Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної. Практикум
Подождите немного. Документ загружается.
3. Границя функції 81
2)
2 0 2 0
2 2
lim ; lim .
2 2
x x
x x
3)
2 0 2 0
lim ( ) lim ( 1) 3;
x x
f x x
2 0 2 0
lim ( ) lim ( 2 2) 2.
x x
f x x
3.7. Знайти:
1)
2
lim lg(4 1 2 5);
x
x x
2)
2
1
lim 4 ;
x
x
x
3)
2
2 2
lim sin .
2
x
x
x
Розв’язання.
[1.23.]
1)
2 2
lim lg(4 1 2 5) lg lim(4 1 2 5) lg 10 1.
x x
x x x x
2)
2 2
lim
2
1 1
lim 4 4 4 16.
x
x x
x x
x
3)
2 2
2 2 2( 2)
lim sin lim sin
2
( 2)( 2 2)
x x
x x
x
x x
2 2
2 2
lim sin sin lim sin 1.
2
2 2 2 2
x x
x x
Коментар.
У цій задачі скористаємось можливістю переходу до границі під
знаком неперервної функції, а функції
lg , 4 , sin , cos
x
y x y y x y x
—
неперервні в будь-якій точці області означення.
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
3.9. Виходячи з означення границі за Коші (мовою
), доведіть, що:
1)
1
lim(3 8) 5;
x
x
2)
5 1 5
lim ;
3 9 3
x
x
x
3)
2
1
1
lim ;
(1 )
x
x
4)
0
1
lim .
x
x
3.10. Знайдіть:
1)
2
2
1
4
lim ;
3 2 16
x
x
x x
2)
2
2
8
3
4
lim ;
3 2 16
x
x
x x
3)
2
2
2
4
lim ;
3 2 16
x
x
x x
4)
2
2
4
lim .
3 2 16
x
x
x x
82 Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
3.11. Знайдіть:
1)
2
2
2
5
lim ;
3
x
x
x
2)
3
0
3 1
lim 1 ;
4
x
x x
x
3)
1
lim ;
1
x
x
x
4)
2
4 2
3
3
lim .
1
x
x
x x
3.12. Знайдіть:
1)
3 2
3
3 2 5
lim ;
2 1
x
x x
x x
2)
2
7 3
lim ;
6
x
x
x x
3)
4 2
2
1
lim ;
10
x
x x
x
4)
2
8 7
lim ;
3 4 2
x
x
x
5)
2
4
3
1
lim ;
x
x x
x x x
6)
3 5
4 3
3
7
3 4
lim ;
1
x
x x
x
7)
10 10
10 10
( 1) ... ( 100)
lim ;
10
x
x x
x
8)
lim 5 4 3 2 .
x x x x
x
3.13. Знайдіть:
1)
3 2
2
1
2 2
lim ;
4 3
x
x x x
x x
2)
3 2
2
3
3 2 1
lim ;
5 6
x
x x x
x x
3)
2
3
1
2 1
lim ;
x
x x
x x
4)
3
2
1 2
8 1
lim ;
6 5 1
x
x
x x
5)
2
7
49
lim ;
1 8
x
x
x
6)
2
2
0
1 1
lim ;
16 4
x
x
x
7)
3
2
10 2
lim ;
2
x
x
x
8)
lim ( , , 0).
n n
m m
x a
x a
n m a
x a
3.14. Знайдіть:
1)
2 2
lim 12 9 18 5 ;
x
x x x x
2)
2 2
3 3
lim ( 1) ( 1) ;
x
x x
3)
2
6
12 1
lim ;
6
36
x
x
x
4)
3
1
1 3
lim ;
1
1
x
x
x
3. Границя функції 83
5)
3 2
2
lim ;
2 1
2 1
x
x x
x
x
6)
3
2
lim .
1
x
x
x
x
3.15. Знайдіть а)
0
( 0);
f x
б)
0
( 0)
f x
:
1)
0
1
( ) , 1;
1
x
f x x
x
2)
1
2
0
( ) 3 , 2;
x
f x x
3)
0
2
2 1, 2,
( ) 2;
, 2,
x x
f x x
x x
4)
0
1
, 0,
( ) 0.
2
, 0,
x
f x x
x
x x
3.16. Знайдіть:
1)
1
lim 3 ;
x
x
2)
1
lim 3 ;
x
x
3)
1
1
lim ;
2
x
x
4)
1
1
lim ;
2
x
x
5)
lim arctg ;
x
x
6)
lim arcctg .
x
x
3.17. Знайдіть:
1)
2
1
lim log (7 1 3 1);
x
x x
2)
2
1
1
lim 2 ;
x
x
x
3)
1
3 2
lim cos ;
1
x
x
x
4)
1
1
0
1
lim .
2
x
x
x
x
x
Відповіді
3.10. 1)
1
;
5
2)
;
3)
2
;
7
4)
1
.
3
3.11. 1)
9;
2)
3
;
4
3)
;
4)
0.
3.12. 1)
3
;
2
2)
0;
3)
;
4)
2;
5)
1;
6)
0;
7)
100;
8)
.
3.13. 1)
1;
2)
;
3)
0;
4)
6;
5)
28;
6)
4;
7)
1
;
12
8)
.
n m
n
a
m
3.14. 1)
;
2)
0;
3)
1
;
12
4)
1;
5)
1
;
4
6)
0.
3.15. 1)
( 1 0) 1, ( 1 0) 1;
f f
2)
(2 0) 0, (2 0) ;
f f
3)
(2 0) 3, (2 0) 4;
f f
4)
( 0) 2, ( 0) 0.
f f
3.16. 1)
;
2)
0;
3)
;
4)
0;
5)
;
2
6)
0.
3.17. 1)
3;
2)
1;
3)
2
;
2
4)
1
.
2
84 Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції
Навчальні задачі
4.1. Знайти
lim (cos 1 cos );
x
x x
Розв’язання.
[1.21.10.]
[0.6.7]
1 1
lim (cos 1 cos ) lim 2 sin sin
2 2
x x
x x x x
x x
1 1
lim 2 sin sin .
2
2( 1)
x
x x
x x
1 1
lim sin sin lim sin 0 0.
2( 1 ) 2( 1 )
x x
x x x x
Функція
1
2 sin
2
x x
обмежена, оскільки:
1
2 sin 2.
2
x x
Добуток нескінченно малої функції на обмежену є функцією нескінченно ма-
лою. Отже,
1 1
lim 2 sin sin 0.
2
2( 1)
x
x x
x x
4.2. Знайти:
1)
0
sin 5
lim ;
x
x
x
2)
0
sin 2 tg
lim ;
1 cos 2
x
x x
x
3)
sin sin
lim ;
x a
x a
x a
4)
ln(1 3 )
lim ;
ln(1 2 )
x
x
x
5)
2
sin 5 sin
0
3 3
lim ;
cos
x x
x
x
e x
6)
1
1
0
4 arctg
lim .
x
x
x
Розв’язання.
[1.26.]
1)
0 0
sin 5 0 5
lim sin 5 5 , 0 lim 5.
0
x x
x x
x x x
x x
2)
[1.21.1] [1.21.2]
[1.21.3]
2
2
0 0
2
sin 2 2 , tg , 0
sin 2 tg 2
lim lim 1.
1 cos 2
(2 )
2
1 cos 2 2 , 0
2
x x
x x x x x
x x x x
x
x
x
x x x
4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції 85
3)
[0.6.7]
2 2
2 2
2 cos sin
sin ,
sin sin 0
lim lim
0
x a x a
x a x a
x a x a
x a
x a x a
x a
2 2
2 cos
lim lim cos cos .
2
x a x a
x a x a
x a
a
x a
4)
[1.26.7]
ln(1 3 ) 3 ,
ln(1 3 ) 0 3 3
lim ln(1 2 ) 2 , lim lim 0.
0 2
ln(1 2 ) 2
x x
x
x x
x x
x x
x x x
x
5)
sin 5 sin sin sin 5 sin
0 0
3 3 0 3 (3 1)
lim lim
0
cos ( 1) (1 cos )
x x x x x
x x
x x
e x e x
[1.26.8]
sin 5 sin
[0.6.7]
sin
0
3 1
2 ln 3 sin 2 cos 3
(sin 5 sin ) ln 3 lim
( 1) (1 cos )
2 ln 3 sin 2 cos 3 , 0
x x
x
x
x
e x x
x x
e x
x x x
sin
sin 2
sin
[1.26.1] [1.26.9]
sin 2 1
0
1 1 cos
[1.26.3]
1 cos
3 1, cos 3 1,
2 ln 3 cos 3
lim 2, 1, 4 ln 3.
0, 0
x
x
x
x
x e
x
x x
x
x
e x
x x
x
x
x
e x
x
6)
1
1
1
1
0 0
arctg
4 arctg
0
4
lim 4 lim
0
x
x
x x
x x
1
1
[1.26.2] [0.6.2]
4 1
4 1
1
0 0
4 1
1
1
1
2
1
0 0 0
1
1
tg arctg
tg
4 lim 4 lim
1 tg
1
1
4 lim 4 lim 4 lim 2.
2
1
x
x
x x
x
x
x
x
x
x x x
x
x
x
x
x
xx
4.3. Знайти:
1)
1
sin 7
lim ;
sin 2
x
x
x
2)
10
lg 1
lim ;
10
x
x
x
86 Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
3)
1
lim ;
1
x
x
e e
x
4)
3
5
1
1
lim .
1
x
x
x
Розв’язання.
[1.26.]
1)
1 0
1, 1
sin 7 0 sin 7 ( 1)
lim lim
0, 1
sin 2 0 sin 2 ( 1)
x t
t x x t
x t
t x
x t
[1.26.1]
[0.5.6]
0 0 0
sin 7 7 ,
sin(7 7 ) sin 7 7 7
lim lim sin 2 2 , lim .
sin(2 2 ) sin 2 2 2
0
t t t
t t
t t t
t t
t t t
t
2)
[0.3.6]
10 0
10,
lg 1 0 lg(10 ) lg 10
lim 10, lim
10 0
0, 10
x t
t x
x t
x t
x t
t x
[1.26.6]
10
10 ln 10
0 0
lg 1
1
lg 1 ,
lim lim .
10 10 ln 10
10 ln 10
0
t
t
t t
t t
t t
t
3)
[1.26.9]
1
1
1 1 1
0 ( 1) ( 1)
1 1,
lim lim lim .
1 0 1 1
1
x x
x
x x x
e e e e e x
e x
e
x x x
x
4)
1 3
3
5 1 5
1 0
1, 1,
1 1
1 0
lim lim
0, 1
0
1
1 ( 1)
x t
t x x t
t
x
t x
x
t
[1.26.10]
1 3
1
3
1
0
1 5
5
(1 ) 1 ,
5
3
lim .
3
(1 ) 1 , 0
5
t
t
t
t
t
t
t t
4.4. Знайти:
1)
ln(1 3 )
lim ;
ln(1 2 )
x
x
x
2)
lim (ln( 1) ln );
x
x x x
3)
2
lim 2 tg .
cos
x
x x
x
Розв’язання.
[3.3, 3.2.6.]
1)
ln(1 3 ) ln 3 ln 3 ln 3
lim lim lim .
ln 2 ln 2
ln(1 2 ) ln 2
x x
x x
x x x
x
x
4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції 87
2)
1
lim (ln( 1) ln ) lim ln 1 0
x x
x x x x
x
1 1
ln 1 , lim 1.
x
x
x
x x x
3)
2 2
2 sin
lim 2 tg lim
cos cos cos
x x
x x
x x
x x x
2
2 2
0 0
2
0 0 0
2
0 0
,
2
2 sin 0
lim ,
cos 0 2
0,
2
2 sin
2 cos
lim lim
sin
cos
(1 cos ) 2 cos (1 cos ) 2 cos
lim lim lim
sin sin sin
2 cos
2
lim lim
x
t t
t t t
t t
t x
x x
x t
x
t x
t t
t t
t
t
t t t t t t
t t t
t
t t
t t
0 0
lim 2 lim cos 2.
2
t t
t t
4.5. Знайти:
1)
2 1
2
1
lim ;
x
x
x
x
2)
lim ;
2 1
x
x
x
x
3)
lim ;
1
x
x
x
x
4)
ctg
0
lim ln( ) .
x
x
e x
Розв’язання.
[1.23.6, 1.25.5, 1.26.]
1)
2 1
1 2
2
1
lim 0 0.
x
x
x
x
2)
[1.23.6]
1
lim 0.
2 1 2
x
x
x
x
[1.23.6]
1
lim .
2 1 2
x
x
x
x
88 Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
3)
[1.25.5]
lim 1
lim
1
1
1
lim 1 .
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e e e
x
4)
0
[1.25.5]
lim (ln( ) 1) ctg
ctg
0
lim ln( ) 1
x
x e x
x
x
e x e
0 0
0
ln 1
ln( ) ln
[0.3.6] [1.26.7]
lim lim
lim
1
tg tg
.
x x
x
x
x
x e e e
e
e
x x
x
e e e e
4.6. Які з функцій є нескінченно малими чи нескінченно великими?
1)
2
( ) 1 ;
f x x x
а)
,
x
б)
;
x
2)
1
( ) ;
1 2
x
f x
а)
,
x
б)
.
x
Розв’язання.
[1.21.7, 1.21.8.]
1)
2
lim 1 .
x
x x
2 2
2
2
2
1
lim 1 lim
1
1
lim 0.
1
x x
x
x x
x x
x x
x x
Отже,
( )
f x
— н. в. ф., коли
;
x
( )
f x
— н. м. ф., коли
.
x
2)
1 1
lim 1; lim 0.
1 2 1 2
x x
x x
Отже,
( )
f x
— н. м. ф., коли
.
x
4.7. Визначити порядок мализни і головну частину нескінченно малої функ-
ції
3 2
( ) 1000
x x x
щодо н. м. ф.
( ) ,
x x
коли
0.
x
Розв’язання.
[1.24.6.]
3 2 2
2
0 0 0
1000 ( 1000)
lim lim lim ( 1000)
0, 2 0,
1000, 2 ,
, 2 0.
k
k k
x x x
x x x x
x x
x x
k
k
k
Отже, н. м. ф.
( )
x
має порядок
2
щодо н. м. ф.
( ) ,
x x
коли
0;
x
головна
частина
2
1000 .
x
Тобто
3 2 2
1000 1000 , 0.
x x x x
4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції 89
4.8. Визначити порядок росту і головну частину нескінченно великої функції
5
2
( )
1 2
x
x
x x
щодо функції
( ) , .
x x x
Розв’язання.
[1.24.6.]
5
5
2
2
, 5 2,
1
1 2
lim lim , 5 2,
2
1 2
0, 5 2.
k
k
x x
k
x
x
x x
k
x x x
k
Отже, н. в. ф.
( )
x
має порядок росту
5 2 3
щодо н. в. ф.
( ) ,
x x
коли
;
x
головна частина
3
1
.
2
x
Тобто
5 3
2
, .
2
1 2
x x
x
x x
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
4.9. Знайдіть:
1)
0
tg 3
lim ;
x
x
x
2)
arctg 3
lim ;
x
x
x
3)
2
0
5
cos tg
2
lim ;
arcsin 2
x
x x
x
4)
0
3 arctg
lim ;
4 2
x
x
x
5)
0
1
lim ctg ;
sin
x
x
x
6)
2
2 2
0
(1 cos )
lim ;
tg sin
x
x
x x
7)
cos cos
lim ;
x a
x a
x a
8)
ctg ctg
lim .
x a
x a
x a
4.10. Знайдіть:
1)
2
2
2
1 sin
lim ;
x
x
x
2)
2
lim 2 tg .
cos
x
x x
x
3)
1
lim arctg ;
2 4
x
x
x
x
4)
1
lim(1 ) log 2.
x
x
x
4.11. Знайдіть:
1)
2
10
lim log ;
5
x
x
x
x
2)
2
lim ln cos ;
x
x
x
90 Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
3)
0
ln( ) ln
lim ;
x
a x a
x
4)
3
3 4
ln(1 )
lim .
ln(1 )
x
x x
x x
4.12. Знайдіть:
1)
7 2
0
lim ;
tg
x x
x
e e
x
2)
1 1 ( 1)
2
lim 4 4 .
x x
x
x
3)
3
2
2
0
1 1
lim ;
x
x
x
4)
2
2
0
1
lim ;
1 sin 1
x
x
e
x
5)
3
2
4
tg 1
lim ;
2 sin 1
x
x
x
6)
2
2
2
lim .
2
x
x
x
x
4.13. Знайдіть:
1)
2 1
lim ;
1
x
x
x
x
2)
2 1
lim ;
1
x
x
x
x
3)
lim 1 ;
mx
x
k
x
4)
2
2
2
4
lim ;
4
x
x
x
x
5)
tg
2
lim (1 ctg ) ;
x
x
x
6)
2
0
lim cos ;
x
x
x
7)
2
1 tg
0
1 3
lim ;
1 7
x
x
x
x
x
x
8)
3
1 sin
2
2
0
1 2
lim ;
1 5
x
x
x
x
x
x
9)
2
2
3
1 ln 1 tg
0
lim 2 ;
x
x
x
e
10)
2
1 ln cos
sin
0
lim 2 3 .
x
x
x
4.14. Визначте, які функції є нескінченно малими:
1)
2
3
2 1
( ) , 1;
x x
f x x
x x
2)
1 cos
( ) , 0;
1 cos
x
f x x
x
3)
2
4
ln( 1)
( ) , ?
ln( 1)
x x
f x x
x x
4.15. Визначте, які функції є нескінченно великими:
1)
3 2 2
1 1
( ) ,
4 4 3 2
f x
x x x x x
2;
x