Алешин Г.В. Оценка качества информационно-измерительных систем

Подождите немного. Документ загружается.

151

жет быть с любой, возможно непериодической дискриминаторной характери-

стикой. Тогда его назовем многоэтапным измерителем.

В данном разделе рассмотрим многошкальный измеритель. Оценим его

качество: точность, априорный диапазон, доверие к оценке при заданном от-

ношении сигнал/шум. Определим связи между ними и другими показателями

качества. Это даст нам возможность лучше понять сущность многошкального

измерителя и природу его оптимальности.

В соответствии с разделом 2 флуктуационная составляющая дисперсии

погрешности измерений в предположении, что систематическая погрешность

учтена, равна (2.9)

1 2

U( )

где

- дисперсия, или мощность, флуктуационного шума,

( )U

1 2

- квадрат

крутизны дискриминаторной характеристики измерителя.

Учтем априорные сведения о параметре. До измерений априорную неоп-

ределенность по измеряемому параметру можно описать дисперсией

λа

апри-

орной плотности распределения вероятности измеряемого параметра.

Результирующая дисперсия равна

σ σ

λ λ

p a

− −

= +

′

2 2

( )

, (6.2)

Рассмотрим случай, когда λ представляет собой параметр задержки τ. Ре-

альные системы работают с периодическим сигналом, представленным гармо-

ническим рядом Фурье

S t S k t

k k

( ) cos[( ) ]= +

∞

∑

ϖ ϕΩ

где S

и ϕ

- амплитудный и фазовый спектры сигнала; Ω - круговая частота

повторения сигнала; ω - несущая частота.

Автокорреляционная функция сигнала

Ψ( ) ( ) ( )τ τ= −

∫

S t S t dt

, которая

представляет собой напряжение на выходе согласованного фильтра, обеспечи-

вает максимум отношения сигнал/шум, что необходимо и для повышения точ-

ности измерений согласно (2.14).

Тогда, используя выражение для S(t), получим

Ψ( )τ =

∫

k i k i

S S k t i t

=−∞

∞

=−∞

∞

∑∑

+ + + − +cos[( ) ]cos[( )( ) ]ϖ ϕ

ω τ ϕΩ Ω

dt.

Если используется одноканальный дискриминатор, то

Ψ( ) ( )τ τ= U

152

Поскольку точность измерений определяется крутизной дискриминацион-

ной характеристики, то необходимо, чтобы она была побольше. Из сказанного

следует, что следующее выражение должно быть побольше

′

= + + + + − +

=−∞

∞

=−∞

∞

∑ ∑

∫

Ψ Ω Ω Ω( ) ( ) ( ) ( )cos[( ) ]sin[( )( ) ]τ ω ω ϕ ω τ ϕi S t S t k t i t dt

i k i

Отсюда видно, что при заданном сигнале, т.е., при заданных S

и при соот-

ветствующих

, крутизна дискриминатора тем больше, чем больше множите-

ли

( )ω + iΩ

. Но тогда целесообразно не распылять энергию сигнала по всем

частотам

ω + iΩ

, а выбрать лишь одну самую высокую частоту, на которой ам-

плитуда этой гармоники существенно возрастет. Мы пришли к тому, что самая

оптимальная форма сигнала - это гармонический сигнал. При этих рассуждени-

ях не учитывались ограничения сверху на частоту этой гармоники и ограниче-

ния, связанные с трудностями реализации фильтра с очень узкой полосой.

Трудности технической реализации сверхузкополосного фильтра дополняются

также требованием обеспечения высокой скорости измерений. Частота гармо-

ники ограничивается сверху, или период ее ограничивается снизу, требованием

обеспечения заданной точности измерений запаздывания. Это значит, что по-

ловина периода измерительного сигнала, где выполняется условие однозначно-

сти измерений, не должна превышать априорной неопределенности по изме-

ряемому параметру, а среднеквадратическая погрешность измерений не долж-

на превышать заданную. По условиям реализации системы заданная средне-

квадратическая погрешность обычно соизмерима с систематической погреш-

ностью.

В реальных системах фильтрация сигнала, несущего информацию о за-

держке не может осуществляться в бесконечно узкой полосе. Поэтому полосо-

вой фильтр с конечной полосой пропускания сигнал не искажает, а лишь от-

фильтровывает шумовую помеху. Выходной сигнал поступает на фазовый де-

тектор, формирующий дискриминаторную характеристику

U( )∆ϕ

, т.е. зависи-

мость напряжения на его выходе от разности фаз сигнала и опорного колеба-

ния, фаза которого известна.

U S S( ) sin sin∆ϕ ∆ϕ= = ωτ

. (6.3)

Отсюда

′

=U S( ) cosτ ω ωτ

. (6.4)

Очевидно, что наибольшая крутизна характеристики и наилучшая точ-

ность измерения соответствует

τ = 0

Тогда точность измерения задержки сигнала равна

−

′

= =

( )U

ш ш

, (6.5)

где q-отношение сигнал/шум.

Измерять однозначно задержку сигнала можно, если

ωτ

153

Диапазон задержек сигнала соответствует диапазону измерений дальности

фазовым методом

∆ ∆τR c=

, (6.6)

где с - скорость распространения радиоволн.

Если диапазон дальностей

∆R м=10

, то

∆τ =

310

. Тогда

< ≅

310

210

Гц k Гц

Отсюда следует, что несущую частоту сигнала для одной шкалы дискри-

минатора брать нельзя, поскольку при этом появится многозначность отсчета

на выходе фазового детектора. Ведь, оценка задержки производится по напря-

жению на выходе дискриминатора.

Несущую частоту сигнала не следует брать и для последней, самой точной

шкалы, где точность пропорциональна квадрату частоты. Но это связано уже

хотя бы с тем обстоятельством, что такие точности измерений (для флуктуаци-

онной составляющей погрешности) нецелесообразны, поскольку неустранимы

существенно большие систематические составляющие погрешности. Напри-

мер,

f Гц

= 310

Однозначность измерений сохраняется в пределах полупериода этой час-

тоты. А это

310

≅

−

. Даже в худшем случае, когда q=1, среднеквадратиче-

ская погрешность согласно (6.5) равна 0,1м. На больших дальностях >500 км

систематическая погрешность за счет незнания условий распространения ра-

диоволн может значительно превосходить 0,1м.

Таким образом, получается противоречие между требуемой высокой точ-

ностью, когда нужна большая частота шкалы, и широким априорным диапазо-

ном, когда нужна низкая частота шкалы. Противоречие разрешается введением

всех необходимых шкал сразу или последовательно во времени. При этом час-

тоты шкал должны быть связаны между собой условиями разрешения много-

значности измерений на каждой шкале. Каждое условие требует, чтобы дове-

рительный интервал результата предыдущего измерения или априорной неоп-

ределенности не превосходил той части половины периода частоты шкалы, где

точность измерений удовлетворительна. Или

β σ

k k

− −

≤

1 1

, (6.7)

где

k−1

- квантиль, а

k−1

- среднеквадратическая погрешность предыдущей

k-1 -й шкалы, k = 0 соответствует априорным данным,

−1

- часть, или доля пе-

риода дискриминаторной характеристики, которая удовлетворяет требованиям

по точности.

154

Известно, что значение частоты f

, на которой производятся фазовые из-

мерения, обратно пропорционально периоду T

. Отсюда следует, что ограниче-

ние (6.7) может быть представлено в виде

k k

≤

−

Учитывая, что точность измерений в соответствии с формулой (6.6) требу-

ется наибольшая, то частоту

следует выбирать наибольшую. Это означает,

что ограничение (6.7) с учетом этого условия превратится в равенство. Это и

есть условие сопряжения (согласования) апертуры фазового дискриминатора,

или протяженности шкалы измерителя по измеряемому параметру, равной

, с априорным диапазоном данной шкалы, роль которого играет довери-

тельный интервал более грубого предыдущего измерения. Cледует заметить,

что погрешность установки, или привязки, шкалы

предполагается существенно

меньшей погрешности измерений предыдущего измерителя. На практике часто

строят измерительные системы, у которых все шкалы имеют фиксированную

настройку. Это весьма неэкономно, так как требует значительно больше изме-

рительных шкал. Потому что приходится в этом случае расширять период

чтобы возможная задержка не оказалась по разную сторону от максимума ха-

рактеристики фазового дискриминатора, или другими словами, чтобы не было

двузначности в определении задержки по измеренному уровню напряжения

дискриминатора.

Обозначив выражение

k k−

получим

ω σ

−

. (6.8)

Таким образом, первая грубая шкала фазового измерителя настраивается

таким образом, чтобы достаточно линейный и однозначный участок его харак-

теристики, где она переходит через нуль, перекрывал весь априорный диапа-

зон. Это, как отмечалось, достигается выбором частоты шкалы. Точность изме-

рений на первой шкале определяется не только этой частотой, но и отношени-

ем сигнал/шум в первом измерителе. На полученную оценку в первом измери-

теле настраивается второй измеритель, у которого апертура дискриминатора

выбирается равной доверительному интервалу первого измерителя. Оценка та-

ким образом уточняется. Далее шкалы добавляются до тех пор, пока не будет

достигнута требуемая точность.

Кроме сказанного следует учесть, что энергия Э

сигнала на каждой шкале

ограничена и что сумма энергий сигнала всех шкал равна Э. Следует отметить,

155

что при фиксированной настройке шкал измерения могут производиться одно-

временно, или параллельно во времени.

Из подраздела 2.3.6 видно, что если учесть априорное распределение веро-

ятности, то результирующая дисперсия равна сумме дисперсии априорного

распределения и дисперсии оценки.

σ σ σ

− − −

= +

2 2

Для i-й шкалы

σ σ σ

( )

−

− −

= +

2 2

При этом

σ σ

o a

.Для п шкал дисперсия результирующей оценки равна

σ σ

рi i

−

∑

2 2

Дисперсия оценки на каждой шкале определяется согласно (6.5) своей ра-

бочей частотой и своим отношением сигнал/шум.

Для случая произвольной априорной неопределенности σ

и требуемой

точности измерений σ

-2

при заданных коэффициентах доверия, либо квантилях

каждой шкалы, т.е. при заданной вероятности того, что оценка шкалы не

выйдет за пределы полупериода рабочей частоты, задача оптимизации измери-

теля по критерию точности (6.5) при ограничениях (6.8) и при ограничении на

энергию сигнала будет иметь вид

max max[ ]σ σ ω

− −

= +

∑

2 2 2

(6.9)

при

1 1

= b q

ω σ σ

= +

− −

[ ]

, (6.10)

ω σ ω

n n a

b q

2 2 2

= +

−

∑

[ ]

q q

∑

≤

, (6.11)

где

- отношение энергии сигнала к спектральной плотности шума в

каждой шкале.

Подставляя значение квадрата частоты из формулы (6.8) в формулу (6.9),

получим

σ σ σ σ σ σ

n a a n n n

b q b q b q b q

− − − − −

−

= + + + + +

2 2 2

1 1 1

2 2 2

3 3 1

...

. (6.12)

Заметим, что сумма первых двух слагаемых -это по существу дисперсия

оценки первого измерения с учетом априорной дисперсии.

σ σ σ σ

2 2 2

1 1

− − − −

= + = +

a a a

b q b q( )

. (6.13)

156

Тогда сумма трех слагаемых, дисперсия оценки после второго измерения,

равна

σ σ σ σ σ σ

2 2

1 1 1

1 1

− − − − − −

= + + = + = +

b q b q b q b q( ) ( )

Подставляя значение

2−

из формулы (6.13) получим

σ σ

2 2

1 1 2 2

1 1

− −

= + +

b q b q( )( )

Продолжая рассуждения для последующего слагаемого, т.е. для после-

дующей шкалы и измерения, заметим, что

σ σ

n a i i

b q

− −

= +

∏

2 2

1( )

, (6.14)

где n - число шкал.

Тогда задачу об оптимальном распределении энергетического потенциала

между шкалами можно сформулировать следующим образом

A b q

i i

= +

∏

max ( )1

, (6.15)

при

q q

∑

где

−

Решение несложно получить любым известным методом: методом подста-

новки, методом множителей Лагранжа либо методом динамического програм-

мирования Беллмана.

Тогда

maxA













∑

∏

При этом решение задачи (6.15) имеет вид

n n b b

kopt

i k

= + −

∑

1 1 1

В случае одинаковых требований к шкалам η

=η

к-1

=η и решение упроща-

ется. Тогда

maxA

= +













(6.16)

157

при оптимальном решении

kopt

Зависимость max A=max(σ

-2

/σ

-2

) от числа шкал для случая равных η

представлена на рис. 6.1. Для случая, когда значение энергетического потен-

циала q достаточно велико, так что bq/n>>1,

maxA

≈













. В этом случае

величина наибольшей точности измерения при заданной априорной неопреде-

ленности достигает значения

maxA e

≈

при оптимальном числе шкал

max

где е - основание натуральных логарифмов.

Cледует заметить, что в данных задачах ограничение на число шкал, либо

на сложность системы, на ее стоимость, не накладывалось. Поэтому число

шкал для высокой требуемой точности может оказаться недопустимо большим.

Однако на практике ограничиваются обычно числом шкал, не превышающим

восьми. Из соотношения (6.16) видно, что преимущественно для увеличения

точности следует увеличивать энергетический потенциал системы, а затем уве-

личивать число шкал. Но если ясно, хотя бы эвристически, что число шкал дос-

тигается меньшей ценой, то следует преимущественно увеличивать число

шкал.

Следует отметить, что задача (6.9) - (6.11) или (6.15, 6.16) представляет

собой специфический синтез сигнала по критерию точности для многошкаль-

ного фазового измерителя запаздывания с одновременно (“гамма”) и последо-

вательно (“мелодия”) работающими шкалами с заданной длительностью сигна-

ла, заложенной в Э. Эту задачу можно рассматривать так же, как и задачу оп-

тимизации измерителя при ограниченной пиковой мощности излучения и при

ограниченной заданной длительности радиосигнала.

При этом каждая шкала может быть построена на любом методе измере-

ний и представлять собой даже РТС или комплекс.

В этом случае нет ограничений по пиковой мощности сигнала или по его

длительности, но есть ограничение по суммарной их стоимости.

Для случая , когда измеритель работает последовательно на всех шкалах,

задача оптимизации измерителя аналогична (6.15), однако вместо ограничения

(6.14) следует использовать ограничения по времени измерения.

158

Рис 6.1

Тогда

max max ( )A T

i i

= +

∏

ηЭ=10

ηЭ=30

ηЭ=10

−

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

159

при

T T

доп

∑

где Т

доп

- допустимое время измерений ,а

-отношение мощности сиг-

нала в шкале к спектральной плотности шума.

Решение аналогично решению задачи (6.15) и соответствует (6.16), т.е.

maxA













∑

∏

при

n n

kopt

i k

= + −

∑

1 1 1

ξ ξ

Оптимальные рабочие частоты шкал можно последовательно определить

из выражения (6.10),или из выражения

k k i i

b b q

1= +

∏

( )

. (6.17)

В случае , когда

b b

k k

−1

q q

k k

−1

для любого i, что записывается как

∀ ∈i n[ , ]1

, оптимальное число шкал n определится из уравнения (6.18)

bq n

−

ln ln

. (6.18).

Приближенное (заниженное значение числа шкал n

), если bq достаточно

велико, равно

. (6.19)

В общем случае определить значение n можно по итерационной формуле

( )

bq n

A n

− +

−

ln ln

. (6.20).

Вычислять следует с точностью до десятых, а затем округлять , т.е. выби-

рать большее целое значение

n: = [n],

где [Х] - большее целое число (значение величины Х).

160

Оценим, каким образом и насколько влияют ограничения по условиям

однозначности измерений на результирующую ошибку многошкального изме-

рителя.

Введение дополнительных шкал n > 2, которое является своеобразной пла-

той за разрешение неоднозначности измерений, ухудшает результирующую

точность измерителя за счет снижения энергетического потенциала в каждой,

а, значит, и в последней, самой точной шкале. Поэтому очевидно ухудшение

точности измерителя за счет введения дополнительных шкал. Именно ограни-

чения по условиям однозначности измерений привели к необходимости введе-

ния дополнительных шкал и к трансформации спектра сигнала - вместо моно-

хроматического (длительность сигнала или время измерений предполагается

достаточно большим) сигнал становится многочастотным.

Сказанное позволяет сделать следующие выводы:

1. Повышение требований к надежности оценки шкал (уменьшение пара-

метра) и уменьшение рабочих частот шкал по своему действию на точность

равносильны снижению энергетического потенциала шкал , что приводит к

существенному росту числа шкал, особенно при большом отношении величи-

ны априорной неопределенности к требуемой дисперсии измерений (рис. 6.1).

Возможны ограничения по условиям физической реализации максимально

возможных рабочих шкал. Для цифровых фазометров коэффициент a

исполь-

зования частот

следует принять равным 1. При заданном энергетическом

потенциале шкал коэффициент использования частот шкал равносилен по сво-

ему действию параметру b.

2. Использование больших энергетических потенциалов позволяли реали-

зовать малым числом шкал большие точности при большой априорной неопре-

деленности.

3. Введение грубых шкал для разрешения неоднозначности приводит при

равной энергии сигналов в шкалах к увеличению ошибки измерений в √n раз

по сравнению с классическим одночастотным фазовым измерителем при малой

априорной неопределенности.

4. Критерий точности многошкальных измерений при заданной надежно-

сти каждой шкалы может быть представлен в факторизованном виде в зависи-

мости от энергетики шкал, доверительного интервала и коэффициента запаса.

5. Наилучшее использование рабочих частот шкал и снижение требований

к надежности измерений по своему действию на результирующую точность

измерителя равносильно увеличению энергетического потенциала.

6. При различных требованиях к использованию рабочих частот шкал, т.е.

если сигнал фиксированной формы, при различных требованиях к надежности

измерений соответствующих шкал существует такое (оптимальное) распреде-

ление энергетического потенциала по шкалам, при котором достигается мак-

симум результирующей точности измерителя.