Алешин Г.В., Богданов Ю.А. Эффективность сложных радио-технических систем

Подождите немного. Документ загружается.

111

C С С

э э э2 3 23

+ ≤

opt













где

A C

′

∏

A C

′

∏

4-й шаг:

min

K n C

эj

3 0

∏

′

∏

, (6.6.8)

C C

эj

∑

≤

n C

nj opt

эj

j nj

′

5-й шаг:

min

K n C

эk

4 0

∏

′

∏

, (6.6.9)

C C

эk

∑

≤

n C

nk opt

эk

k nk

′

6-й шаг: предполагая

n n

j k

min

A A

эj

эk

эjk

j k

























, (6.6.10)

C С С

эj эk эjk

+ ≤

C A

A A

эj opt

эjk

j j

+ +

где

A K n C

′

∏

3 0

A K n C

′

∏

4 0

7-й шаг:

min

K K

1 2

1 1

∏

, (6.6.11)

′

∑

≤

C X C

i i

э01 1

n C

1i opt

′

1 01

где

A K K n C

3 1 2 1 01

′

∏

8-й шаг:

( )

min

A A

C C

n A A

n C

3 4

8 4

−

− +

C С С

э э s1 23 1

+ ≤

opt

где

112

A A













9-й шаг:

( )

min

C C

n n A

n n C

эjk

n n

j j

2 4

4 4

− +

+ +

, (6.6.12)

C С С

эjk s s

+ ≤

1 2

opt

где

( )

n A A

3 4

−

10-й шаг:

( )

min

C y C

эп эп













′

, (6.6.13)

′

≤C X C X C

эп01 1 02 2

C y C C

эп

01 02

opt

′

′ ′

где

( )

A C y C

6 01

′

11-й шаг: приближенное решение получено методом Ньютона-Рафсона

( )

min

A A

C A

A A

эп

n n

6 7

6 8

5 8













−

+ +

−

, (6.6.14)

C C C

эп s

+ ≤

m C

opt

≅

−

= +

−

1= −( )

где

m n n

= + +

Получив значение

opt

, остальные оптимальные ассигнования на группы параметров оп-

ределяем в обратном порядке.

Например, учитывая предшествующие шаги, можно определить

opt

в явном виде:

( )

f n

C C y C

C C C

0 1

opt

′

∏

′

∏













′

∏

























−

, (6.6.15)

где

( )

f n n

n n

n K K n

n n

0 1

1 2 1

, =

+ +

113

Зная оптимальные ассигнования на группы параметров, по соответствующим формулам

(6.6.5—6.6.14) определяем «фазовые» параметры. Поскольку «фазовые» параметры являются

монотонными функциями от технических параметров, последние определяются как обратные

функции от «фазовых».

( )

y y X

i opt i opt i opt

. (6.6.16)

Если решение оказалось достаточно близким к первоначальному априорному вектору пара-

метров



, то, применяя его в качестве первого приближения в тех же формулах (итерация),

можно последовательно уточнять решение. Если какие - либо параметры не удовлетворяют ог-

раничениям по условию физической реализуемости, то они принимаются равными предельному

соответственно значению и фиксируются. При этом оптимизация линии связи происходит по

остальным параметрам.

Если решение выходит за пределы

∆X

i j( )

некоторых параметров, в которых линейная ап-

проксимация удовлетворительна, то для последующей итерации в качестве исходного шага вы-

бирают ближнее к оптимуму граничное значение параметра

X X

i j i j( ) ( )

± ∆

∆X

i j( )

определяется кривизной ограничений.

Например,

∆

i j

( )

( )[ ]

′′

, (6.6.17)

где

∆C

— допустимая ошибка аппроксимации кривой регрессии линейной функцией.

Если найденные оптимальные значения

, входящие в выражение для отношения сигнал /

шум, удовлетворяют условию (6.6.2), то все найденное решение удовлетворяет всем условиям

глобального экстремума. Если значения

не удовлетворяют условию (6.6.2), то его необхо-

димо подставить в целевую функцию (6.6.1). Оптимизацию системы по измененной целевой

функции следует производить аналогично, имея ввиду, что решение отыскивается на гиперпо-

верхности (6.6.1, 6.6.3). Глобальный минимум

будет несколько большим ввиду дополни-

тельных связей между параметрами.

Выводы.

Из приведенной постановки задачи легко увидеть, что имеется возможность сформулиро-

вать задачу параметрического синтеза лазерной линии передачи информации в целом в виде

задачи выпуклого программирования. В постановке задачи была использована вся информация

о структуре и принципе действия линии связи и в общем виде — информация о технико-

экономических показателях производства

( )

C X

i i

. Такая постановка задачи позволяет, пользуясь

методом динамического программирования, решить задачу в общем виде (в виде формул). Та-

кой подход позволяет проанализировать область оптимального решения и поведение в ней целе-

вой функции, а также позволяет увидеть при анализе решения целесообразные пути совершенст-

вования производства (за счет серийности, новых идей и т. д.).

Полученное решение позволяет сравнивать между собой по рассматриваемым показателям

качества оптимальные системы различной структуры, построенные на одинаковые ассигнова-

ния, а также определить целесообразность достижения любого значения показателей качества.

Решение задачи позволит при заданных показателях качества системы правильно планиро-

вать ассигнования на них. Пользуясь решением, несложно составить программу для автоматиче-

ского проектирования на ЭВМ оптимальных технических параметров линии связи. Полученные

при постановке задачи критерии

и q могут служить формулами для расчета характеристик

линий связи в первом приближении.

114

7. Оптимизация систем оконтуривания изображения

В данном разделе нам предстоит углубиться в тайны живой природы, которые она держит до

сих пор за семью замками. Занимаясь оптимизацией таких разных РТС и их подсистем и ощу-

щая творческие возможности человечества, не перестаем удивляться мудростью природы, кото-

рая создала самовоспроизводящиеся запрограммированные совершенные биомеханизмы в ми-

ниатюрном исполнении. В частности, нас интересует оптимальность построения глаза высших

организмов. Глаз обладает высокой чувствительностью, разрешающей способностью, мобиль-

ностью, способностью различать цвета и их оттенки в широком диапазоне длин волн, значи-

тельным числом градаций яркости, большой скоростью распознавания образов. Последнее

обычно относят к свойствам мозга. Однако в этом принимает активное участие и сама сетчатка.

Зная, что представляют собой оптимальные РТС, хочется сравнить их с совершенным творением

природы, чтобы поучиться у нее строить системы. Это направление науки называют «биони-

кой».

Из всех замечательных свойств глаза раскроем лишь один секрет, но из самых главных, свя-

занный с обработкой изображений в сетчатке. Оказывается, сетчатка производит обработку типа

согласованной фильтрации изображения только при сумеречном зрении, при слабой освещенно-

сти. А днем обработка изображений совершенно иная: выделение или подчеркивание контуров.

При этом одновременно дневная обработка изображений помогает сжать динамический диапа-

зон изображения, т. е. уменьшить его уровень, чтобы помочь зрачку защищать сетчатку. В раз-

деле 10 указана аналогичная возможность адаптации РТС к энергетической избыточности сиг-

нала.

Зачем же глазу выделять контуры изображения? Сказать, что затем, чтобы повысить рез-

кость изображения, будет мало. Организму чрезвычайно, жизненно важно распознавать изобра-

жения (врагов и друзей). Основную информацию в изображении содержат его контуры. И даже

не просто сами контуры, а их конфигурация. Глаз должен с высокой точностью оценить взаим-

ное расположение и особенности контуров контрастных и неконтрастных, т. е. контуров разного

порядка, широких и узких и т. д. Это означает, что глаз является измерительным прибором, точ-

но оценивающим положение контуров. Согласно подраздела 2.4 точность измерения параметра,

например, координаты контура изображения, на фоне яркостных помех определяется крутизной

этого фронта. И именно этим оконтуриванием, т. е. обострением фронтов изображений, глаз и

занимается. Как он это делает, во что выливается обработка изображения, каковы принципы и

эффекты обработки, изложены в данном разделе.

Следует заметить однако, что несмотря на открытие Э. Махом в 1865 году «полос Маха»,

эффект оконтуривания до сих пор остается «terra incognito». Между тем, эффект широко распро-

странен в природе и в технике, где он используется для преднамеренного повышения эффектив-

ности и как сопутствующее явление. Причем, он имеет ту же (различную) природу, какую имеет

изображение. Так же, как теория колебаний и колебательных систем имеет общий характер, не-

зависимо от природы колебаний, теорию оконтуривания изображения тоже можно обобщать. В

высшем организме так и есть: оконтуривается не только изображение в сетчатке, но и в слухо-

вом аппарате, и не только по пространству, но и по времени.

Эффект распространен и встречается в следующих направлениях деятельности человека и в

природе:

1) биологические системы;

2) апертурная коррекция в телевидении, в радиолокации;

3) техника оконтуривания и дифференцирования;

4) оптимальная фильтрация сигналов и процессов;

5) антенны землеобзора, картографирование земной поверхности;

6) фильтр Урковица;

7) обнаружитель цели в облаке отражателей как при наличии флуктуационных шумов, так и

при их отсутствии;

8) микроскоп Цернике: принцип фазового контраста;

9) предыскажения в системах связи;

10) малокадровое телевидение;

11) многоконтурные фильтры;

12) многоканальная связь;

13) антикорреляционный метод радиолокации;

14) обработка размытых изображений в фотографии;

15) системы с адаптацией к уровню сигнала, системы АРУ;

115

16) распознавание образов;

17) методы аподизации при синтезе антенн;

18) синтез сигналов и систем и т. д.

Сознательно эффект используется только в пунктах 2, 3, 8, 14. В пункте 8, да, вероятно, и в

других указанных, эффект используется на основе опыта, поскольку он следует не из теории,

которой не существовало в законченном виде. Поэтому далее этому неизвестному эффекту уде-

лено достаточно внимания.

7.1. Основные особенности системы контрастирования контуров изображений

Для изучения общих закономерностей, присущих системам, указанным в начале раздела 4,

рассмотрим в качестве общего случая систему обработки сигналов, в которой производится по

существу, как будет видно из дальнейшего, подъем высших частот спектра модуляции. Такие

системы относятся к классу оконтуривающих. Эффект оконтуривания изображений нашел свое

отображение в литературе [37,16, 40—42, 44]. Тем не менее имеется необходимость уточнить

его основные свойства и некоторые критерии качества контрастирования контуров. Изучим эф-

фект оконтуривания и рассмотрим, какое из известных математических описаний эффекта дос-

таточно полно описывает собственно явление контрастирования контуров.

Известное свойство глаза подчеркивать (выделять) контур изображения непосредственно

следует из структуры сетчатки рис. 7.1.1 и объясняется наличием боковых тормозных (латераль-

ных) взаимодействий между элементами рецептивного поля сетчатки [40, 16]. На рис. 7.1.1 по-

казаны взаимные связи рецептивного однокоординатного поля для l-го канала. Аналогичны свя-

зи для других каналов и координат. Наличие этого бокового (латерального) торможения в одном

слое нейронов приводит к следующему отклику в канале с номером «l»

F f f

l l i l i

= −

∑

−

. (7.1.1)

В этом выражении:

n — число каналов,

l — номер канала

l n∈( , )0

— светлота входного изображения в l-м канале или его приращение в l-м канале,

— весовая функция взаимной прямой связи между каналами,

i — индекс суммирования, характеризующий сдвиг

Рис. 7.1.1

+

∑

+

∑

+2

−2



∑

−

∑

Н



−1

F f f

  

= −

−

∑



116

Если максимальную апертуру рецептора

∆X

1 max

и максимальный зазор между соседними

рецепторами

∆X

2 max

устремить к нулю при сохранении взаимных связей (7.1.1) и при стремле-

нии числа рецепторов к бесконечности при заданном размере

поля рецепторов

( )

D X X X

X i i

= +

∑

= =

∆ ∆ ∆

1 2

0 0

, то получим непрерывный аналог одномерного поля рецепторов

с обработкой вида

( ) ( )

F X f X f X X X dX

( ) ( )= − −

∫

1 1 1

, (7.1.2)

где

X i X i

= =∆

, а интеграл берется по заданному раскрыву рецептивного поля либо в

бесконечных пределах для непрерывного неограниченного аналога выражения (7.1.2). Извест-

ные [37, 16, 40, 41] математические описания контрастирования контуров изображения с точки

зрения существа эффекта в некотором смысле неадекватны (см., например, [37, 39,40]).

В дискретной форме, близкой к (7.1.2), описание контрастирования встречается у Ratfill и

Hartline H. K. (1957). Впервые эффект контрастирования контуров изображений был количест-

венно описан Э. Махом (E. Mach, 1865 г.) [37].

[ ]

F X a

f X

f X( ) lg

( )

( )= ±

′′













, (7.3.1)

где а, b и с — постоянные.

Нелинейность вида lg описывает эффект типа насыщения, например, выцветание родопсина

в рецепторах, предельные энергетические возможности нейронов. Для контрастирования конту-

ров в (7.1.3) характерен знак «–».

Для одномерной весовой функции

ϕ( )X

выражения (7.1.2)

ϕ δ δ δ( ) ( ) ( ) ( )X K X K X K X= +

′

′′

1 2 3



, (7.1.4)

эффект контрастирования контуров хорошо изучен [41, 40] и наиболее выражен при

0≅

K K

3 1

≤

В этом случае для одномерного варианта

F X K f X K f X( ) ( ) ( )= −

′′

1 3

, (7.1.5)

что достаточно близко к (7.1.3) и к представлениям о контрастировании контуров, сложив-

шемся в телевидении [40].

Описание эффекта Fry (1947) представлял в виде

F x y

af x y

bV x y

( , ) lg

( , )

, (7.1.6)

где

V x y f x y

x y

dxdy

x y

( , ) ( , )exp= − −













∫∫

δ δ

Поскольку, как будет следовать из формулы (7.1.7), в V должно быть меньшим 1, то

F x y af x y bV x y

V x y( , ) lg ( , ) ( , ) ( , )≅ − + −



































. (7.1.7)

Очевидно, что при гауссовой аппроксимации

ϕ( , )x y

в формуле (7.1.6) выражение в фигур-

ных скобках (7.1.7) существенно согласуется с (7.1.2). К аналогичным выводам приводит описа-

ние эффекта в форме «шунтирования» [37]. В форме (7.1.2) описание эффекта контрастирования

впервые упоминалось по-видимому у Huggins и Licklider, Bekesy (1960) [37] и др.

Таким образом, нелинейность функций от F(x) в выражениях (7.1.3, 7.1.6) описывают лишь

сопутствующие эффекты, такие как автоматическая регулировка зрачком средней интенсивно-

сти, или светлоты,

ср

поля f(x) при обработке изображений

f x dx

( )=

∫

, (7.1.8)

117

эффекты типа «насыщения» и т. п. Эффект же контрастирования контуров достаточно точно

описывается линейным процессом в форме (7.1.1, 7.1.2). Оценим эффект контрастирования ли-

нейной системы (7.1.2) для функции включения вида

( )

f x C C X X( ) = + −

1 2 0

, (7.1.9)

где

— постоянные,

1(x) — единичная функция включения при

x = 0

Назовем «k» параметром контрастирования, а

∆X

— эффективной шириной весовой функ-

ции связи

ϕ( )x

k x dx=

∫

−∞

∞

ϕ( )

, (7.1.10)

∆X x dx

ϕ=

∫

−∞

∞

0( )

( )

. (7.1.11)

Тогда

( ) ( )

[ ]

F x C k C x x x dx

C k C x x x x

x x

( ) ( )

( )

= − + − −

∫













= − + − − −

−∞

−

1 2 0 1 1

1 2 0 0

1 1

, (7.1.12)

где

( )

Φ( )x x dx

∫

−∞

1 1

Будем предполагать

ϕ( )x

четной функцией и монотонно спадающей к краям. Четность

ϕ( )x

определяется требованием контрастирования контурных линий как при границах «свет-

тень», так и «тень-свет», что нетрудно увидеть из (7.1.12) и рис. 7.1.2. Монотонность

( )

Φ( )x x dx

∫

−∞

1 1

может быть обусловлена требованием полного отсутствия «многоконтурно-

сти», или ореола, изображения. А с точки зрения сохранения ширины контурных линий, завися-

щей от эффективной ширины весовой функции

ϕ( )x

(7.1.11), целесообразно использовать весо-

вую функцию

ϕ( )x

с монотонно спадающими краями. Разумеется,

ϕ( )x

может быть любой

(лучше симметричной) формы. Например, можно использовать

ϕ( )x

типа

sinc( )x

рис. 7.1.3, но

такую, чтобы площадь

Φ( )x

под боковыми лепестками равнялась центральной части площади.

В этом случае

k = 0

и средняя яркость кадра (средняя мощность сигнала) останется неизменной.

Существенно хуже, если

ϕ( )x

с несколькими знакопеременными лепестками. В этом случае,

хотя и

k = 0

, но основной выделяемый контур сопровождается паразитными контурами. Рас-

смотрим сначала эффект оконтуривания для монотонной функции

Φ( )x

Значения выходного эффекта на границе «тень-свет» со стороны «тень»

F x( )

0−

и со стороны

«свет»

F x( )

определяются из (7.1.12)

sup ( ) ( ) ( ) ( )F x F x C k C k= = − + −

+0 1 2

1 1

, (7.1.13 а)

inf ( ) ( ) ( )F x F x C k C

= = − −

−0 1 2

. (7.1.13 б)

Для областей

x x

2 0

> +

∆

x x

1 0

< −

∆

значения выходного изображения будут иметь

вид

( ) ( )

( )

F x C C k

2 1 2

1= + −

, (7.1.14 а)

( )

F x C k

1 1

1= −

. (7.1.14 б)

Если определить абсолютные значения выбросов «темной»

( )

∆F x

0−

и «светлой»

( )

∆F x

части контура

( )

∆F x

, то, пользуясь формулами (7.1.13, 7.1.14) можно определить

( ) ( ) ( )

∆F x F x F x C

0 1 0 2

−

= − =inf

( ) ( ) ( )

∆F x F x F x C

0 0 2 2

= − =sup

, (7.1.15)

118

т. е.

( ) ( )

∆ ∆F x F x

0 0− +

Рис.7.1.2

Таким образом, из формулы (7.1.15) следует, что подчеркивание контура (рост величины

выбросов) пропорционально величине входного перепада яркости

и интегральному парамет-

ру контрастирования k. Причем, величины выбросов не могут быть большими половины вход-

ного перепада яркости, что соответствует полному выделению контура (

k = 1

), и равны нулю

при отсутствии тормозных связей в системе (

k = 0

), либо входных перепадов яркости

Условие отсутствия искажений типа «негатив», или условие неотрицательности выходного изо-

бражения можно записать

( )

inf ( )F x F X− ≥

−

∆

Из (7.1.13) и (7.1.15) следует, что при этом

≤

, или

k ≤1

. (7.1.17)

Если оценивать эффект контрастирования контуров общепринятым критерием — контраст-

ностью

, то для случая (7.1.9) можно установить соответственно контрастности входного

изображения

вх

, границы «свет-тень»

г р

и выходного изображения вне границы

вых

вх

f x f x

−

sup ( ) inf ( )

, (7.1.18 а)

119

( )

− +













1 1 2

, (7.1.18 б)

вых

. (7.1.18 в)

Определим степень контрастирования ξ как относительное увеличение контраста границы

«тень-свет» по сравнению с контрастом изображения вне границы.

= =

− +













вых

( )

1 1 2

Обращаясь затем к произвольной входной функции

f x( )

, легко заметить, что система пред-

ставляет собой, как видно из (7.1.2), линейный фильтр с импульсной характеристикой

g x x x( ) ( ) ( )= −δ ϕ

( ) ( ) ( )

[ ]

( ) ( )

F x f x x x x x dx f x g x x dx( ) = − − −

∫

= −

∫

−∞

∞

−∞

∞

1 1 1 1 1 1 1

δ ϕ

. (7.1.19)

Если

∆ω

— эффективная ширина пространственного частотного спектра изображения, то

условие подчеркивания контуров запишется следующим образом:

∆

∆ω

≥

, (7.1.20)

где

∆x x dx

ϕ=

∫

−∞

∞

0( )

( )

При использовании оконтуривающей системы практически всегда приходится учитывать

наблюдателя либо индикаторное устройство в качестве оконечного устройства с ограниченной

разрешающей способностью по координате x. Если указанная разрешающая способность —

∆x

, то условие различимости контурных линий примет вид

∆ ∆x x

≤

При этом необходимо отметить, что толщина контурных линий существенно зависит от

∆x

, а форма выброса мало зависит от

f x( )

Для весовой функции

ϕ( )x

второго типа рис. 7.1.3 импульсная характеристика имеет ту

особенность, что, поскольку

k = 0

, фильтр совершенно не подавляет постоянную составляю-

щую сигнала. Для такой импульсной характеристики выходной отклик на ступенчатую функцию

(7.1.9) имеет минимум и максимум, смещенный от точки разрыва

рис.7.1.5. Значения экс-

тремумов и их стационарные точки определяются конкретным видом

Φ( )x

Отметим особенности работы модели рис. 7.1.1 в случае, когда весовые коэффициенты

имеют положительные значения, т. е. имеет место суммирование воздействий. Работа модели

осуществляется в соответствии с выражением (7.1.1) только со знаком «+», а выходной эффект

представлен функцией

F x( )

рис. 7.1.4. Для любой ширины весовой функции имеет место сгла-

живание очертаний контура распределения яркости, а «краевой» эффект

x = 0

, о котором речь

шла выше, имеет «обратный» характер. Для больших значений

оба отмеченных явления бу-

дут выражены еще ярче.

120

Рис. 7.1.5

ϕ( )x

Рис. 7.1.3

ϕ( )x

F(x)

f(x)

Рис. 7.1.4

f(x)

F(x)

f(x)