Алешин Г.В., Богданов Ю.А. Эффективность сложных радио-технических систем

Подождите немного. Документ загружается.

2.5.3. Сравнительная эффективность систем поиска по углам с учетом несогласованности

пространственного приемника

В качестве критериев качества систем поиска по углам примем следующие показатели:

максимальное время поиска

п макс

, под которым понимается максимальное время обзора

заданного углового сектора, при котором обеспечивается требуемые остальные показатели

качества; вероятность ложной тревоги

лт

; вероятность правильного обнаружения

обн

;

диапазон

Ω

телесного угла поиска (сектор поиска); ширина диаграммы направленности

Ω

в ортогональных плоскостях.

Кроме того, предполагается:

— работа системы поиска производится активным способом, т. е. посредством облучения

кооперируемого или некооперируемого объекта;

— структура и параметры сигнала и схемы обработки в процессе поиска не меняются, т. е.

известна зависимость

p p F q

обн обн лт

= ( , )

, где q — отношение сигнал / шум;

— характеристики отражения падающей волны идентичны для произвольного направления

на объект (

);

— запаздывание сигнала

, соответствующее дальности R до объекта, известно хотя бы

грубо с точностью, соизмеримой с длительностью однократного облучения объекта или

элемента разрешения по углам;

— объект предполагается точечным, т. е. его миделево сечение в направлении облучения

существенно меньше элементарной апертуры луча в картинной плоскости объекта;

— плотность распределения вероятности углового положения — равномерный закон;

— последовательный поиск производится оптимальным для этого случая способом:

сканируются одновременно передающая и приемная диаграммы направленности, а номер

обнаруживаемого углового элемента с объектом определяется по запаздыванию импульса или

любого сигнала при известном значении

Принятые ограничения несущественно сужают область применимости ожидаемых выводов,

которые можно приложить к реальным системам.

Пусть требуется сравнить по критерию вероятности обнаружения сигнала систему

параллельного одноканального поиска (с одной широкой диаграммой направленности) и

последовательного поиска (узкой диаграммой направленности). Для простоты ограничимся

одной угловой координатой

. Разобьем сектор поиска

на M разрешаемых угловых

элементов, ширина которых на требуемом энергетическом уровне равна ширине диаграммы

направленности узкого луча последовательного поиска.

Поскольку форма сигнала и схемы его обработки считается известной для двух методов

поиска, вероятность правильного обнаружения при любом методе поиска является определенной

монотонной функцией таких показателей качества на вероятность ложной тревоги

лт i

соотношение сигнал / шум

( )

p p F q

iобн i обн i лт i

= ,

Сравнивать системы можно по одному из критериев при равных прочих. Для того, чтобы

вероятность обнаружения

обн 1

параллельного поиска и последовательного поиска

обн 2

были

равны при равных вероятностях ложной тревоги, т. е. при

F F

лт 1 лт 2

, необходимо, чтобы

отношения сигнал / шум

были также равны:

q q

1 2

или

P T

c c1 1

2 2

где

— средняя мощность сигнала,

— длительность сигнала, время облучения объекта, равное времени обработки сигнала,

— результирующая спектральная плотность шумов.

В соответствии с изложенными результатами

N N N N N

ак аа аз п м 1 1 1 1 1

= + + +

N N N N N

ак аа аз п м 2 2 2 2 2

= + + +

где

k i

— соответствующие спектральные плотности космических, атмосферных, земных

шумов и шумов приемника i-го метода поиска. При одинаковой суммарной мощности

передатчиков двух методов очевидно, что плотность потока мощности при последовательном

поиске (обзоре) в M раз больше, поскольку энергия концентрируется в M раз более узком луче.

Следовательно,

P G P MG

2 2 1 1

Для достаточно узких (

Ω Ω

) диаграмм направленности

аз 1

аз 2

малы по сравнению

с остальными слагаемыми. Вероятность попадания лучей на яркие светила и дискретные

источники (Солнце, Луну и т. д.) достаточно мала, а

( )

x y

Θ Θ,

в пределах

x y

мало

изменяется

( )

T T

x y

Θ Θ, ≅

. В этом случае верно соотношение

N N N N

ак аа ак аа 2 2 1 1

+ = +

Действительно, из формулы (2.5.19) следует

( ) ( )

g T d

G T

n n

m a

= =

∫

4 4

π π

Ω Ω Ω

Ω

, (2.5.20)

где

Ω

— переменное направление,

Ω

— телесный угол направленности антенны.

Из формулы (2.5.16) видно, что для типовых схем обработки пространственного сигнала,

таких как радиотехнические антенны и оптика, мозаичный фотоприемник (многоканальная

схема либо ФЭУ с различными входными диафрагмами) шумовая температура равна средней

распределенной

. То есть, даже если коэффициент усиления

увеличить в определенное

число раз, то во столько же раз станет меньше ширина диаграммы направленности

Ω

Интеграл (2.5.20) и

от этого тоже не меняется.

Для обеспечения равных значений

p p

обн 1 обн 2

F F

лт 1 лт 2

необходимо создать

q q

1 2

т. е. при равных

N N

1 2

должно соблюдаться равенство

T MT

c c 1 2

. (2.5.21)

Т. к.

t t

c 1 n 1 max

, а

t MT

n 2 max c 2

, то из (2.5.21) следует, что

t t

n 1 max n 2 max

Таким образом, если исходить лишь из критериев

n i max

при ограничениях

обн i

лт i

, то

системы параллельного и последовательного поиска примерно равноценны и сравнивать их

следует по критерию стоимости, сложности и т. д. при прочих заданных и равных показателях

качества. Многоканальная схема с раздельными каналами лучше одноканальной

широкоугольной параллельной ввиду более точного оценивания углов и большей в M раз

плотности мощности сигнала. Однако она сложнее. Последовательный поиск может оказаться

существенно проще при равной точности оценки и прочих критериях, зато необходимо знать

задержку по дальности. Вопросы оптимальности этих систем поиска следует рассматривать

отдельно с привлечение новых указанных критериев.

Этот результат достаточно очевиден. Поскольку шумовая температура антенны не зависит

от ширины диаграммы направленности для распределенного источника, то становится ясным

положение: во сколько раз (в M раз) уже диаграмма направленности, во столько раз больше

плотность потока и мощность сигнала. То есть, имеется возможность в то же число раз

уменьшить длительность облучения каждого разрешающего элемента. Но, поскольку число

разрешаемых элементов увеличивается в M раз, суммарное время развертки, а при известной

дальности — время поиска остается тем же, что и у параллельной схемы. При этом антенна,

являющаяся по существу пространственным фильтром, и пространственный приемник

предполагаются согласованными.

Для радиотехнического случая пространственным приемником обычно служит облучатель,

для оптического — фотоприемник: фотоэлемент (фотодиод, фотоэлектронный умножитель) с

определенной диафрагмой — апертурой. Например, для параболической зеркальной антенны

диаметр раскрыва и коэффициент усиления практически обратно пропорциональны ширине

диаграммы направленности по любому углу. Раскрыв же облучателя так однозначно зависит от

диаметра раскрыва (согласования по пространству), что при увеличении второго требуется

соответственно уменьшить размер облучателя в той же плоскости (E или H) при сохранении

коэффициента использования площади антенны близким к, равным единице. Для оптических

систем при увеличении диаметра линзы (рефлектора) согласованная апертура приемника должна

уменьшиться. Согласование пространственного фильтра (диаграмма направленности антенн и т.

п.) с апертурой пространственного приемника аналогично согласованию частотной

характеристики фильтра и спектра сигнала. Как и в частотном аналоге, имеется оптимальное

соотношение для диаметра линзы и апертуры, если апертура пространственного фильтра

меньше оптимальной, то энергия сигнала уменьшается быстрее, чем энергия пространственных

шумов, а если больше — пространственные распределенные шумы пропорционально растут, а

энергия сигнала практически не увеличивается. В случае существенного несогласования

диаметра антенны или линзы с апертурой пространственного приемника (фотоприемника)

вопрос о равноценности последовательного и параллельного поиска подлежит дополнительному

изучению.

2.5.4. Оптимальные процедуры поиска сигнала по углам

Пусть принято решение о структуре системы поиска объекта по углам и пусть известно, что

радиальная дальность R до объекта является случайной величиной, равномерно распределенной

в интервале

( )

R R

min max

. Ввиду этого алгоритмы поиска последовательные во времени могут

оказаться неэффективными. В частности, использование энергетической избыточности на

дальностях, меньших максимальной, дает возможность уменьшения среднего времени поиска

сигнала. Использование энергетической избыточности сигнала на дальностях до объекта,

меньших максимальной, целесообразно осуществлять путем уменьшения длительности сигнала.

Поиск при этом необходимо производить сначала в предположении малой дальности, затем

большей и так далее.

Мощность

принимаемого сигнала меняется по закону четвертой степени от дальности,

если размеры объекта меньше апертуры радиолуча на этой дальности и если имеет место

запросный метод с активным ответом, и по квадратичному закону, если имеет место

беззапросный, например, маячный метод, т. е.

P P

1 1

2 4













max

{ }

где {4} в скобках означает возможный случай зависимости четвертой степени.

Поскольку для удовлетворения заданных показателей обнаружения и поиска согласно

принципу достаточности требуется неизменное отношение сигнал / шум, то длительность

сигнала в зависимости от дальности целесообразно уменьшать по закону

T T

C C1 1

2 4













max

{ }

Учитывая, что время наблюдения сигнала соизмеримо с его длительностью, запишем

значение времени поиска для самого малого значения выбранной дальности

t t

n n max1

2 4













max

{ }

Время поиска для несколько большей дальности

с учетом повторения поиска для

определится как сумма длительностей поиска:

t t

n n max n max2

2 4

























max

{ }

max

{ }

В общем случае

t t

n max











∑

max

{ }2 4

, (2.5.23)

где

( )

R R R R

j k

k k

∑

= −

∑

−

∆

Тогда среднее время поиска

будет равно

( )

t t p t

n ni ni

∑

где

( )

p t

— вероятность того, что поиск завершится значением

, т. е. объект

обнаружится на дальности

[ ]

R R R R

i i i i

∈ +

− −1 1

, ∆

n — число отрезков

∆R

Для равномерного закона распределения объекта по дальности

( ) ( )

[ ]

( )

p t p R p R R R R

ni i i i i

= = ∈ + =

− −1 1

max

∆

С учетом (2.5.23) среднее время

поиска можно определить как

t t

n n max

∑













∑

∆

max

{ }

2 4

. (2.5.24)

Для простоты будем предполагать, что

∆ ∆ ∆R R R

i i

= =

−1

Тогда

t t











 ∑∑

n max

∆

max

{ }

3 5

2 4

или

∑∑

n max

3{5}

2 4

{ }

где

max

∆

— число отрезков дальности.

Известно, что

i i

1 2 1

∑

= + +( )( )

;

i i i i

1 2 1 3 3 1

∑

= + + + −( )( )( )

откуда

( )

n n n

n{ }2 1

4 5 1= + + +

n max

t n n n n n

n{ }4

30 5

4 3 8

= + + − − +













n max

или

n n

n{ }2

4 5 1

n max

= + + +













n n n n n

n{ }

6 22 5 10 15

n max

= + + + − − +













В частности, для

n = 2 (3, 4)

соответственно

n{ }

;

n max













n{ }

, ;

0 632

n max













Таблица 2.5.1

{ }

1.46

2.2

3.1

4.2

8.3

16.4

2 3 4 5 8 12

{ }

1.33

1.5

2.1

2.7

4.2

7.7

{ }

0.73

0.725

0.775

0.833

1.05

1.37

{ }

0.67 0.57 0.527 0.533 0.534 0.60

Рис. 2.5.1

В таблице 2.5.1 и на рис. 2.5.1 представлены зависимости

t t

n n max

от n. Для квадратичного

закона оптимальное значение

opt{ }2

, для закона изменения мощности четвертой степени

opt{ }4

или 6.

Точное значение

opt

, при котором

t t

n n max

соответственно определяется по

итерационным формулам

n n

i i

{ } ( ){ }

( ){ } ( ){ }

( ){ }

2 1 2

1 2

5 2

3 5

= −

− −

−

− −

−

n n

i i

{ } ( ){ }

( ){ } ( ){ }

( ){ }

4 1 4

1 4

22 5 20

5 67 5

= −

− −

−

− −

−

откуда

opt{ }

2 41=

opt{ }

517=

Так как число

opt

может быть только целым, то оно выбирается как меньшее целое число:

opt{ }

{ }

n 2 4,

max

0.2

{2}

{4}

{2,4}

0.4

0.6

0.8

1.0

Исходя из того, что зависимость

t t

n n max

в окрестности

opt{ }4

от величины n достаточно

слабая и что система поиска при

opt{ }4

будет сложнее, а максимальное время поиска

существенно больше

n max

, весьма целесообразно принять

{ }4

Аналогично (2.5.24) рассчитаем значения максимально возможного относительного времени

поиска

max max {2,4}

n max

y n n

2 1

4 5

= + + +













, (2.5.25)

y n n

n n n

1 1

6 22 5

10 15

= + + + − − +













. (2.5.26)

Для

n = 2 (3, 4)

значения

y{ , }2 4

соответственно равны

{ }

146= (2,2; 3,1)

{ }

133= (5,13)

Таким образом, для случая (2.5.25) и оптимума

opt{ }2

выигрыш в среднем времени поиска

для равномерного закона распределения вероятности объекта по дальности составляет 25 %, а

для случая (2.5.26) и оптимума

opt{ }4

— 37 %. В единичных случаях, когда объект все-таки

находится на интервале

∆R

, проигрыш по времени поиска составляет в первом случае 46 %, во

втором случае — 33 %.

Отсюда следует, что подобные процедуры поиска объектов с неизвестной дальностью

эффективны лишь для неответственных случаев работы систем со многими объектами.

2.5.5. Системный анализ эффективности комбинированных методов поиска по углам

Рассмотрим комбинированные методы поиска по углам в предположении, что априорное

распределение цели по углам есть равномерный закон. Кроме того, задана вероятность

правильного обнаружения и дальность цели.

Пусть производится поиск маяка с целью обнаружения сигнала. В этом случае

последовательный поиск эквивалентен параллельному одноканальному и, следовательно,

возможны и равноэффективны любые алгоритмы поиска, хотя аппаратурная реализация может

быть любой. Ничего не дает и сканирование изменяющимися и неизменными, но широкими

диаграммами направленности излучателей. Докажем это положение. Пусть заданы: скорость

сканирования

′

; диапазон поиска

βD

1 2

, равный доверительному интервалу

βσ

для

одномодального закона априорного распределения цели,

— среднеквадратическое

уклонение закона априорного распределения,

— квантиль; коэффициент доверия

( )

α βσ= p

и дискретный закон изменения во времени ширины диаграммы направленности

∆Θ

, где

[ ]

∀ ∈i M1,

Очевидно, что

∆Θ

∑

1 2

Введем для простоты записи оператор

среднего арифметического

( )

A Q

M M

i i

∆ ∆Θ=

∑

1 1

1 2

Поскольку ДН по мощности

( )Θ

имеет произвольную форму, определим эффективную

ширину i-й ДН как угловой сектор, в котором мощность ослабляется не более, чем

( )

= ≥

∆Θ

max

,0 9

Поскольку длительность сигнала

∆t

в i-м угловом элементе зоны поиска равна

∆

∆Θ

′

то энергия сигнала в i-м угловом элементе определится выражением

Э P t

i G i i G

i i

≥ =

′

α α∆

∆Θ

( )0

где

( )

i i

∆Θ 2

max

— заданный относительный уровень сигнала при

∆Θ

Так как для остронаправленных антенн

G i

( )0 =

∆Θ

, то

const i

G i

′

т. е. энергия сигнала на каждом из угловых элементов неизменна во времени (и по углам)

несмотря на то, что

∆Θ

меняется от элемента к элементу. Неизменно также и произведение

∆Θ

G( )0

Это означает, что при неизменных требованиях к качеству обнаружения, т. е. к энергии

сигнала в каждом угловом элементе, во сколько раз шире ДН, во столько раз больше должно

быть время наблюдения элемента.

Определим максимальное время поиска

n max M

при изменяющейся ДН:

( )

t t M

n max M

P M

∑

′

∑

′

= =

∆

∆Θ

1 1

Так как

( )

′

=Θ

∆Θ

∆ Θ

i t

A t

const

P M

то

n max M n max

′

1 2

т. е. равно времени поиска с неизменной ДН.

Использование параллельного многоканального, но неполного поиска, когда m каналов

перерывают лишь часть зоны поиска

βD

1 2

, приводит лишь к частичному уменьшению среднего

времени поиска, если эти каналы охватывают самую вероятную часть зоны поиска, но и к

частичному усложнению аппаратуры.

При этом максимальное время поиска

n max

остается тем же:

t t

t i

ni ni nin max













= ×













{ }

max

, max , { }

Для многоканальной части зоны оценка углового положения будет существенно точнее (в

M-m раз), чем для остальной части зоны, и в m раз точнее, чем для одноканального поиска в

этой зоне .

Для равномерного распределения цели по углу при равных угловых элементах (рис. 2.5.2)

Рис 2.5.2

∆t

m t∆

M t∆

P(Q

)

Рис 2.5.3

inf ( )

P t P

i j

i nj j













{ , }

max

, (2.5.27)

где i — индекс элемента, осматриваемого параллельной многоканальной системой, j —

индекс элемента, осматриваемого параллельной одноканальной или последовательной системой.

Несложно увидеть, что

= = α

M m

−

= −1 α

Так как выполняется условие

t t

ni nj

, то

t t

P t

n ni

i j

j ni

i j













= −













{ , } { , }

max

α1

На рис. 2.5.3 представлены ломаные

AB C

0 0

A B C

1 1 1

AB C

2 2

, соответствующие функции

(2.5.27) для трех значений

M M M

2 1 0

< <

Нетрудно убедиться, что

{ } { } { , }

inf inf max

α α

t M M

i j

= −













где оптимальное значение

определяется из условия

= −1

откуда

. (2.5.28)

Очевидно, что при

M >> 1

не только

{ }

inf

<<1

, но и

<<1

для

[ ]

∀α ∈ α

, т. е. система

в целом приобретает свойства параллельного многоканального поиска, хотя еще имеется

некоторая вероятность

− =

поиска длительностью

На рис. 2.5.4, 2.5.5 представлены соответственно графики зависимостей

Рис 2.5.4

0.5

2 4 6 8 10 12 M

inf

Рис 2.5.5

0.5

inf

inf ( )

, (2.5.29)

( )

inf

α α

0 0

1= −

, (2.5.30)

откуда согласно (2.5.28) и рис. 2.5.6.

α α

0 0

= =

( )M

Из рис. 2.5.4. следует, что при

M >> 1

оптимальное значение обеспечивает существенное (в

M +1

раз) уменьшение среднего времени поиска

. Зависимость (2.5.30), график которой

представлен на рис. 2.5.5, свидетельствует о том, что среднее время поиска может быть

произвольно мало, если

1≅

, т. е. если число разрешаемых элементов M в зоне поиска

согласно рис. 2.5.5 достаточно велико. Даже при малом M, как видно из (2.5.29) и рис. 2.5.4,

можно существенно уменьшить среднее время поиска

. Этот выигрыш дается ценой

существенного усложнения аппаратуры, т. е. ценой увеличения параллельных каналов m до

оптимальных значений (рис. 2.5.6)

m M

0 0

= =

При этом

может не быть целым числом, поскольку в силу доказанной эквивалентности

поиска равномерно распределенной цели неравными параллельными элементами, поиск можно

производить различными каналами и под

в этом случае следует понимать

∑

∆Θ

1 2

Тогда

( )

∆Θ

1 2

( )

∑

∆Θ

Для произвольного закона

распределения цели по углу

p( )Θ

среднее время поиска

определится аналогично (2.5.27):

p t p

i j

i nj j













{ , }

max

Рис 2.5.6

опт

M( )

где

— вероятность того, что цель окажется на участке

[ ]

i m∈ 1,

параллельного

многоканального поиска,

— вероятность того, что цель окажется на участке

[ ]

j m M∈ ,

параллельного или последовательного одноканального поиска.

Вероятность попадания цели в отрезок

[ ]

i m∈ 1,

равна

p p p d

i ik

∑

∫

∑

= =

−

1 1

( )Θ Θ

где

Θ Θ ∆Θ

k k k

− =

−1

Если

[ ]

{ }

Θ Θ Θ, ,∈ 0

— односвязное множество, то

∆Θ Θ

∑

p p d

∫

−

( )Θ Θ

Тогда для симметричного одномодального закона распределения вероятности

p( )Θ

t M

F F F

i j

m m m













−

























−

























{ , }

max

, , ,

2 2

∆Θ ∆Θ

∆Θ

Θ Θ

σ σ

, (2.5.31)

где

F x p d

( ) ( )=

∫

−∞

Θ Θ

— дисперсия,

βσ

∆Θ

— относительный доверительный интервал,

квантиль, такой, что

βσ β

∆Θ= =D M

1 2

и такой, что доверительная вероятность удовлетворяет условию

( )

p p

доп

βσ

≥

где

доп

— допустимая доверительная вероятность наличия цели в зоне поиска.

Сделав замену переменных

∆Θ

= α

в функции (2.5.31), заметим, что при

α ≈ 0

α ≈1

она убывает и представляет собой

вогнутую функцию. Она имеет инфинум в точке

1∈[0, ]

, причем ближе к точке

α = 1

, так как

значения

( )α

при

α ≅ 1

обычно малы.

Значение

{ }

inf

и оптимальное значение

определяются из равенства

F x F x F x[ ( ) ( )] ( )− − = −

, (2.5.32)

где

x =

βα

Поскольку

p( )Θ

— симметричная функция, то

F x F x( ) ( )− = − −1

. (2.5.33)

Из равенства (2.5.32) получим

( )

F x

0 0

1 2

, (2.5.34)

0 0 1

2 1 2













−

( )

, (2.5.35)

где

F y

0 1( )

( )

−

— функция, обратная

F F y

0 0

= ( )

Если

p( )Θ

— нормальный закон, то вместо функции

F( )α

в выражения (2.5.34), (2.5.35)

следует подставить интеграл Лапласа

Φ( )α

, где