Алексеев В.В., Маклаков Л.И. Курс физики. Том 2. Электродинамика. Колебания и волны

Подождите немного. Документ загружается.

ЧАСТЬ 1. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Электродинамика ⎯ это учение об электрических и магнитных явлениях.

Электромагнитные взаимодействия, которые изучает электродинамика, ответ-

ственны за большинство явлений, например, за образование атомов и молекул,

из которых состоят тела. Силы Ван−дер−Ваальса, химические связи и т. д. ⎯

всё это проявление электромагнитных взаимодействий. Можно сказать, что

электродинамика объясняет не только электрические и магнитные явления, но и

те силы, вследствие которых вещество существует как целое. Поскольку моле-

кулярные силы имеют электромагнитную природу, то почти все биологические

явления определяются электромагнетизмом. Силы в повседневной жизни также

имеют электромагнитный характер, хотя мы их классифицируем как мускуль-

ные, упругие и т. д.

С электромагнитными явлениями сталкиваются во многих разделах физики и пре-

жде всего в оптике, атомной и ядерной физике. Свет, тепловое, ультрафиолетовое и

рентгеновское излучения есть проявление электромагнитных колебаний. Радио и те-

левидение используют электромагнитные волны для передачи информации на рас-

стояния. Таким образом, можно сказать, что учение об электричестве имеет глубин-

ную взаимосвязь со многими физическими процессами.

Не менее важен другой аспект электродинамики, заключающийся в том, что

данный раздел физики является основой для изучения таких технических дис-

циплин как электротехника, радиотехника, автоматика и т. д. В основе работы

электростанций, радиопередающих и принимающих устройств, большого коли-

чества измерительных приборов, лазеров, вычислительных машин лежат зако-

ны электродинамики.

Электродинамику как раздел физики условно можно разделить на три части:

электростатику, учение об электрическом токе и электромагнетизм. Начнём изу-

чение электродинамики с раздела электростатика, прежде всего потому, что в нём

вводится ряд понятий таких, как заряд, электрическое поле, напряжённость и по-

тенциал поля, электроёмкость и т. д., которые широко используются в электроди-

намике и электронике.

ГЛАВА 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Электростатика ⎯ это раздел электродинамики, изучающий свойства не-

подвижных зарядов, их взаимодействия друг с другом посредством полей, на-

зываемых электростатическими. Условие неподвижности зарядов в той сис-

теме отсчёта, в которой они изучаются, является весьма важным, так как в слу-

чае движущихся зарядов свойства окружающего пространства кардинально ме-

няются и, в частности, появляется магнитное поле.

§1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА. ЗАКОН КУЛОНА

1. Известно, что разнородные тела такие, как кожа, стекло, эбонит и т.д., по-

тёртые друг о друга, обладают свойством притягивать к себе лёгкие предметы,

например, кусочки бумаги. Для объяснения такого взаимодействия, названного

электрическим, и было введено понятие электрического заряда. Заряженные тела

могут, как притягиваться, так и отталкиваться друг от друга. Этот факт можно

объяснить, если ввести два типа заряда, условно названных положительными и

отрицательными (плюс и минус). Как следует из опыта, заряды с одинаковыми

знаками отталкиваются, а с разными ⎯ притягиваются. Сила взаимодействия за-

ряженных тел может быть различной. Она зависит от величины зарядов, находя-

щихся на них. Из этого следует вывод: электрический заряд является количе-

ственной мерой способности тел к электрическим взаимодействиям.

Заряд тела не зависит от выбора системы отсчёта, т.е. не зависит от того,

движется или покоится тело, на котором он находится. Следовательно, элек-

трический заряд является релятивистски-инвариантной величиной в отличие от

массы тела (см. § 29, т. 1).

В системе единиц СИ заряд измеряется в кулонах (Кл). 1 Кл равен заряду,

протекающему через поперечное сечение проводника за 1 с при силе постоян-

ного тока в 1 A (определение единицы силы тока 1 A см. в §26).

2. Возникновение зарядов на телах обусловлено следующим. Все тела по-

строены из атомов. Атом состоит из положительно заряженного ядра и отрица-

тельно заряженных электронов. Заряд ядра обусловлен протонами. Заряды про-

тона и электрона равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.

Число протонов и электронов в атоме одинаково. Поэтому атом в целом ней-

трален, т.е. алгебраическая сумма зарядов атома (сумма зарядов с учётом зна-

ков) равна нулю, а следовательно, и тело нейтрально. Чтобы зарядить тела, т.е.

наэлектризовать их, надо отделить часть отрицательного заряда от связанного с

ним положительного. Тело, на котором оказывается избыток электронов по

сравнению с протонами, заряжается отрицательно, если наоборот ⎯ положи-

тельно. Например, при электризации трением небольшая часть электронов с

одного тела переходит на другое. Если теперь раздвинуть тела, то они окажутся

заряженными ⎯ одно положительно, другое ⎯ отрицательно.

3. Из обобщения опытных данных установлен закон сохранения электриче-

ского заряда: в любой замкнутой электрической системе алгебраическая

сумма электрических зарядов является постоянной величиной при любых

процессах, происходящих в ней.

Замкнутой называется электрическая система, из которой не выходят и в кото-

рую не входят заряды. Так, при электризации тел трением заряды, возникающие

на телах, равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Поэтому

их алгебраическая сумма так же равна нулю, как и в случае незаряженных тел.

4. Рассмотрим вопрос о силе взаимодей-

ствия электрических зарядов, которая опре-

деляется законом Кулона, являющимся ос-

новным законом электростатики. Этот закон

не выводится из других законов природы и

устанавливается только опытным путём.

Рис. 1.1

В общем случае сила взаимодействия между заряженными телами зависит от

размеров и формы тел, а также от свойств среды, в которой находятся тела.

Наиболее просто сила взаимодействия находится для так называемых точечных

зарядов. Точечным зарядом называется заряженное тело, размеры которого

пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с

которыми оно взаимодействует. Закон взаимодействия точечных зарядов был

открыт Кулоном и формулируется следующим образом: модуль F силы взаи-

модействия между двумя неподвижными зарядами q и q

пропорционален

произведению этих зарядов, обратно пропорционален квадрату расстояния

r между ними, т.е.

⋅

πε

(1.1)

где ε

⎯ электрическая постоянная, ε — диэлектрическая проницаемость, характери-

зующая среду (см. §5, п. 5). Эта сила направлена вдоль прямой линии, соединяющей

заряды. Электрическая постоянная равна ε

= 8,85⋅10

–12

Кл

/(Н⋅м

) или ε

= 8,85⋅10

–12

Ф/м, где фарад (Ф) ⎯ единица электроёмкости (см. §12). Закон Кулона более

строго следует записать в векторном виде, поскольку сила является вектором. С

этой целью проведём радиус-вектор

от заряда q к q

(рис. 1.1). Введём еди-

ничный вектор, направленный в ту же сторону, что и вектор

. Он равен /r.

Тогда закон Кулона в векторной форме запишется

⋅

πε

(1.2)

§2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. НАПРЯЖЁННОСТЬ ПОЛЯ

1. Напряжённость. Ранее (см. §17, т. 1) для объяснения притяжения тел

было введено понятие гравитационного поля. Это поле создаётся массой. В

случае заряженных тел их электрическое взаимодействие легко объясняется,

если предположить, что вокруг заряженных тел существует электрическое поле.

Электрическое поле, создаваемое одним заряженным телом, действует на дру-

гое заряженное тело и наоборот. Для характеристики электрического поля, как

и в случае гравитационного поля, вводится физическая величина, называемая

напряжённостью, которая является силовой характеристикой этого поля. Изу-

чение электрического поля производится с помощью пробного заряда, т.е. по-

ложительного точечного заряда, при внесении которого исследуемое поле не

искажается. Если в одну и ту же точку поля вносить различные пробные заря-

ды, то на них будут действовать и различные силы. Однако отношение силы

действующей на заряд, к величине

этого заряда является постоянным для

всех вносимых зарядов, независимо от их величины. Поэтому это отношение

принимают за характеристику электрического поля в данной точке. Её называют

напряжённостью и обозначают через

. Тогда

(2.1)

Поскольку

заряд положительный, то из выражения (2.1) вытекает, что напряжён-

ность поля равна силе, которая действует со стороны поля на положительный еди-

ничный заряд, и совпадает по направлению с направлением этой силы. В системе

единиц СИ, как следует из (2.1), напряжённость измеряется в ньютон/кулон (Н/Кл).

1 Н/Кл = 1 / 1 Кл, т.е. 1 Н/Кл ⎯ напряжённость в такой точке поля, в которой на

заряд в 1 Кл действует сила в 1 Н.

2. Напряжённость поля точечного заряда. Найдём напряжённость элек-

тростатического поля, создаваемого точечным зарядом

q, находящимся в одно-

родном изотропном диэлектрике, в точке, отстоящей от него, на расстоянии

Мысленно поместим в эту точку пробный заряд

. Тогда, согласно (2.1) и (1.2),

⋅

πε

и ⋅Отсюда получаем, что

⋅

πε

(2.2)

где

⎯ радиус-вектор, проведённый от заряда q к точке, в которой определя-

ется напряжённость поля. Из формулы (2.2) следует, что модуль напряжённости

поля

⋅

πε

(2.3)

Таким образом, модуль напряжённости в любой точке электростатического по-

ля, создаваемого точечным зарядом в вакууме, пропорционален величине заря-

да и обратно пропорционален квадрату расстояния от заряда до точки, в кото-

рой определяется напряжённость.

§3. СУПЕРПОЗИЦИЯ ПОЛЕЙ

Знание поля точечного заряда позволяет в принципе рассчитывать поля, соз-

даваемые как совокупностью зарядов, так и протяженными заряженными тела-

ми. Для этого в физике используется простой, но очень важный принцип супер-

позиции (наложения) полей, суть которого заключается в следующем.

1. Пусть имеется система точечных электрических зарядов

, q

,..., q

. Най-

дём напряженность электрического поля, создаваемой этими зарядами, в произ-

вольной точке. Мысленно поместим в эту точку пробный заряд

. Опытным

путём установлено, что сила

, с которой система зарядов действует на этот

заряд, равна векторной сумме сил

n21

...,,, FFF

, с которыми действует на проб-

ный заряд каждый из зарядов системы, т.е.

.+...

n21

FFFF

++= Разделим это

равенство на заряд :

....

...

000

2121

FFF

+++=

+++

Согласно

(2.1),

,...,, === ⎯ напряжённость электрических полей,

создаваемых отдельными зарядами в данной точке, а

⎯ напряжённость

электрического поля системы зарядов в той же точке. Поэтому

,...

n21

EEEE

+++=

(3.1)

т.е.

напряжённость поля системы зарядов равна векторной сумме напряжён-

ностей полей, которые создаёт каждый заряд системы в отдельности.

Соот-

ношение (3.1) называют

принципом суперпозиции полей.

2. Для нахождения напряжённости электростатического поля, создаваемого за-

ряженным протяжённым телом в некоторой точке, тело мысленно разбивают на

элементарные части с зарядом dq, которые можно принять за точечные заряды.

Тогда элементарную напряжённость

в этой же точке находим по формуле

(2.2)

⋅

πε

Используя принцип суперпозиции полей, напряжённость

поля в данной точке будет равна:

∫∫

⋅

πε

EdE

(3.2)

где V — объём тела, поскольку суммирование элементарных величин означает

интегрирование.

§4. ЛИНИИ НАПРЯЖЁННОСТИ

Очевидно, что напряжённость в каждой точке электрического поля имеет оп-

ределённую величину и направление. Для наглядного изображения электриче-

ского поля пользуются

линиями напряжённости или силовыми линиями, т.е.

линиями, в каждой точке которых вектор напряжённости электрического поля

направлен по касательной к ним. Наиболее просто это можно уяснить на при-

мере

однородного электростатического поля, т.е. поля, в каждой точке кото-

рого напряжённость одинакова по модулю и направлению. В этом случае линии

напряжённости проводятся так, чтобы число линий Ф

, проходящих через еди-

ницу площади плоской площадки S, расположенной перпендикулярно к этим

линиям, равнялось бы модулю E напряжённости этого поля, т.е.

E =

(4.1)

Вид линий напряженности однородного электростатического поля показан на

рис. 4.1. Они представляют собой параллельные линии, отстоящие друг от друга на

одинаковом расстоянии. Если поле неоднородное, то надо выбрать элементарную

площадку dS, перпендикулярную к линиям напряжённости, в пределах которой на-

пряжённость поля можно считать постоянной. Тогда, согласно (4.1), запишем:

Фd

E =

(4.2)

где dФ

⎯ число линий напряжённости, пронизывающих эту площадку, т.е. мо-

дуль напряжённости электрического поля равен числу линий напряжённости,

приходящихся на единицу площади площадки, перпендикулярной к ней. При таком

способе построения по густоте линий напряжённости судят о модуле напряжён-

ности электрического поля в различных точках поля. Там, где линии расположе-

ны гуще, модуль напряжённости поля больше. Следует отметить, что линии на-

пряжённости никогда не пересекаются, поскольку их пересечение означало бы

отсутствие определённого направления вектора

в точках их пересечения. Кар-

тина линий напряжённости для неоднородного электростатического поля приве-

дена на рис. 4.2. Из этого рисунка видно, что Е

< E

. Об этом можно су-

дить по густоте линий. Условились считать, что линии напряжённости начина-

ются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных.

Рис. 4.1 Рис. 4.2

§5. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

Диэлектрики — это вещества, не проводящие электрический ток. Диэлек-

трик (как и любое вещество) состоит из атомов или молекул, которые построе-

ны из ядер и электронов. Размеры атомных ядер и электронов примерно в 10

раз меньше размеров самих атомов. Поэтому объём заряженных частиц, нахо-

дящихся в некотором теле, ничтожно мал по сравнению с объёмом тела. Это

позволяет представить тело как часть вакуумного пространства, в котором

вкраплены заряженные частицы. При этом напряжённость поля в нём, согласно

принципу суперпозиции полей, складывается из напряжённости внешнего поля

и напряжённости электрических полей, создаваемых заряженными частицами

тела в вакууме. Возникает вопрос, как можно рассчитать напряжённость поля

внутри диэлектрика? Для этого рассмотрим вначале понятие электрического

диполя и поведение отдельных молекул в электрическом поле.

1. Электрический диполь. Электрическая система, состоящая из двух рав-

ных по абсолютной величине и противоположных по знаку точечных зарядов,

отстоящих друг от друга на некотором расстоянии, называется электрическим

диполем. Вокруг диполя существует электрическое поле, зависящее от так на-

зываемого дипольного момента. Дипольный момент является вектором, на-

правленным от отрицательного заряда к положительному заряду (рис. 5.1). Его

модуль p

рассчитывается по формуле: p

= ql, где q ⎯ заряд по абсолютной

величине, l ⎯ расстояние между зарядами.

2. Полярные молекулы. Установлено, что молекулы, в которых электриче-

ские заряды распределены не симметрично, обладают дипольным моментом.

Поэтому их можно рассматривать как диполи. При этом считают, что весь по-

ложительный заряд молекулы как бы сосредоточен в одной точке, которую на-

зывают центром положительных зарядов. Аналогично вводится центр отрица-

тельных зарядов. Молекулы, обладающие дипольным моментом в отсутствие

внешнего электрического поля, называются полярными молекулами, а диэлек-

трик, состоящий из них, также называют полярным. К таким диэлектрикам от-

носятся вода, кислоты, основания и другие вещества. При внесении полярного

диэлектрика в электростатическое поле его молекулы стремятся ориентиро-

ваться так, чтобы их дипольные моменты были направлены вдоль поля. Это

происходит под действием сил, приложенных к положительному и отрицатель-

ному зарядам диполя, которые приводят к его повороту (рис. 5.1).

3. Неполярные молекулы. Существуют и молекулы, дипольный момент ко-

торых в отсутствие внешнего электрического поля, равен нулю. Их называют

неполярными молекулами, а диэлектрик, состоящий

из таких молекул ⎯ неполярным. Под действием

электрического поля неполярная молекула приобре-

тает дипольный момент, направленный вдоль поля,

который называют наведённым. Это обусловлено

тем, что силы электрического поля деформируют

Рис.

–q

электронную оболочку молекулы. В результате этого центры отрицательных и

положительных зарядов смещаются в противоположные стороны. При снятии

поля молекула возвращается в исходное состояние, и наведённый дипольный

момент обращается в ноль. Неполярными диэлектриками являются парафин,

бензол, азот, водород, кислород и т.д.

4. Поляризация диэлектриков. В отсутствие электрического поля алгебраи-

ческая сумма электрических зарядов в любом выделенном объёме диэлектрика

равна нулю. Если диэлектрик поместить во внешнее электростатическое поле, то

в полярном диэлектрике дипольные моменты молекул стремятся установиться по

полю, а в неполярном — молекулы приобретают наведённый дипольный момент,

направленный также вдоль поля (рис. 5.2, где показано сечение диэлектрика,

имеющего форму прямоугольного параллелепипеда). Это приводит к возникно-

вению на гранях положительного и отрицательного зарядов, поскольку внутри

диэлектрика заряды скомпенсированы (область между пунктирными линиями).

Эти не скомпенсированные заряды называются связанными.

Явление возникно-

вения связанных электрических зарядов на диэлектрике при внесении его в элек-

трическое поле получило название

поляризации диэлектриков.

5. Диэлектрическая проницаемость. Связанные заряды, возникшие на проти-

воположных гранях диэлектрика, создают внутри него собственное электростати-

ческое поле, направленное от положительных зарядов к отрицательным зарядам

(рис. 5.3). Обозначим напряжённость внешнего поля, созданного в вакууме, через

, а собственного — через . Напряжённость

поля в диэлектрике, согласно

принципу суперпозиции полей (3.1), равна

EEE

или в скалярной форме

, поскольку векторы

EEE −=

направле-

ны противоположно. Следовательно, поле ослабля-

ется. Для характеристики ослабления поля в диэлек-

трике вводится физическая величина, называемая

диэлектрической

проницаемостью, которая пока-

Рис. 5.2

Рис. 5.3

–

+ + +

–

+ + + + + +

–

+ + +

+ +

–

++ + +

+ +

–

+ +

–

+ +

+ + +

–

+ +

–

зывает, во сколько раз модуль напряжённости электрического поля в вакууме

больше модуля

напряжённости того же поля в диэлектрике, т.е.

=ε

. (5.1)

§6. ПОТОК НАПРЯЖЁННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ТЕОРЕМА

ГАУССА ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

1. Потоком напряжённости электрического поля через какую-либо по-

верхность называют число линий напряженности , пронизывающих её. В

случае однородного электростатического поля, когда площадка

S перпендику-

лярна к линиям напряженности, поток напряжённости определяется из

формулы (4.1), как

Ф = ES. (6.1)

Рассмотрим теперь случай, когда в однородном электростатическом поле нахо-

дится плоская площадка, имеющая форму прямоугольника со сторонами

a и b,

площадь которой

S = ab. Нормаль n

к площадке составляет угол α с направлени-

ем поля, т.е. с вектором напряжённости

(рис. 6.1 а). Число линий напряжённо-

сти, проходящих через площадку

S и её проекцию S

пр

на плоскость, перпендику-

лярную к этим линиям, одинаково. Следовательно, поток напряжённости

электрического поля через них одинаков. Используя выражение (6.1), находим,

что

Из рис. 6.1 а видно, что S

пр

= ab⋅cosα = S cosα. Поэтому

npE

ESФ =

= ES cos α = E

S, (6.2)

где E

⋅

cos α = E

⎯ проекция вектора на направление нормали к площадке. n

Для вычисления потока Ф

напряжённости электрического поля через произ-

вольную поверхность S, помещённую в неоднородное электрическое поле

(рис. 6.1 б), надо мысленно разбить его на элементарные участки dS, чтобы пло-

щадку можно было бы считать плоской, а поле в её пределах однородным. Тогда,

согласно (6.2), элементарный поток dФ

= E

dS, а поток напряжённости электри-

ческого поля через всю поверхность равен сумме этих потоков dФ

, т.е.

∫

⋅

EФ

(6.3)

поскольку суммирование бесконечно малых величин означает интегрирование.

Поток вектора

является алгебраической величиной, его знак определяется

углом между векторами

и . Если угол острый, то поток положительный,

если же тупой ⎯ отрицательный. При α = 90° поток равен нулю, так как

cos 90° = 0 (см. (6.2)). Выбор направления нормали

произволен. В случае же

замкнутой поверхности проводится внешняя нормаль, т.е. нормаль, направлен-

ная в наружную область, охватываемой поверхностью. Тогда поток, входящий

в объём, будет отрицательным, а выходящий ⎯ положительным.

2. Понятие потока напряжённости электрического поля используется в тео-

реме Гаусса, которая широко применяется для расчёта напряжённостей элек-

трических полей. Рассмотрим такой поток, создаваемый полем точечного заря-

да, через замкнутую поверхность, окружающую этот заряд. Мысленно прове-

дём вокруг него сферу произвольного радиуса r с центром в точке расположе-

ния заряда (рис. 6.2, на котором приведено сечение сферы плоскостью чертежа

— пунктирная линия). Найдём поток напряжённости электростатического поля

через эту поверхность. В данном случае направления векторов

и в любой

точке поверхности совпадают. Поэтому E

= E

⋅

cos 0° = E. Модуль напряжённо-

сти во всех точках на поверхности сферы одинаков и, согласно (69.3), равен

⋅

πε

C учётом этого из (6.3) получаем:

∫

εε

=π⋅⋅

επε

∫

SSS

dSEEdSdSE

(6.4)

где значок

на интеграле означает, что интегрирование производится по замк-

нутой поверхности. E вынесена за знак интеграла, поскольку она не зависит от

S. Суммирование же всех площадей элементарных площадок даёт площадь S

сферы, т.е.

∫

π==

rSdS .4

В теоретической физике доказывается, что соотношение (6.4) справедливо не

только для сферы, но и для любой замкнутой поверхности. Если имеется сис-

тема точечных зарядов, то очевидно, что полный поток

напряжённости электрического поля через замкнутую

поверхность в силу принципа суперпозиции полей равен

сумме потоков Ф

, создаваемых каждым зарядом q

в от-

дельности, т.е.

∫

EФ

∑

. Но, как следует из

(6.4), Ф

= q

/ (ε

ε). Поэтому

Рис. 6.1

Рис. 6.2

б)