Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної. Практикум
Подождите немного. Документ загружается.
5. Неперервність функції. Точки розриву функції 91
2)
1
( ) ,
2 1
x
x
f x
x
а)
,
x
б)
.
x
4.16. Визначте порядок мализни і головну частину нескінченно малої функції
( )
x
щодо функції
( ) ,
x x
коли
0
x
:
1)
3
2
( ) ;
x x x
2)
2 2
3
( ) ln(1 ) 2 ( 1) ;
x
x x e
3)
( ) 3 1;
x
x
4)
( ) tg sin .
x x x
4.17. Визначте порядок росту і головну частину нескінченно великої функції
4
( ) 1
x x x
щодо функції
( ) ,
x x
коли
.
x
Відповіді
4.9. 1)
3;
2)
0;
3)
1
;
2
4)
12;
5)
0;
6)
1
;
4
7)
sin ;
a
8)
2
1
.
sin
a
4.10. 1)
1
;
2
2)
2;
3)
1
;
2
4)
ln 2.
4.11. 1)
5
;
ln 2
2)
2
;
2
3)
1
;
a
4)
3
.
2
4.12. 1)
5;
2)
ln 4;
3)
1
;
3
4)
2;
5)
0;
6)
4 ln 2 4.
4.13. 1)
;
2)
0;
3)
;
km
e
4)
8
;
e
5)
;
e
6)
1
;
e
7)
3
;
7
8)
2
;
5
9)
2
9
;
e
10)
9.
4.16. 1)
1
,
2
k
головна частина —
1 2
,
x
0;
x
2)
2
,
3
k
головна частина —
2 3
2 , 0;
x x
3)
1
,
2
k
головна частина —
1 2
ln 3 ;
x
4)
3,
k
головна частина —
3
.
2
x
4.17.
2,
k
головна частина
2
, .
x x
5. Неперервність функції. Точки розриву функції
Навчальні задачі
5.1. Дослідити на неперервність функцію:
1)
sin
( ) ;
x
f x
x
2)
1
( ) ;
x
f x e
3)
2
2
1 , 0,
( ) ( 1) , 0 2,
4 , 2;
x x
f x x x
x x
4)
1
( ) sin .
f x
x
Розв’язання.
[1.29.]
92 Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
1) Функція
f
— елементарна; область означення функції
( ) \ {0}.
D f
От-
же,
0
0
x
— точка розриву.
[З’ясовуємо тип точки розриву, знаходячи однобічні границі.].
Оскільки
0 0 0
0
sin sin sin
lim 1 lim lim 1,
0 ( ),
x x x
x x x
x x x
x D f
то точка
0
0
x
є точкою розриву 1-го
роду, усувного.
Функцію
sin
( )
x
f x
x
можна доозначи-
ти в точці
0
0,
x
покладаючи
Рис. до зад. 5.1.1)
sin
, 0,
( )
1, 0.
x
x
g x
x
x
Функція
g
вже буде неперервною на
.
2) Функція
f
— елементарна; область означення
( ) \ {0}.
D f
Отже, функ-
ція
f
має розрив у точці
0
0.
x
1 1
0 0
lim 0; lim .
x x
x x
e e
Оскільки обидві границі існують і одна з
них нескінченна, то
0
0
x
— точка роз-
риву 2-го роду, нескінченного. Графік фун-
кції має в точці
0
0
x
праву вертикальну
асимптоту.
Рис. до зад. 5.1.2)
3) Функція
f
— неелементарна, означена різними аналітичними виразами на
різних проміжках, які є неперервними функціями на цих проміжках. Отже, єди-
ні можливі точки розриву — це точки
1
0
x
та
2
2,
x
де міняються аналіти-
чні вирази для функції
.
f
Дослідімо точку
1
0.
x
2
(0) (0 1) 1.
f
2
0 0
2
0 0
lim ( ) lim (1 ) 1;
lim ( ) lim ( 1) 1.
x x
x x
f x x
f x x
Оскільки існують скінченні границі
( 0), ( 0)
f f
і
( 0) ( 0) 1 (0),
f f f
то функція
f
є неперервною в точці
1
0
x
.
y
x
1
x
y e
O
1
y
x
O
1
sin
x
y
x
5. Неперервність функції. Точки розриву функції 93
Дослідімо точку
2
2.
x
2
(2) (2 1) 1.
f
2
2 0 2 0
2 0 2 0
lim ( ) lim ( 1) 1;
lim ( ) lim (4 ) 2.
x x
x x
f x x
f x x
Оскільки існують скінченні границі
(2 0), (2 0)
f f
і
(2 0) 1 2 (2 0),
f f
то точка
2
2
x
є точкою розриву 1-го роду,
неусувного, зі стрибком
(2 0) (2 0) 2 1 1.
f f
Рис. до зад. 5.1.3)
4) Функція
f
— елементарна, область означення
( ) \ {0}.
D f
Доведімо,
користуючись означенням границі за Гейне, що не існує
0
1
lim sin .
x
x
Для цього
побудуймо дві послідовності значень аргументу:
2
1 2 2 2 2
{ } , , , ..., ,...;
5 9 2
2
1 1 1 1 1
{ } , , ,..., .
2 2 4 6 2
n
n
x
n
n
x
n n
Обидві послідовності збігаються до нуля. Запишімо послідовності значень фун-
кції
f
:
( ) 1,1,1,...,1,...;
( ) 0, 0, 0,..., 0, ...
n
n
f x
f x
Оскільки послідовність
{ ( )}
n
f x
збігається до ну-
ля, а послідовність
{ ( )}
n
f x
— до одиниці, то не
існує
0
1
lim sin .
x
x
Рис. до зад. 5.1.4)
Точка
0
0
x
є точкою розриву 2-го роду, істотного.
Коментар.
Усувний розрив можна «усунути», доозначивши функцію
( )
f x
у
точці
0
x
, тобто утворивши нову функцію
0
0 0
( ), ,
( )
( 0), ,
f x x x
g x
f x x x
що збігається з функцією
( )
f x
скрізь, окрім точки
0
,
x
і буде вже неперервною в
цій точці.
y
x
1
sin
y
x
x
O
( )
y f x
1
1
2
y
2
94 Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
5.2. Показати, що будь-який многочлен непарного степеня з дійсними коефі-
цієнтами має принаймні один дійсний корінь.
Розв’язання.
[1.28.5.]
Розгляньмо многочлен непарного степеня з дійсними коефіцієнтами
2 1 2
2 1 0 1 2 1
( ) ... .
n n
n n
P x a x a x a
Нехай для визначеності
0
0.
a
При досить великих за абсолютною величиною
від’ємних значеннях
x
знак многочлена
2 1
( )
n
P x
буде від’ємним, а при досить
великих додатних значеннях
x
— додатним. Оскільки многочлен є скрізь непе-
рервною функцією, то знайдеться деяка точка, в якій він дорівнює нулеві.
5.3. Знайти з точністю
0,1
корінь рівняння
4 3
1 0
x x
на відрізку
[0;1].
Розв’язання.
[1.28.5.]
Нехай
4 3
( ) 1.
f x x x
Ця функція неперервна
,
x
а, отже, і на
[0;1].
Оскільки
(0) 1 0, (1) 1 0,
f f
то за теоремою Больцано — Коші
(0;1) : ( ) 0,
c f c
тобто рівняння
( ) 0
f x
має корінь на
[0;1].
Знайти корінь з точністю
0,1
озна-
чає вказати відрізок
[ ; ]
a b
завдовжки
0,1,
b a
який містить корінь рівняння.
Щоб знайти наближене значення кореня, скористаємось методом половинного
поділу.
Крок 1. Покладаємо
0, 1.
a b
Обчислюємо
( ) (0) 1, ( ) (1) 1.
f a f f b f
Перевіряємо
( ) ( ) 1 1 1 0,
1 0,1.
f a f b
b a
Крок 2. Обчислюємо
1
0 1 1
.
2 2 2
a b
x
Крок 3. Обчислюємо
1
1 13
( ) .
2 16
f x f
Перевіряємо
1
1
13 13
( ) ( ) ( 1) 0;
16 16
13 13
( ) ( ) 1 0.
16 16
f x f a
f x f b
Покладаємо
1 1 1
1
, 1.
2
a x b b
Перевіряємо
5. Неперервність функції. Точки розриву функції 95
1 1
1
0,1.
2
a b
Крок 4. Обчислюємо
1 1
2
1
1
3
2
.
2 2 4
a b
x
Крок 5. Обчислюємо
2
3 67
( ) .
4 256
f x f
Перевіряємо
2 1
67 13
( ) ( ) 0;
256 16
f x f a
2 1
67
( ) ( ) 1 0.
256
f x f b
Покладаємо
2 2 2 1
3
, 1.
4
a x b b
Перевіряємо
2 2
1
0, 25 0,1.
4
a b
Крок 6. Обчислюємо
2 2
3
7
...
2 8
a b
x
Врешті-решт дістанемо:
0, 81
x
з точністю
0,1.
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
5.5. Використовуючи лише графік функції
( ),
f x
визначте її точки розриву і
їхній тип:
1) рис. 1; 2) рис 2.
Рис. 1 до зад. 5.5 Рис. 2 до зад. 5.5
96 Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
5.6. Знайдіть точки розриву функції, дослідіть їхній характер, у разі усувного
розриву дозначте функцію «за неперервністю». Схематично побудуйте
графік функції в околах точок розриву.
1)
2
3
1
( ) ;
1
x
f x
x
2)
3
1
( ) ;
1
x
f x
x
3)
(1 ) 1
( ) , ;
n
x
f x n
x
4)
1
( ) 1 sin ;
f x x
x
5)
3 5
( ) ;
3 5
x
f x
x
6)
2
( ) ;
arctg( 2)
x
f x
x
7)
1
( ) ( 1) arctg ;
f x x
x
8)
1
2
1
2
3 1
( ) ;
3 1
x
x
f x
9)
2
1
( ) ;
9
f x
x
10)
3
2
( ) ;
1 3
x
f x
11)
2
4
( ) 3 ;
x
x
f x
12)
1
sin
( ) ;
x
f x e
13)
2
3
( ) ;
log 1
f x
x
14)
1 1
( ) ln ;
1
x
f x
x x
15)
( ) cos ;
2
f x
x
16)
2
1
( ) sin ;
( 3)
f x
x
17)
2 , 0 1,
( ) 4 2 , 1 2, 5,
2 7 2, 5 4.
x x
f x x x
x x
18)
1
arctg 2 , ,
2
( )
1
, ;
2 3 2
x x
f x
x
x
19)
1
2
3
2
2 ,
, 3,
( ) 10 , 3,
3;
x
x
e x
f x x x
x
20)
2
1
,
3
cos , 0,
( ) , 0 1,
sin 1.
x
x x
f x x x
x
5. Неперервність функції. Точки розриву функції 97
5.7. Виберіть значення параметрів так, що функція стала неперервною і по-
будуйте її графік:
1)
2
1, 1,
( )
3 , 1;
x x
f x
ax x
2)
2 sin , ,
2
( ) sin , ,
2
cos , .
2
x x
f x A x B x
x x
5.8. Дослідіть на неперервність функцію і побудуйте її графік:
1)
1
;
ln
y
x
2)
{ };
y x
3)
1
;
{ }
y
x
4)
[ ]
( 1) .
x
y
5.9. Розв’яжіть нерівність:
1)
3
2
(2 1)( 2)
0;
( 1)( 2)
x x
x x
2)
3
( 3)( 2) ( 1)
0.
( 3)( 4)
x x x
x x x
5.10. Доведіть, що рівняння має розв’язок на вказаному відрізку:
1)
3
3 1 0, [ 1; 0];
x x x
2)
5 2
6 3 7 0, [0; 2].
x x x x
Відповіді
5.5.1) функція
( )
f x
має: в точці
2
x
розрив 2-го роду, нескінченний; у точці
1
x
розрив
1-го роду, усувний; у точці
4
x
розрив 1-го роду, неусувний;
2) функція
( )
f x
має: в точці
0
x
розрив 2-го роду, істотний; у точці
3
x
розрив 2-го
роду, нескінченний; у точці
5
x
розрив 1-го роду, неусувний.
5.6. 1) функція
( )
f x
має в точці
1
x
розрив 1-го роду, усувний,
( ), 1,
( )
2
, 1;
3
f x x
g x
x
2) функція
( )
f x
має в точці
1
x
розрив 1-го роду, усувний,
( ), 1,
( )
1
, 1;
3
f x x
g x
x
3) функція
( )
f x
має в точці
0
x
розрив 1-го роду, усувний,
( ), 0,
( )
, 0;
f x x
g x
n x
4) функція
( )
f x
має в точці
0
x
розрив 1-го роду, усувний,
( ), 0,
( )
1, 0;
f x x
g x
x
98 Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
5) функція
( )
f x
має в точці
5
3
x
розрив 1-го роду, неусувний;
6) функція
( )
f x
має в точці
2
x
розрив 1-го роду, неусувний;
7) функція
( )
f x
має в точці
0
x
розрив 1-го роду, неусувний;
8) функція
( )
f x
має в точці
2
x
розрив 1-го роду, неусувний;
9) функція
( )
f x
має в точках
3
x
розрив 2-го роду, нескінченний;
10) функція
( )
f x
має в точці
3
x
розрив 2-го роду, нескінченний;
11) функція
( )
f x
має в точках
2
x
розрив 2-го роду, нескінченний;
12) функція
( )
f x
має в точках
, ,
x k k
розрив 2-го роду, нескінченний;
13) функція
( )
f x
має в точці
2
x
розрив 1-го роду, усувний,
( ), 0,
( )
0, 0,
f x x
g x
x
а в
точках
2, 0
x x
— розрив 2-го роду, нескінченний;
14) функція
( )
f x
має в точці
0
x
розрив 1-го роду, усувний,
( ), 0,
( )
2, 0,
f x x
g x
x
а в то-
чках
1
x
— розрив 2-го роду, нескінченний;
15) функція
( )
f x
має в точці
2
x
розрив 2-го роду, істотний;
16) функція
( )
f x
має в точці
3
x
розрив 2-го роду, істотний;
17) функція
( )
f x
має в точці
2, 5
x
розрив 1-го роду, неусувний;
18) функція
( )
f x
має в точці
1
2
x
розрив 1-го роду, усувний,
1
( ), ,
2
( )
1
, ;
4 2
f x x
g x
x
19) функція
( )
f x
має в точці
3
x
розрив 1-го роду, неусувного;
20) функція
( )
f x
має в точках
0, 1
x x
розрив 1-го роду, неусувний, а в точці
3
x
—
розрив 2-го роду, істотний.
5.6. 1)
1
x
— точка розриву 1-го роду (скінченного); 2)
3
x
— точка розриву 2-го
роду (нескінченного); 3)
1
x
— точка розриву 1-го роду (усувного),
2,
x
0
x
—
точки розриву 2-го роду (нескінченного); 6)
1
2
x
— точка розриву 1-го роду (усувного).
5.7. 1)
1;
a
2)
1, 1.
A B
5.8. 1)
0
x
— точка розриву 1-го роду, усувного,
1
x
— точки розриву 2-го роду, не-
скінченного; 2), 4)
x
— точки розриву 1-го роду, неусувного; 3)
x
— розриви 2-го
роду, нескінченного.
5.9. 1)
1
( ; 2) ( 2; 1) ; 2 ;
2
x
2)
( ; 3) ( 2; 1) (0; 3) (4; ).
x
Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
6. Похідна. Техніка диференціювання
Навчальні задачі
6.1. Користуючись означенням, знайти похідну функції
2
( ) 4 3 8
f x x x
у точці
0
.
x
Обчислити
(1).
f
Розв’язання.
[2.1.1.]
2
0 0 0
( ) 4( ) 3( ) 8
f x x x x x x
2 2
0 0 0
2
0 0 0 0
4 3 8 8 3 4( ) .
( ) ( ) ( ) 8 3 4( ) .
x x x x x x
f x f x x f x x x x x
2
0 0
0
0 0 0
0
( ) 8 3 4( )
8 3 4 .
( ) lim (8 3 4 ) 8 3.
(1) 5.
x
f x x x x x
x x
x x
f x x x x
f
6.2. Знайти похідну функції:
1)
4
( ) ;
f x x
2)
( ) ;
f x x
3)
4
3
( ) ;
f x x
4)
3
( ) 5 ;
f x x
5)
3
2
( ) 4 ;
f x x
6)
3
5
( ) .
4
f x
x
Розв’язання.
[2.2.1, 2.3.2.]
1)
[2.3.1]
4 3
4
( ) ( ) 4 .
f x x x
2)
[2.3.1]
1 2 1 2
1 2
1 1
( ) ( ) ( ) .
2
2
f x x x x
x
3)
[2.3.1]
3 4 1 4
4
3
4
3 4
3 3
( ) ( ) ( ) .
4
4
f x x x x
x
Для розв’язання прикладів стануть у пригоді формули:
1
, .
q
p q
p
x x x
x
100 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Нагадаймо, що сталий множник виносимо за знак похідної.
( ) .
Cu Cu
4)
3 3 2 2
( ) (5 ) 5( ) 5 3 15 .
f x x x x x
5)
2 3 1 3
3
2
3
2 8
( ) (4 ) 4( ) 4 .
3
3
f x x x x
x
6)
3 4
3 4
5 5 5 15
( ) ( ) ( 3) .
4 4
4 4
f x x x
x x
6.3. Знайти похідну функції:
1)
2
( ) 3 5 1;
f x x x
2)
3
2
2 1
( ) 3 ;
2
f x x
x
x
3)
( ) sin ;
x
f x e x
4)
tg
( ) .
ln
x
f x
x
Розв’язання.
[2.2.1–2.2.4, 2.3.]
1)
2
( ) ,( )
( ) (3 5 1)
u v u v Cu Cu
f x x x
2
3( ) 5( ) (1) 3 2 5 1 0 6 5.
x x x x
2) [Перед тим, як знаходити похідну, переписуємо функцію у вигляді, зручному
для диференціювання.]
1 3
3
1 2
2
2 1 1
( ) 3 3 2
2
2
f x x x x x
x
x
1 3 2 3
1 2 2 3
2 3
3
2
1 1 1
3 2( ) ( ) 3 2 ( 1) ( 2)
2 3 2
1 2 1
.
x x x x x x
x x
x
3)
( )
( ) ,(sin ) cos
( ) ( sin ) ( ) sin (sin )
x x
x x x
uv u v uv
e e x x
f x e x e x e x
sin cos (sin cos ).
x x x
e x e x e x x
4)
2
2
2
1 1
(tg ) , (ln )
cos
tg (tg ) ln tg (ln )
( )
ln
ln
u u v uv
x x
x
x
v
v
x x x x x
f x
x
x
2
1 1
cos
2 2 2
ln tg
ln sin cos
.
ln ln cos
x
x
x x
x x x x
x x x x