Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної. Практикум
Подождите немного. Документ загружается.
15. Інтегрування дробово-раціональних функцій 161
Розв’язання.
[3.6.9.]
1)
в
3
1 2 2
3 2 3
( 1)
( 2)
3 1
.
2 1
( 2)( 1) ( 1) ( 1)
x
x
B B B
x A
x x
x x x x
відповідає
ідповідає
2)
є
2
2
2 2
( 1)
( 1)
3
.
1
( 1)( 1) 1
x
x x
x A Mx N
x
x x x x x
відповідає
відповіда
3)
2
2 2
1 2 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2
( 1)
2 1
.
( 1) 1 ( 1)
x
x
A A M x N M x N
x
x
x x x x x
відповідає
відповідає
15.4. Знайти коефіцієнти розкладу дробів на елементарні:
1)
3 2
2
6 11 10 9
;
( 1)( 2)( 1)
x x x
x x x
2)
2
4
;
( 1) ( 3)
x
x x
3)
2 2 2
1
.
( 1)
x x
Розв’язання. [3.6.8, 3.6.9, 0.4.2.]
[Розкладаємо правильний дріб на суму елементарних дробів.]
3 2
2 2
6 11 10 9
.
1 2
( 1)( 2)( 1) 1
x x x A B Cx D
x x
x x x x
[Зводимо розкладені дроби до спільного знаменника і прирівнюємо чисельники
дробів в обох частинах рівності (знаменники у них рівні).]
3 2
2 2
6 11 10 9
( 2)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 2)( ).
x x x
A x x B x x x x Cx D
[Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях [0.4.2]
.]:
3
2
1
0
6 2,
11 2 3 3,
10 2 3 1,
9 2 1.
x
A B C A
x A B C D B
A B C D C
x
A B D D
x
[Записуємо відповідь.]
3 2
2 2
6 11 10 9 2 3 1
.
1 2
( 1)( 2)( 1) 1
x x x x
x x
x x x x
2) [Розкладаємо правильний дріб на суму елементарних дробів.]
162 Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
2 2
4
.
1 3
( 1) ( 3) ( 1)
x A B C
x x
x x x
[Коефіцієнти над степенями лінійних многочленів знаходимо методом викрес-
лювання (домноження).]
[3.6.10]
2
4
( 1)
x
B
x
1
1.
( 3)
x
x
[3.6.10]
2
4
( 1) ( 3)
x
C
x x
3
[3.6.10]
2
1
1
3
;
4
1 4 4( 3) 4 3
.
1! 3 4
( 3)
x
x
x
x x x
A
x
x
Отже,
3 3
4 4
2 2
4 1
.
1 3
( 1) ( 3) ( 1)
x
x x
x x x
3) [Розкладаємо дріб на елементарні перетворюючи його (метод перетворення.]
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 (1 ) 1 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
(1 ) 1 1 1 1
.
( 1) ( 1) 1 ( 1)
x x
x x x x x x x
x x
x x x x x x
Коментар.
Два многочлена того самого степеня тотожно рівні, якщо вони
мають рівні коефіцієнти при однакових степенях.
Знаходження коефіцієнтів можна дещо спростити, підставляючи у тотожність
зручні значення: перші два «зручних» значення — дійсні корені знаменника.
(метод зручних значень).
Підставляємо в тотожність значення:
1 4 2 2;
2 15 5 3;
x A A
x B B
0 9 2 2 1.
x A B D D
Оскільки визначення коефіцієнту
C
потребує ще однієї рівності, прирівнюємо
коефіцієнти в обох частинах тотожності при
3
x
:
6 1.
A B C C
15.5. Знайти:
1)
4
3 2
1
;
1
x
dx
x x x
2)
2
2 3
;
7 12
x
dx
x x
15. Інтегрування дробово-раціональних функцій 163
3)
4
;
1
dx
x
4)
4
3
.
8
x
dx
x
Розв’язання.
[3.6.10.]
1) Підінтегральна функція є неправильним дробом.
[Крок 1. Вилучаємо цілу частину неправильного дробу.]
4
3 2 3 2
1 2
1 .
1 1
x
x
x x x x x x
[Крок 2. Правильний дріб розкладаємо на суму елементарних дробів методом
невизначених коефіцієнтів.]
3 2 2
1 ( 1)( 1).
x x x x x
2 2 2
4
3 2 2
2 1 1
;
1 1
( 1)( 1) 1 1
1 1 1
1 .
1
1 1
A Mx N x
x x
x x x x
x x
x
x
x x x x
[Крок 3. Інтегруємо суму цілої частини дробу і елементарних дробів.]
2
2
1
2 2 2
4
3 2
2
2
2
1 1 ( 1) 1
ln( 1) arctg ;
2 2
1 1 1
1
( 1)
1
1
1 1
ln 1 arctg ln( 1) .
2 2
1
x d x dx
dx x x C
x x x
x dx
dx x dx
x
x x x
x x
dx x x x x C
x
2) 1.
2
2 3
7 12
x
x x
— дріб правильний.
2.
2
7 12 ( 3)( 4).
x x x x
2 3
.
( 3)( 4) 3 4
x A B
x x x x
2 3
( 3)
x
A
x
3
9;
( 4)
2 3
( 3)( 4)
x
x
x
B
x x
4
2
11.
2 3 9 11
.
3 4
7 12
x
x
x x
x x
3.
2
2 3
9 11
3 4
7 12
x dx dx
x x
x x
9 ln 3 11ln 4 .
x x C
164 Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
3) 1.
4
1
1
x
— дріб правильний.
2.
4 2
1 (1 )(1 )(1 ).
x x x x
4 2
1
.
1 1
1 1
A B Mx N
x x
x x
1
( 1)
A
x
2
1
1
;
4
( 1)( 1)
1
( 1)( 1)
x
x x
B
x x
2
1
3
4 2
1
.
4
( 1)
| 0 0;
1 1 1
0 : 1 .
4 4 2
1 1 1 1 1 1 1
.
4 1 4 1 2
1 1
x
x
x A B M M
x N N
x x
x x
3.
4 2
1 1 1
4 1 4 1 2
1 1
dx dx dx dx
x x
x x
1 1 1
ln 1 ln 1 arctg .
4 4 2
x x x C
4) 1.
4
3
8
x
x
— неправильний дріб.
4
3 3
8
.
8 8
x x
x
x x
2.
3 2
8 ( 2)( 2 4).
x x x x
2 2
8
2
( 2)( 2 4) 2 4
x A Mx N
x
x x x x x
2
2
2
;
2
;
0
.
( 2 4) ( )( 2)
.
( 2)( 2 4)
8 ( 2 4) ( )( 2).
4
2 16 12
3
4
0
3
8
0 4 2
3
A x x Mx N x
x x x
x A x x Mx N x
x A A
x A M M
x A N N
15. Інтегрування дробово-раціональних функцій 165
4
3 2
4 1 2
.
3 2
8 2 4
x x
x
x
x x x
3.
4
3 2
4 4 2
3 2 3
8 2 4
x dx dx x
xdx dx
x
x x x
2
2
2
2 2
2
1
( 2 4) 2 2,
2
1
2 4
2 (2 2) 3
2
1 ( 2 4)
3
2
2 4 ( 1) 3
1 1
ln( 2 4) 3 arctg .
2
3
d x x x
x
dx
x x
x x
d x x dx
x x x
x
x x C
2
2
4 2 4 1
ln( 2) ln( 2 4) arctg .
2 3 3
3 3
x x
x x x C
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
15.6. Розкладіть на суму елементарних раціональний дріб:
1)
2
2 41 91
;
( 1)( 3)( 4)
x x
x x x
2)
2
5 25 26
;
( 1)( 2)( 3)
x x
x x x
3)
3 2
2
3 10 11 21
;
5 4
x x x
x x
4)
4 3 2
2
9 10 14
;
2 8
x x x x
x x
5)
2
3
14
;
( 4) ( 2)
x x
x x
6)
3 2
2 2
2 3 4
;
( 2)
x x x
x x
7)
2
3
1
;
1
x
x
8)
3 2
3 7
.
4 4
x
x x x
15.7. Знайдіть:
1)
4
;
5
dx
x
2)
3
;
4 1
dx
x
3)
4
3
;
( 2)
dx
x
4)
3
7
;
( 2)
dx
x
5)
2
;
4 5
dx
x x
6)
2
;
2 4 5
dx
x x
166 Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
7)
2 2
;
( 4)
xdx
x
8)
4 2
;
6 13
xdx
x x
9)
;
( 1)(2 1)
xdx
x x
10)
2
;
2 3 2
xdx
x x
11)
2
;
5 4
xdx
x x
12)
2
4 3
.
2 6
x
dx
x x
15.8. Знайдіть:
1)
2
2 41 91
;
( 1)( 3)( 4)
x x
dx
x x x
2)
3 2
;
6 7 3
dx
x x x
3)
3
3
1
;
4
x
dx
x x
4)
2
4 2
(2 5)
;
5 6
x dx
x x
5)
2
3 2
;
5 8 4
x dx
x x x
6)
3
3 2
1
;
x
dx
x x
7)
3 2
3
6 9 7
;
( 2) ( 5)
x x x
dx
x x
8)
3
4 3 2
(7 9)
;
5 6
x dx
x x x
9)
2
;
( 1)
dx
x x
10)
3
;
1
dx
x
11)
2
2
(2 3 3)
;
( 1)( 2 5)
x x dx
x x x
12)
5 3
4 3 2
2 4 4
;
2 2
x x x
dx
x x x
13)
3
2 2
1
;
( 2)
x x
dx
x
14)
2
2 2
(5 12)
;
( 6 13)
x dx
x x
15)
2 4
;
(1 )
dx
x
16)
2
9
;
( 1)
x x
dx
x
17)
4 2
;
4 3
dx
x x
18)
4 2
.
( 1)
dx
x
15. Інтегрування дробово-раціональних функцій 167
Відповіді
15.6. 1)
4 7 5
;
1 3 4
x x x
2)
3 4 2
;
1 2 3
x x x
3)
1 3
3 5 ;
1 4
x
x x
4)
2
1 1
1 ;
2 4
x x
x x
5)
3 2
13 3 2 2
;
4 2
( 4) ( 4)
x x
x x
6)
2 2
1 1 1 3
;
4 4( 2)
2( 2)
x x
x x
7)
2
1 2 1
;
3 1
1
x
x
x x
8)
2
2 2 1
.
1
4
x
x
x
15.7. 1)
4 ln 5 ;
x C
2)
3
ln 4 1 ;
4
x C
3)
3
1
;
( 2)
C
x
4)
2
7
;
2( 2)
C
x
5)
1 1
ln ;
6 5
x
C
x
6)
1 2( 1)
arctg ;
6 6
x
C
7)
2
1
;
2( 4)
C
x
8)
2
1 3
arctg ;
4 2
x
C
9)
1
ln ;
2 1
x
C
x
10)
2
1
ln(( 2) 2 1) ;
5
x x C
11)
2
1 5 4
ln 5 4 ln ;
2 6 1
x
x x C
x
12)
2
1 1
2 ln( 2 6) arctg .
5 5
x
x x C
15.8. 1)
4 5
7
( 1) ( 4)
ln ;
( 3)
x x
C
x
2)
3 2 1
ln 3 1 ln 2 3 ln ;
11 33 3
x x x C
3)
7 9
ln ln 2 1 ln 2 1 ;
4 16 16
x
x x x C
4)
1 2 1 3
ln ln ;
2 2 2 2 3 3
x x
C
x x
5)
4
ln 1 ;
2
x C
x
6)
2
1 ( 1)
ln ;
x
x C
x x
7)
2
3
ln 5 ;
2( 2)
x C
x
8)
3 5 47
ln 20 ln 3 ln 2 ;
2 4 4
x x x C
x
9)
2
ln ;
1
x
C
x
10)
2
2
1 ( 1) 1 2 1
ln arctg ;
6 3 3
1
x x
C
x x
11)
2 3
( 2 5)
1 1
ln arctg ;
1 2 2
x x
x
C
x
12)
2
2
2
2 2 ln( 2 2) 2 arctg( 1) ;
2
x
x x x x C
x
13)
2
2
2 ln( 2) 1
arctg ;
2 4 2 2
4( 2)
x x x
C
x
14)
2
13 159 53 3
arctg ;
16 2
8( 6 13)
x x
C
x x
15)
5 3
2 3
15 40 33 5
arctg ;
16
48(1 )
x x x
x C
x
16)
6 7 8
1 3 1
;
6( 1) 7( 1) 4( 1)
C
x x x
17)
1 3 1 1
ln ln ;
4 1
4 3 3
x x
C
x
x
18)
4
3 3 1
arctg ln .
8 16 1
4( 1)
x x
x C
x
x
168 Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
16. Інтегрування тригонометричних виразів
Навчальні задачі
16.1. Знайти:
1)
;
3 cos sin 5
dx
x x
2)
3
2
sin
;
cos
xdx
x
3)
5
4
cos
;
sin
x
dx
x
4)
2 2
.
sin 3 sin cos cos
dx
x x x x
Розв’язання.
[3.7.1–3.7.4.]
1)
[3.7.1]
2
2
2 2
2
tg ; sin ,
2
1
1 2
3 cos sin 5
cos ,
1 1
x t
t x
dx
t
t dt
x x
x dx
t t
2
2 2 2
1 15
2 4
2 2
2
1
3 3 2 4
5
1 1
2 2 1 2 2 1
arctg arctg tg .
2 2 2
15 15 15 15
dt
dt dt
t
t t t t
t
t t
x
t C C
2)
[3.7.2]
3 3 3
2 2 2
sin ( sin ) sin
cos cos cos
xdx x x
x x x
2 2
2 2
2
sin sin (1 cos ) (cos )
cos cos
(cos ) 1
(cos ) cos .
cos
cos
x xdx x d x
x x
d x
d x x C
x
x
3)
[3.7.3]
5 5 5 4
4 4 4 4
cos ( cos ) cos cos cos
sin sin sin sin
x x x x xdx
dx
x x x x
2 2
2 2
4
4 2 3
sin ; cos ;
(1 sin ) (sin )
cos 1
sin
(sin ) (sin ) 1 2
2 (sin ) sin .
sin
sin sin 3 sin
t x dt xdx
x d x
x t
x
d x d x
d x x C
x
x x x
4)
2 2
sin 3 sin cos cos
dx
x x x x
16. Інтегрування тригонометричних виразів 169
[3.7.4]
2 2
2 2
1
( sin ) 3( sin )( cos ) ( cos )
1
sin 3 sin cos cos
x x x x
x x x x
2 2 2
2
3 5
2 4
1 (tg )
tg 3 tg 1 cos tg 3 tg 1
(tg ) 1 2 tg 3 5
ln .
5 2 tg 3 5
tg
dx d x
x x x x x
d x x
C
x
x
16.2. Знайти:
1)
3
1
;
cos
dx
x
2)
7
;
sin
dx
x
3)
4
6
cos
;
sin
x
dx
x
4)
4
tg ;
xdx
5)
3
ctg .
xdx
Розв’язання.
[3.7.]
1)
[3.4.3]
2 2 2
3 3 3
1 cos sin sin
cos
cos cos cos
x x dx x
dx dx dx
x
x x x
2
3 2
sin cos
sin 1
sin 1
cos 2 cos
2 cos
cos 2 cos
u x du xdx
dx x dx
xdx
x x
dv v
x
x x
2
1 sin
ln tg .
2 2 4
2 cos
x x
C
x
2)
[3.7.1]
2 6
2
7 7
2
2
tg ,
(1 )
2
1
....
2
sin 64
sin
1
x dt
t dx
dx t dt
t
t
x t
x
t
3)
[3.7.4]
4 5
4 4
6 2
cos ctg
ctg ctg (ctg ) .
5
sin sin
x dx x
dx x xd x C
x x
4)
[3.7.8]
4 2 2 2
2
1
tg tg tg tg 1
cos
xdx x xdx x dx
x
170 Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
3
2 2
2
3
tg 1
tg (tg ) tg 1
3
cos
tg
tg .
3
x
xd x xdx dx
x
x
x x C
5)
[3.7.9]
3 2
2
1
ctg ctg ctg ctg 1
sin
xdx x x dx x dx
x
2
2
1 sin
ctg (ctg ) ctg ctg
2 sin
1
ctg ln sin .
2
d x
xd x xdx x
x
x x C
16.3. Знайти:
1)
sin 6 cos 7 ;
x xdx
2)
4
cos 3 .
xdx
Розв’язання.
[3.7.7, 3.7.10.]
1)
[3.7.10]
1 1 1
sin 6 cos 7 ( sin sin 13 ) cos cos 13 .
2 2 13
x xdx x x dx x x C
2)
2
[3.7.7]
4 2
1 cos 6 1
cos 3 1 2 cos 6 cos 6
2 4
x
xdx dx x x dx
1 cos 12 1 1 3 1 1
cos 6 sin 6 sin 12 .
8 2 4 8 12 96
x
x dx x x x C
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
16.4. Знайдіть:
1)
cos 3 cos ;
x xdx
2)
sin 5 sin ;
2
x
x dx
3)
3
sin cos ;
4 4
x
x dx
4)
4
cos .
2
x
dx
16.5. Знайдіть:
1)
3
sin ;
xdx
2)
5
cos ;
xdx
3)
3 2
sin cos ;
x xdx
4)
2 5
sin cos ;
x xdx
5)
2 2
sin cos ;
x xdx
6)
2 4
sin cos ;
x x