Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О.О., Федорова Л.Б. Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної. Практикум
Подождите немного. Документ загружается.
Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ 21
1.9. Степенева функція
Степенева функція
2
,
n
y x
.
n
( ) ,
D f
( ) [0; ).
E f
Функція парна.
Графіком є парабола порядку
2
n
.
Степенева функція
2 1
,
n
y x
.
n
( ) ,
D f
( ) .
E f
Функція непарна;
зростає на
.
Графіком є парабола порядку
2 1.
n
Степенева функція
2
1
,
n
y
x
.
n
( ) \ {0},
D f
( ) (0; ).
E f
Функція парна.
Графік має асимптоти:
вертикальну
0
x
і горизонтальну
0.
y
x
O
1
y
2
1
y
x
1
4
1
y
x
x
O
1
y
y x
1
3
y x
5
y x
1
1
x
O
1
y
2
y x
1
4
y x
6
y x
22 Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
Степенева функція
2 1
1
,
n
y
x
.
n
( ) \ {0},
D f
( ) \ {0}.
E f
Функція непарна;
спадає на
\ {0}.
Графік має асимптоти: вертикальну
0
x
і горизонтальну
0.
y
Степенева функція
2
,
n
y x
.
n
( ) [0; ),
D f
( ) [0; ).
E f
Функція зростає на
[0; ).
Степенева функція
2 1
,
n
y x
.
n
( ) ,
D f
( ) .
E f
Функція непарна;
зростає на
.
Лінійна функція
y ax b
( , ).
a b
( ) .
D f
Графіком є пряма лінія з кутовим
коефіцієнтом
tg .
k a
Квадратична функція
2
y ax bx c
( , , ).
a b c
( ) .
D f
2
2
2
4
,
2 4
0.
y ax bx c
b b ac
a x
a a
a
Парабола
x
O
M
y
x
O
M
y
0
a
0
a
2
y ax bx c
2
b
a
2
b
a
x
O
b
y
b
a
x
O
1
y
3
y x
1
x
O
1
y
y x
4
y x
1
x
O
1
y
1
y
x
1
3
1
y
x
1
1
Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ 23
Дробово-раціональна
функція
, 0.
ax b
y c
cx d
( )
.
b ad c
ax b a
y
cx d c cx d
( ) \ ; ( ) \ .
d a
D f E f
c c
Функція
спадає на
зростає на
( ), ,
( ), .
D f ad bc
D f ad bc
Графік (гіпербола) має асимптоти:
вертикальну
d
x
c
і горизонтальну
.
a
y
c
Гіпербола
1.10. Показникова і логарифмічна функція
Показникова функція
,
x
y a
0, 1.
a a
( ) , ( ) (0; ).
D f E f
Функція
спадає на
зростає на
, 0 1,
, 1.
a
a
Логарифмічна функція
log , 0, 1.
a
y x a a
( ) (0; ),
D f
( ) .
E f
Функція
спадає на
зростає на
, 0 1,
, 1.
a
a
y
x
O
1
log , 1
a
y x a
log , 0 1
a
y x a
y
x
O
1
,
1
x
y a
a
,
0 1
x
y a
a
x
O
d
c
y
ax b
y
cx d
a
c
24 Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
1.11. Тригонометричні функції
Синус
sin .
y x
( ) , ( ) [ 1;1].
D f E f
Функція непарна;
періодична з періодом
2 .
T
Синусоїда
Косинус
cos .
y x
( ) , ( ) [ 1;1].
D f E f
Функція парна;
періодична з періодом
2 .
T
Косинусоїда
Тангенс
tg .
y x
( ) \ | ,
2
( ) .
D f k k
E f
Функція непарна;
періодична з періодом
;
T
зростає на
( ).
D f
Графік має вертикальні асимптоти
,
2
x k k
Тангенсоїда
Котангенс
ctg .
y x
( ) \ | , ( ) .
D f k k E f
Функція непарна;
періодична з періодом
;
T
спадає на
( ).
D f
Графік має вертикальні асимптоти
,
x k k
Котангенсоїда
O
2
2
x
y
O
2
2
3
2
x
y
y
x
O
1
2
cos
y x
1
2
3
2
y
x
O
1
sin
y x
2
1
3
2
2
Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ 25
1.12. Обернені тригонометричні функції
Арксинус
arcsin .
y x
( ) [ 1;1],
D f
( ) ; .
2 2
E f
Функція непарна;
зростає на
( ).
D f
Арккосинус
arccos .
y x
( ) [ 1;1],
D f
( ) [0; ].
E f
Функція спадає на
( ).
D f
Арктангенс
arctg .
y x
( ) ,
D f
( ) ; .
2 2
E f
Функція непарна;
зростає на
( ).
D f
Графік має горизонтальні асимптоти
.
2
y
Арккотангенс
arcctg .
y x
( ) , ( ) 0; .
D f E f
Функція спадає на
( ).
D f
Графік має горизонтальні асимптоти
0,
y
.
y
y
x
O
arcctg
y x
2
y
x
O
arctg
y x
2
2
y
x
O
1
1
2
arccos
y x
y
x
O
1
1
2
arcsin
y x
26 Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
1.13. Гіперболічні функції
Гіперболічний синус
sh .
y x
( ) , ( ) .
D f E f
Функція непарна.
Зростає на
.
Гіперболічний косинус
ch .
y x
( ) , ( ) [1; ).
D f E f
Функція парна.
Гіперболічний тангенс
th .
y x
( ) , ( ) ( 1;1).
D f E f
Функція непарна;
зростає на
.
Графік має горизонтальні асимптоти
1.
y
Гіперболічний котангенс
cth .
y x
( ) \ {0}, ( ) \ [ 1;1].
D f E f
Функція непарна;
спадає на
( ).
D f
Графік має асимптоти: вертикальну
0
x
і горизонтальні
1.
y
x
O
1
cth
y x
1
y
x
O
1
th
y x
1
y
x
O
ch
y x
y
1
x
O
sh
y x
y
Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ 27
1.14. Обернені гіперболічні функції
Ареасинус
2
arsh ln( 1).
y x x x
( ) , ( ) .
D f E f
Функція непарна;
зростає на
( ).
D f
Ареакосинус
2
arch ln( 1).
y x x x
( ) [1; ), ( ) [0; )
D f E f
Функція зростає на
( ).
D f
Ареатангенс
1 1
arth ln .
2 1
x
y x
x
( ) ( 1;1), ( ) .
D f E f
Функція непарна;
зростає на
( ).
D f
Графік має вертикальні асимптоти
1.
x
Ареакотангенс
1 1
arcth ln .
2 1
x
y x
x
( ) \ [ 1;1],
D f
( ) \ {0}.
E f
Функція непарна;
спадає на
( ; 1),(1; ).
Графік має асимптоти: вертикальні
1
x
і горизонтальну
0.
y
x
O
1
arcth
y x
1
y
x
O
1
arcth
y x
1
y
x
O
1
arch
y x
y
x
O
y
arsh
y x
28 Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
1.15. Деякі неелементарні функції
Основні елементарні функції. До
основних елементарних функцій
належать: стала, степенева,
показникова, логарифмічна,
тригонометричні й обернені
тригонометричні функції.
Клас елементарних функцій. Всі
функції, одержані скінченною
кількістю арифметичних дій над
основними елементарними функціями,
і суперпозиції таких функцій,
утворюють клас елементарних
функцій.
Функція модуль
.
y x
( ) ,
D f
( ) [0; ).
E f
Функція парна.
Функція знак числа (сигнум)
1, 0,
sgn 0, 0,
1, 0.
x
y x x
x
( ) ,
D f
( ) { 1, 0,1}.
E f
Функція непарна.
Функція Гевісайда
1, 0,
( )
0, 0.
x
y x
x
( ) ,
D f
( ) {0,1}.
E f
Ціла частина числа
[ ] ,
y x n
де
, , 0 1 .
x n r n r
( ) ,
D f
( ) .
E f
Дробова частина числа
{ } [ ]
y x x x
( ) ,
D f
( ) [0;1).
E f
Функція періодична з періодом
1.
T
y
x
O
1
1
1
2
3
{ }
y x
y
x
O
1
1
1
2
3
[ ]
y x
4
y
x
O
1
1
( )
y x
y
x
O
1
1
sgn
y x
y
x
O
y x
Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ 29
1.16. Геометричні перетворення графіків функцій
Паралельне перенесення вздовж
осі
Ox.
Щоб побудувати графік
( ),
y f x a
графік
( )
y f x
паралельно переносять уздовж осі
Ox
на
a
(праворуч для
0,
a
ліворуч для
0).
a
Паралельне перенесення вздовж
осі
Oy.
Щоб побудувати графік
( ) ,
y f x b
графік
( )
y f x
паралельно переносять уздовж осі
Oy
на
b
(вгору для
0,
b
вниз для
0).
b
Стискання (розтягування) вздовж
осі
Ox.
Щоб побудувати графік
( ),
y f kx
графік
( )
y f x
розтягують у
1
k
разів
(0 1)
k
уздовж осі
Ox
чи стискають у
k
разів
( 1)
k
вздовж осі
Ox
Стискання (розтягування) вдовж
осі
Oy.
Щоб побудувати графік
( ),
y cf x
графік
( )
y f x
стискають
в
1
c
разів
(0 1)
c
вздовж осі
Oy
чи розтягують у
c
разів
( 1)
c
вздовж
осі
.
Oy
Дзеркальне відбиття щодо осі
Ox.
Щоб побудувати графік
( ),
y f x
графік
( )
y f x
симетрично
відображують щодо осі
.
Ox
y
x
O
( )
y f x
( )
y f x
y
x
O
0 1
c
( )
y f x
( )
y cf x
( ), 1
y cf x c
y
x
O
( ), 1
y f kx k
( ), 0 1
y f kx k
( )
y f x
y
x
O
b
( )
y f x b
( )
y f x b
b
( )
y f x
y
x
O
a
( )
y f x a
( )
y f x a
a
( )
y f x
30 Розділ 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
Дзеркальне відбиття щодо осі
Oy.
Щоб побудувати графік
( ),
y f x
графік
( )
y f x
симетрично
відображують щодо осі
.
Oy
Щоб побудувати графік
,
y f x
частину графіка
( ), 0,
y f x x
доповнюють його відбитком щодо осі
.
Oy
Щоб побудувати графік
( ) ,
y f x
частину графіка
( ), 0,
y f x y
не
міняють, а частину графіка
( ), 0,
y f x y
відбивають щодо осі
.
Ox
1.17. Гармонічне коливання
Гармонічне коливання
sin( ),
y M t
де
t
— час,
0
M
— амплітуда,
0
— частота (колова),
t
— фаза,
— початкова фаза.
Формула доповняльного кута
sin cos sin( ),
A t B t M t
2 2
2 2
2 2
;
cos ,
sin
M A B
A
A B
B
A B
x
y
O
M
M
2
T
y
x
O
( )
y f x
( )
y f x
y
x
O
( )
y f x
( )
y f x
y
x
O
( )
y f x
( )
y f x