Алексеев В.В. Физическое и математическое моделирование экосистем

Подождите немного. Документ загружается.

сти,

если точка пересечения прямых Si = 0i; S2=6

лежит ниже

прямой

Si+6S2=6

(т. е. 6

больше 61+662), то область IV при-

нимает вид прямоугольника, зона совместного потребления исче-

зает, а области II и III располагаются, как показано на

рис.

2.15 а. Возможны и

другие

варианты расположения зон, на-

пример при выполнении неравенства 6i > 02 (б < 1) выпадает

зона

III (потребление только субстрата S2), остальные зоны рас-

полагаются, как показано на рис. 2.15 6.

Исследование устойчивости стационарных состояний проводи-

лось по отношению к малым отклонениям от равновесных значе-

Рис. 2.15.

Вырожденные

случаи

расположе-

ния

областей

равновесных

режимов

на пло-

скости

(S[, sy.

а — при 6i + 68

< 8

отсутствует зона / совмест-

ного

потребления субстратов; б — при 8i > 8

6 < 1 отсутствует зона III потребления субстрата

Si (усл. обозначения см. рис. 2.14).

в, в,

ний.

случае

потребления

двух

субстратов одновременно урав-

нения

для малых отклонений записываются в виде

d%±

Ml? fn I

dt ~ YiR

L ""

db_

P36S2

ё2

(2.35)

!.-[/>

(Si + K

)

у /?

где ^o=M — M; |i = Si — Si; \z= S

— S2 — малые отклонения пе-

ременных от равновесных значений. Решение системы (2.35), как

известно,

выражается формулами |,- = 2 Cm exp (pkt), где рь.—

корни

характеристического уравнения. Стационарное состояние

системы

(2.26)

является асимптотически устойчивым при

Rep<0.

Характеристическое уравнение системы

(2.35)

имеет

вид

I «2 I

| л /О ОС\

Р \~ &\Р

~т~

@2Р ~г ^з — U|

I^.oD)

где

YiR

/(Mp

)

5S,

MP3/C36Q, \

1 У,/?*

Можно

показать, что все коэффициенты щ в характеристиче-

ском

уравнении (2.35) имеют положительные значения. По кри-

терию Раусса—Гурвица для устойчивости стационарного состоя-

ния

необходимо и достаточно также, чтобы выражение ща

— аз

было положительным, что в данном случае имеет место при лю-

бых положительных значениях коэффициентов модели. Таким об-

разом,

состояние с совместным потреблением субстратов, описы-

ваемое формулами (2.29), устойчиво

всюду,

где оно существует,

т. е. в области I на рис. 2.14. Аналогичные доказательства устой-

чивости можно привести для любого стационарного состояния

своей области существования.

Рассмотренные выше варианты режимов потребления отражали

распределение равновесных состояний системы в зависимости от

соотношения

субстратов на

входе

хемостата. Однако в процессе

установления равновесия в связи с неравномерным исчерпанием

субстратов режимы их потребления популяцией

могут

меняться.

Действительно, рассмотрим распределение мгновенных скоростей

роста на фазовой плоскости (Si, S2) — концентраций субстратов

среде (на выходе хемостата). Область концентраций субстратов,

для которой наибольшую мгновенную скорость роста популяции

дает потребление только субстрата Si, прилегает к оси Si и огра-

ничена

условием

max

Расписывая

неравенство (2.37) в явном виде, получим, что об-

ласть А\ расположена между осью Si и, в зависимости от соотно-

шения

между коэффициентами Рг и Рз, кривой

[P,^,-S

-p

)]S»<p

(2.38)

для случая Рг > Рз| или кривой

б [К А + S, (р, - р,)] S

< S? (Р, - Рз) + S,

P,tf,)

(2.39)

для случая Рг < Рз.

Область Ац, где преимущество имеет потребление субстрата

S2(n = P2S2/(/(2+S2)), прилегает к оси S2 и ограничена для случая

Рг > Рз кривой (2.38), а для случая Рг < Рз кривой

[•Рэ/С, + S

(рз - р

)] S, < S

(КА -

(2.40)

Вся остальная часть плоскости (Si, S2) занята областью Am,

в которой предпочтительным является потребление обоих суб-

Рис. 2.16.

Режимы

потребления

субстратов

в за-

висимости

от их

мгновенных

концентраций

в хе-

мостате

S[(t) и

S2(t).

В области Aj наибольшую скорость роста популяции

дает специализация на субстрате Si; в области A

—

специализация

на субстрате 5г\ в области Л

11Х

— одно-

временное

потребление

двух

субстратов.

стратов одновременно. Один из примеров расположения областей

А\,

АЦ, Am на плоскости (Si, S2) для случая 6i+602>6

;

Р2 > Рз показан на рис. 2.16. Траектории движения системы в про-

цессе установления равновесия начинаются от точки с координа-

тами Si = S°; S2 = S* (начальные концентрации субстратов в хемо-

стате) и заканчиваются на одном из отрезков Si = 8r, S2 = 02',

Si+6S2 =

03,

соответствующих равновесным значениям концентра-

ций

субстратов в среде. При этом местоположение конечной точки

траектории однозначно определяется координатами начальной

точки, т. е. S» S°

Поскольку границы смены режимов потребления для равновес-

ного (см. рис. 2.14) и неравновесного (см. рис. 2.16) режимов не

совпадают, во время переходного процесса траектория движения

системы может пересекать границы областей А\—Am, при этом

способ питания популяции изменяется. На рис. 2.17 а показаны

результаты расчетов на ЭВМ поведения системы при разных кон-

центрациях субстратов в подаваемой на

вход

хемостата пита-

тельной среде. Траектории, отмеченные на рис. 2.17 звездочками,

отчетливо показывают избирательный характер переключения по-

пуляции с моносубстратного питания на смешанное. Траектории

для смешанного случая (отсутствие области совместного потреб-

ления

субстратов, 9i+6e

) показаны на рис.

2.176.

Раз-

вертка динамики процесса во времени для одной из траекторий

с переключением представлена на рис. 2.18. Как видно из рис. 2.18,

[

Рис.

2.17. Траектории движения системы на плоскости (Si, S

) по ре-

зультатам

расчета на ЭВМ по модели

(2.26)

с коэффициентами Pi = l;

= 0,8; Рз = 0,9; D = 0,1; б = 0,5; /Сз = 120.

а) К, = 90; Кг = 140 (9, + Й9

> 9

); б) /С, - 45; /G = 7 (9, + 69

< 9

Траектории,

отмеченные звездочками, отражают явление диауксии.

модельная динамика процесса потребления субстратов хорошо ка-

чественно совпадает с данными экспериментов (см. рис.

2.13),

что

свидетельствует о работоспособности модели.

.so

' 30

*/ 1 1 p .

20 30

Время,

усл.гд.

—

Рис.

2.18. Динамика роста биомассы М

популяции и потребления субстратов Si

S2 для одной из траекторий системы,

отмеченной на рис. 2.17 звездочкой.

Для завершения исследования модели рассмотрим положение

горизонтальных и вертикальных изоклин траекторий системы.

В области совместного потребления субстратов, разделив

друг

на

друга

уравнения для концентраций субстратов в среде, получим

уравнение движения системы на фазовой плоскости (Si, S2)

D (s° - s

) - (м/у.

ds,

fl(s?-s

)-(M/r

/(A:3

+ s

+ 6S

) •

В правую часть

(2.41)

входит

еще третья переменная модели — М.

Если

начальные условия

{2.27а)

заданы таким образом, что эк-

споненциальный

член в

(2.27)

затухает

достаточно быстро, то

М можно выразить через Si и S^

из

уравнения сохранения веще-

ства (2.27). Подставив выраже-

ние

дляМ в (2.41), получим урав-

Рис.

2.19. Горизонтальная и вертикаль-

ная

изоклины траектории движения си-

стемы

на плоскости (S,, S

нения

для горизонтальных

(rfS2/dSi

= 0) изоклин

~ S

- D (K

+ 6S

)]

вертикальных (dSi/dS

= 0) изоклин

[(s?

- s.) + sgy^

s =

- D (s? - s.) (s, + к

)

(2.42)

Для каждой траектории горизонтальная и вертикальная изо-

клины

пересекаются дважды — в начальной и конечной точках,

на всем протяжении траектория лежит

между

своими изо-

клинами,

как показано на рис. 2.19. Траектории системы для

всех

остальных режимов с потреблением только одного субстрата

представляют собой прямые линии, параллельные одной из коор-

динатных осей, т. е. проходят по вертикальным или горизонталь-

ным

изоклинам соответствующих уравнений.

2.7.

Влияние физических факторов среды

на

эколого-физиологические

характеристики

популяций

Особую проблему дри моделировании роста популяций пред-

ставляет математическое описание зависимостей эколого-физио-

Заказ № 57

логических характеристик организмов и популяций от важнейших

физических факторов среды — температуры, освещенности, рН,

ионизирующего излучения и т. д.

Температура.

Наиболее часто при моделировании экологических

процессов необходим

учет

температуры окружающей среды. Осо-

бое значение имеет температура для пойкилотермных (не под-

держивающих постоянную температуру тела) организмов — рас-

тений,

водных и многих наземных животных.

Начало исследований влияния температуры на скорость жиз-

ненных процессов относится к концу XIX в., когда С. Аррениусом

была показана применимость основных законов физической химии

биохимическим реакциям, протекающим в живых системах

[164].

Количественную зависимость скоростей химических реакций

от температуры Аррениус выразил экспоненциальным уравне-

нием.

В общем

случае

для биологических процессов уравнение

Дррениуса записывается в виде

(^)

(2.44)

где /? = 1,986 — газовая постоянная, кал • моль"

• град; Т—абсо-

лютная температура; V

— скорость процесса при температуре Т;

Vo, k — эмпирические коэффициенты.

В биологической литературе часто пользуются также более

простым уравнением Вант-Гоффа [321]. Вант-Гофф предложил

сравнивать скорости химических реакций при одинаковых изме-

нениях температуры. Выбрав условно интервал температуры 10 °С,

Вант-Гофф получил коэффициент Qio, по которому можно судить,

во сколько раз увеличилась скорость реакции при увеличении

температуры на 10 °С:

(2.45)

На

ряде примеров Вант-Гоффом было показано, что в обла-

сти температур

10—20

°С коэффициент Q

у живых организмов

близок к постоянной величине и в среднем равен Qio = 2... 3. Од-

нако

область действия этой оценки, как показали дальнейшие ис-

следования [71], ограничивается небольшим диапазоном темпера-

тур, за пределами которого ускоряющее действие температуры

снижается, при дальнейшем повышении температуры жизнедея-

тельность организмов угнетается.

Каждый вид организмов может существовать только в опре-

деленном интервале температур, называемом диапазоном термо-

толерантности. В целом зависимость скорости роста пойкилотерм-

ных организмов имеет вид одновершинной асимметричной кривой,

начало и конец которой определяются нижней и верхней критиче-

скими

температурами [71, 105, 120]. Согласно современным пред-

ставлениям такая форма кривой отражает динамическое взаимо-

действие

двух

противоположно направленных процессов — усиле-

ния

биосинтеза вследствие интенсификации ферментативных

реакций

и одновременного ускорения распадных процессов, в част-

ности,

тепловой инактивации ферментов, скорость каждого из этих

процессов подчиняется уравнению Аррениуса. В уравнении

(2.44)

удобно перейти к температурам в

градусах

Цельсия, ис-

пользуя разложение по малому параметру (t/273)

ехр

-Аг)

ехр

R(t

273)

] ~

ехр

{at),

(2.46)

273)

где

р = ехр (- k/273R); a = k/(R • 273

учетом

(2.46)

уравнение роста популяции может быть запи-

сано

в виде

V-

= — е

— е

ехр (a

t) + р

ехр (a

t) д-

+ 5

(2.47)

где е

отражает потери, связанные с основным уровнем метабо-

лизма, и определяет нижнюю границу области термотолерантно-

сти,

члены

ехр

t);

ехр (a

t) характеризуют соответст-

венно

зависимость процессов распада и синтеза от температуры.

В общем

случае

константа полунасыщения, входящая в (2.47),

также является функцией температуры [227]. Кроме того, темпе*

ратурная реакция популяции связана, как видно из (2.47), с кон-

центрацией

компонентов питания в среде. Для простоты изложе-

ния

эти эффекты можно исключить, рассмотрев случай, когда эле-

менты питания

«присутствуют

в избытке и S/(/C + S)~ 1.

Численные

эксперименты с выражением

(2.47)

позволяют сде-

лать вывод, что

существуют

достаточно узкие области значений

показателей экспонент [125]

<х

= 0,05 .. . 0,08,

= 0,15 ... 0,25,

при

которых удельная скорость роста популяции ц, имеет харак-

терный вид асимметричного «колокола» в биологическом интер-

вале температур, а значения ео, е

, р

не выходят за пределы точ-

ности

биологических измерений. Действительно, повышение а

до

0,3—0,4

уже при 25 °С

дает

вклад процессов распада порядка

ехр (10), что вынуждает выбирать исчезающе малое значение

множителя е

(около 10~

), и достоверность его определения по

экспериментальным

данным становится сомнительной. В то же

время показатель экспоненты синтеза а

в среднем при темпера-

туре

выше 15 °С должен превысить 1, чтобы обеспечить стиму-

лирующий эффект температуры. Отсюда а

имеет значение около

1/15 = 0,07. Кроме того, из соотношений средних энергий актива-

ции

процессов синтеза и инактивации белковых молекул видно,

что значение а

должно быть по крайней мере в два — три раза

больше значения ас-

Дальнейшую конкретизацию значений показателей экспонент

можно провести, учитывая экспериментальные данные. Известно,

что в интервале температур

10—20°С

скорости роста пойкило-

5* 67

термных животных

водорослей планктона возрастают

среднем

два

раза

при

повышении температуры

на 10 °С, что

дает

оценку

= 0,1

2 = 0,069

[125]. Близкий

результат

получен

работе

[187]

при

обобщении температурной зависимости роста фито-

планктона

разных систематических групп

ц, = 0,6 ехр

(0,063/)

(рис.

2.20).

Таким

образом, восходящий участок кривой термотолерантно-

сти

пойкилотермных видов определяется экспоненциальной

за-

висимостью

ехр

fact),

где

показатель

является, по-видимому,

универсальным

принимает значения

0,06—0,07,

что

отражает

X / .

I 2

•

о 4

12 г-

о"

*<'

о°о

•

40 Т°С

Рис.

2.20. Скорость роста фитопланктона как функция темпе-

ратуры

среды.

—

динофлагелляты;

2 —

диатомовые;

3 —

зеленые;

4 —

сине-зеленые

водоросли [187].

единый

характер отклика белковых

структур

на

повышение

тем-

пературы.

В области оптимальных

супраоптимальных температур

про-

цессы распада начинают оказывать

все

большее,

затем

опре-

деляющее влияние

на ход

кривых термотолерантности. Естест-

венно

предположить,

что и

нисходящий участок кривых темпера-

турных зависимостей является однотипным

для

разных видов

ор-

ганизмов.

частности,

из

асимметричности экспериментальных

кривых роста

следует,

что при

повышении температуры

супра-

оптимальной области

на

три—пять

градусов

происходит умень-

шение

скорости роста вдвое

по

сравнению

максимальной.

От-

сюда значение показателя процессов распада

0,18...

0,25.

Для проверки высказанных предположений

об

универсально-

сти параметров

, а

их

значения были зафиксированы

на

уровне

= 0,2; а

0,065

и была произведена аппроксимация экспери-

ментальных кривых термотолерантности для ряда видов мик-

роводорослей фитопланктона с разными температурными опти-

мумами [125]. При фиксированных а

, а

подбор остальных

коэф-

фициентов

во, е

, р

в формуле

(2.47)

становится простой линей-

ной

алгебраической задачей и может быть выполнен без примене-

ния

ЭВМ. Вычисления можно проводить всего по

двум

экспери-

ментальным точкам, например,

максимуму (|л =

ах)

и точке на

середине восходящего участка кри-

вой

((.i =

0,5цтах)-

Кроме того, из

условия максимума ц при ^

pt по-

лучаем соотношение

между

коэф-

фициентами

и р

0,325р

ехр

(-0,135*

t).

Рис.

2.21. Сравнение экспериментальных

данных с теоретическими кривыми термо-

толерантности, рассчитанными по формуле

(2.47)

со значениями параметров из

табл. 2.2, для нескольких видов микроводо-

рослей с разными температурными оптиму-

мами.

/ — Delonula confervacea; 2 —

Phaeodactylum

tri-

cornutum;

3 —

Ditulum

brightwelii; 4 —

Dunaliella

tertiolecta;

5 — Chlorella sp. [125, 201, 249, 274].

T°C

Использование

крайних точек зоны термотолерантности при

определении коэффициентов нежелательно в связи с большими

ошибками

экспериментальных данных. На рис. 2.21 представлены

экспериментальные данные по росту ряда

культур

микроводоро-

слей и теоретические кривые термотолерантности, рассчитанные

по

формуле

(2.47)

со значениями параметров, приведенными

табл. 2.2. Несмотря на выбор видов со значительно отличающи-

Таблица 2.2

Параметры кривых термотолерантности микроводорослей

Вид

Detonula

confervacea

Phaeodactylum

tricornutum

Ditylum

brightwelii

Dunaliella

tertiolecta

Chlorella

sp.

3,713

0,583

0,863

0,!34

5,968

0,295

0,0093

0,010

0,0074

0,0033

Примечание.

Параметры рассчитаны по

3,914

0,617

0,968

1,688

1,599

формуле

'opt ГО

—е

—

0+Рсехр(0,065/).

мися

температурными оптимумами, наблюдается хорошее совпа-

дение экспериментальных

расчетных данных.

Освещение. При

моделировании популяций растений нередко

возникает необходимость

учета

зависимости экологических

коэф-

фициентов

фотосинтеза

дыхания

от

освещения.

С0

мг/(дм

•

ч)

200

WO IBm/м

100 I

В/п/м2

Рис.

2.22. Влияние интенсивности

света

/ на метаболизм растений.

а —скорость фотосинтеза (поглощение

СО

) у

наземных растений [223];

б —

скорость фотосинтеза (выделение

) у

микроводоросли

Fragilaria crotonensis,

сплошные

кривые —аппроксимация

по

моделям

(2.48)

[139];

в —

ингибирующее

влияние

высокой интенсивности света

на

скорость фотосинтеза

водорослей

Chaetoceros

armatum

(/) и Asterionella socialis (2)

[102];

г —

аппроксимация

зависимости фотодыхания

от

интенсивности света (данные

естественном

фитопланктоне

двух

канадских озер) [139].

Экспериментальные данные, полученные

лабораторных

или

естественных условиях,

свидетельствуют

о том, что

зависимость

скорости фотосинтеза

от

величины освещенности растений имеет

вид кривой

насыщением

(рис. 2.22)

[223].

При

высоких интен-

сивностях света фотосинтез угнетается

(рис.

2.22в).

Для

описа-

ния

этих процессов

настоящее время используются аппрокси-

мационные

формулы, учитывающие

или не

учитывающие свето-