3 3

2 2 2 2

1 1 3 2 1 1

ln( 1 1) ln( ( 1) 1 1) arctg ;

2 4 2

x x x C

 

        

20)

3 8 3 5

3 3

1 1

(1 ) (1 ) ;

8 5

x x C

   

21)

4 4

1 1 1 1

ln arctg ;

4 2

x x x

x x

  

 

 

22)

4 4

2 4

1 1 1 1 1

ln ;

4 4

x x

  

 

23)

4 4

(4 3) 1 ;

x x x C

   

24)

4 4 4

13 10 7

3 3 3

12 (1 ) 18 (1 ) 36 (1 )

3 (1 ) .

13 5 7

x x x

x C

  

    

178 Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Список використаної і рекомендованої літератури

Підручники і посібники

1. Вища математика: підручник. У 2 кн. Кн. 1 / Г. Й. Призва, В. В.

Плахотник, Л. Д. Гординський та ін.; за ред. Г. Л. Кулініча. — К.: Либідь,

2003. — 400 с. — ISBN 966-06-0229-4.

2. Вся высшая математика: учеб. / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И.

Макаренко и др. — Т. 1. — М.: Эдиториал УРСС, 2010. — 336 с. — ISBN 978-

5-354-01237-4.

3. Вся высшая математика: учеб. / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И.

Макаренко и др. — Т. 2. — М.: Эдиториал УРСС, 2007. — 192 с. — ISBN 978-

5-382-00208-8.

4. Дубовик В. П. Вища математика: навч. посіб. / В. П. Дубовик, І. . Юрик. —

К: А. С. К., 2006. — 647 с. — ISBN 966-539-320-0.

5. Жевняк P. M. Высшая математика. Аналитическая геометрия и линейная

алгебра. Дифференциальное исчисление / P. M. Жевняк, А. А. Карпук. —

Мн.: Выш. шк., 1992. — 384 с.

6. Жевняк P. M. Высшая математика: учеб. пособие Ч.2. / P. M. Жевняк, А.

А. Карпук. — Мн.: Выш. шк., 1985. — 224 с.

7. Овчинников П. П. Вища математика: підручник. У 2 ч. Ч. 1 / П. П.

Овчинников, Ф. П. Яремчук, В. М. Михайленко. — К.: Техніка, 2003. — 600 с. —

ISBN: 966-575-055-0.

8. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс /

Д. Письменный. — М.:

Айрис-Пресс

, 2008. — 608 с. ISBN 978-5-8112-3118-8,

978-5-8112-3480-6.

9. Шипачев В. С. Курс высшей математики / В. С. Шипачев. — М. Оникс,

2009. — 608 с. — ISBN 978-5-488-02067-2.

Задачники і розв’язники

10. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа /

Г. Н. Берман. — С.Пб.: Лань, Специальная литература, 2002. — 448 с. —

ISBN 5-8114-0107-8.

11. Барковський В. В. Вища математика для економістів: навч. посібник /

В. В. Барковський, Н. В. Барковська. — К.: ЦУЛ, 2010. — 417 с. — ISBN

978-966-364-991-7.

12. Вища математика: збірник задач: Навч. посібник /В. П. Дубовик,

І. І. Юрик, І.П. Вовкодав та ін.; За ред. В. П. Дубовика, І. І. Юрика. – К.: А.

С. K., 2005. – 480 с.

13. Герасимчук В. С. Вища математика. Повний курс у прикладах і задачах:

навч. посіб. Ч. 1. Лінійна й векторна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ до

математичного аналізу. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох

змінних. Прикладні задачі / В. С. Герасимчук, Г. С. Васильченко, В. І. Кравцов

— К.: Книги України ЛТД, 2009. — 578 с. — ISBN 978-966-2331-03-5.

180 Список використаної і рекомендованої літератури

14. Герасимчук В. С. Вища математика. Повний курс у прикладах і задачах:

навч. посіб. Ч.2. Невизначений, визначений та невласні інтеграли.

Звичайні диференціальні рівняння. Прикладні задачі / В. С. Герасимчук,

Г. С. Васильченко, В. І. Кравцов. — К. : Книги України ЛТД, 2010. — 470 с.

— ISBN 978-966-2331-05-9.

15. Клепко В. Ю. Вища математика в прикладах і задачах: навч. посібн. / В. Ю.

Клепко, В. Л. Голець. — К.: ЦУЛ, 2009. — 592 c. — ISBN 978-966-364-928-3.

16. Сборник задач по математике для втузов. В 4 ч. Ч. 1. Линейная алгебра

и основы математического анализа: учеб. пособие / Болгов В. А., Демидович

Б. П., Ефимов А. В. и др. Под общ. ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича.

— М.: Наука, 1993. — 480 с. — ISBN 5-02-014433-9.

17. Сборник задач по курсу высшей математики / Г.И. Кручкович, Н.И.

Гутарина, П.Е. Дюбюк и др. — М.: Высш. шк., 1973. — 576 с.