Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної. Практикум

Подождите немного. Документ загружается.

Розділ 0. ФОРМУЛИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ 11

0.8. Гіперболічні функції



Гіперболічний синус.

sh ;

sh( ) sh

x x

e e

x x





  



Гіперболічний косинус.

ch ;

ch( ) ch

x x

e e

x x







 



Гіперболічний тангенс.

th ;

th( ) th

x x



  



Гіперболічний котангенс.

cth , 0;

cth( ) cth

x x

 

  



«Стандартні» значення.

sh 0 0;

ch 0 1;

th 0 0





Основні тотожності.



2 2

ch sh 1;

x x

 



th cth 1;

x x





1 th ;

 



1 cth

 



Формули подвійного аргументу.



2 2

ch 2 sh ch ;

x x x

 



sh 2 2 sh ch

x x x





Формули зниження степеня.



ch 2 1

sh ;







ch 2 1





12 Розділ 0. ФОРМУЛИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

0.9. Розв’язання основних рівнянь



Показникове рівняння

, 0, 1

a b a a

  



0 log ;

b x b

  



b x

   



Логарифмічне рівняння

log , 0, 1

x b a a

  

x a





Тригонометричне рівняння

sin

x a





 

( 1) arcsin , ;

x a k k

     





a x

   



Тригонометричне рівняння

cos

x a





 

arccos 2 , ;

x a k k

     





a x

   



Тригонометричне рівняння

x a



arctg ,

x a k k

   





Тригонометричне рівняння

ctg

x a



arcctg ,

x a k k

   



0.10. Прогресії

Арифметична прогресія

Геометрична прогресія

Характеристична властивість



1 1

, 2

n n

a a

a n

 



 



1 1

, 2

n n n

b b b n

 

 

Формула

-го члена



1 1

( 1)

n n

a a d a d n



    



1 1

n n

b b q b q



 

Формула суми

перших членів



a a

S n







S b







Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

1.1. Математична символіка



Квантор існування



— «існує», «знайдеться»

«існує

такий, що виконано

( )

A x

: ( )

x A x





Квантор спільності



— «для будь-якого», «для всіх»

«для будь-якого

виконано

( )

A x

: ( )

x A x





Імплікація

«з

випливає

», «якщо

то

A B





Еквіваленція

тоді й лише тоді, коли

A B





Заперечення

«не



Правила заперечення кванторів

: ( ) : ( );

x A x x A x

  

: ( ) : ( )

x A x x A x

  



Необхідна і достатня умови.

Нехай правдива теорема

«Якщо

то

»:

P Q



— достатня умова для

;

— необхідна умова для



Принцип математичної індукції.

Якщо:

1) твердження

( ), ,

P n n





правдиве

для



2) із правдивості твердження

( )

P k

випливає правдивість твердження

( 1),

P k



то твердження

( )

P n

правдиве для всіх натуральних



Схема методу математичної

індукції.



Перевіряють правдивість

твердження

( )

P n

для





Припускаючи правдивість

твердження

( ),

P k

доводять

твердження

( 1).

P k





На підставі принципу математичної

індукції висновують правдивість

твердження

( ) .

P n n

 



14 Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

1.2. Скорочені позначення. Біноміальна формула Ньютона



Факторіал.

! 1 2 ... ;

0! 1

n n

   



( 1)! !( 1)

n n n

  



Сума

доданків

1 2

, ,...,

a a a

1 2

...

k n

a a a a



   





Біноміальний коефіцієнт

( )! !

( 1)...( 1)

n k k

n n n k

 



  





Основні властивості біноміальних

коефіцієнтів.



, 0, ;

k n k

n n

C C k n



 



n n

C C

 



1 1

, 0, 1

k k k

n n n

C C C k n

 



   



Біноміальна формула Ньютона.

1 1 2 2 2 1 1

( ) ...

n n n n n n n k k n k

n n n n

a b b C ab C a b C a b a C a b

    



       





Окремі випадки формули Ньютона.



2 2 2

( ) 2 ;

a b a ab b

   



3 3 2 2 3

( ) 3 3

a b a a b ab b

    



Паскалів трикутник.

0 1

1 1

0 1 2

2 2 2

0 1 2 3

3 3 3 3

0 1 2 3 4

4 4 4 4 4

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

C C

C C C

C C C C

C C C C C



Формули скороченого множення.



2 2

( )( );

a b a b a b

   



3 3 2 2

( )( )

a b a b a ab b

   





Формули перетворення

ірраціональностей.



;

a b



 





3 3

2 2

a b

a ab b



 





Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ 15

1.3. Множини



Під множиною розуміють

сукупність об’єктів довільної природи,

об’єднаних за якою-небудь ознакою.

Об’єкти, які утворюють множину

називають елементами множини.

належить множині

x A



(

є елементом

)

не належить множині

x A



(

не є елементом

)

універсальна множина (множина всіх

елементів, які розглядають у задачі)



Порожня множина (множина, яка

не містить жодного елемента)





Способи задавання множин:



переліком своїх елементів

1 2

{ , ,..., };

A a a a





характерною властивістю

{ | ( )}

A x P x



— множина всіх

які

мають властивість

( )

P x



Включення множин.





A B x A x B

    

є підмножиною

;

A A



 



Рівність множин.

x A x B

A B

x B x A



  



 





  





A B

B A







 













Об’єднання множин.

або

{ | }

A B x x A x B

   

;

A A A

 

A A

  



Переріз (добуток) множин.

{ | }

A B x x A x B

   

;

A A A

 

   

A B



A B



A B



16 Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ



Різниця множин.

\ { | }

A B x x A x B

  

\ ;

A A

 

A A

 



Доповнення множини.

A U A



;

A A U

 

A A

  



Основні властивості дій над множинами.

комутативність об’єднання

A B B A

  

комутативність перерізу

A B B A

  

асоціативність об’єднання

( ) ( )

A B C A B C

    

асоціативність перерізу

( ) ( )

A B C A B C

    

дистрибутивність об’єднання щодо

перерізу

( ) ( ) ( )

A B C A B A C

     

дистрибутивність перерізу щодо

об’єднання

( ) ( ) ( )

A B C A B A C

     

закони де Моргана

A B A B

  

A B A B

  

закони поглинання

( ) ,

A A B A

  

( )

A A B A

  

1.4. Числові множини



Множина натуральних чисел.

{1, 2,3,..., ,...}







Множина цілих чисел.

{..., 2, 1, 0,1, 2,...}

  





Множина раціональних чисел.

m n

 

 

  

 

 

 

  



Множина дійсних чисел

1 2 3

{ , ...

, {0,1, 2,..., 9}}

   

  







Множина ірраціональних чисел



 





Властивості числових множин.



;

  

   



 

 



A B

Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ 17

1.5. Числові проміжки



Відрізок

[ ; ] { | }

a b x a x b

  



Інтервал

( ; ) { | }

a b x a x b

  



Півінтервал

[ ; ) { | }

a b x a x b

  

( ; ] { | }

a b x a x b

  



Нескінченний проміжок

( ; ) { | }

a x a x

  

( ; ) { | }

b x x b

  

[ ; ) { | }

a x a x

  

( ; ] { | }

b x x b

  

( ; )

  







-окіл точки





( ) { }

( ; ), 0

U a x x a

a a



    

      



Проколений



-окіл точки





( ) \ { } { 0 }

( ; ) ( ; )

U a a x x a

a a a a



     

     





-окіл точки



( ) { } ( ; )

U x x



      





-окіл точки



( ) { } ( ; )

U x x



      





-окіл точки







( )

( ; ) ( ; )

U x x



    

     



( )







( )









( )





 

 

( )

U a



 

 

( )

U a



18 Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

1.6. Обмежені множини



Множину





називають

обмеженою зверху, якщо

: .

M x A x M

     



— верхня межа множини



Множину





називають

обмежена знизу, якщо

: .

m x A x m

     



— нижня межа множини



Множину





називають

обмеженою, якщо вона обмежена

зверху і знизу.

, : ;

0 : .

m M x A m x M

C x A x C

      

     





Число





є точною верхньою

межею множини





якщо:

: ;

x A x M

  

0 0

0 : .

x A x M

      

Позначають

sup

M A





Число

є точною нижньою

межею множини





якщо:

: ;

x A x m

  

0 0

0 : .

x A x m

      

Позначають

inf

m A





Існування точних меж. Будь-яка

обмежена зверху непорожня множина

дійсних чисел має точну верхню межу,

а будь-яка обмежена знизу — точну

нижню межу.

Для необмеженої зверху множини

пишуть

sup .

 

Для необмеженої знизу множини

пишуть

inf .

 

1.7. Функція (відображення)



Відображення множини

множину

: ; ( ),

f X Y y f x x X

  

аргумент функції

(прообраз елемента

( ))

f x

значення функції

( )

f x

(образ елемента

)

область означення функції

( )

X D f



множина значень функції

( ) { ( ) | }

E f f x x X

 

( )

f X

( )

y f x



Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ 19



Взаємно-однозначне

відображення.



Деякі типи функцій:

дійсна (скалярна)

функція

( )

E f





функція

дійсного (скалярного)

аргументу

( )

D f





дійсна (скалярна) функція дійсного

(скалярного) аргументу

( ) , ( )

D f E f

 

 

послідовність елементів множини

f Y





числова послідовність

f Y

 

 



Графік функції

( ),

y f x x X

 

{ ( ; ) | , ( )}

M x y x X y f x

   



Складена функція. Нехай

( ) : ;

( ) : .

u x D E

y f u E F

  

 

Функція

( ( )) ( )( ),

y f x f x x D

    



—

складена функція, суперпозиція

функцій

та





Обернена функція. Нехай функція

( ) : ,

y f x D E

 

— взаємно

однозначна.

Оберненою до

функцією називають

функцію

( ) : ( ) .

y f x f y x



 

( )

f X Y





 



( )

D f





( )

E f

( )

y f x



( )

f X Y



20 Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ

1.8. Основні характеристики функції



Нулі

функції

{ | ( ) 0}

x f x





Парна функція

( ) : ( ) ( ) ( )

x D f x D f f x f x

     



Непарна функція

( ) : ( ) ( ) ( )

x D f x D f f x f x

      



Періодична функція з періодом

0 ( ) :

( ) ( ) ( )

T x D f

x T D f f x T f x

   

   



Зростаюча функція на множині

1 2 1 2 1 2

, : ( ) ( )

x x X x x f x f x

    



Спадна функція на множині

1 2 1 2 1 2

, : ( ) ( )

x x X x x f x f x

    



Неспадна функція на множині

1 2 1 2 1 2

, : ( ) ( )

x x X x x f x f x

    



Незростаюча функція на множині

1 2 1 2 1 2

, : ( ) ( )

x x X x x f x f x

    



Стала функція на множині

: ( )

C x X f x C

     





Обмежена функція на множині

: ( )

M x X f x M

     



⓫

Функція обмежена зверху

на множині

: ( )

M x X f x M

     



⓬

Функція обмежена знизу

на множині

: ( )

m x X m f x

     

