Алешин Г.В., Богданов Ю.А. Эффективность сложных радио-технических систем

Подождите немного. Документ загружается.

121

Как и всякий пространственный фильтр, одномерная система имеет соответствующую про-

странственно-частотную характеристику

( ) ( )

S g x S

g x

ω ω

= < >= −| ( ) |



, (7.1.21)

где символ

< >| |

обозначает преобразование по Фурье по переменной x,

( )



xϕ

— пространственно-частотная характеристика весовой, или функции связи

ϕ( )x

пространственный спектр на выходе системы можно определить:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

    

S S S S S

F x f x g x f x x

ω ω ω ω ω

= = −1

Даже качественное рассмотрение

( )

g x

для случая, например, когда

( )

xϕ

— гауссова

кривая, показывает характер

( )

g x

как специфического фильтра высших пространственных

частот рис. 7.1.6. Принцип подчеркивания, либо полного выделения контура (границы «тень-

свет») станет понятным, если учесть тот факт, что в образовании резких перепадов яркости (кон-

туров) существенную роль играют высшие гармоники. Назначение фильтра для подчеркивания

контуров — относительное ослабление самой малоинформативной, с точки зрения оценки по-

ложения фронтов сигнала, однако, энергоемкой части спектра изображения — низших частот и

постоянной составляющей, либо, наоборот, относительное «поднятие», усиление высших частот

рис. 7.1.6. Для импульсной характеристики

ϕ( )x

колокольного типа производится поднятие не

для всех высших частот, а лишь для основной части, исключающей самые высокие частоты.

Этим обусловлен более плавный переход выходного сигнала в точке разрыва.

Все указанные выше особенности системы при

( )

f x C C x x( ) = + −

1 2 0

в силу ее линейности

верны для произвольного изображения

f x( )

, причем, разумеется, большим

и k соответству-

ет большая степень контрастирования (7.1.15), т. е. лучшее подчеркивание (выделение) конту-

ров. Иными словами, чем больший перепад интенсивностей сигнала в створе весовой функции и

чем больше сама весовая функция, тем больше эффект контрастирования.

Рассмотрение одномерной системы для контрастирования контуров изображения приводит к

следующим выводам, справедливым, впрочем, и для многомерных вариантов:

( )ω

Рис. 7.1.6

ВУ

ДУ

F(t) f(t)

Рис. 7.1.7

122

— подчеркивание (выделение) контура может производиться за счет воздействия лишь на

амплитудно-частотный спектр изображения (сигнала) при линейной фазочастотной характери-

стике системы;

— весовая функция связи для улучшения качества контрастирования контуров должна удов-

летворять условиям одноконтурности, четности и ограниченности (7.1.17). Условие однокон-

турности изображения определяется требованием сохранения профиля «светлоты» границы

«тень-свет». Условие четности следует из того, что система должна одинаково хорошо контра-

стировать произвольное изображение, в том числе скачки «светлоты» разного знака. Из условия

малых искажений выходного изображения (7.1.17) следует, что эффективная ширина весовой

функции (7.1.11) (толщина контурных линий) должна быть близка к разрешаемому элементу

∆x

оконечного устройства и удовлетворять требованиям

∆ ∆

∆ω

x x

x max

< ≤

, (7.1.22)

где

∆ω

x max

— максимальная пространственная частота (ширина) пространственного спек-

тра изображения

f x( )

;

— эффект подчеркивания (выделения) контура растет с ростом крутизны и величины пере-

пада интенсивности границы «тень-свет» в створе весовой функции связи, а также с ростом k-

интегрального параметра веса тормозных связей в системе для

ϕ( )x

первого типа и с ростом

уровня боковых лепестков для

ϕ( )x

второго типа;

— эффект контрастирования увеличивается с уменьшением ширины спектра входного сиг-

нала

f x( )

, если он настолько широк, что

∆

∆ω

x max

≤

. Это объясняется тем, что при невы-

полнении условия (7.1.22), т. е. при достаточно большой ширине спектра эффективная ширина

весовой функции связи может оказаться шире, чем какой-либо выброс входного воздействия.

Поэтому контрастирование станет меньше, т. к. меньше станет сумма боковых входных воздей-

ствий, взвешенная весовой функцией;

— подчеркивание (выделение) контуров сильнее выражено: а) для изображений с большей

контрастностью, б) для деталей изображения, больших эффективной ширины весовой функции

ϕ( )x

;

— скачок «светлоты» (интенсивности) на границе «тень-свет» при контрастировании конту-

ров не меняется. Это следует из (7.1.13):

sup ( ) inf ( )F x F x C− =

;

— для весовой функции

ϕ( )x

первого типа средняя яркость областей, прилежащих к конту-

ру изображения

f x( )

, убывает в

1− k

раз;

— полное выделение контуров происходит при

k = 1

лишь для весовой функции

ϕ( )x

пер-

вого типа;

— толщина контурных линий растет с ростом

∆x

и k для

ϕ( )x

первого типа при том же

уровне черного оконечного прибора (наблюдателя) и той же чувствительности его к соответст-

вующим градациям яркости, а также с ростом ширины и уровня боковых лепестков для

ϕ( )x

второго типа.

Приведенный анализ и уточнения в механизме работы систем контрастирования контуров

изображения позволят прийти к более широким обобщениям, касающимся физического смысла

оптимальности сигнала.

7.2. Общие признаки оконтуривающих систем, объединяемых в один класс

Системы, перечисленные во введении к разделу, несмотря на различие в природе параметра,

назначении, принципах действия, структурах и в эффективности, имеют общий признак, кото-

рый позволяет выделить их в один класс систем, использующих оконтуривающий эффект. Во

всех указанных системах производится относительное поднятие, хотя бы частичное, высших

частот спектра сигнала.

Задачей подобных устройств является обычно не согласованная фильтрация — сглаживание

(интегрирование) мерцаний и других флуктуационных и импульсных помех, что достигается

применением фильтра, амплитудно-частотная характеристика которого падает к краям, причем,

123

форма ее соответствует входному сигналу, а обработка контрастирующего типа (квазидиффе-

ренцирование), которая производится фильтром с амплитудно-частотной характеристикой, воз-

растающей к краям. При этом в условиях больших интенсивностей сигнала и малых интенсив-

ностей помех, мерцаний и пр. согласованная фильтрация искажает сигнал, сглаживает контраст-

ные и устраняет полутоновые неконтрастные контуры. А наличие блестящих точек (большого и

среднего контраста) приводит к нелинейному эффекту в аппаратуре — ограничению либо «сни-

зу» (негатив), либо «сверху», т. к. изображение не может быть «чернее» уровня черного и «бе-

лее» уровня белого, т. е. порога насыщения.

В противоположность этому описываемые устройства увеличивают контрастность контуров

(фронтов), регулируют толщину контурных линий, среднюю контрастность сигнала путем соот-

ветствующего выбора эффективной ширины и формы амплитудно-частотной характеристики

фильтра при весовой функции

ϕ( )x

первого типа и начального значения этой характеристики на

центральной (нулевой) частоте. Причем, для согласованной фильтрации форма амплитудно-

частотной характеристики должна быть сопряжена с пространственным спектром сигнала и,

следовательно, каждому сигналу должен соответствовать свой фильтр. Для описываемой обра-

ботки, для получения контуров сигнала с заданными толщиной, контрастностью контуров и

средней контрастностью сигнала достаточно иметь один фильтр с соответствующей шириной,

формой и начальным значением амплитудно-частотной характеристики.

Для иллюстрации покажем, что систему оптимальной линейной фильтрации стационарных

случайных процессов по критерию минимума среднеквадратической ошибки также можно отне-

сти к классу оконтуривающих. Пусть имеем смесь стационарного случайного процесса

Λ( )t

имеющего спектральную плотность

S( )ω

, с гауссовым стационарным шумом, имеющим спек-

тральную плотность

N( )ω

. Предположим для простоты, что шум почти белый, т. е. с временем

корреляции, существенно меньшим времени корреляции сигнала. Тогда частотная характери-

стика

K( )ω

оптимального линейного фильтра по критерию минимума среднеквадратической

ошибки определится [2,11]

S N

( )

( ) ( )

ω ω

. (7.2.1)

Для частот, где

N S( ) ( )ω ω<<

( )

≅ −1

, (7.2.2)

а для частот, где

S N( ) ( )ω ω<<

( )

≅ −













. (7.2.3)

Таким образом, для качественных рассуждений оптимальную частотную характеристику

K( )ω

можно аппроксимировать выражением

( )

ω ω

−

≈











1 для N( ) << S( )

для N( ) S( )

S( )

N( )

для N( ) >>S( )

. (7.2.4)

Из выражения (7.2.4) и рис. 7.1.6, где

ϕ ϕ

2 1

0 0( ) ( )>

, видно, что для частот, где

N S( ) ( )ω ω<<

, фильтр является по существу прямоугольным, близким к 1, для малых уровней

сигнала, когда

N S( ) ( )ω ω>

, фильтр является достаточно строго согласованным. Обычно спектр

диссипативного процесса спадает к краям. Поэтому, как и в любой контрастирующей системе,

оптимальный фильтр относительно поднимает высшие частоты процесса. Учитывая результаты

предыдущего подраздела, нетрудно понять физический смысл частотной характеристики опти-

мального фильтра. Оптимальный фильтр имеет коэффициент передачи почти 1, т. е. почти не

ослабляет сигнал, если он существенно сильнее шума на центральных частотах. Он относитель-

но усиливает более высокие частоты спектра процесса, поскольку фильтр должен не просто оп-

тимально выделить энергию сигнала на фоне шума, но и лучше сохранить его форму на выходе

по сравнению с входной. А чтобы форма сигнала была ближе ко входной, необходимо не только

принять основную энергию сигнала, но и поднять его высокие частоты, которые принимают су-

124

щественное участие в формировании фронтов сигнала. Согласованность фильтра при соотноше-

нии

N S( ) ( )ω ω<<

способствует также лучшей фильтрации высших слабых частот спектра про-

цесса и подавлению более сильных на этом участке спектра спектральных частот шума. Поэтому

такой фильтр лучше других достигает минимума среднеквадратической ошибки воспроизведе-

ния сигнала на фоне помех.

Несколько иначе дело обстоит с оптимальной частотной характеристикой фильтра, согласо-

ванного с оптимальным сигналом по критерию точности измерений параметров сигнала. Требо-

вание согласованности частотной характеристики фильтра спектру сигнала обусловлено требо-

ванием оптимальности фильтра по критерию отношения сигнал / шум. Оптимальность же фор-

мы спектра сигнала и согласованной с ним частотной характеристики фильтра обусловлены тре-

буемой оптимальной формой функции автокорреляции, т. е. наилучшей точностью оценки. Ра-

зумеется, если удовлетворены другие условия измерений, такие как отсутствие поиска, разреше-

ние многозначности, применение лишь для оценивания параметра и т. п. Нас интересует опти-

мальная форма сигнала для оценки параметров, включающих запаздывание, поскольку запазды-

вание связано с формой сигнала так же, как и время. Оптимальность формы сигнала, с заданной

шириной спектра при оценке запаздывания определяется крутизной фронтов, а, значит, эффек-

тивной шириной спектра, которая имеет наибольшее значение, если сигнал и согласованный с

ним фильтр состоит из двух гармоник, частоты которых разнесены на ширину спектра сигнала.

Оптимальность сигнала такого спектра для оценки запаздывания физически объясняется тем,

что сигнал при этом должен иметь самые крутые фронты (контуры) при заданной энергии сиг-

нала. Крутизна контуров, подчеркнутых согласованной фильтрацией, поднятием самых высоких

допустимых частот, в данном случае покупается ценой многоконтурности (много ореолов) сиг-

нала, которая ставит проблему многозначности измерений. Этот пример является предельным,

вырожденным случаем оконтуривания сигнала той же формы, у которого такой же спектр, как и

частотная характеристика фильтра. Переосмысливая сказанное, можно утверждать, что и все

оконтуривающие системы, которые, разумеется, призваны поднимать высокие частоты, по су-

ществу являются системами, у которых уточняются оценки положения фронтов (контуров). В

случае оценивания запаздывания и частоты сигнала форма и спектр оптимального (эрмитового)

сигнала имеет такой же характер, однако амплитуда осцилляций возрастает к краям. Таким об-

разом, спектр такого совмещенного сигнала несколько возрастает к краям, увеличивая крутизну

контуров, т. е. ширину автокорреляционной функции в одном лепестке, чем и доказывается при-

надлежность таких согласованных фильтров к вырожденным оконтуривающим. Амплитуда ос-

цилляций сигнала также возрастает к краям, что в свою очередь оконтуривает спектр сигнала,

что необходимо для оптимальности оценивания частоты сигнала.

Рассмотрим байесов согласованный фильтр, работающий как в бедных аддитивных шумах,

так и в «рассеянном фоне» отраженных помех, энергетический спектр которых

( )ω

пропор-

ционален энергетическому спектру

S( )ω

зондирующего сигнала, т. е.

S S

( ) ( )ω γ ω=

при

большом времени наблюдения по сравнению с временем корреляции шума. В этом случае пере-

даточная функция

K( )ω

согласованного фильтра, который максимизирует отношение сигнал /

шум на выходе, может быть представлена [11, 2]

K S

N S

( )

γ ω

. (7.2.5)

Как и в случае (7.2.4), передаточную функцию

K( )ω

(7.2.5) можно аппроксимировать на

трех основных участках следующим выражением

S N

( )

( ) ~

( )

ω γ ω











−

S( )

. (7.2.6)

Смысл оптимальности такого фильтра заключается в том, чтобы для максимизации отноше-

ния сигнал / шум подавить, за счет энергии сигнала, самые существенные, энергоемкие низко-

частотные составляющие энергетического спектра модуляции отраженных помех, т. е. сохра-

нить информативные высокочастотные составляющие спектра принимаемого сигнала. По сво-

ему действию на сигнал такой фильтр будет также оконтуривающим. Если предположить отсут-

125

ствие аддитивного белого шума с постоянной спектральной плотностью, то оптимальный

фильтр для случая (7.2.5) будет иметь обратную частотную характеристику

( )

. (7.2.7)

Такой фильтр был впервые рассмотрен Урковицем [12]. Этот фильтр обеляет помеху, спек-

тральная плотность которой пропорциональна энергетическому спектру сигнала. Если бы не

было белых шумов и если бы можно было реализовать такой фильтр с бесконечной полосой

пропускания, то на выходе фильтра можно было бы получить сигнал в виде δ-функции и беско-

нечное отношение сигнал / эхо-шум. Это другой вырожденный случай оконтуривающей систе-

мы, согласованной с сигналом. По существу, это другая крайность случая двухчастотного сигна-

ла: в данном случае, благодаря бесконечной полосе пропускания за пределами спектра помехи,

формируется лишь один крутой фронт, а в случае оптимального двухчастотного сигнала ввиду

бесконечной длительности сигнала Т число контуров его можно считать бесконечным. В про-

межуточном случае сигнала конечной длительности число контуров определяется произведени-

ем ширины спектра

∆ω

сигнала на его длительность. Поэтому, если оконтуривание является

целью фильтрации, то для четкости восприятия контура его стараются сделать однозначным

∆ω

T ≅

. Эффект подчеркивания контуров помимо использования в указанных системах можно

промоделировать как в ЭВМ, так и в произвольной системе, построенной по типу рис.7.1.1,

7.1.7, производящей обработку в соответствии с соотношениями 7.1.1, 7.1.2. Причем для систе-

мы безразлично, какой физической величиной будет координата Х или размерность изображе-

ния, для которого растет кратность интеграла, весовой функции и т. д. Нетрудно построить не-

прерывную систему, если проанализировать характер амплитудно-частотной характеристики

( ) ( )

S S

g x x

ω ω

= −1

Из условий (7.1.12, 7.1.17) следует, что

( )

является функцией, возрастающей от значе-

ния

( )

1 0−S

до 1 по любому, пусть даже немонотонному, закону. Одна из простых в исполне-

нии моделей — однокоординатная временная модель. Если на вход такой системы подать сигнал

f(t) со спектром

( )

S f t

ω =< >| ( ) |

, где ω — круговая частота, t — время, а

< >| ( ) |f t

— символ пре-

образования Фурье, то на выходе ее можно получить сигнал с подчеркнутыми (выделенными)

фронтами

( )

[ ]

( ) ( )

S S S

f t f t t t dt

F f

ω ω ω ϕ

= − =< − −

∫

−∞

∞

1 1 1

( ) ( ) | ( ) |

. (7.2.8)

Исходя из соотношений (7.2.8), можно построить фильтр, реализующий подчеркивание кон-

туров рис. 7.1.7.

Здесь ДУ — делительное устройство в требуемых отношениях,

Ф — фильтр с импульсной характеристикой

ϕ( )t

ВУ — вычитающее устройство.

Сравнивая рис. 7.1.7, или передаточную функцию

K j( )ω

системы оконтуривания, легко

увидеть, что

K j( )ω

во многом совпадает с фильтром Урковица. Этот факт не является случай-

ным. Ведь, по существу рассматриваемого явления дифференцирование и выделение фронтов

сигнала есть функция системы оконтуривания сигнала. Это станет очевидным далее при рас-

смотрении апертурной коррекции в телевидении. Это ясно также из того, что если представить

себе функцию

K( )ω

возрастающей, то в окрестности небольших расстроек

ω ω−

передаточ-

ную функцию

K( )ω

можно аппроксимировать выражением

K jK( )ω ω ω≅ −

0 0

, т. е. передаточ-

ной функцией дифференцирующего звена. К этому же выводу приводит рассмотрение переда-

точной функции фильтра Урковица [12].

Рассмотрим апертурную коррекцию. Апертурная коррекция, т. е. коррекция искажений типа

размытости границ, вносимых в телевизионное изображение электронно-лучевой трубкой за

счет конечной апертуры луча, является процессом во многом сходным по своему характеру с

процессом выделения (подчеркивания) контуров. При этом целесообразно более четко рассмот-

реть задачи и механизм действия каждого из них. Различие наблюдается, прежде всего, в зада-

чах, стоящих перед устройством для апертурной коррекции и устройством для выделения (под-

черкивания) контуров. Задача апертурной коррекции состоит в том, чтобы за счет относительно-

126

го поднятия высших частот изображения скорректировать «завал» его спектра, обусловленный

использованием развертки изображения с конечными размерами развертывающего элемента. То

есть, имеется возможность увеличить резкость изображения — величину, определяемую отно-

шением времени нарастания переходной характеристики реальной телевизионной системы к

времени нарастания переходной характеристики идеальной системы с прямоугольной ампли-

тудно-частотной и линейной фазочастотной характеристиками. Задача же выделения (подчерки-

вания) контуров изображения состоит в том, чтобы увеличить контраст границы контура «свет-

тень» при меньшем, либо нулевом, при выделении контура, контрасте областей, прилегающих к

контуру. Первая задача решается либо путем расширения полосы частот всего телевизионного

тракта [40], либо применением способов, требующих переделок в аппаратно-студийном ком-

плексе [40]: схемы подъема высоких частот при допустимой нелинейности фазочастотной ха-

рактеристики, фазокомпенсирующие фильтры с равномерно уменьшающимся затуханием, схе-

мы дифференциальной апертурной коррекции и разностной апертурной коррекции на линиях

задержки. Вторую задачу можно решить применением системы, реализующей обработку вида

(7.1.1), либо обработку вида (7.1.2) для непрерывной системы. Решение второй задачи во мно-

гом совпадает с решением первой. Это следует из того, что как в первом, так и во втором случае

необходимо относительно «поднимать» высокие частоты. Различие начинается в самих задачах,

решаемых системами, и в принципах их действия. Апертурная коррекция присуща только сис-

темам, принцип действия которых основан на разложении телевизионного изображения, лоци-

руемого радиорельефа и т. п. на элементы разложения, последовательно коммутируемые во вре-

мени. Выделение (подчеркивание) контуров изображения, радиорельефа присуще всем непре-

рывным и дискретным системам параллельного действия, в которых осуществляется одновре-

менная обработка всех разложенных и неразложенных элементов (точек изображения), и систе-

мам с последовательным коммутированием элементов изображения. Выделение, или подчерки-

вание, контуров изображения является наиболее общим процессом, охватывающим как состав-

ную часть аппаратурную коррекцию по горизонтали и по вертикали, т. е. по строкам и по кад-

рам. Действительно, из (7.1.2) следует, что в частном случае

ϕ δ δ δ( ) ( ) ( ) ( )t a t a t a t= +

′

′′

0 1 2



, (7.2.9)

при правильно выбранных коэффициентах

и т. д., обработка соответствует диф-

ференциальной апертурной коррекции [41].

F t a f t a f t a f t( ) ( ) ( ) ( )= +

′

′′

0 1 2



, (7.2.10)

или

[ ]

< >= + + +| ( ) | ( ) ( )

F t S a j a jω ω ω1

1 2



т. е.

( )

S a j a j

ω ω ω( ) ( )= − + +

1 2



Выделение, или подчеркивание контуров изображения, как и апертурная коррекция, — про-

цесс, не сопровождающийся нелинейными явлениями, т. е. это процесс линейной фильтрации с

линейной фазочастотной характеристикой. При малых значениях k и малой эффективной шири-

не

ϕ( )t

имеется полное сходство процессов. Большие возможности системы для выделения

контуров позволяют применять их независимо от физической природы координат (t или X) для

апертурной коррекции. В частности, для апертурной коррекции можно использовать на входе

передающей телевизионной камеры оптическое устройство, контрастирующее контуры переда-

ваемого изображения, т. е. предыскажающее устройство указанного типа.

Таким образом, можно убедиться, что системы, где применяется относительное поднятие

высших частот спектра, или относительное подавление низших частот спектра, являются окон-

туривающими. Интересно отметить, что основную информацию о сложном изображении несут

контуры различного порядка. Это обстоятельство может быть использовано в системах собст-

венно распознавания образов, формирующих автокорреляционную функцию оконтуренного

изображения (сигнала).

7.3. Уточнение механизма обработки информации в системах с краевым контрастом

В системах с краевым контрастом, а также у человека-оператора, обслуживающего полуав-

томатические РТС, могут иметь место явления искажения выходных сигналов, присущие систе-

мам с оконтуриванием изображения. Рассмотрим эти явления.

В настоящее время твердо установлено [37, 40, 41, 44, 16], что активная обработка зритель-

ной информации имеет место уже на периферии зрительного анализатора человека-оператора, т.

е. в сетчатке глаза. Мы интересуемся при этом лишь механизмом оконтуривания изображений в

127

работе человека-оператора и в работе технических систем радиолокации, связи, телевидения и т.

д. Анализ математических моделей, описывающих явление оконтуривания изображений приво-

дит к выводу, что и некоторые зрительные иллюзии у человека-оператора могут быть обязаны

своим происхождением не работе высших отделов зрительного аппарата человека, а явлениям,

имеющим место уже в сетчатке глаза. Если иметь в виду, что выделение контуров изображений

является первичным актом в процессе опознавания (классификации) образов внешнего мира, то

очевидна практическая и теоретическая значимость понимания причин возникновения зритель-

ных иллюзий как источника систематических ошибок в процессе идентификации.

Механизм контрастирования контуров изображений описывается для линейного поля рецеп-

торов выражением (7.1.1, 7.1.2)

( ) ( )

F x f x f x x x dx( ) ( )= − −

∫

−∞

∞

1 1 1

, (7.3.1)

где

F x( )

— выходной, а

f x( )

— входной сигналы, являющиеся функциями координат x,

ϕ( )x

— весовая функция тормозных связей между нейронами сетчатки. Пусть входной сиг-

нал (рис. 7.3.1) описывается выражением

( )

f x

C x x

C f x x x x x x

C x x

1 0

1 01 0 1

2 01

( ) ( )=

′

− < <











, (7.3.2)

где

′

−

=f x

C C

x x

const( )

2 1

01 0

, а функция

ϕ( )x

имеет вид

[ ]

( )

x x x

m m

−













∈ −











∆

∆ ∆

. (7.3.3)

Здесь

2∆x

— ширина весовой функции

( )x

«по нулям».

Алгоритм обработки входного изображения (7.3.2) с учетом выражений (7.1.2) и (7.1.3) дает

возможность записать выходной сигнал (рис.7.3.1, 7.3.2) в виде

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]

F x

F k f x x x x x x

F x k x x x x x x

F k f x x x x x x

F x k x x x x x x

m m

m m m

m m

m m m

( )

( ) ( ) ,

, , ,

( ) ( ) ,

, , ,

= − ∈ − +

∈ − +

= − ∈ + −

∈ − +











1 1 0 01

2 1 01 01

3 1 0 01

4 1 0 0

∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆ ∆

, (7.3.4)

где параметр контрастирования —

k x dx k

dx k x

∫

= −













∫

−∞

∞

−

ϕ( )

∆

. (7.3.5)

Выражение для

в (7.3.4) получены на основании выражений (7.1.2), (7.3.2), (7.3.3)

( )

F x f x C k

x x

dx k f x

x x

1 2 1

1 1

1 1( ) ( ) ( ) ( )= − −

−













∫

= −

−

∆

(7.3.6)

для

[ ]

x x x

∈ + ∞

∆ ,

( )

[ ]

( )

F x f x C k

x x

dx C f x x

x x

k f x f x k

x x x

x x

2 1 2 1

1 2 01

1 1

4 2

( ) ( )

( ) ( ) ( )

= − −

−













∫

− +

′

− −

−













∫

= − +

′

−













−

∆ ∆

∆

, (7.3.7)

для

[ ]

x x x x x

m m

∈ − +

01 01

∆ ∆,

( )

[ ]

( )

F x f x C f x x k

x x

dx k f x

x x

3 1 2 1 01 1

1 1

1 1( ) ( ) ( ) ( )= − −

′

− −

−













∫

= −

−

∆

, (7.3.8)

для

[ ]

x x x x x

m m

∈ + −

0 0

∆ ∆,

128

( )

[ ]

( )

( ) ( )

F x f x C k

x x

dx C f x x k

x x

k f x f x k

x x x x

x x

4 1 1 1

1 1 0 1

1 1

4 2

( ) ( )

( ) ( ) (

)

= − −

−













∫

− +

′

− −

−













∫

= − −

′

−













− −

∆ ∆

∆

, (7.3.9)

для

[ ]

x x x x x

m m

∈ − +

0 0

∆ ∆,

Рассмотрение выражений для отклика позволяет уточнить механизм оконтуривания и меха-

низм образования некоторых зрительных иллюзий человека-оператора. Из выражений (7.3.4—

7.3.9) следует, что прирост, или скачок, светлоты на границе

со стороны «свет»

( )

∆F x

01+

равен скачку (убыванию) светлоты на границе со стороны «тень»

( )

∆F x

01−

, т. е.

( ) ( )

∆ ∆ ∆F x F x kf x

m01 01

+ −

= =

′

. (7.3.10)

При рассмотрении выражения (7.3.10) для величины прироста светлоты

( )

∆F x

01+

может

создаться впечатление, что при безграничном увеличении производных изображения

′

f x( )

некоторых точках величина

( )

∆F x

01+

также стремится к бесконечности. Однако это не так. Как

только протяженность по координате х входного скачка, фронта

f x( )

, при увеличении произ-

водной

′

f x( )

станет укладываться в «створе»

2∆x

весовой функции

ϕ( )x

, прирост светлоты

на границе

перестанет возрастать при дальнейшем увеличении производной

′

f x( )

. Этот

факт можно усмотреть из формулы (7.1.15) для модели входного сигнала типа функции включе-

ния, когда прирост светлоты

( )

∆F x

01+

со стороны «свет» пропорционален параметру контрасти-

рования k и величине входного скачка светлоты

( )

C C

2 1

−

( ) ( )

∆F x C C

01 2 1

= −

Условие пропорциональности прироста светлоты

( )

∆F x

01+

первой производной

′

f x( )

вход-

ного изображения можно записать следующим образом

∆

∆ω

∆x x

ко

x max

mр

= ≥

, (7.3.11)

где

∆ω

x max

— максимальная круговая частота пространственного спектра входного изо-

бражения

f x( )

. Поэтому в любом случае эффект контрастирования выражен сильнее (7.3.10)

для больших значений параметра контрастирования и прироста

2∆x f

′

входной светлоты в

пределах ширины

2∆x

весовой функции

ϕ( )x

. Из выражения (7.3.7) для

F x

( )

и по рис. 7.3.2

видно, что за счет прироста светлоты

( )

∆F x

01+

на границе

со стороны яркой части входного

изображения протяженность уровня «белого» для выходного изображения несколько больше,

чем у входного изображения. Определим приращение протяженности контрастированного изо-

бражения

F x

( )

на уровне белого по сравнению с входным белым полем (

x x≥

), исходя из

равенства

F x k C

2 2

1( ) ( )= −

. (7.3.12)

С учетом (7.3.6) и (7.3.7) условие (7.3.12) можно упростить

y k

∆

− +

−

+ =

, (7.3.13)

где

y x x

г гр р

= −

г р

— граница белого поля контрастированного изображения.

Интересующее нас решение уравнения (7.3.13) имеет вид

y x k k

г mр

( )= −

1∆

. (7.3.14)

129

Рис. 7.3.4

f(X)

(1-k)

F(X)

f(X)

F(X)

Yгр

Рис. 7.3.1

Рис. 7.3.2

Рис. 7.3.3

130

Рис. 7.3.5

Для наблюдения явления увеличения белого поля контрастирующей системой целесообраз-

но выбирать оптимальные значения

opt

из условия максимума

г р

(7.3.14).

В этом случае

opt

∆

, (7.3.15)

max

y x

г m

∆

а весовую функцию целесообразно моделировать в виде

ϕ( ) expx

= −













≅ −













∆

. (7.3.16)

Отсюда видно, что увеличение белого поля контрастированного изображения незначительно

и в лучшем случае составляет всего 2,5 %

∆x

или 1 % от ширины

2∆x

весовой функции свя-

зи

ϕ( )x

. Аналогично можно показать, что увеличение белого поля на величину

г р

имеет место

также при сумеречном зрении, т. е. при положительных боковых связях. Следовательно, эффект

может быть заметен для глаза, если ширина

2∆x

весовой функции связи будет соизмерима с

раскрывом, по крайней мере, сотни рецепторов. Но поскольку при наблюдении, например, из-

вестной иллюзии квадрата (рис. 7.3.3) возникает впечатление, что белый квадрат больше черно-

го, то, по-видимому, ширина весовой функции сетчатки удовлетворяет такому условию. В поль-

зу большой ширины весовой функции связи говорят такие факты, как быстрые блуждания глаза

и регулирование зрачком средней яркости предъявляемых изображений. Это позволяет предпо-

ложить наличие у сетчатки осредняющих свойств на протяженных участках и по всему полю

рецепторов, т. е., наличие большой ширины весовой функции

ϕ( )x

. Осредняющие свойства

сетчатки в форме второго слагаемого (7.1.2) являются следствием наличия боковых латеральных

связей в нейронной сети и предназначены для повышения информативности, т. е. для оконтури-

вания (формула (7.1.2), рис. 7.1.2, 7.3.1) либо для фильтрации изображения от яркостных помех.

Только наличие весовой функции

ϕ( )x

, связанной с функцией информативности [40, 44] может

объяснить иллюзию Мюллера-Лейера рис. 7.3.4 для возбуждающих боковых связей, а также ил-

люзию квадрата рис. 7.3.3 и иллюзии класса рис. 7.3.5 для тормозных боковых связей. На рис.

7.3.5 косая штриховка прямой линии с наклоном налево создает иллюзию излома линии вверх у

начала штриховки. Иллюзию усиливает опорная параллельная линия, от которой ведется «от-

счет». Рассматривая заштрихованную линию, можно убедиться, что в области первой штрихо-

вочной линии из-за наклона ее влево средняя яркость ниже прямой линии и слева от точки пере-

сечения несколько больше, чем средняя яркость выше прямой. Ввиду наличия достаточно ши-

роких тормозных связей, а, следовательно, рассмотренного эффекта увеличения белого поля,

белое в среднем поле на выходе сетчатки снизу «надвигается» на прямую линию и создает иллю-

зию излома. Движение глаз при этом производится вдоль прямой. Чем больше наклон штрихо-

вой линии, тем сильнее иллюзорный «излом». Меняя наклон штриховых линий, можно создать

иллюзию округлости параллельных линий. Иллюзии данного класса (рис. 7.3.5 и другие), осно-

ваны на использовании пересечения линии наклонными штриховыми линиями. Подобное объ-

яснение рассмотренных иллюзий является достаточно простым и естественно следующим из

самой морфологии сетчатки.