Алешин Г.В., Богданов Ю.А. Эффективность сложных радио-технических систем
Подождите немного. Документ загружается.
141
лизуемого j-го параметра. В этом случае
∆X
j
не зависит от значения технического параметра
X
ij
и равна
∆X
Д
N
j
xj
j
=
, (8.3.1)
где
N
j
— число стандартов j-го параметра.
Пусть системы состоят из
n
pi
элементов одного назначения. Тогда средняя серийность
l
j
элемента с j-м параметром определится следующим образом
l
N
N
N X
D
X
X
j
j
j
xj
j
j
= = =
∆ ∆
0
, (8.3.2)
где N — число разрабатываемых систем,
∆X
j0
— средний интервал параметра между оптимальными значениями.
Если предположить также, что оптимальные значения j-го параметра i-х систем
X
ij opt
также
равномерно распределены в диапазоне
[ ]
X X
j min
,
j max
, где интервал между оптимумами
X X D
xjj max j min
− =
, то серийность j-го элемента будет определяться средним значением
( )
l
j
.
Предположим, что стоимости всех
n
p1
элементов i-й системы и все зависимости
( )
C X
i i
пере-
считаны к одному времени, что возможно, поскольку обычно имеется соответствующая инфор-
мация и прогнозы развития производства [25—27]. Учитывая динамику цен или себестоимости
изделий, допускается методическая ошибка прогнозов. Ясно, что решение задачи стандартиза-
ции не может быть точнее. Однако, такой точности достаточно для получения существенной
эффективности от стандартизации.
В общем виде на основании изложенного задача примет вид
( )
C C X X l
i j ij j
i
N
=
∑
=
0
1
, ,∆
(8.3.3)
при ограничениях на качественный показатель i-й системы, аналогичных [22, 25—27]:
A
X
D
i
ij
j
n
i
i
=
∏
≤
1
1
, (8.3.4)
X X X
ij min ij ij max
≤ ≤
, (8.3.5)
где
D
i
— дисперсия ошибок измерений, или величина обратно пропорциональная энергети-
ческому потенциалу радиолинии,
A
i
— коэффициент пропорциональности.
Разложим целевую функцию (8.3.3) в ряд Тейлора в окрестности стационарной точки
X
ij0
,
удерживая члены первого порядка малости. Тогда
( )
( )
C B C X X l X X
i i ij ij ij j ij ij
j
n
i
≅ +
′
−
∑
=
1 0 0 0
1
1
, ,∆
, (8.3.6)
где
′
=C
C
X
ij
i
ij
0
0
∂
∂
,
( )
B C X X l X X
i i ij ij j ij ij1 0 0
= =
, ,∆
.
Динамику цен или себестоимости во времени или от номера серии можно сглаживать кри-
выми, указанными в [26].
( ) ( )
C X C X X e C e
ij ij ij ij ij
a t
ij
l
ij ij ij
= =
− −
0 0 0
,∆
β
, (8.3.7)
где
β
ij ij
a T=
,
a
ij
- коэффициент, учитывающий темп снижения себестоимости и определяемый производи-
тельностью труда и др. факторами,
T - время производства изделия.
Учитывая (8.3.3—8.3.7), задачу можно записать в более простом виде
142
{ } { }
( )
F C B K e
ij ij
ij ij
i
i i ij
K
j
n
i
N
= = + +
∑
∑
−
==
γ γ
γ
γ
min min
1
11
1
1
(8.3.8)
при
( )
1 1
1
1
+
∏
≥
=
γ
ij
j
n
i
, (8.3.9)
где
γ
ij
ij
ij
X
X
=
∆
0
,
K
X N
Д
ij
ij ij
xj
=
β
0
,
K C X
i ij ij
=
′
0 0
(ввиду оптимальности системы при
X
ij0
).
Сделав замену переменных
( )
Z K
ij ij ij
= +1 γ
, получим
{ }
F B K b Z e
Z
i i ij ij
Z
j
n
i
N
ij
ij
i
= +
∑
∑
−
==
min
1
11
1
(8.3.10)
при
Z K
ij
j
n
Z
i
=
∏
≤
1
1
,
где
K K
Z ij
j
n
i
=
∏
=1
1
,
b
l
K
ij
K
ij
ij
=
.
Нетрудно убедиться, что зависимость разности целевой функции (8.3.8) и оптимальных ас-
сигнований на нестандартную систему от расстроек, т. е. отклонений от стационарной точки,
носит при малых расстройках квадратичный характер.
Действительно, на основании (8.3.8)
( )
( )
∆C C F
B K K
i i ij
j
n
i
ij
j
n
i
N
i
i
= − = + +
∑
+
+
∏
−
∑
=
=
=
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
γ
γ
.
Отсюда
∆C K K
i ij
j
n
ij
j
n
ij ik
k
n
j
n
i
N
i ij
j
n
i i ii i
=
∑
+ −
∑
+
∑∑
− −
∑
≅
∑
= = === =
γ γ γ γ γ
2 2 221 2
2
1 1 11 1
1 1
.
Очевидно, что задача (8.3.8, 8.3.9) оптимума при
γ
ij
= 0
не имеет поскольку не работает ме-
ханизм образования серийных элементов РТС. В самом деле,
γ
ij
= 0
означает отсутствие отсту-
плений от оптимальных параметров, т. е. все элементы всех систем изготавливаются по специ-
альному заказу (на основании тактико-технических требований) каждый. Чем больше расстрой-
ки
γ
ij
, тем все большее число одинаковых (серийных) элементов возможно использовать в раз-
личных системах. Большие расстройки по всем параметрам не допускает ограничение (8.3.9).
Поскольку нас обычно интересует
N >>1
, хотя бы
N >10
, то даже малые
γ
ij
могут дать боль-
шие
Z
ij
>>1
. Большие
Z
ij
достигаются ценой уменьшения других каких-либо
Z
ij
, что опреде-
ляется ограничением (8.3.9).
Поскольку
K a TX N D
ij ij ij xj
=
0
/
прямо пропорциональны N, которое больше 1, а сомножите-
ли в выражении для
K
ij
порядка единицы, то и
K
ij
>1
,
K K
Z ij
>>
. В этом случае задачу (8.3.10)
можно преобразовать к виду более простому
{ }
F B K e
Z
i i ij
Z
j
n
i
N
ij
ij
i
= +
∑
∑
−
==
min
1
11
1
ε
(8.3.11)
при
143
Z K
ij
j
n
Z
i
=
∏
≤
1
1
, где
ε
ij ij ij
b Z=
0
.
Аппроксимацию (8.3.11) легко объяснить тем, что хотя слагаемые
Z e
ij
Z
ij
−
изменяются не-
монотонно и имеют максимум при
Z
ij
=1
, минимум выражения (8.3.10) должен достигаться при
возможно больших значениях
Z
ij
, верхнее значение которых определяется достаточно большим
K
Z
>>1
. Поэтому в области
Z
ij
>>1
слагаемое
( )
Z Z
ij ij
exp −
достаточно хорошо аппроксимиру-
ется функцией
( )
exp − Z
ij
. Произведем замену переменных
( )
Z q
ij ij
= exp
.
Тогда
{ } { }
F B K e B K b
i i i
q
ij
e
j
n
i i
q
ij
q
j
n
ij
q
ij
i
ij
ij
i
= +
∑
= +
∑
−
= =
1
1
1
1
1 1
min min
ε ε
(8.3.12)
при
q K
ij
j
n
Z
i
=
∑
=
1
1
ln
,
где
b e
e
=
−
.
Таким образом, удалось сформулировать задачу стандартизации РТС для простого, но дос-
таточно типичного случая, для систем, у которых флуктуационные ошибки измерений или пере-
дачи информации превалируют над остальными. Задачу удалось получить в виде сепарабельно-
го, либо т. н. вырожденного динамического программирования. Причем, задача решается точно,
в общем виде (в квадратуре), что имеет несомненные преимущества перед приближенными ме-
тодами. Решение можно определить методом динамического программирования по уравнению
Беллмана
( )
{ }
( )
[ ]
F K
F
b F K q
iN Z
q
iN
i
q
iN Z iN
iN
iN
ln ln= + −
+
−
ε
1
,
либо методом покоординатного спуска. Будем следовать последнему методу. Определим
безусловный минимум для
q
i2
, включив ограничение в целевую функцию. Тогда
b b
i
i
K q
Z ik
k
n
i
q
i2 opt
=
∑
−
=
ε
ε
1
2
1
2
1
2
3
1
ln
,
q
b
K q
i
i
Z ik
k
n
i
i2 opt
=
+ −
∑
=
1 1
2
1
2
1
2
3
1
ln
ln ln
ε
ε
,
( )
F b
i i
K q
Z ik
k
n
i
2 1 2
1
2
1
2
2
3
1
=
∑
−
=
ε ε
ln
.
Для определения закономерности в решении требуется еще один шаг
( )
b b
q
i i
i
K q
Z ik
k
n
i
i3 opt
=
∑
−
=
ε ε
ε
1 2
1
3
3
2 3
1
3
4
1
ln
,
( )
q
b
K q
i i
i
Z ik
k
n
i
i3 opt
= + −
∑
=
1 1
3
1 2
3
2 3
4
1
ln
ln ln
ε ε
ε
,
( )
F b
i i i
K q
Z ik
k
n
i
3 1 2 3
1
3
1
3
3
4
1
=
∑
−
=
ε ε ε
ln
.
Выдвинем гипотезу об общем решении.
b
b
q
ik
k
n
n
n
K
in
n
n
in
i
i
i
i
Z
i
i
i
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
opt
=
∏
=
−
−
ε
ε
ln
,
144
q
b n
K
in
ik
k
n
n
in
n
n
i
Z
i
i
i
i
i
i
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
opt
=
∏
+
=
−
−
ln
ln ln
ε
ε
, (8.3.13)
F n b
n i ik
k
n
n
n
K
i
i
i
i
Z
1
1
1
1
1
1
1
1
=
∏
=
ε
ln
.
Докажем решение методом математической индукции. Решение верно для
m = 12,
. Если оно
верно для
m n
i
=
1
, то оно должно быть верно и для
m n
i
= +
1
1
и для любого m. Для
n
i1
1+
со-
гласно (8.3.13) решение должно быть следующим
( )
( )
b
b
q
ik
k
n
n
n
K
i n
n
n
i n
i
i
i
i
Z
i
i
i
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
=
∏
=
+
+
+
+
opt
ε
ε
ln
, (8.3.14)
( )
F n b
n i ik
k
n
n
n
K
i
i
i
i
Z
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
+
=
+
+
= +
∏
ε
ln
.
Согласно уравнению Беллмана
{ }
( )
( )
[ ]
F b n b
n
q
n
q
i ik
k
n
n
n
K q
i
in
i
i
i n
i
i
i
i
Z
i n
i
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
1
1
1
1
+ +
=
+
−
= +
∏
+
+
+
min
ln
ε ε
.
Отсюда
( )
( )
b
b
q
ik
k
n
n
n
K
i n
n
n
i n
i
i
i
i
Z
i
i
i
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
=
∏
=
+
+
+
+
opt
ε
ε
ln
,
( )
F n b
n i ik
k
n
n
n
K
i
i
i
i
Z
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
+
=
+
+
+
= +
∏
ε
ln
,
что совпадает с (8.3.14). Следовательно, решение (8.3.13) справедливо для любого
n
i1
, что и
требовалось доказать. Для анализа решения представим (8.3.13) в более полном виде, имея вви-
ду обозначения, используемые в (8.3.8—8.3.12)
q
n
K
e
in
i
ij
j
n
ik
k
n
n
in
i
i
i
i
i
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
opt
=
∑
−
∏
=
=
−
ln ln
ε
ε
,
F n e
n i ik
k
n
n
n
K N
i
i
i
i
ij
j
n
i
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
∏
−
∑
=
+
=
ε exp
ln
, (8.3.15)
где
ε
ik
K
ij
e
K
ij
=
,
( )
[ ]
( )
γ
γ
γ
ij opt
ik
k
n
n
K
ij
e
ij
K
ij
k
n
en
K e
K e
i
i
ij
ij
i
i
=
∏
+
+
∏
−
=
=
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
.
145
Решение можно представить в более компактном виде, если ввести операторы среднего
арифметического
( )
A X
m
X
m i i
i
m
1
1
1
=
∑
=
и оператор среднего геометрического
( )
Γ
1
1
1
m i i
i
m
m
X X=
∏
=
.
Тогда
γ
ij
q
ij
e
K
ij
= −1
,
где
( ) ( )
[ ]
q
K
e Z b
A K K
K
e Z b
m
K
im
im
K
im
im im im im
im
K
im
Z
im im
= + − −
0 0
1
1
ln ln
lnΓ
,
( )
( ) ( )
F n e
n i in ij
A K K e
i i
in
i
ij in
i
ij
N
1 1
1 1
1 0
1= +
−
Γ
Γ
γ
, (8.3.16)
или
( )
F n e
n i in ij
NA
a TX
Д
N
a TX
Д
e
i i
in
i
ij ij
xj
n
i
in
i
ij ij
xj
N
1 1
1
0
1
1
0
1 0
1= +
−
Γ
Γ
γ
.
Выигрыш
∆C
в стоимости стандартной аппаратуры по сравнению с оптимальной, но не-
стандартной можно представить в виде
( ) ( ) ( )
[ ]
{ }
∆ Γ ΓC C F n K A K K e
n i i in ij in ij in ij
N
i
N
i i i i
= − = − + −
∑
=
1 1 1 1
1 0
1
1 1 γ exp
. (8.3.17)
Решение является точным, если ограничения по стоимости (8.3.3) линейные функции. Для
нелинейных, но выпуклых функций решение (8.3.15—8.3.16), полученное в виде формул, можно
использовать как итерационное, подставляя вместо параметра
( )
Z K
ij ij ij0 0
1= + γ
очередное зна-
чение
γ
0ij
. Итеративное решение можно использовать также для некоторого класса вогнутых,
либо выпукло-вогнутых функций, аналогично [23]. Ограничения на параметр оказывают влия-
ние лишь тогда, когда оптимальное значение выходит из диапазона. В этом случае такие пара-
метры принимают равными предельным, после чего задача решается для остальных параметров.
На основании изложенного можно сделать следующие выводы, относящиеся больше к слу-
чаям, отвечающим приведенным допущениям и ограничениям:
— возможно достаточно точное решение задачи стандартизации элементов, блоков и узлов
измерительных одноканальных РТС в общем виде, либо стандартизации соответствующей части
блоков совмещенных одноканальных РТС;
— полученные соотношения позволяют рассчитывать оптимальные стандарты для указанно-
го класса РТС;
— влияние ограничений на качественный показатель РТС по стоимости элементов (блоков)
РТС являются более существенными, чем влияние расстроек по стоимости из-за несоответствия
оптимальных и стандартных значений. Это позволило упростить задачу стандартизации;
— выигрыш от стандартизации аппаратуры РТС тем существенней, чем больше число по-
требных систем N, чем ближе по величине коэффициенты
K
ij
и чем ближе стандартные значе-
ния к оптимальным значениям параметров нестандартной аппаратуры. Последняя зависимость
менее существенна;
— приведенная методика во многих случаях пригодна также для стандартизации радиотех-
нических элементов блоков, поскольку показатель качества цепей во многих случаях можно
представить в факторизованном виде в зависимости от параметров цепей. Кроме того, из жела-
тельности достижения
K K
ij i j
=
−( )1
видно, в каком направлении следует развивать соответст-
вующие производства.
146
9. Оптимизация «больших» радиотехнических систем
Методы синтеза радиотехнических или радиоэлектронных систем более высокого иерархи-
ческого уровня принципиально могут не отличаться от рассмотренных. Особенность синтеза
«больших» систем заключается в том, что их структура содержит большее число однородных
элементов, либо РТС, и система описывается вектором показателей качества соответствующего
уровня, в котором все большую роль играет ограничение на суммарные ассигнования. Синтез
больших систем становится структурно-параметрическим, для которого большее значение при-
обретают временные программы работы. Ниже изложены задачи оптимизации глобальной сис-
темы единого времени, сети передачи информации или данных и измерительных комплексов,
относящиеся к структурно-параметрическим.
9.1. Оптимизация глобальной системы единого времени
9.1.1. Структурная модель системы
Глобальная помехоустойчивая система единого времени (СЕВ), обслуживающая всех потре-
бителей, численность которых произвольна, предполагается как беззапросная, иерархическая
трехуровневая система, периодически излучающая систему сигналов, переносящих информацию
о шкале времени со 2-го уровня на 3-й потребителям.
Рассмотрим общую структуру СЕВ (рис. 9.1.1), учитывающую разнородность каналов пере-
дачи информации и использующую подвижные, или неподвижные хранители времени. Модель
такой СЕВ с учетом потребителей может содержать различные информационные связи между
уровнями и различные средства передачи информации с верхних уровней на нижние. Первый
уровень — это система эталонов частот — хранителей шкал времени, содержащая государст-
венные эталоны. Второй уровень — это система ведомых по отношению к эталонам передаю-
щих средств (ПС), синхронизирующихся от эталонов первого уровня и синхронизирующих по-
требителей (третий уровень).
Связи каждого эталона с передающими средствами предполагаются полными двухсторон-
ними. Связи второго уровня с третьим предполагаются односторонними, от хранителей шкал к
потребителям.
Будем называть подсистему
1 1
1
, ,
l
подсистемой эталонов,
2 2
1
, ,
m
— подсистемой пере-
дающих средств
( )
ПС
j
,
3 3
1
, ,
n
— подсистемой приемных пунктов
( )
ПП
i
.
9.1.2. Математическое описание и постановка задачи
СЕВ представляет собой систему обслуживания потребителей информацией о шкале време-
ни с ограниченной скоростью синхронизации и с неограниченной пропускной способностью, т.
ПП.
1
ПП.
i
ПП.
i+1
ПП.
n
ПС.
1
ПС.
j
ПС.
m
Эт.
l
Эт.
1
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
• • •
Рис 9.1.1
147
е. неограниченным числом потребителей. При данном общем рассмотрении для формализации
задачи синтеза примем следующие предположения относительно СЕВ:
— потребители могут быть разногодны, т. е. получают информацию о шкале неодинакового
качества, различной точности сверки времени;
— хронизаторы, хранители шкал времени и передающие средства
( )
ПС
j
могут быть разно-
родны, т. е. могут описываться различными по величине показателями качества;
— связей передающих средств
( )
ПС
j
с приемными пунктами
( )
ПП
i
произвольное число,
однако реальные ограничения на передачу шкал можно учесть в выражениях для вероятности
привязки шкал.
Эти ограничения не являются жесткими, поэтому результаты могут быть распространены на
произвольные модели СЕВ.
Основной особенностью СЕВ является то, что в системе передается однородная информация
о шкале времени, так что получение потребителем информации можно описывать показателем
качества, которым может служить вероятность
p
i
выполнения потребителем своей задачи по
приему и оценке расхождения шкал времени с требуемой точностью.
Проанализируем зависимость показателя качества
p
i
от факторов, описываемых внутрен-
ними (техническими) параметрами системы. В соответствии с алгеброй событий выполнение
задачи потребителем
ПП
i
есть сумма двух произведений, произведения независимых событий:
живучести
p
ж ППi
, безотказной работы
ПП
i
p
бр ППi
, хранения шкалы
p
хр ПП
i
с требуемой точ-
ностью в течение заданного времени
t
хр ППi
, и произведения независимых событий: неудержа-
ния синхронизации шкалы времени τ за интервал
( )
T p
иi х
1−
р ППi
, правильной передачи сигнала
p
прд сi
на i-й приемный пункт хотя бы от одной передающей станции, обнаружение сигнала
p
обн сi
, живучесть
p
ж сi
, сохранение работоспособности при воздействии различных факторов,
безотказной работы
t
ПП ci
приемного пункта
ПП
i
за время длительности сеанса связи, измере-
ния
p
изм
ошибки синхронизации τ с требуемой точностью
τ
скв
.
Поэтому
( )
p p p p p p p p p p p
ж ii бр i хр i хр i ж i бр i пс j обн сi восст i изм i
= + −1
, (9.1.1)
где
( )
p p t T
доп ххр i и ППi
= ≤ =τ τ ,
р
,
p
li
— вероятность l-го события.
В ограничение на ассигнования должны входить стоимости, или себестоимости, в зависимо-
сти от задачи, эталонов, передающих средств и приемных пунктов соответственно
C
r
,
C
j
,
C
i
.
При оценивании расхождения
τ
i
шкал времени имеется ограничение на время оценивания
T
i
.
Рассмотрим подробнее указанную в (9.1.1) вероятность
p
j
— один из показателей качества
СЕВ. В самом общем случае вероятность правильной передачи сигнала хотя бы от одного из
числа передающих средств (
ПС
j
) m определяется следующим образом
( )
p p
j j
j
m
= − −
∏
=
1 1
2 0
1
, (9.2.1)
где m — число передающих средств
ПС
j
, от которых может быть получен сигнал синхро-
низации,
( )
p p p p p p p p p p p
j2 0
1= + −
бр j ж j хр j хр j ж j бр j э(r) обис j восст j изм j
, (9.1.3)
где
( )
p p t T
доп х ПС
j
хр i
= ≤ =τ τ ,
р
,
p
бр j
— вероятность безотказной работы j-й передающей станции за время
T
j
,
p
ж j
— живучесть j-й передающей станции,
148
p
хр j
— вероятность хранения шкалы в допустимых пределах за время
T
j
,
p
восст j
— вероятность восстановления синхронизации,
p
э r
— вероятность передачи шкалы хотя бы от одного из l эталонов на j-ю передающую
станцию,
( )
p p
э r
r
l
э r
= − −
∏
=
1 1
0
1
. (9.1.4)
Далее приведены вероятности живучести, безотказной работы, хранения шкалы времени,
восстановления синхронизации (поправки к эталону) в формуле вероятности передачи шкалы
группового эталона
( )
p p p p p p p p p
э r0 б ж r х х б ж r восст r изм r
= + −
р р р р r r r r
1
. (9.1.5)
Учитывая формулы (9.1.1—9.1.5), можно записать задачу оптимизации СЕВ
( )
( )
( )
min minC C p C p C p
i i
i
n
j j
j
n
r r
r
n
=
∑
+
∑
+
∑
= = =
1 1 1
, (9.1.6)
( )
p p p p p
i i k j r i доп
( )
, , ,≥ ∀ ∈ i [1,n]
, (9.1.7)
( )
p p p p
j j k r j доп
( )
, ,≥ ∀ ∈ j [1,n]
, (9.1.8)
( )
p p
p
r r k r доп
( )
,≥ ∀ ∈ r [1,l]
, (9.1.9)
где
( )
p p p p
i i k j r
( )
, ,
— зависимости i-й вероятности выполнения задачи i-м приемным пунк-
том от вероятностей групп r, j, i. Зависимости
( )
C C
p
x x x
=
могут быть заданы аналитически,
таблицей, графиком, отдельными точками (реализациями) и комбинированным образом. В лю-
бом случае целесообразно привести их в аналитический вид, пользуясь интерполяционными по-
линомами, либо линиями среднеквадратической регрессии стоимости на соответствующую ве-
роятность, полученными из реализаций известных систем подобного класса. Решив задачу, все-
гда можно определить дискретные оптимальные (квазиоптимальные) значения, соответствую-
щие известным образцам. При дискретном задании зависимости
( )
C C
p
x x x
=
пригоден и метод
поиска дискретного оптимума по сформулированным критериям качества, однако ввиду боль-
шого числа параметров и числа реализаций машинное время может стать недопустимо большим.
Поэтому определение
(
)
C C p
x x x
=
рационально для использования как в задаче, так и для про-
гнозов развития техники.
Заметив, что стоимости СЕВ являются функцией от всех факторов, учтенных в формуле
(9.1.6), запишем экономический показатель оптимизации СЕВ в виде
C C C C
rq
qr
l
jp
pj
m
iu
ui
n
=
∑∑
+
∑∑
+
∑∑
== == ==11 11 11
1 2 3
α α α
, (9.1.10)
где
n l
1
=
,
n m
2
=
,
n n
3
=
— соответственно число эталонов, передающих станций и при-
емных пунктов,
α α α α
1 11 12 13
= + +
,
α α α α
2 21 22 23
= + +
,
α α α
3 31 32
= +
,
α
pu
— число учитываемых факторов на p-м иерархическом уровне,
u = 1
— индекс группы факторов, относящихся к восстановлению синхронизации шкалы
времени,
u = 2
— индекс группы факторов, относящихся к хранению шкалы времени,
u = 3
— индекс группы факторов, относящихся к передаче информации о шкале времени.
Определим структуру критериев качества СЕВ — вероятностей синхронизации приемных
пунктов
p
i
. В общем виде она имеет следующую структуру
( )
p p p p p p
i xpi ik
k
xpi j il
l
=
∏
+ −
∏
= =1
2
1
32 31
1
α α
, (9.1.11)
p
ik
— вероятность безотказной работы хранителя времени,
p
il
— вероятности, относящиеся к первой группе факторов 3-го иерархического уровня,
p
хр i
— вероятность хранения шкалы времени i-го приемного пункта в допустимых преде-
лах.
149
Вероятность передачи и привязки шкалы 3-го иерархического уровня от хотя бы одной пе-
редающей станции определяется следующим образом.
p p p
j j ik
kj
n
2
11
1 1
312
= − −
∏
∏
==
α
, (9.1.12)
где
p
j
— вероятность передачи шкалы по j-й передающей станции. В свою очередь вероят-
ность передачи шкалы
ПП
i
по j-й передающей станции определяется формулой, аналогичной
(9.1.10)
( )
p p p p p p
j х jk
k
х j jl
l
=
∏
+ −
∏
= =
р р j j
1
1
1
22 21
1
α α
, (9.1.13)
где
p
jk
— вероятность, относящаяся к соответствующей группе факторов
α
22
.
Отметим отдельно, что вероятности
p
jk
, относящиеся к
α
22
, обозначают вероятности, свя-
занные, кроме того, с передающей частью аппаратуры j-й передающей станции: вероятность
безотказной работы, живучесть, вероятность наличия допустимого поля в точке i-го приема ра-
диоволн и т. п. Вероятность передачи хотя бы одной шкалы из
n
1
эталонов можно определить
из формулы, аналогичной (9.1.11)
p p p
j r ju
ur
n
1 1
11
1 1
211
= − −
∏
∏
==
α
, (9.1.14)
где
p
r1
— вероятность передачи шкалы времени r-го эталона,
p
ju
— вероятность привязки шкалы времени передающей станции
ПС
j
группы
α
21
. Веро-
ятность
p
r1
определяется аналогично (9.1.12)
( )
p p p p p p
r х rk
k
х эr rl
l
1
1
1
12 11
1=
∏
+ −
∏
= =
р р r r
α α
, (9.1.15)
где
p
эr
— вероятность передачи хотя бы одной шкалы времени из
m n n≤ +
1 2
от эталонов и
передающих пунктов.
При этом
p
p p
эr j jk
kj
m
= − −
∏
∏
==
1 1
11
11
α
, (9.1.16)
где
p
j
— вероятность, определяемая из формулы (9.1.12),
m — число принятых шкал.
9.1.3. Решение задачи оптимизации системы
Задача (9.1.6—9.1.9), где (9.1.8) имеет более конкретный вид (9.1.10—9.1.15), соответст-
вующий принятой модели СЕВ, представляет собой задачу сепарабельного программирования.
Задача имеет следующие особенности: 1) на момент составления общей программы зависимости
( )
C C p
x x x
=
произвольны и, вообще говоря, неизвестны; 2)
( )
C C p
x x x
=
могут задаваться ста-
тистическими рядами, которые меняются во времени от серии к серии, т. е. претерпевают обыч-
ное эволюционное развитие, определяемое совершенствованием технологии производства, но-
выми материалами и новыми принципами и способами работы. Ввиду этого предлагается анали-
тически-итерационный метод решения задачи (разделы 3, 4), который представляет собой ори-
гинальный подход, позволяющий получить программу оптимизации до получения данных о за-
висимости
( )
C C p
x x x
=
и получить решение для произвольных
( )
C C p
x x x
=
, удовлетворяющих
либо условиям выпуклости, либо другим, менее ограничительным условиям. Задача решается
методом вырожденного динамического программирования для линеаризованного критерия ка-
чества (9.1.6), или (9.1.10). Полученное аналитическое решение используется как итерационное
для заданных произвольных функций
( )
C C p
x x x
=
.
Следует отметить, что структура формул (9.1.11, 9.1.12) идентична структурам формул
(9.1.13, 9.1.14). Это создает определенные удобства для составления общей программы оптими-
зации СЕВ. Действительно, одну из типовых частей программы можно сформулировать в виде
( ) ( )
min minC C p C C p p C C p
j r r
r
n
j r r r
r
n
jэ r r
r
n
1
1
1 0 1 0 0
1
1 1 0 1
1
1 1 1
=
∑
= +
′
−
∑
= +
′
∑
= = =
, (9.1.17)
150
при
( )
p p p
j r
r
n
jдоп
= − −
∏
≥
=
1 1
1
1
1
1
.
Будем преследовать цель создания универсальной подпрограммы оптимизации, способной
определять оптимальное решение для произвольных функций
( )
C p
r r1 1
, однако удовлетворяю-
щих некоторым ограничениям на класс допустимых функций. Такой подход позволит получить
программу оптимизации, даже не имея конкретных зависимостей
( )
C p
r r1 1
. Для линейных зави-
симостей
( )
C p
r r1 1
или близких к ним, какие нередко получаются при обработке статистического
материала любым из методов интерполяции и сглаживания по МНК и т. п., задача решается сра-
зу и точно в общем аналитическом виде, имеющем существенные преимущества перед число-
вым решением.
Статистическую либо детерминированную зависимость
( )
C p
r r1 1
нетрудно преобразовать в
функции
( )
C p
r r1 1
от вероятности
p p
r r1 1
1= −
противоположных событий.
Тогда задачу можно преобразовать следующим образом
( )
minC C p C C p
j r
r
r
n
jэ r
r
r
n
1
1
1
1
1 1 0
1
1
1 1
=
∑
= +
′
∑
= =
(9.1.18)
при
p p
r
r
n
1
1
1
1
=
∏
≤
доп
, (9.1.19)
где
p
1 доп
— допустимое значение вероятности.
Для выпуклых функций, либо функций, удовлетворяющих специальным условиям решение
существует и оно единственное. Итеративный процесс установления стационарной точки закан-
чивается тем быстрее, чем ближе форма кривых
C
r
к линейным функциям.
Разлагая
( )
C p
r
r1
в ряд Тейлора и ограничиваясь первым порядком, задачу (9.1.18, 9.1.19)
представим в виде
{ }
min
min
∆C C C p
j
p
jэ r
r
r
n
r
1 1 1 0
1
1
= +
′
∑
=
(9.1.20)
при
p p
r
r
n
1
1
1
1
=
∏
≤
доп
, (9.1.21)
где
( )
C C C p
э r r
r
r
n
1 1 0 1 0
1 0
1
1
= +
′
∑
=
,
∆C C C
j j
jэ
1 1
1
= −
.
Задача (9.1.20, 9.1.21) имеет решение
p
p C
C
C
C
p C
C
r opt
r
r
r
n
n
r
j min
r
r
n
r
r
1
1
1
1
1
1 0
1
1 0
1
1
1 0
1 0
1
1
1
=
′
∏
′
=
′
=
′
′
=
∂
∂
∆
n
1
, (9.1.22)
где
∆C n p C n p C
j min r
r
r
n
n
r
n
r
1 1 1
1 0
1
1
1
1
1
1 0
1
1
1
=
′
∏
=
′
=
∂
∂
. (9.1.23)
Отсюда
′
=
′
∏
=
C C
r r
r
n
n
1 0 1 0
1
1
1
1
.
p
C
n C
r
j
r
n
1
1
1
1 0
1
1
∂
= −
′
∆
. (9.1.24)
Локальный оптимум группы
α
23
можно определить вторым шагом