Алешин Г.В., Богданов Ю.А. Эффективность сложных радио-технических систем

Подождите немного. Документ загружается.

быть не менее социально значимыми, чем наука более абстрактного характера, обслуживающая

системы более высокого иерархического уровня. Прикладные науки имеют общие

закономерности развития. Объем знаний отрасли, определяемый числом открытых законов,

принципов, методов, методик и их публикаций растет во времени по кривой типа насыщения до

тех пор, пока в некоторый момент не появится очередное открытие, изобретение, метод

усовершенствования, оригинальная публикация и т. д., стимулирующие и

революционизирующие отрасль. Далее опять эволюционное развитие до следующего скачка.

Чем далее, тем реже такие скачки. Совершенствуется все: элементы, их принципы действия,

физические принципы, технология создания, способы создания, методы и принципы создания

техники, способы ее организации, социальный заказ и требования к системам и к их элементам,

технология агрегирования, нормативно-техническая и организационная база данных, стандарты

и т. п. Любое совершенствование систем требует соответствующей оптимизации. В своем

развитии отраслевая наука имеет обычно три этапа: 1) этап исследования и накопления знаний о

предмете исследований; 2) целенаправленный системный анализ влияния на показатели качества

 

D X( )

технических параметров, условий работы и других факторов и выявление отношений

между ними; 3) венец науки — синтез систем, оптимизация систем (лучше на этапе эскизного и

т. д. проектирования) путем отыскания лучших технических параметров, сигналов и структур.

Что следует понимать под понятием «лучший», изложено в следующем подразделе.

Несмотря на хорошее развитие радиотехники и обслуживающих ее математики и

статистики, направление оптимизации РТС находится еще на втором и частично на третьем

этапах своего развития. Именно эту нишу в оптимизации РТС и ее подсистем призвана

заполнить эта книга.

Эффективность радиотехнических систем

Под эффективностью радиотехнических систем обычно понимается качество результата ее

функционирования согласно цели и назначению системы. Один или несколько показателей

качества количественно описывают эффект от применения системы. При этом различают

показатели затрат, ресурсов, массо-габаритные характеристики и другие ограничения.

Поскольку данные показатели также непосредственно влияют на качество системы, их следует

считать равноправными. Поэтому они также обозначаются

D X

( )



, где



— вектор

технических параметров системы. Таким образом,

 

D X( )

— это вектор показателей качества,

куда входят все показатели качества и равноценные затратные показатели. Если использовать

теперь критерий Парето, или безусловный критерий предпочтения (БКП), когда уже имеется

зависимость

D X

( )



от параметров, то недостатка БКП может не быть. Сравнение станет

возможным, для векторов

 

D X

( )

 

D X

( )

, если сравнивать их по одной компоненте при

заданных других. Для этого лучшие

Рис. 1.2.1.

Рис. 1.2.2.

Рис. 1.2.3.

значения компонент одного вектора следует ухудшать до значений этих же компонент другого

вектора, пока все компоненты не сравняются, кроме одной. По оставшейся компоненте и

сравнивают вектора с равными другими компонентами. Мы прийдем к тем же выводам, если

используем условный критерий предпочтения (УКП), который основан на введении

результирующего показателя качества — критерия. Критерий качества называют также

критерием предпочтения, целевой функцией, функцией цели функционирования, а также

функцией полезности. Он-то и является критерием эффективности. Если такой критерий удается

получить, то, зная этот функционал, можно определить его оптимальное значение и

соответствующий ему вектор оптимальных (по этому критерию) параметров



, при котором

оно достигается. Под оптимальным значением критерия оптимальности будем понимать один из

трех его видов:

1) основанный на получении экстремального значения

[ ]

extr f D X

 

( )

(рис.1.2.1), например

путем отыскания производных и решения системы уравнений

[ ]

′

= ∀ ∈

f D X i n

i x

( )

( ) ,



0 1

2) основанный на получении лучшего, наименьшего значения infinum (рис. 1.2.2) там, где

нельзя получить производные или где они бесполезны;

3) основанный на принципе достаточности (рис. 1.2.3), который состоит в том, что для

зависимости

D X

( )



типа кривой насыщения из каких-либо соображений, пусть даже

эвристических, ограничивают параметр

, и затраты на его создание. Например, при

имеющемся значении допустимой вероятности правильного обнаружения нет необходимости

безгранично увеличивать энергетический потенциал РТС при заданных остальных параметрах.

При отыскании одного из видов оптимальности критерия предпочтения

[ ]

f D X

 

( )

важно,

чтобы существовала область допустимых значений

 

D X( )

, т. е. область его определения. Для

этого показатели качества не должны быть противоречивыми. Это обеспечивается условием

Слейтера [22].

Идеально было бы иметь в качестве функционала цели вероятность достижения цели

p p D X

ц ц

= ( ( ))

 

, которая бы зависела от всех

 

D X( )

. Для нее после решения задачи об

оптимальных параметрах можно было определить оптимальность по третьему типу, задавшись

допустимым значением вероятности достижения цели

ц доп

. Однако чаще всего для сложных

систем функционал

[ ]

f D X

 

( )

определить не удается.

Тогда используются следующие критерии оптимальности.

1. Взвешенный критерий

f D X

i i

∑

min ( )

{ }



где

min

{ }



означает extr(min) или inf на множестве

{ }



. Основное достоинство взвешенного

критерия качества — простота. Она обусловила его частое применение.

Недостаток критерия — волюнтаризм, эвристика, произвол в выборе коэффициентов

2. Относительный критерий

, в числителе которого — взвешенная сумма показателей

эффектов функционирования

D X

( )



, таких, что чем они больше, тем лучше, а в знаменателе —

суммарные ресурсы, затраты

D X

( )



D X

j j

k k

∑

min

( )

{ }



В простейшем случае рассматривается один из эффектов и один вид ресурсов.

Достоинство критерия — сравнительная простота.

Недостатки критерия, кроме тех, что по пункту 1, — это существенное влияние знаменателя.

Сомножитель

k k

D X( )



∑

как функция от суммарных затрат представляет собой гиперболу с

особенностью в начале координат. Поэтому при нулевых затратах, или близких к 0, если

суммарный эффект не ноль, то критерий неопределен. А при очень больших затратах, поскольку

рост эффекта ограничен, за счет гиперболы критерий настолько мал, что даже большая разница

в эффекте функционирования становится незаметной. Чтобы устранить этот недостаток, можно

ограничить диапазон

k k

D X( )



∑

и нелинейность шкалы критерия

за счет гиперболической

зависимости.

Тогда недостатком критерия

будет ограниченный диапазон

k k

D X( )



∑

3. Условный экстремум

f D X

3 1

= min ( )

{ }



при

D X D

2 2

( )







≤

доп

n доп

где

i доп

— допустимое значение

D X

( )



В роли целевой функции берется один из показателей качества, например,

D X

( )



, а

остальные относят к ограничениям. Именно этот критерий

и есть фактически условный

критерий предпочтения (УКП).

Достоинство УКП в том, что в нем нет эвристических коэффициентов

и неограничен

диапазон затратных показателей.

Недостатки существенные: 1) сложность решения задач особенно большой размерности и с

большим числом показателей качества и 2) возможно различие в решениях задач, как указанной,

так и с другой целевой функцией, например с

D X

( )



Недостатки столь значительны, что условный критерий качества редко используется в

литературе. И даже в фундаментальной работе Гуткина Л. С. [2] его использование считается

проблематичным. Между тем, при оптимизации конкретных радиотехнических систем

описанными далее методами недостатки можно не только устранить [23], но и решить проблему

многомерности с учетом большого числа ограничений, или функций связи.

В специальных исследованиях нуждается решение проблемы инвариантности решения

относительно постановки задач на условный экстремум, т. е. задач, в которых решение не

меняется, какой бы показатель

D X

( )



мы не брали в качестве целевой функции при допустимых

значениях ограничений, равных оптимальным при других постановках задачи. Это существенно

упрощает решение задачи оптимизации.

Для большинства реальных задач, где требуется синтез высококачественных систем и где

зависимости

D X

( )



являются монотонными, инвариантность обычно сохраняется.

В задаче возможны ограничения также на технические параметры и на показатели качества.

Критерий

напоминает критерий

, если решение задачи производится методом

множителей Лагранжа. Различие в том, что определение этих множителей из функциональных

уравнений — это тоже обычно сложная задача. Известен и второй метод решения задачи по

условному критерию качества

. Это метод подстановки. Тоже достаточно сложный. Поэтому

методы математического программирования в основном используют метод множителей

Лагранжа.

Таким образом, условный критерий качества не содержит произвола, эвристики, в весовых

коэффициентах, как критерий

, у него неограниченный диапазон качества, чего нет у критерия

, и нет гиперболической зависимости от знаменателя, как у критерия

. И есть возможность

сравнивать эффективность различных систем с одним и тем же составом показателей качества.

Конечно, эвристика и волюнтаризм заложены в сам выбор показателей качества

 

D X( )

и в

состав вектора



доп

. Однако, этот недостаток присущ всем критериям предпочтения.

Оптимальное решение задачи оптимизации по условному критерию качества представляет

собой зависимость оптимального одного показателя качества, например,

D D D D

n доп1 1 2

= ( , , )

доп



от допустимых значений других показателей. Для существования

решения необходимо, чтобы показатели качества между собой были независимы и

непротиворечивы. Варьируя допустимые значения, можно получить, так называемые, кривые

обмена [2]. Данные кривые отражают связи показателей качества и свойств оптимальных

систем. Кроме того, решение задачи по условному критерию качества дает максимум

информации об оптимуме



, даже когда результирующий критерий

f D X

( ( ))

 

, или функция

полезности, неизвестен. Действительно, поскольку

D X

( )



— монотонные функции от

технических параметров, как

от



, и поскольку оптимальное решение



доставляет

минимум первому показателю качества

D X

1 min

( )



при допустимых значениях остальных, то

доставляет минимум и функции полезности

f D X

( ( ))

 

, если бы она была известна ввиду

монотонности зависимости. Конечно, зная конкретную зависимость функции полезности можно

определить и оптимальные допустимые значения показателей качества

1 доп opt

. А если этого

нет, то приходится довольствоваться кривыми обмена. Но зато, используя задачу более

высокого иерархического уровня, где допустимые значения используются как параметры,

можно определить их оптимальные значения по критерию оптимальности для системы высшего

уровня. Последний критерий оптимальности также естественно взять условным. Решая задачи

оптимизации систем всех уровней снизу доверху, принципиально возможно получить общую

задачу оптимизации «больших» систем, комплексов. Однако наличие многочисленных

случайных факторов и неопределенностей делает проблематичной постановку и решение задач

каждого уровня иерархии.

Решению таких проблем на каждом иерархическом уровне и посвящена эта книга.

1.3. Проблемы развития и оптимизации радиотехнических систем

Бурное развитие радиотехники всегда сопровождалось соответствующим развитием теории

систем [2—6, 11, 12, 15, 17, 18, 31, 32 и др.]. Это был первый этап развития. И почти всегда

теория шла по следам творческой практики. Были моменты и противоположные. Например, из

существующей теории измерений следовало: чтобы повысить точность измерений частоты и

задержки сигнала, следует синтезировать сигнал с узкой сигнальной функцией по указанным

параметрам. Теория предъявила социальный заказ, который был скоро выполнен совместно с

практиками. К настоящему времени созданы красивые статистические теории анализа и синтеза

оптимальных алгоритмов и систем обработки сигналов, векторных процессов, полей, синтеза

оптимальных сигналов и структур РТС и комплексов различного назначения. Обработка сигнала

предполагается при наличии непреднамеренных, собственных, преднамеренных помех,

аддитивных и мультипликативных, которые могут быть коррелированными и

некоррелированными, стационарными и нестационарными, с гауссовым распределением

плотности вероятности. Исследованы практически все виды простой и сложной модуляции

сигнала в этих системах. Использованы и марковские модели процессов и состояний систем,

байесовские и другие критерии помехоустойчивости, помехозащищенности, а также другие

критерии качества.

Разработаны теории обнаружения, разрешения, различения и распознавания сигналов

различных моделей. Поэтому наступил момент насыщения радиотехники задачами анализа.

Настало время системного анализа и синтеза радиотехнических схем. Конечно, задачи

оптимизации радиотехнических систем были известны и ранее. Например, задачи об

оптимальной фильтрации по критериям максимума отношения сигнал/шум и минимума

среднеквадратической ошибки и другие.

Известны также задачи синтеза оптимальных алгоритмов и систем, оценивающих векторы

параметров и процессов сигналов и полей по критерию максимума функционала правдоподобия

или минимума среднеквадратического уклонения и т.д.

Однако анализ литературных источников по радиотехническим системам показал, что, как

правило, задачи их оптимизации охватывают незначительное число показателей качества

систем, заданных в тактико-технических требованиях (ТТТ) к ним, и в основном касаются лишь

последующих их сечений. Причем, до сих пор нет общего синтеза параметров систем, сигналов

и структур по заданным ТТТ. Поэтому к основным проблемам радиотехники относятся те,

которые бы заполнили эту брешь. Имеются и свои проблемы на каждом иерархическом уровне,

связанные с эволюционным и революционным развитием отраслей, с развитием

соответствующих наук и технологий. Поскольку для систем различных уровней внешние

параметры являются показателями качества, а внутренние — параметрами, то требуется

совершенствовать и те, и другие, т. к. они являются показателями качества для систем низшего

уровня.

Например, на уровне функциональных элементов видны проблемы создания: малошумящих,

малогабаритных и экономичных УРЧ на всех диапазонах частот с большим динамическим

диапазоном крутизны преобразования, ФСС и резонаторов с большой добротностью с малыми

габаритами, чувствительных АЦП, схем высокой степени интеграции на радиочастотах,

стабильных синтезаторов частоты, мощных радиопередатчиков с малым уровнем шумов и

излучений и т. д. по каждому элементу.

Причисление указанных и других элементов к данному иерархическому уровню в известной

степени условно. На каждом уровне свои проблемы оптимизации внешних и внутренних

параметров, структуры, конструкции, стандартизации, унификации и технологии.

На уровне РТС, как указано во введении, требуют решения проблемы их общей

оптимизации по совокупности показателей качества, представленной в технических требованиях

к системе, на множествах параметров, сигналов и структур, проблема ЭМС, проблема

многокритериальности и многомерности в задачах оптимизации, использующих математическое

программирование, проблемы неудобства представлений числовых решений и другие. Общей

проблемой для задач всех уровней является оценка степени достоверности оптимальных

решений, их критичность к исходным данным и оценка платы за это. Разработчик и заказчик

должны знать степень риска при создании систем. С учетом работы [23] книга дает реальные

основания для решения ряда проблем. Метод решения задач оптимизации, основанный на

сочетании сепарабельности, свойств блочного программирования, преобразований координат и

аналитичности решений для линеаризованных ограничений с последующей итерацией при

нелинейных ограничениях, дает возможность для борьбы с «проклятьем многомерности» и для

использования многокритериальности. Реальный системный анализ позволяет даже при бедной

статистике технико-экономических данных получить уверенность в квазиоптимальности данной

системы.

Ряд таких идей будет изложен в последующих примерах постановок и решении задач

оптимизации ИИРТС.

2. Оптимизация систем нижнего иерархического уровня

2.1. Простейшие примеры оптимизации

2.1.1. Эвристическая задача

В качестве простейшего примера, позволяющего понять природу и принципы

оптимальности, приведем задачу Тейлора о всем известном землеройном инструменте - о лопате

.Предположим, что требуется принять решение об одном параметре лопаты - о ее ширине. Все

остальные параметры (длинна, толщина, конфигурация режущей части и черенок) пока

считаются при этом известными и неизменными.

Пусть требуется вскопать определенную площадь на глубину штыка лопаты при

определенном характере грунта.

Возьмем две крайности. Одна крайность - возьмем большую ширину штыка лопаты. В этом

случае мы быстро и сильно устанем, несмотря на то, что сделаем малое число копков на всей

площади. Причина проста: за одну копку мы с трудом втыкаем лопату в землю и с трудом

переворачиваем лопату с землей. Другая крайность - возьмем малую ширину лопаты. В этом

случае мы легко втыкаем лопату в землю и легко ее переворачиваем. Однако мы сильно устаем

за счет большого числа копков, которых во столько раз больше, во сколько раз уже стала лопата.

То есть, при малой ширине штыка мы работаем почти вхолостую: часто перемещаем вес почти

одной лопаты. Чувствуется, что где-то есть промежуточное значение ширины лопаты, где

достигается оптимум: минимум затрат энергии.

В этой эвристической задаче важно уже то, что мы логически ощутили оптимум, который в

дальнейшем можно отыскать эмпирически, т.е. попробовав лопаты с различными штыками.

Даже эвристическое решение лучше, чем не иметь никакого. Эффективность решения зависит от

того, с чем его сравнивать. Даже если оказалось, что лопата и была оптимальной, знание

оптимума полезно хотя бы для того, чтобы не искать его опять. Знание его природы полезно

также для следующей оптимизации. Например, для неизбежного отыскания оптимальной

толщины грунта на лопате (при следующей копке в том же ряду), т.е. оптимального расстояния

между двумя втыканиями лопаты в направлении, перпендикулярном лопате.

Мы должны заметить, что даже оптимум по одной переменной (в нашем случае - ширина

лопаты ) обязан своим существованием тому факту, что на показатель качества (на суммарную

работу или усталость) воздействуют два противоречивых фактора. Для указанного примера - это

либо редкая, но трудная работа по втыканию лопаты в землю и работа по ее переворачиванию,

либо чистая, но легкая.

Можно ли задачу поставить математически более строго, т.е. менее эвристически? Можно.

Для этого требуется определить, например, зависимость работы по втыканию штыка в землю от

ширины штыка лопаты. Для этого требуется экспериментальное, либо адекватное теоретическое

исследование. Разумно получить среднестатистические данные об этом. С расчетом на среднего

человека.

Из этого примера видно, что исследователь, рассматривая интересующий объект, должен:

1) фиксировать влияние остальных факторов, которые в данной задаче не являются

основными;

2) взяв крайности почувствовать противоречивость факторов, каждый из которых может

описываться, хотя бы эвристически, своим показателем;

3) изучить влияние противоречивых факторов на исследуемый эффект и определить, хотя бы

эвристически, оптимальное соотношение между указанными факторами.

Любая, даже строго поставленная задача с неслучайными (детерминированными) данными

начинается с аналогичных эвристических рассуждений.

Задачи оптимизации или оптимального выбора возникают практически везде, где требуются

принимать какое - либо решение: о принципе действия системы, подсистемы и элементов, о

технических параметрах, сигналах и структуре, о конструкции, о взаимодействии и т.п.

Рассмотрим простейшую задачу оптимизации развязывающих цепей, или фильтров.

2.1.2. Оптимизация развязывающих фильтров.

Рассмотрим развязывающий, или блокировочный Г - образный LC фильтр низких частот в

одном из каскадов передатчика. Назначение его в том, чтобы не допустить падение напряжения

сигнала на источнике питания нескольких каскадов с целью исключения паразитных обратных

связей через этот источник. Как известно, качество фильтрации определяется постоянной

времени

τ = LC

. Чем больше

, тем лучше. Интуитивно чувствуем, что беспредельно

большим не может быть ни дроссель, имеющий индуктивность L , ни конденсатор с емкостью

.Потому что либо стоимость деталей, либо их масса, либо объем становятся нежелательно

большими.

Предположим, что стоимость C развязывающей цепи ограничена .Тогда очевидно, что если

на эти средства приобрести большую индуктивность L (почти на средства C), то придется

приобретать конденсатор малой стоимости

и емкости

. При этом

τ = LC

мало.

Аналогично, в случае другой крайности, при малой индуктивности

L ≈ 0

, стоимость

конденсатора равна С , но постоянная времени τ = 0 . Чувствуется оптимум при компромиссном

решении о значениях L и

.Для точного значения оптимум

опт

и оптимальных значений

необходимо просто иметь ценник на эти детали. Тогда под стоимостью

конденсаторов емкостью

и под емкостью дросселей

следует понимать что - либо одно:

либо себестоимость плюс заводские расходы, если детали изготавливаются на этом заводе, либо

цену изделий плюс транспортировка и другие накладные расходы. Для сложных изделий следует

учитывать также стоимость эксплуатации за моральный (планируемый) срок службы системы.

Итак, имеем ряды элементов

[ ]

L L L i n

C C C j m

i n

kj m

, , , , , ,

, , , , , .

 

∀ ∈

Составляются пары

L C

i kj

и рассчитываются

ij i kj

L C=

C C C

ij Li Cj

= +

. Построив график

τ τ

ij ij ij

C= ( )

(рис.2.1), можно определить максимальное значение постоянной времени

при

значениях

близких к допустимому

доп

. Значение

доп

можно определить по графику

(рис.2.1.1), пользуясь принципом достаточности .Это обычный метод перебора. Недостаток его

в том, что быстро растет объем вычислений

( )N nm=

. Кроме того, типоразмерных рядов

дросселей в ценнике может не быть, т.е. индуктивность регулируется числом витков. Поэтому

по редким значениям можно интерполировать кривую

L L C

= ( )

(рис.2.1.2). Но тогда нужно

построить и кривую

C C C

k k CT

= ( )

и по этим данным решать задачу

{ }

max max ( ) ( )

τ = ×

L k CT

L C C C

(2.1)

при

C C C

L CT

+ =

Решение этой задачи аналогично задаче в подразделе (3.1). Решать эту задачу на условный

экстремум можно традиционным методом множителей Лагранжа [23] или методом подстановки.

Используем второй метод. Тогда

{ }

max max ( ) ( )τ = × −

L k L

L C C С C

Это уже задача на безусловный экстремум (рис.2.1.3.), которая может быть решена любым

из известных способов [23]. Оптимальное решение

{ }

L C

opt k opt

. Оптимальное значение

постоянной времени

max

= ×L C

opt k opt

. Есть еще одно соображение, когда получение

аналитических зависимостей

L L C

= ( )

C С C

k k CT

= ( )

весьма желательно. Дело в том, что

ряды для конденсаторов

CTj

, и для индуктивностей

имеют большой разброс,

обусловленный влиянием других факторов. Для конденсаторов большое влияние на их

стоимость оказывает значение допустимого напряжения пробоя, тангенса угла потерь, а для

индуктивностей − вибро-ударо-устойчивость, добротность и прочее. Поэтому указанные

зависимости

L L C

= ( )

C С C

k k CT

= ( )

следует получать (при прочих требуемых данных)

как линии среднеквадратической регрессии параметра на стоимость.

Рис. 2.1.1.

Рис. 2.1.2.

Если статические ряды элементов

представляют собой цены изделий, то влияние

указанных факторов установить не всегда удается. В этом случае возможна ситуация (рис.2.4).

Тогда разумно взять все точки, лежащие по ниже, т.к. такие элементы самые дешевые при тех

же значениях

, т.е. качества индуктивностей. И по этим точкам провести интерполяционную

кривую

( )C L

L i

. Получение таких кривых полезно не только для решения задач оптимизации

систем, но и для характеристики развития данной отрасли

Рис. 2.1.3.

Рис. 2.1.4.

промышленности в данном регионе или даже в мире, если набраны соответствующие ряды

элементов, продаваемых известными фирмами производителями. Форма кривой

( )C L

L i

характеризует развитие соответствующей отрасли следующим образом. Чем больше значение