Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної. Практикум
Подождите немного. Документ загружается.
6. Похідна. Техніка диференціювання 101
6.4. Знайти похідну і диференціал функції:
1)
( ) tg sin ;
f v v a
2)
( ) sin cos ;
3)
( ) ln ctg 3.
s t t
Розв’язання.
[2.2, 2.3, 2.1.8.]
1)
[2.2.1] [2.3.9]
2
sin
( ) (tg sin ) sin (tg ) .
cos
a
f v v a a v
v
[2.1.8]
2
sin
.
cos
a
df dv
v
2)
[2.2.2,2.2.4]
[2.3.7,2.3.8]
( ) ( sin cos ) sin cos sin cos .
[2.1.8]
cos .
d d
3)
[2.2.2]
[2.3.6,2.3.1]
1 1
( ) ln ctg 3 0 .
s t t
t t
[2.1.8]
.
dt
ds
t
6.5. Знайти похідну функції:
1)
( ) sin 3 ;
f x x
2)
( ) ctg ;
f x qx
3)
2
( ) sin(2 );
f x x
4)
2
( ) 3(tg ) ;
f x x
5)
3
1
( ) ;
cos
f x
x
6)
2 2
( ) sin 3 cos 4 .
f x x x
Розв’язання.
[2.2.5, 2.3.]
1)
похідна
похідна
синуса
аргументу
[2.2.5]
[2.3.7]
3
( ) (sin 3 ) (sin ) cos 3 (3 ) 3 cos 3 .
u x
f x x u x x x
2)
[2.3.10]
2 2
( )
( ) (ctg ) .
sin sin
qx q
f x qx
qx qx
3)
[2.3.7]
2 2 2 2
( ) [sin(2 )] cos(2 ) (2 ) 4 cos 2 .
f x x x x x x
4)
[2.3.2] [2.3.9]
2 2
2 3
tg
1 6 sin
( ) [3(tg ) ] (3 ) 3 2 tg (tg ) 6 tg .
cos cos
u x
x
f x x u x x x
x x
102 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
5)
[2.3.2] [2.3.8]
3 4
3 4
1 3 sin
( ) (cos ) 3(cos ) (cos ) .
cos cos
x
f x x x x
x x
6)
[2.3.2]
1 2
2 2 2 2
( ) sin 3 cos 4 sin 3 cos 4f x x x x x
[2.3.2]
2 2
1 2
2 2
2 2 2 2
(sin 3 cos 4 )
2 sin 3 cos 4
2 sin cos 3 2 cos 4 ( sin 4 ) 4 sin 2 12 sin 8
.
2 sin 3 cos 4 2 sin 3 cos 4
x x
x x
x x x x x x
x x x x
6.6. Знайти похідну функції:
1)
( ) arcsin(2 );
f x x
2)
2
( ) arcsin 3 ;
f x x
3)
( ) arctg ;
f x x
4)
1
( ) arcctg ;
f x
x
5)
( ) arccos( );
m
f x x
6)
4
( ) arctg .
f x x
Розв’язання.
[2.3.11–2.3.14.]
1)
[2.3.11]
2 2
(2 ) 2
( ) arcsin(2 ) .
1 (2 ) 1 4
x
f x x
x x
2)
[2.3.2] [2.3.11]
2 2
( ) arcsin 3 [(arcsin 3 ) ] 2 arcsin 3 (arcsin 3 )f x x x x x
2 2 2
(3 ) 3 6 arcsin 3
2 arcsin 3 2 arcsin 3 .
1 (3 ) 1 9 1 9
x x
x x
x x x
3)
[2.3.13]
2
( ) 1
( ) arctg .
1 ( ) 2 (1 )
x
f x x
x x x
4)
[2.3.14]
2
3
1
1 1 1 1
( ) arcctg .
2( 1)
2( 1)
1
x
x
f x
x x x x
x x
5)
[2.3.12]
1
2 2
( )
( ) arccos .
1 1
m m
m
m m
x mx
f x x
x x
6)
[2.3.13]
4 4 3
( ) arctg [(arctg ) ] 4 arctg (arctg )
f x x x x x
3
3
2
( ) 2 arctg
4 arctg .
1 ( ) (1 )
x x
x
x x x
6. Похідна. Техніка диференціювання 103
6.7. Знайти похідні функції:
1)
3
( ) , 0;
x
f x a a
2)
1
4
( ) 7 ;
x
f x
3)
2
sin
( ) 4 ;
x
f x
4)
4
( ) ;
x
f x e
5)
sin
( ) ;
x
f x e
6)
3 2
( ) ( 3 6 6).
x
f x e x x x
Розв’язання.
[2.3.3, 2.3.4.]
1)
[2.3.3]
3 3 3
( ) ln 3 3 ln .
x x x
f x a a a a a
2)
[2.3.3]
1 1
4 4
2
1 1
( ) 7 7 ln 7 .
4
x x
f x
x
3)
2 2
[2.3.3]
sin sin
( ) 4 4 ln 4 2 sin cos .
x x
f x x x
4)
4 4
[2.3.4]
3
( ) 4 .
x x
f x e e x
5)
[2.3.4]
sin sin
cos
( ) .
2 sin
x x
x
f x e e
x
6)
3 2
( ) ( 3 6 6)
x
f x e x x x
3 2 3 2
3 2 2 3
( ) ( 3 6 6) ( 3 6 6)
( 3 6 6) (3 6 6) .
x x
x x x
e x x x e x x x
e x x x e x x e x
6.8. Знайти похідну функції:
1)
2
( ) log (5 4);
f x x
2)
5
( ) ln ;
f x x
3)
( ) ln arctg ;
f x x
4)
2
( ) ln( 1 ).
f x x x
Розв’язання.
[2.3.5, 2.3.6.]
1)
[2.3.5]
2
5
( ) log (5 4) .
(5 4) ln 2
f x x
x
2)
[2.3.6]
5 4
1
( ) ln 5 ln .
f x x x
x
3)
[2.3.6]
2
1 1
( ) ln arctg .
arctg
1
f x x
x
x
4)
[2.3.6]
2
2 2 2
1 2 1
( ) ln( 1 ) 1 .
1 2 1 1
x
f x x x
x x x x
104 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
6.9. Знайдіть похідну функції:
1)
2
( ) sh ;
f x x
2)
3 2
( ) th ;
f x x
3)
( ) ln ch ;
f x x
4)
( ) cos(cth ).
f x x
Розв’язання.
[2.3.15, 2.3.18.]
1)
[2.3.15]
2 2
( ) sh (sh ) 2 sh (sh ) 2 sh ch .
f x x x x x x x
2)
[2.3.17]
3 2 2 3 2 2 2 2 2
2 2
1
( ) th (th ) 3 th (th ) 3 th 2 .
ch
f x x x x x x x
x
3)
[2.3.16]
(ch ) sh
( ) ln ch th .
ch ch
x x
f x x x
x x
4)
[2.3.18]
2 2
1 sin cth
( ) cos(cth ) sin cth .
sh sh
x
f x x x
x x
6.10. Знайдіть похідну функції:
1)
4
3
2 2
5
( 1) 2
( ) ;
( 3) ( 4)
x x
f x
x x
2)
sin
( ) (cos ) .
x
f x x
Розв’язання.
[2.2.6.]
1) [Застосовуючи формулу логарифмічної похідної треба максимально спростити
вираз перед диференціюванням.]
[2.2.6]
4
3
2 2
5
( 1) 2
( ) ( ) ln
( 3) ( 4)
x x
f x f x
x x
максимально використовуємо
властивості логарифму
4
3
2 2
5
1 2
( )(3 ln( 1) ln( 2) ln( 3) 2 ln( 4))
4 5
( 1) 2 3 1 2 2
.
1 4( 2) 5( 3) 4
( 3) ( 4)
f x x x x x
x x
x x x x
x x
2)
[2.2.6]
sin
( ) ( )(ln(cos ) ) ( )(sin ln cos )
x
f x f x x f x x x
2
sin
sin
(cos ) cos ln cos .
cos
x
x
x x x
x
Коментар.
Формулу логарифмічної похідної доцільно використовувати для
диференціювання виразів з великою кількістю множників або степенево-
показникових виразів.
Стануть у пригоді такі формули:
6. Похідна. Техніка диференціювання 105
log ( ) log log ;
log log log ;
log log , , 0.
a a a
a a a
a a
xy x y
x
x y
y
x x x y
6.11. Знайти похідну функції
( ),
y x
заданої неявно
3 3
3 0.
x y axy
Розв’язання.
[Диференціюємо обидві частини рівності, що задає функцію
( )
y x
неявно, за змін-
ною
.
x
]
,
а
3
3 3
-
2 2
( ) ( ) 3 ( ) 0.
3 3 3 3 0.
y
xy
x y a xy
x y y ay axy
є складеною функцією
добутком
[Залишаємо усі доданки, які містять
,
y
ліворуч і переносимо праворуч решту.]
2 2
(3 3 ) 3 3 .
y ax y x ay
[Виражаємо
.
y
]
2
2
.
x ay
y
y ax
Коментар.
Перехід від неявного задавання функції до явного часто буває
складним, а то й неможливим. Для знаходження похідної
dy
y
dx
не рекомен-
довано переходити від неявного задавання функції до явного.
6.12. Знайти похідну параметрично заданої функції
2
tg ,
( ) : ;
1
2 2
,
cos
x t t
y x t
y
t
для довільного значення
t
і для
.
4
t
Розв’язання.
[2.2.8.]
3
3
2
2 sin
2 sin
cos
( ) ;
1
cos cos
1
cos
x
t
t
t
y t
t t
t
3
4
tg ,
( ) :
2 sin
( ) .
cos cos
4
| .
3
x
x
x
t
x t t
y x
t
y t
t t
y
106 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
6.13. Знайдіть похідну функції:
1)
4 3 2
1
( ) 2, 5 0, 3 0,1;
3
f x x x x x
2)
2
( ) ;
f x ax bx c
3)
4
1
( ) 2 3;
f y y
y
4)
2 2
( ) ( 3 3)( 2 1);
f x x x x x
5)
2
( ) ;
1
x
f x
x
6)
2
3 1
( ) .
1
t
s t
t
6.14. Знайдіть похідну функції:
1)
( ) sin ctg ;
f x x x
2)
( ) ;
1 cos
x
f x
x
3)
tg
( ) ;
x
f x
x
4)
( ) sin cos .
6.15. Знайдіть похідну функції:
1)
2
3
( ) log ;
f x x x
2)
1
( ) ;
lg
x
f x
x
3)
( ) sin ln ;
f x x x x
4)
1
( ) ;
ln
f x
x
5)
( ) ;
4
x
x
f x
6)
( ) 10 ;
x
f x x
7)
( ) ;
sin
x
e
f x
x
8)
cos
( ) ;
x
x
f x
e
9)
2
( ) ( 2 3) ;
x
f x x x e
10)
1 10
( ) .
1 10
x
x
f x
6.16. Знайдіть похідну функції:
1)
2 3
( ) (5 7) ;
f x x
2)
2 5
( ) (1 5 8 ) ;
f x x x
3)
4
2
3
( ) 1 2 ;
f x x
x
4)
2
( ) 3 5 1;
f x x x
6. Похідна. Техніка диференціювання 107
5)
3
2
1
( ) ;
5
f x
x
6)
3 2 4
10
( ) ;
(4 5 7 1)
f x
x x x
7)
2 2 3
( ) (5 7 2)(15 5) ;
f x x x x
8)
3 3 2
3
( ) (8 21) (7 4 ) .
f x x x
6.17. Знайдіть похідну функції:
1)
( ) sin ;
f x x
2)
1
( ) ;
cos
f x
x
3)
4
( ) ctg ;
f x x
4)
5
( ) 5 cos ;
f x x
5)
6
( ) 7 tg ;
f x x
6)
2
( ) 8 sin ;
f x x
7)
1 3 1
( ) sin 7 sin 5 sin 3 ;
7 5 3
f x x x x
8)
1 3 8
( ) cos 9 cos 7 cos 3 ;
9 7 3
f x x x x
9)
4 2
2 3
( ) sin ;
cos cos
f x x
x x
10)
2 3
2
( ) cos sin .
3
f x x x
6.18. Знайдіть похідну функції:
1)
( ) arcsin 5 ;
f x x
2)
( ) arcsin ;
f x x
3)
2
( ) arccos(1 );
f x x
4)
1
( ) arccos ;
f x
x
5)
2
( ) arctg 3 ;
f x x
6)
( ) arctg ;
f x x
7)
3 2
( ) arcsin ;
f x x
8)
2
2
1
( ) arctg ;
f x
x
9)
4
( ) arccos 5 ;
f x x
10)
3
( ) arcctg ;
f x x
11)
2
( ) arcsin 1 , 0;
f x x x
12)
cos
( ) arctg .
1 sin
x
f x
x
6.19. Знайдіть похідну функції:
1)
3
( ) 2 ;
x
f x
2)
2
( ) 6 ;
x
f x
3)
arctg
( ) ;
x
f x e
4)
( ) , 0;
n
x
f x a a
5)
( ) ( ) , 0;
x n
f x a a
6)
1
( ) ;
x
f x e
108 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
7)
2
( ) ln(15 );
x
f x e x
8)
2
ln( 1)
( ) 5 .
x x
f x
6.20. Знайдіть похідну функції:
1)
13 13
21 28
12
( 4) ( 3)
( ) ln ;
1
x x
f x
x
2)
2 7
2 7
(2 4)
( ) ln ;
(6 7 2 )(2 3)
x x
f x
x x x
3)
3 2
( ) (5 4) ( 2) (3 4 );
f x x x x
4)
2
5
( 2)
( ) ;
4
x x
f x
x
5)
2
3 4
2
5
( ) sin cos ;
1
x
f x x x
x
6)
7 2 3
3 2 2
( 5) ( 4 2)
( ) ;
( 3 5)
x x x
f x
x x
7)
( ) ;
x
f x x
8)
arcsin
( ) (sin ) ;
x
f x x
9)
( ) (ln ) ;
x
e
f x x
10)
cos
( ) (tg ) ;
x
f x x
11)
2
1
3
( ) sin 2 ;
x
x
f x x e x x
12)
2
2
( ) 2 .
x x
x x
f x x x
6.21. Знайдіть похідну функції:
1)
3
( ) ch ;
f x x
2)
( ) ln th ;
f x x
3)
( ) cos ch sin sh ;
f x x x x x
4)
ch cos
( ) .
sh sin
x x
f x
x x
6.22. Знайдіть похідні
y
функції
( ),
y x
заданої неявно:
1)
2 2
2 2
1;
x y
a b
2)
2 ln ;
y y x
3)
cos( ) ;
xy x
4)
2 3 2 3 2 3
;
x y a
5)
arctg ;
y x y
6)
;
y x
x y
7)
2 2
arctg ln ;
y
x y
x
8)
.
a
x y
x
a
y
6.23. Знайдіть похідну
x
y
функції
( ),
y x
заданої параметрично:
1)
( sin ),
(1 cos );
x a
y a
2)
1 1
, ;
t t
x y
t t
6. Похідна. Техніка диференціювання 109
3)
2
ln(1 ),
arctg ;
x t
y t t
4)
2
3 3
3 3
, .
1 1
at at
x y
t t
6.24. Знайдіть диференціал функції:
1)
( ) sin cos 4;
f x x x x
2)
2
( ) arctg ln 1 .
f x x x x
Відповіді
6.13. 1)
3 2
4 5 0, 3;
x x x
2)
2 ;
ax b
3)
2
1 1
;
y
y
4)
3 2
4 3 8 9;
x x x
5)
2
2 2
1
;
(1 )
x
x
6)
2
2
3 6 1
.
( 1)
t t
t
6.14. 1)
2
1
( ) cos ;
sin
f x x
x
2)
2
1 cos sin
( ) ;
(1 cos )
x x x
f x
x
3)
2 2
sin cos
( ) ;
cos
x x x
f x
x x
4)
( ) cos .
6.15. 1)
3
( ) 2 log ;
ln 3
x
f x x x
2)
2
ln 10 lg 1
( ) ;
ln 10 lg
x x x
f x
x x
3)
( ) sin ln cos ln sin ;
f x x x x x x x
4)
2
1
( ) ;
ln
f x
x x
5)
( ) 4 (1 ln 4);
x
f x x
6)
( ) 10 (1 ln10);
x
f x x
7)
2
(sin cos )
( ) ;
sin
x
e x x
f x
x
8)
sin cos
( ) ;
x
x x
f x
e
9)
2
( ) ( 1);
x
f x e x
10)
2
2 10 ln 10
( ) .
(1 10 )
x
x
f x
6.16. 1)
2 2
30 (5 7) ;
x x
2)
2 4
5(1 5 8 ) (5 16 );
x x x
3)
3
2 3
3 1 6
4 1 2 ;
x
x x
x
4)
2
6 5
;
2 3 5 1
x
x x
5)
2 4
3
2
;
3 ( 5)
x
x
6)
2
3 2 5
40(12 10 7)
;
(4 5 7 1)
x x
x x x
7)
2 3 2 2 2
(10 7)(15 5) 90 (15 5) (5 7 2);
x x x x x x
8)
5
3
3
160
.
7 4
x
x
6.17. 1)
cos
;
2 sin
x
x
2)
3
sin
;
2 cos
x
x
3)
3
2
1
4 ctg ;
sin
x
x
4)
4
5 cos ( sin );
x x
5)
5
2
1
42 tg ;
cos
x
x
6)
8 sin 2 ;
x
7)
cos 7 3 cos 5 cos 3 ;
x x x
8)
sin 9 3 sin 7 8 sin 3 ;
x x x
9)
4
5
8 3 cos
;
cos
x
x
10)
2 3
5 sin cos .
x x
6.18. 1)
2
5
;
1 25
x
2)
2
1
;
2
x x
3)
2 2
2
;
1 (1 )
x
x
4)
2
1
;
1
x x
5)
4
6
;
1 9
x
x
110 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
6)
2
1 1
;
1
2 arctg
x
x
7)
2 2
4
2
3 arcsin ;
1
x
x
x
8)
4 2
4 1
arctg ;
1
x
x x
9)
3
2
20 arccos 5
;
1 25
x
x
10)
2
3
;
2(1 )
x
x
11)
2
;
1
x
x x
12)
1
.
2
6.19. 1)
3
3 2 ln 2;
x
2)
2
2 6 ln 6;
x
x
3)
arctg
2
;
1
x
e
x
4)
1
ln ;
n
n x
nx a a
5)
ln ;
nx
na a
6)
1
2
;
x
e
x
7)
2
15 2
;
15
x
x
e x
e x
8)
2
ln( 1)
2
2 1
5 ln 5 .
1
x x
x
x x
6.20. 1)
13 13 1
;
21( 4) 28( 3) 12( 1)
x x x
2)
2
2 7 4 7 14
;
2 2 3
2 7 6
x
x x x
x x
3)
2 2 3 3 2
15(5 4) ( 2) (3 4 ) 2(5 4) ( 2)(3 4 ) 4(5 4) ( 2) ;
x x x x x x x x
4)
2
1 1 2 1
( ) ( ) ;
5 4
2
x
f x f x
x x
x
5)
2
2 2
( ) 3 ctg 4 tg ;
1
x
f x x x
x
x
6)
2
2 3 2
7 6 12 6 12
( ) ;
5
4 2 3 5
x x x
f x
x
x x x x
7)
(ln 1);
x
x x
8)
2
ln sin
( ) arcsin ctg ;
1
x
f x x x
x
9)
1
(ln ) ln ln ;
ln
x
e x
x e x
x x
10)
cos
1
(tg ) sin ln tg ;
sin
x
x x x
x
11)–12) Вказівка. Знайдіть похідну кожного доданку окремо.
6.21. 1)
2
3 ch sh ;
x x
2)
2
;
sh 2
x
3)
2 cos sh ;
x x
4)
2
2 sh sin
.
(sh sin )
x x
x x
6.22. 1)
2
2
;
b x
a y
2)
1
;
2(1 ln )
y
3)
1 sin( )
;
sin( )
y xy
x xy
4)
3
;
y
x
5)
2
2
1
;
y
y
6)
2
2
ln
;
ln
y xy y
x xy x
7)
;
x y
x y
8)
.
y
x
6.23. 1)
: ( sin ), ( ) ctg ;
2
x x
y x a y
2)
1
: 1 , ( ) 1;
x x
y x y t
t
3)
2
: ln(1 ), ( ) ;
2
x x
t
y x t y t
4)
3
3 3
3 (2 )
: , ( ) .
1 1 2
x x
at t t
y x y t
t t
6.24. 1)
sin ;
x xdx
2)
arctg .
xdx
7. Застосування похідної
Навчальні задачі
7.1. Записати рівняння дотичної та нормалі до графіка функції
2
( ) 6 4
f x x x
в точках
1
(4; 4)
M
та
2
(3; 5).
M
Розв’язання.
[2.5.3, 2.5.4.]
[Обчислюємо, похідні функції
( )
f x
у точках
1
M
та
2
.
M
]