Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної. Практикум
Подождите немного. Документ загружается.
13. Інтегрування внесенням під знак диференціала 151
4)
2
2
1
3 1
3 6 1
( 2 1) 1
3
dx dx
x x
x x
2
4
2
3
1 ( 1) 1 1
ln 1 2 .
3
3 3
( 1)
d x
x x x C
x
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
13.8. Знайдіть безпосереднім інтегруванням:
1)
3
2
1
3 ;
x x dx
x
2)
4
3 3
2
1
4 7 ;
x x dx
x
3)
2 2
4
3 3
;
9
x x
dx
x
4)
2
2
(1 )
;
(1 )
x
dx
x x
5)
2
sin cos ;
2 2
x x
dx
6)
2 2
cos 2
;
cos sin
x
dx
x x
7)
3 2 2 3
;
2
x x
x
dx
8)
2
( )
;
x x
x x
a b
dx
a b
9)
4
2
;
1
x
dx
x
10)
6
2
.
1
x
dx
x
13.9. Знайдіть, користуючись інваріантністю формул інтегрування:
1)
sin (sin );
xd x
2)
3
tg (tg );
xd x
3)
2
2
(1 )
;
1
d x
x
4)
(arcsin )
;
arcsin
d x
x
5)
sin
(sin );
x
e d x
6)
2
( )
.
1
x
x
d e
e
13.10. Знайдіть внесенням під знак диференціала:
1)
15
( 1) ;
x dx
2)
5
;
(2 3)
dx
x
3)
6
5
(8 3 ) ;
x dx
4)
8 2 ;
xdx
152 Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
5)
2
2 1 ;
x x dx
6)
2
;
1
xdx
x
7)
5
2 3
2 ;
x x dx
8)
4
5
;
4
x dx
x
9)
3
sin cos ;
x xdx
10)
2
sin
;
cos
xdx
x
11)
ln
;
x
dx
x
12)
2
2
(arctg )
;
1
x dx
x
13)
cos(1 2 ) ;
x dx
14)
sin(2 3) ;
x dx
15)
1
2
;
x
dx
e
x
16)
sin
cos ;
x
e xdx
17)
2
;
1 25
dx
x
18)
2
;
4 9
dx
x
19)
2
;
1 9
dx
x
20)
2
;
2 9
dx
x
21)
2
;
4 1
dx
x
22)
4
;
1
xdx
x
23)
2
2 arcsin
;
1
x x
dx
x
24)
2
2
(arccos 3 )
;
1 9
x x
dx
x
25)
2
;
2 3
dx
x x
26)
2
;
2 3
dx
x x
27)
2
;
8 6 9
dx
x x
28)
2
.
2 6 9
dx
x x
13.11. Знайдіть таку функцію
,
f
що:
1)
2
( ) 4 1, ( 1) 1;
f x x x f
2)
( ) sin cos , 2.
2
f x x x f
14. Методи замінювання змінної і інтегрування частинами 153
Відповіді
13.8. 1)
3
3 4
3
ln ;
4
x x x C
2)
4
4 7
1
4 ;
x x C
x
3)
2
2
3
ln ;
3
x x
C
x x
4)
ln 2 arctg ;
x x C
5)
cos ;
x x C
6)
ctg tg ;
C x x
7)
2 1, 5
3 ;
ln 1, 5
x
x C
8)
ln 2 ln ;
x
x
a a b b
x C
b b a a
9)
3
1 1
ln ;
3 2 1
x x
x C
x
10)
5 3
1 1
ln .
5 3 2 1
x x x
x C
x
13.10. 1)
16
( 1)
;
16
x
C
2)
4
1
;
8(2 3)
C
x
3)
11 5
5
(8 3 ) ;
33
C x
4)
3
(8 2 )
;
3
x
C
5)
2 3
2
( 1) ;
3
x C
6)
2
1 ;
x C
7)
3 6
5
5
( 2) ;
18
x C
8)
5
2
4 ;
5
x C
9)
4
1
sin ;
4
x C
10)
1
;
cos
C
x
11)
3
2
ln ;
3
x C
12)
3
arctg
;
3
x
C
13)
1
sin(1 2 );
2
C x
14)
1
cos(2 3);
2
C x
15)
1
;
x
C e
16)
sin
;
x
e C
17)
1
arcsin 5 ;
5
x C
18)
1 3
arcsin ;
3 2
x
C
19)
1
arctg 3 ;
3
x C
20)
1 2
arctg ;
3 2 3
x C
21)
2
1 1
ln ;
2 4
x x C
22)
2
1
arctg ;
2
x C
23)
2 3
2
2 1 (arcsin ) ;
3
C x x
24)
2 2
1
( 1 9 arccos 3 );
9
C x x
25)
1 1
arctg ;
2 2
x
C
26)
1 3
ln ;
4 1
x
C
x
27)
2
1
ln(3 1 9 6 8) ;
3
x x x C
28)
1 3 1
arcsin .
3 3
x
C
13.11. 1)
3
2
1
( ) 2 ;
3 3
x
f x x x
2)
( ) sin cos 1.
f x x x
14. Методи замінювання змінної і інтегрування частинами
14.1. Знайти замінюванням змінної інтеграл:
1)
3
1 ;
x x dx
2)
20
(3 10) ;
x x dx
3)
3
.
1
x
x
e
dx
e
Розв’язання.
[3.4.2.]
1)
3
3
3 3 2
2
1 ,
1 1 ( 1) 3
3
x t
x x dx x t t t t dt
dx t dt
154 Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
7 4
3 3 6 3
3
7 4
3 3
3 ( 1) 3 3
7 4
3 3
1 ( 1) ( 1) .
7 4
t t
t t dt t dt t dt C
t x x x C
2)
20 20
3 10
10 10 1
(3 10)
3 3 3
1
3
x t
t t
x x dx x t dt
dx dt
22 21
21 20
22
21
1 1 10
( 10 )
9 9 22 21
1 (3 10) 10
(3 10) .
9 22 21
t t
t t dt C
x
x C
3)
3 2 3
2
2
2
1 ,
(1 )
ln 1 2
1
1
2
1
x
x
x
t e
e t tdt
dx x t
t
t
e
tdt
dx
t
5 3
4 2
5 3
2
2 ( 2 1) 2
5 3
2 4
(1 ) (1 ) 2 1 .
5 3
x x x
t t
t t dt t
e e e C
Коментар.
Рекомендації щодо вибору заміни змінної буде подано для осно-
вних класів функцій.
Не забувайте переходити у відповіді до «старої» змінної.
14.2. Знайти інтегруванням частинами інтеграл:
1)
2
(3 1) ;
x
x e dx
2)
2
( ) sin 3 .
x x xdx
Розв’язання.
[3.4.3, 3.5.]
1)
2
2 2
3 1 3
(3 1)
1
2
x
x x
u x du dx
x e dx
dv e dx v e
2 2 2 2
1 3 3 1 3
(3 1) .
2 2 2 4
x x x x
udv uv vdu
x
x e e dx e e C
14. Методи замінювання змінної і інтегрування частинами 155
2)
2
2
(2 1)
( ) sin 3
1
sin 3 cos 3
3
u x x du x dx
x x xdx
dv xdx v x
2
1 1
( ) cos 3 (2 1) cos 3
3 3
x x x x xdx
2 1 2
1
cos 3 sin 3
3
u x du dx
dv xdx v x
2
2
2
1 1 1 2
( ) cos 3 (2 1) sin 3 sin 3
3 3 3 3
1 1 2
( ) cos 3 (2 1) sin 3 cos 3
3 9 27
sin 3 2 1 cos 3 2
.
3 3 3 9
x x x x x xdx
x x x x x x C
x x x
x x C
Коментар.
Метою методу інтегруванням частинами є перейти від «складно-
го» інтеграла до простішого («нескладнішого»).
Щоб обчислити інтеграли вигляду
sin
( ) ,
cos
n
x
P x dx
x
( ) ,
x
n
P x e dx
де
( )
n
P x
— многочлен степеня
, ,
n
треба брати
( ).
n
u P x
Покладімо
2
3 1, .
x
u x dv e dx
Від
u
до
du
переходять диференціюван-
ням, а від
dv
до
v
— інтегруванням:
2 2
1
(3 1) 3 ;
2
x x
du x dx dx v e dx e
(при цьому можна вважати, що
0
C
).
14.3. Знайти:
1)
ln ;
xdx
2)
arctg ;
x xdx
3)
arcsin .
xdx
Розв’язання.
[3.4.3, 3.5.]
1)
ln
ln ln
dx
dx
u x du
xdx x x x
x
x
dv dx v x
ln ln .
x x dx x x x C
156 Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
2)
2
2
arctg
1
arctg
2
dx
u x du
x
x xdx
x
dv xdx v
2 2
2
1
arctg
2 2
1
x x
x dx
x
2 2
2
1 1 1
arctg 1 arctg arctg .
2 2 2 2 2
1
x x x
x dx x x C
x
3)
2
arcsin
arcsin
1
dx
u x du
xdx
x
dv dx v x
2
2
1 2
2 2 2
arcsin (1 ) 2
1
1
arcsin (1 ) (1 ) arcsin 1 .
2
xdx
x x d x xdx
x
x x x d x x x x C
Коментар.
Щоб обчислити інтеграли вигляду
( ) ln
n
P x xdx
або
( ) arcf ,
n
P x xdx
де
( )
n
P x
— многочлен степеня
,
n
arcf
— одна з арк-функцій:
arcsin, arccos, arctg
чи
arcctg,
треба брати:
ln
u x
або
arcf .
u x
14.4. Знайти:
1)
3
cos 2 ;
x
e xdx
2)
2 2
.
a x dx
Розв’язання.
[3.4.3, 3.5.]
1)
3 3
3
3
cos 2
1
cos 2 sin 2
2
x x
x
u e du e dx
I e xdx
dv xd v x
3 3
3 3
3
1 3
sin 2 sin 2
1
2 2
sin 2 cos 2
2
x x
x x
u e du e dx
x e e xdx
dv xd v x
3 3 3
3 3
1 3 1 3
sin 2 cos 2 cos 2
2 2 2 2
1 9
(2 sin 2 3 cos 2 ) cos 2 .
4 4
x x x
x x
e x e x e xdx
e x x e xdx
[Записуємо рівняння щодо шуканого інтеграла.]
14. Методи замінювання змінної і інтегрування частинами 157
3
2
1 9
(2 sin 2 3 cos 2 ) ;
4 4
1
(2 sin 2 3 cos 2 ).
13
x
x
I e x x I
I e x x
2)
2 2
2 2
2 2
xdx
u a x du
I a x dx
a x
dv dx v x
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
arcsin .
x x a a
x a x dx x a x dx
a x a x
x
x a x a x dx a
a
перетворюємо інтеграл
[Записуємо рівняння щодо шуканого інтеграла.]
2 2 2
2
2 2
arcsin
1
arcsin .
2 2
x
I x a x a I
a
a x
I x a x C
a
Коментар.
Інтеграли вигляду
sin
,
cos
ax
bx
e dx
bx
sin(ln )
cos(ln )
x
dx
x
та ін., двічі
інтегрують частинами, двічі вибираючи за
u
функцію того самого типу (чи
,
x
e
чи тригонометричну функції — все одно), і одержують рівняння щодо шукано-
го інтеграла.
Інтеграли вигляду
2 2 2 2
,
a x dx x a dx
один раз інтегрують части-
нами, перетворюють одержаний інтеграл і дістають рівняння щодо шуканого
інтеграла.
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
14.5. Застосовуючи заміну змінної, знайдіть:
1)
19
(5 1) ;
x x dx
2)
7
;
(2 1)
xdx
x
3)
;
1
dx
x
4)
3
;
1 1
dx
x
5)
;
1
x
dx
e
6)
.
x
e dx
158 Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
14.6. Знайдіть, інтегруючи частинами:
1)
sin 2 ;
x xdx
2)
(9 3) cos 3 ;
x xdx
3)
3 ;
x
x dx
4)
;
x
xe dx
5)
arccos(2 ) ;
x dx
6)
arctg ;
x xdx
7)
2
ln(1 ) ;
x x dx
8)
2
ln( 1) ;
x dx
9)
2
( 2 3) sin ;
x x xdx
10)
2
;
x
x e dx
11)
2
(arcsin ) ;
x dx
12)
2
ln ;
xdx
13)
2
cos 5 ;
x
e xdx
14)
sin ln ;
xdx
15)
sin
sin 2 ;
x
e xdx
16)
2
2
arctg
.
1
x x
dx
x
Відповіді
14.5. 1)
21 20
1 (5 1) (5 1)
;
25 21 20
x x
C
3)
2( ln(1 )) ;
x x C
4)
2 3 1 3
3
3
( 1) 3( 1) 3 ln 1 1 ;
2
x x x C
5)
1 1
ln ;
1 1
x
x
e
C
e
6)
2 ( 1) .
x
e x C
14.6. 1)
1
sin 2 cos 2 ;
4 2
x
x x C
2) 2)
(3 1) sin 3 cos 3 ;
x x x C
3)
2
3
( ln 3 1) ;
ln 3
x
x C
4)
( 1);
x
C e x
5)
2
1
arccos2 1 4
2
;
x x x C
6)
2
1
arctg ;
2 2
x x
x C
7)
3 3 2
( 1)ln(1 )
;
3 9 6 3
x x x x x
C
8)
2
ln( 1) 2 2 arctg ;
x x x x C
9)
2
( 1) cos 2( 1) sin ;
x x x x C
10)
2
(2 2 );
x
C e x x
11)
2 2
2 1 arcsin 2 arcsin ;
x x x x x C
12)
2
(ln 2 ln 2) ;
x x x C
13)
2
(5 sin 5 2 cos 5 ) ;
29
x
e
x x C
14)
(sin ln cos ln ) ;
2
x
x x C
15)
sin
2 (sin 1) ;
x
e x C
16)
2 2
1 1
arctg ln(1 ) arctg .
2 2
x x x x C
15. Інтегрування дробово-раціональних функцій 159
15. Інтегрування дробово-раціональних функцій
Навчальні задачі
15.1. Зінтегрувати елементарні дроби:
1)
2
;
1
dx
x
2)
3
3
;
( 2)
dx
x
3)
2
5
;
2 5
x
dx
x x
4)
2 3
;
( 9)
dx
x
5)
2 2
2 3
.
( 6 13)
x
x x
Розв’язання.
[3.6.]
1)
2
2 ln 1 .
1
dx
x C
x
2)
3
3 2
3 3
3 ( 2) ( 2) .
( 2) 2( 2)
dx
x d x C
x x
3)
2
2
( 2 5) (2 2)
5
1
2 5
5 (2 2) 4
2
d x x x dx
x
dx
x x
x x
1
2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
(2 2) 4
1 ( 2 5)
4
2
2 5 2 5 2 5
2 5
1 ( 1)
ln( 2 5)
2
( 1) 4
( 1) 4
1 1 1
ln( 2 5) arctg .
2 2 2
x
d x x dx
dx
x x x x x x
x x
d x
x x
x
x
x
x x C
4) [Застосовуємо рекурентну формулу [3.6.6].]
1
2 2 2 2 2 1
1
(2 3) ,
( ) 2 ( 1) ( )
n n
n n
dx x
I n I n
x a a n x a
2 3 2 2 2 2
3;
1
(2 3 3)
3
2 2 9
( 9) ( 9) ( 9)
a
dx x dx
n
x x x
2 2 2 2
2 2 2
3;
1 1
3 (2 2 3)
2
36 2 1 9
( 9) 9 9
1 1 1
arctg .
36 216 648 3
( 9) 9
a
x x dx
n
x x x
x x x
C
x x
160 Розділ 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
5)
2
2 2
( 6 13) 2 6
(2 3)
2 3 (2 6) 3
( 6 13)
d x x x
x dx
x x
x x
2 2
2
2 2 2 2
( ) 1
6 13 ( 3) 4
( )
(2 6)
3
( 6 13) ( 6 13)
f t
x x x
dt C
f
f t
x dx dx
x x x x
2 2 2
2 2 2
2 2
1 ( 3)
3
6 13 (( 3) 4)
1 1 3 ( 3)
3 (2 2 3)
2 1 4
6 13 ( 3) 4 ( 3) 4
1 3 3 3 3
arctg .
8 16 2
6 13 ( 3) 4
d x
x x x
x d x
x x x x
x x
C
x x x
15.2. Вилучити цілу частину дробу
5 2
2
1
.
1
x x
x x
Розв’язання.
[3.6.]
[ Вилучають цілу частину діленням многочленів у стовпчик. Ділити припиня-
ють тоді, коли степінь остачі стане меншим за степінь дільника.]
5 2
2
5 4 3
3 2
4 3 2
4 3 2
2
2
1
1
2
1
2 1
2 2 2
2 3
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x x
x
x x
x
[Записуємо відповідь.]
5 2
3 2
2 2
1 2 3
2 .
1 1
x x x
x x
x x x x
15.3. Розкласти правильні дроби на елементарні:
1)
3
3 1
;
( 2)( 1)
x
x x
2)
2
2
3
;
( 1)( 1)
x
x x x
3)
2 2 2
2 1
.
( 1)
x
x x