Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної. Практикум
Подождите немного. Документ загружается.
9. Правило Бернуллі — Лопіталя 121
2
( ) 2
lim lim ;
( )
(2 ) 2
lim lim 0 .
( )
x x
x x
x x
x x
x x
M
e e
x
M L
e e
3)
50
100
1
2 1 0
lim ;
0
2 1
x
x x
L
x x
50 49
100 99
1 1
( 2 1) 50 2 24
lim lim .
49
( 2 1) 100 2
x x
x x x
L
x x x
4)
sin
lim ;
2 sin
x
x x
L
x x
( sin ) 1 cos
lim lim
(2 sin ) 2 cos
x x
x x x
x x x
,
тобто правило Бернуллі — Лопіталя не застосовне, але
sin
sin
1
sin 1
lim lim .
2 sin 2
2
x
x
x
x x
x
x x
x x
5)
1 0
ln ( 1),
lim ln(1 ) ( 1)
ln 0
1 0 1 0
lim (1 ) [0 ]
x
x x
x x
x
x x
x e
1 0
1
1 0
1
lim (1 )
0
2
1 0
ln(1 )
exp lim .
( 1)
(1 )
exp lim 1 .
(1 )
x
x
x
x
x
L
x
x
e e L
x
Коментар.
Щоб перетворити вираз на частку при потребі використовують
формули:
1 1
ln
1 1 1 1
; ( 0); .
g f
g g f
f g
f g
fg f e f f g
g f
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
9.7. Нехай
( ) ( 1)( 2)( 3).
f x x x x x
Доведіть, що всі три корені рів-
няння
( ) 0
f x
дійсні.
9.8. Доведіть, що рівняння
4
16 64 31 0
x x
не може мати двох різних
дійсних коренів у інтервалі
(0;1).
122 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
9.9. Доведіть, що рівняння
1
2 0,
x
e x
яке має корінь
1
x
(перевір-
те!), не має інших дійсних коренів.
9.10. Застосовуючи Лаґранжову формулу для функції
3
( ) 3 3
f x x x
на
відрізку
[0;1],
визначте точку
,
x
що фігурує у формулі.
9.11. Застосовуючи Лаґранжову формулу, доведіть нерівність
1 , 0.
x
e x x
9.12. Застосовуючи формулу Коші для функцій
3
( ) 2 5 1
f x x x
та
2
( ) 4
g x x
на відрізку
[0; 2],
визначте точку
,
x
що фігурує у фо-
рмулі.
9.13. Користуючись правилом Бернуллі — Лопіталя, знайдіть:
1)
100
50
1
2
lim ;
2
x
x x
x x
2)
0
2 3
lim ;
4 5
x x
x x
x
3)
0
ln sin
lim ;
ln sin
x
ax
bx
4)
3 3
5
5
lim ;
5
x
x
x
5)
0
sin
lim ;
tg
x
x x
x x
6)
3
ln
lim ;
x
x
x
7)
2
1 0
tg
lim ;
ln(1 )
x
x
x
8)
0
cos
lim ;
cos
x
x
x
e x
e x
9)
lim ( );
n x
x
x e
10)
1
1
lim ;
1 ln
x
x
x x
11)
1
lim sin( 1) tg ;
2
x
x
x
12)
3
lim ( ln );
x
x x
13)
0
1
lim ctg ;
x
x
x
14)
1 0
lim ln ln( 1);
x
x x
15)
lim (( 2 arctg ) ln );
x
x x
16)
sin
0
lim ;
x
x
x
17)
tg
0
lim (arcsin ) ;
x
x
x
18)
1
lim ;
x
x
x
19)
1 ln
0
lim (ctg ) ;
x
x
x
20)
2
2 0
lim (tg ) .
x
x
x
10. Тейлорова формула 123
9.14. Перевірте, що
sin
lim
sin
x
x x
x x
існує, але його не можна обчислити за пра-
вилом Бернуллі — Лопіталя.
Відповіді
9.10.
1
.
3
9.12.
1 2
1 5
, .
2 3
9.13. 1)
101
;
51
2)
ln 2 ln 3
;
ln 4 ln 5
3)
1;
4)
6
2
;
3 5
5)
1
;
2
6)
0;
7)
;
8)
;
9)
0;
10)
1
;
2
11)
2
;
12)
;
13)
0;
14)
0;
15)
0;
16)
1;
17)
1;
18)
1;
19)
1
;
e
20)
1.
10. Тейлорова формула
Навчальні задачі
10.1. Записати формулу Тейлора для нескінченно диференційовної функції
( )
f x
у точці
0
x
:
1) 2-го порядку із залишковим членом у формі Пеано;
2) 3-го порядку із залишковим членом у формі Лаґранжа.
Розв’язання.
[2.6.5, 2.6.6.]
1)
2 3
0 0
0 0 0 0 0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ), .
1! 2 !
f x f x
f x f x x x x x o x x x x
2)
0
0 0
( )
( ) ( ) ( )
1!
f x
f x f x x x
(4)
2 3 4
0 0
0 0 0 0
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) , ( ; ).
2 ! 3 ! 4 !
f x f x
f
x x x x x x x x
10.2. Функцію
( )
f x
розвинути за степенями
( 2),
x
якщо:
1)
4 3 2
( ) 2 5 3 8 4;
f x x x x x
2)
( )
1
x
f x
x
до члена, що містить
3
( 2) .
x
Розв’язання.
[2.6.5.]
1) Многочлен має похідні будь-якого порядку:
3 2
2
(2) 0;
( ) 8 15 6 8, (2) 0;
( ) 24 30 6, (2) 30;
( ) 48 30, (2) 66;
f
f x x x x f
f x x x f
f x x f
124 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
(4)
( )
2 3 4
( ) 48;
(2) 0, 5, 6, ....
( ) 15( 2) 11( 2) 2( 2) .
k
f x
f k
f x x x x
2)
1
( ) 1 ,
1 1
x
f x
x x
0
2, 3.
x n
3
( )
3
0
2 3 4
(2)
( ) ( 2) ( 2) .
!
1 2 6
( ) ; ( ) ; ( ) .
( 1) ( 1) ( 1)
(2) 2, (2) 1;
(2) 2, (2) 6.
k
k
k
f
f x x o x
k
f x f x f x
x x x
f f
f f
2 3 3
( ) 2 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) .
f x x x x o x
10.3. Розвинути за степенями
x
функцію
( ) ln( 1)
x
f x e x
до члена, який
містить
3
x
включно.
Розв’язання.
[2.7.5, 2.7.6.]
[Записуємо формули Тейлора — Маклорена 3-го порядку для функцій
( )
x
f x e
та
( ) ln( 1).
f x x
]
2 3
3
1 ( ),
2 ! 3 !
x
x x
e x o x
2 3
3
2 3 2 3
3 3
2 3
2 3 3 3
ln(1 ) ( ).
2 3
ln(1 ) 1 ( ) ( )
2 ! 3 ! 2 3
1 1 1 1
1 ( ) ( ).
2 2 2 3 2 3
x
x x
x x o x
x x x x
e x x o x x o x
x x
x x x o x x o x
2 3
3
ln(1 ) ( ).
2 3
x
x x
e x x o x
10.4. Обчислити
3
30
з точністю до
4
10
за допомогою Тейлорової формули.
Розв’язання.
[2.7.3, 2.7.9.]
[Перетворюємо підкореневий вираз — шукаємо найближчий повний куб.]
3
3
3
3
1 1
30 27 3 27 1 3 1 .
9 9
10. Тейлорова формула 125
[Записуємо Тейлорову формулу для функції
1 3
( ) (1 )
f x x
і залишковий член у
Лаґранжовій формі.]
множників
2
3
1 3
1
1
1
1
1 1 1
(1 ) 1 1 ... 1 ( ),
3 3 3 !
( 1) 2 5 8...(3 1) 1 1
( ) , 0; .
( 1)! 9 9
3 1
n
k
n
k
n
n
n
n
n
n
x
x k R x
k
n
R x
n
[Підбираємо такий порядок формули Тейлора, щоб залишковий член за модулем
не перевищував заданої похибки.]
5
3
8
3
2
4
1
5
3
4
2
2 9
2 1 1
3 ( ) 1 10 ;
3 2 ! 9
3
2 5 1 5
3 ( ) 1 10 ;
9
3 3 ! 3
R x
R x
11
3
4
4
3
3 12
2 5 8 1 10
3 ( ) 1 10 3.
9
3 4 ! 3
R x n
[Обчислюємо шукане значення за формулою Тейлора 3-го порядку, беручи в
проміжних обчисленнях один запасний десятковий знак після коми.]
2 3
3
1 1 1 2 1 1 1 2 5 1 1
30 3 1
3 9 3 3 2 ! 9 3 3 3 3 ! 9
3(1 0, 03703 0, 00137 0, 00008) 3 1, 03574 3,10722
.
3
4
30 3,1072 10 .
10.5. Обчислити
0,1
e
з точністю до
0, 001.
Розв’язання. [2.7.3, 2.7.5.]
[Записуємо формулу Тейлора — Маклорена для
x
e
із залишкови членом у Лаґра-
нжовій формі.]
2
1
1 ... ( ),
1! 2 ! !
1
( ) , 0 .
( 1)! 10
n
x
n
n
n
x x x
e R x
n
e
R x x
n
[Визначаємо потрібний порядок Тейлорової формули, оцінюючи модуль залиш-
кового члена.]
1
1
(0,1) 2
( ) 0, 001.
( 1)!
10 ( 1)!
n
n
n
e
R x
n
n
для зручності
підсилюємо нерівність
126 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
1
1 : 0, 001;
100
1
2 : 0, 001.
3000
n
n
0,1
0, 1 0, 01
1 1, 0000 0, 1000 0, 0050 1, 105.
1! 2 !
e
0,1 3
1, 105 10 .
e
10.6. Оцінити похибку, яку допускають, обчислюючи значення
ln 1, 5
за фор-
мулою:
2 3 4
ln(1 ) .
2 3 4
x x x
x x
Розв’язання.
[2.7.3.]
4.
n
5
4
4
5 5
4
4
0 0,5
2 3 4
4 !
( ) , 0 0, 5.
5 !(1 )
1 (0, 5) (0, 5)
0 ( ) max 0, 01 .
5 5
(1 )
1 1 1
ln 1, 5 0, 5 (0, 5) (0, 5) (0, 5) 0, 40.
2 3 4
x
R x x
R x
ln 1, 5 0, 40 0, 01.
10.7. Знайти
3
0
sin
lim ,
x
x x
x
використовуючи формул Тейлора.
Розв’язання.
[2.7.7.]
3
4
4( )
3 !
3 3 3
0 0 0
sin 1 ( ) 1
lim lim lim .
3 ! 6
x
x o x
x x x
x
x x o x
x x x
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
10.8. Розвиньте многочлен
4 3 2
( ) 5 3 4
f x x x x x
за степенями двоч-
лена
4.
x
10.9. Розвиньте многочлен
3 2
( ) 3 2 4
f x x x x
за степенями двочлена
1.
x
10.10. Функцію
2 3
( ) ( 3 1)
f x x x
розвиньте за степенями
,
x
застосовуючи
Тейлорову формулу.
10. Тейлорова формула 127
10.11. Напишіть Тейлорову формулу 3-го порядку для функції
1
x
y
x
при
0
2
x
і побудуйте графіки заданої функції та її многочлена Тейлора 3-
го степеня.
10.12. Напишіть Тейлорову формулу 3-го порядку для функції
tg
y x
при
0
0
x
і побудуйте графіки заданої функції та її многочлена Тейлора 3-
го степеня.
10.13. Напишіть формулу Тейлора — Маклорена
n
-го порядку для функції
x
y xe
при
0
0.
x
10.14. Напишіть Тейлорову формулу
n
-го порядку для функції
y x
при
0
4.
x
10.15. Знайдіть перші три члени розвинення функції
10 6 2
( ) 3 2
f x x x x
за Тейлоровою формулою при
0
1.
x
Обчисліть наближено
(1, 03).
f
10.16. Знайдіть перші три члени розвинення функції
8 7 6
( ) 2 5 3
f x x x x x
за Тейлоровою формулою при
0
2.
x
Обчисліть наближено
(2, 02)
f
та
(1, 97).
10.17. Застосовуючи наближену формулу
2
1 ,
2
x
x
e x
знайдіть
4
1
e
й оці-
ніть похибку.
10.18. Обчисліть з абсолютною похибкою, меншою
0, 001,
наближене значення:
1)
sin1;
2)
;
e
3)
ln 1, 05;
4)
5
33.
10.19. Знайдіть:
1)
2
2
4
0
cos
lim ;
x
x
x e
x
2)
3
0
sin (1 )
lim .
x
x
e x x x
x
Відповіді
10.8.
4 3 2
( 4) 11( 4) 37( 4) 21( 4) 56;
x x x x
10.9.
3
( 1) 5( 1) 8.
x x
10.10.
6 5 4 3 2
9 30 45 30 9 1.
x x x x x x
128 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
10.11.
4
2 3
5
( 2)
2 ( 2) ( 2) ( 2) , 0 1.
(1 ( 2))
x
x x x
x
10.12.
3
3
1
tg ( ).
3
x x x R x
10.13.
2 3
... ( ).
1! 2 ! ( 1)!
n
n
x x x
x R x
n
10.14.
2 3
1
4 2
4 ( 4) ( 4) (2 2)!
2 ... ( 1) ( 4) ( ).
4 64 512
!( 1)! 2
n n
n
n
x x x n
x R x
n n
10.15.
2
1 6( 1) ( 1) ..., (1, 03) 0, 82.
x x f
10.16.
2
( ) 321 1087( 2) 1648( 2) ..., (2, 02) 343, 4, (1, 97
) 289, 9.
f x x x f f
10.17.
0, 78, 0, 01.
10.18. 1)
0, 842;
2)
1, 648;
3)
0, 049;
4)
2, 012.
10.19. 1)
1
;
12
2)
1
.
3
11. Дослідження функцій за допомогою похідних
Навчальні задачі
11.1. Знайти інтервали монотонності функції:
1)
3 2
( ) 4 21 18 7;
f x x x x
2)
2 4
( ) 8 ;
f x x x
3)
1
, ,
( )
ln
, .
x e
e
f x
x
x e
x
Розв’язання.
[2.9.1, 2.9.2, 2.910.]
1) [Крок 1. Визначаємо область означення.]
( ) ( ; ).
D f
[Крок 2. Знаходимо критичні точки 1-го порядку: точки, в яких перша похідна
функції рівна нулеві,
або не існує.]
2
1 2
1
( ) 12 42 18 12( 3) .
2
1
( ) 0 , 3.
2
( ; ) ( ), ( ) .
f x x x x x
f x x x
x f x f x
Критичні точки:
1 2
1
, 3.
2
x x
[Крок 3. Крок визначаємо знак похідної на кожному інтервалі монотонності.]
11. Дослідження функцій за допомогою похідних 129
[Крок 4. Застосовуємо достатні умови монотонності.]
1 1
: ( ; ) (3; ); : ( ; 3).
2 2
f f
2)
( ) [ 8; 8].
D f
3 2
2 4 2
16 4 2 4
( ) .
2 8 8
x x x x
f x
x
x x x
1 2
( ) 0 : 2, 2;
f x x x
3,4
( ) : 8 ;
f x x D
( ) : 0.
f x x
Критичними точками є
1 2 3
2, 0, 2.
x x x
: ( 8; 2) (0;2); : ( 2; 0) (2; 8).
f f
3)
( ) ( ; ).
D f
Для
x e
( ) 0.
f x
Знайдемо ліву й праву похідні в точці
x e
:
0
( ) ( )
( ) lim 0;
h
f e h f e
f e
h
ln( ) 1
0 0 0
2 2
0 0
( ) ( )
ln( )
( ) lim lim lim
( )
1 0 1
ln( )
lim lim 1 0.
0
e h
e h e
h h h
h h
f e h f e
e e h e h
f e
h h h e h e
e
e e h e h
h e h
e e
скористалися правилом
Бернуллі -- Лопіталя
Отже,
( ) 0.
f e
Для
x e
2
1 ln
( ) .
x
f x
x
Отже,
2
0, ,
( )
1 ln
, .
( ) 0.
x e
f x
x
x e
x
x e f x
const : ( ; ); : ( ; ).
f e f e
x
f
f
0
8
2
8
2
x
знак
f
поведінка
f
3
1
2
130 Розділ 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
11.2. Знайти екстремуми функції:
1)
4 2
8 12;
y x x
2)
2
3
1 ;
y x x
3)
2
ln .
2
x
y x
Розв’язання.
[2.9.4, 2.9.5, 2.9.10.]
1)
( ) ( ; ).
D y
3
1 2 3
( ; ) 4 16 .
0 : 2, 0, 2.
, .
x y x x
y x x x
y y x
Критичні точки
1 2 3
2, 0, 2.
x x x
min min max
( 2) (2) 8, (0) 12.
y y y
2)
( ) ( ; ).
D y
2
3
3 3
3
2 5 3
( 1) .
3 1 3 1
3
0 : 5 3 0 .
5
: 1 0 1.
x x
y x
x x
y x x
y x x
Критичні точки
1 2
3
, 1.
5
x x
3
min max
3 3 4
(1) 0, .
5 5 9
y y
3)
( ) (0; ).
D y
2
1 2
1 1
( ) .
0 : 1, 1.
x
x D f y x
x x
y x x
Критична точка
1.
x
x
f
f
1
min
0
x
f
f
3
5
max
1
min
x
f
f
0
2
max
2
min
min