Зубов В.Г., Шальнов В.П. Сборник задач по физике
Подождите немного. Документ загружается.
!
Çíàê «» ïîÿâèëñÿ ïîòîìó, ÷òî èçìåíèëñÿ çíàê ïðî-
åêöèè.
Ïî óñëîâèþ
t
1
+ t
2
= t.(4)
Ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé (1)(4), íàéäåì
β = arcctg
222
(
cos
)
(
sin
)
ssu t
ut
++ α
α
≈ 12°, v = u
sin
sin
α
β
; v ≈ 8 ì/ñ.
17. Âñå òî÷êè îáîäà êîëåñà ñîâåðøàþò îäíîâðåìåííî
äâà äâèæåíèÿ: ïîñòóïàòåëüíîå (âìåñòå ñ âåëîñèïåäîì) è
âðàùàòåëüíîå (âîêðóã îñè êîëåñà). Ïîëíàÿ ñêîðîñòü êàæ-
äîé òî÷êè áóäåò ñóììîé ëèíåéíûõ ñêîðîñòåé ïîñòóïà-
òåëüíîãî è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèé. Åñëè êîëåñî âåëî-
ñèïåäà êàòèòñÿ áåç ñêîëüæåíèÿ, òî ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü
âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îáîäà êîëåñà áóäåò ïî ìîäóëþ
ðàâíà ñêîðîñòè ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ âåëîñèïåäà.
 òî÷êå À ýòè ñêîðîñòè íàïðàâëåíû â ïðîòèâîïîëîæíûå
ñòîðîíû (ðèñ. 183), ïîýòîìó ïîëíàÿ ñêîðîñòü òî÷êè À
áóäåò ðàâíà íóëþ.  òî÷êå  ñêîðîñòè ïîñòóïàòåëüíîãî è
âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèé íàïðàâëåíû â îäíó ñòîðîíó, è
ïîëíàÿ ñêîðîñòü òî÷êè  áóäåò ðàâíà 2v = 40 êì/÷.
18. Ïåðåìåùåíèå êîíöà íèòè îáóñëîâëåíî ïåðåìåùå-
íèåì îñè êàòóøêè è èçìåíåíèåì äëèíû íèòè çà ñ÷åò åå
ñìàòûâàíèÿ (èëè íàìàòûâàíèÿ) ñ êàòóøêè âî âðåìÿ äâè-
æåíèÿ. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïåðåìåùåíèÿ êîíöà
íèòè, âûçûâàåìûå ýòèìè äâóìÿ ïðè÷èíàìè, âñåãäà áó-
äóò íàïðàâëåíû â ðàçíûå ñòîðîíû. Åñëè, íàïðèìåð, êà-
òóøêà äâèæåòñÿ âïðàâî, òî âñëåäñòâèå ïåðåìåùåíèÿ îñè
êàòóøêè êîíåö íèòè áóäåò äâèãàòüñÿ âïðàâî, à çà ñ÷åò
íàìàòûâàíèÿ íèòè âëåâî.
Òàê êàê r < R, òî èçìåíåíèå äëèíû íèòè çà îäèí ïîë-
íûé îáîðîò âñåãäà ìåíüøå ïåðåìåùåíèÿ îñè êàòóøêè çà
A
B
Ðèñ. 182 Ðèñ. 183
!
òî æå âðåìÿ. Â ðåçóëüòàòå ñëîæåíèÿ ýòèõ äâèæåíèé êî-
íåö íèòè äîëæåí áóäåò âñåãäà ïåðåìåùàòüñÿ â òó ñòîðî-
íó, â êîòîðóþ äâèæåòñÿ îñü êàòóøêè. Çà âðåìÿ ïîëíîãî
îáîðîòà Ò îñü êàòóøêè ïåðåìåñòèòñÿ âïðàâî íà ðàññòîÿ-
íèå 2πR, à äëèíà íèòè óìåíüøèòñÿ íà 2πr. Åñëè ñêî-
ðîñòü äâèæåíèÿ îñè u =
2
R
T
π
, òî ñêîðîñòü óìåíüøåíèÿ
äëèíû íèòè ðàâíà
2
r
T
π
=
r
R
2
R
T
π
=
r
R
u.
Ñêîðîñòü äâèæåíèÿ êîíöà íèòè ðàâíà ðàçíîñòè ýòèõ
ñêîðîñòåé:
v = u
r
R
u; îòñþäà u =
R
Rr−
v.
Îñü êàòóøêè ïåðåìåùàåòñÿ áûñòðåå êîíöà íèòè.
19. Êàòóøêà ïåðåìåùàåòñÿ â ñòîðîíó äâèæåíèÿ êîíöà
íèòè ñî ñêîðîñòüþ u =
R
Rr+
v (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 18).
Îñü êàòóøêè ïåðåìåùàåòñÿ ìåäëåííåå êîíöà íèòè.
20. Ñêîðîñòè äâèæåíèÿ êàæäîãî èç òåë îòíîñèòåëüíî
äðóãîãî â ïåðâîì è âòîðîì ñëó÷àÿõ:
u = v
1
+ v
2
, u′ = v
1
v
2
. (1)
Ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé (1), èìååì
v
1
=
2
uu+
R
, v
2
=
2
uu
−
R
.
Ñêîðîñòè è è uR îïðåäåëÿþòñÿ ïî óñëîâèþ çàäà÷è èç
ñîîòíîøåíèé u =
s
t
, èR =
s
t
′
′
. Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
v
1
= 1,1 ì/ñ, v
2
= 0,5 ì/ñ.
§ 2. Ïðÿìîëèíåéíîå ðàâíîïåðåìåííîå
äâèæåíèå
21. v
0
=
12
3
2
ss
t
−
; v
0
= 1 ì/ñ; a =
21
2
ss
t
−
; a = 2,5 ì/ñ
2
.
!!
22. g ≈ 9,73 ì/ñ
2
.
Ó ê à ç à í è å. Ñëåäóåò âû÷èñëèòü çíà÷åíèå g äëÿ
êàæäîãî èç ïóòåé.
23. Ðàññòîÿíèå ÷åòâåðòîé êàïëè äî êðûøè
16
h
= 1 ì;
ðàññòîÿíèå ìåæäó ÷åòâåðòîé è òðåòüåé êàïëÿìè
3
16
h
= 3 ì;
ìåæäó òðåòüåé è âòîðîé
5
16
h
= 5 ì; ìåæäó âòîðîé è
ïåðâîé
7
16
h
= 7 ì.
24. s = 27 ì; v = 9 ì/ñ.
25. Äâèæåíèå äî òî÷êè  ðàâíîçàìåäëåííîå, òàê
êàê ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè óìåíüøàåòñÿ, ïîñëå òî÷êè Â
ðàâíîóñêîðåííîå. Â ìîìåíò âðåìåíè, ñîîòâåòñòâóþùèé
òî÷êå Â, òåëî îñòàíàâëèâàåòñÿ, è íàïðàâëåíèå åãî ñêîðî-
ñòè èçìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíîå, òàê êàê çíàê ïðî-
åêöèè ñêîðîñòè èçìåíèëñÿ. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ èìååò
âèä:
s
x
= v
0x
t +
2
2
x
at
.
Çäåñü v
0x
= v
0
= 7 ì/ñ (ýòî íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü). Äëÿ
îïðåäåëåíèÿ a
x
ïðèìåíèì ôîðìóëó a
x
=
0
xx
vv
t
−
. Òàê êàê
v
x
= 0, òî a
x
= 0,7 ì/ñ
2
. Ñëåäîâàòåëüíî,
s
x
= 7t 0,35t
2
.
26. h = 14,7 ì.
27. Åñëè âðåìÿ ïàäåíèÿ ïåðâîãî òåëà ðàâíî t, òî âðå-
ìÿ ïàäåíèÿ âòîðîãî òåëà ðàâíî t τ, è óðàâíåíèÿ äâèæå-
íèÿ îáîèõ òåë ïðèìóò âèä
h
1
=
2
2
gt
, h
2
=
2
()
2
gt−τ
;
îòñþäà
h = h
1
h
2
= gtτ
2
2
gτ
, ò. å. t =
h
gτ
+
2
τ
.
!"
28. I. Óðàâíåíèÿ äëÿ ïóòåé ÀÑ è ÀÂ (ðèñ. 184),
ïðîéäåííûõ òåëîì ñ íà÷àëà ïàäåíèÿ:
AC = h =
2
2
gt
, AB =
2
h
=
2
()
2
gt−τ
,
ãäå t âðåìÿ äâèæåíèÿ òåëà îò òî÷êè À äî
òî÷êè C, τ = 1 ñ. Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíå-
íèé, ïîëó÷èì h ≈ 57 ì è t ≈ 3,4 ñ.
II. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ äëÿ ïóòåé AB
è BC. Äëÿ ïóòè ÀÂ èìååì
2
h
=
2
1
2
gt
,
ãäå t
1
âðåìÿ äâèæåíèÿ òåëà îò òî÷êè A äî òî÷êè Â. Äëÿ
ïóòè BC èìååì
2
h
= v
0
t
2
+
2
2
2
gt
,
ãäå v
0
=
2
2
gh
ñêîðîñòü òåëà â òî÷êå Â, a t
2
= 1 ñ
âðåìÿ äâèæåíèÿ îò òî÷êè  äî òî÷êè Ñ. Ïîëíîå âðåìÿ
ïàäåíèÿ t = t
1
+ t
2
= t
1
+ 1 ñ. Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíå-
íèé, ïîëó÷èì òå æå çíà÷åíèÿ h è t.
29. Ïóòè, ïðîéäåííûå äî âñòðå÷è ïåðâûì è âòîðûì
òåëàìè:
H =
2
2
gt
, h = v
0
t
2
2
gt
.
Çíàê «» ñòîèò ïîòîìó, ÷òî âåêòîðû
H
0
v
è
H
0
g
íàïðàâëåíû â ïðîòè-
âîïîëîæíûå ñòîðîíû. ( ðåøåíèè ïîñëåäóþùèõ çàäà÷ ýòî áóäåò ó÷è-
òûâàòüñÿ áåç ïîÿñíåíèÿ.)
Ñîâìåñòíîå ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé äàåò (h
max
> h)
v
0
=
2
Hh
H
+
2gH
.
Ìàêñèìàëüíàÿ âûñîòà ïîäúåìà h
max
îïðåäåëÿåòñÿ ïî
ôîðìóëå:
h
max
=
2
0
2
v
g
=
2
()
4
Hh
H
+
.
Ðèñ. 184
!#
Ïðè H = h èìååì
v
0
=
2gH
(h
max
= h).
30. Èç òî÷êè À â òî÷êó  ïåðâîå òåëî ïàäàåò âðåìÿ
t
l
=
2
H
g
. Îò òî÷êè Ñ äî ìàêñèìàëüíîé âûñîòû ïîäúåìà
âòîðîå òåëî äâèæåòñÿ â òå÷åíèå âðåìåíè t
2
=
2
h
g
. Èñêî-
ìîå âðåìÿ
t = t
1
t
2
=
22
Hh
g
−
=
22
gHgh
g
−
.
Ïðè H > h âòîðîå òåëî íóæíî áðîñàòü ñ çàïàçäûâàíèåì; ïðè
H = h òåëà íóæíî áðîñàòü îäíîâðåìåííî; ïðè
H < h âòîðîå òåëî íóæíî áðîñàòü äî íà÷àëà ïàäåíèÿ ïåðâîãî.
31. Åñëè t âðåìÿ äâèæåíèÿ ïåðâîãî òåëà, òî âðåìÿ
äâèæåíèÿ âòîðîãî òåëà áóäåò t τ è óðàâíåíèÿ äâèæå-
íèÿ îáîèõ òåë ïðèìóò âèä
h
1
= v
0
t
2
2
gt
, h
2
= v
0
(t τ)
2
()
2
gt−τ
.
 ìîìåíò âñòðå÷è h
1
= h
2
è t =
0
v
g
+
2
τ
.
32. Òàê êàê â íà÷àëüíûé ìîìåíò ãðóç íàõîäèòñÿ íà
âûñîòå h
0
è èìååò íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü
H
0
v
, íàïðàâëåííóþ
ââåðõ, òî óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ãðóçà áóäåò èìåòü âèä
h = h
0
+ v
0
t
2
2
gt
. (1)
Ñêîðîñòü ãðóçà äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè áóäåò
îïðåäåëÿòüñÿ óðàâíåíèåì
v = v
0
gt. (2)
Ïðè ïàäåíèè íà çåìëþ h = 0. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî çíà÷åíèå
h â óðàâíåíèå (1), íàõîäèì âðåìÿ ïàäåíèÿ t è ïî ýòîìó
âðåìåíè èç óðàâíåíèÿ (2) ñêîðîñòü â ìîìåíò ïàäåíèÿ:
t =
0
v
g
+
2
00
2
ghv
g
+
, v =
2
00
2
ghv+
.
!$
34. Ñêîðîñòü ïåðâîãî øàðèêà â ìîìåíò óäàðà î ïëèòó
v
0
=
0
2
gh
. Òàê êàê óäàð óïðóãèé, òî äâèæåíèå ââåðõ
ïîñëå óäàðà øàðèê íà÷íåò ñ òàêîé æå ïî ìîäóëþ ñêîðîñ-
òüþ
H
0
v
. Çà âðåìÿ t ïåðâûé øàðèê ïîäíèìåòñÿ íà âûñîòó
h
1
= v
0
t
2
2
gt
.
Çà ýòî æå âðåìÿ âòîðîé øàðèê ïðîéäåò îò òî÷êè À
âíèç ðàññòîÿíèå
h
2
=
2
2
gt
.
 ìîìåíò âñòðå÷è h
1
+ h
2
= h
0
; îòñþäà t =
0
0
h
v
=
0
2
h
g
è h = h
1
=
0
3
4
h
.
35. Ñêîðîñòè ïåðâîãî è âòîðîãî òåë â ëþáîé ìîìåíò
âðåìåíè îòíîñèòåëüíî Çåìëè:
v
1
= v
0
gt, v
2
= v
0
g(t τ).
Èñêîìàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ âòîðîãî òåëà îòíîñèòåëüíî
ïåðâîãî ðàâíà
v = v
2
v
1
= gτ
è íàïðàâëåíà ââåðõ êàê âî âðåìÿ ïîäúåìà, òàê è âî âðå-
ìÿ ïàäåíèÿ îáîèõ òåë.
Âî âðåìÿ ïîäúåìà ðàññòîÿíèå ìåæäó òåëàìè ðàâíî-
ìåðíî óìåíüøàåòñÿ, âî âðåìÿ ñïóñêà ðàâíîìåðíî óâåëè-
÷èâàåòñÿ.
Åñëè íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü v
0
âòîðîãî òåëà â äâà ðàçà
ìåíüøå íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ïåðâîãî òåëà, òî v = v
0
+ gτ.
36. Åñëè ðàññòîÿíèå äî ìåñòà âñòðå÷è îò ïóíêòà À
ðàâíî s
1
, à îò ïóíêòà Â ðàâíî s
2
, òî
s
1
= v
1
t
2
2
at
, s
2
= v
2
t +
2
2
at
,
s = s
1
+ s
2
= v
1
t + v
2
t = (v
1
+ v
2
)t;
!%
îòñþäà íàõîäèì
t =
12
s
vv+
; t = 10 ñ,
s
1
=
1
12
vs
vv
+
2
2
12
2
()
as
vv+
;
s
1
= 100 ì.
Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ðàññòîÿ-
íèå ìåæäó ìîòîöèêëèñòàìè
óìåíüøàåòñÿ ðàâíîìåðíî ïî çàêîíó l = s (v
1
+ v
2
)t è
îáðàùàåòñÿ â íóëü ÷åðåç âðåìÿ t = 10 ñ (ðèñ. 185).
§ 3. Êðèâîëèíåéíîå äâèæåíèå
37. Âî âñåõ òðåõ ñëó÷àÿõ ÿáëîêî ïàäàåò â òå÷åíèå îäíîãî
è òîãî æå âðåìåíè. Äâèæåíèå âàãîíà ñêàçûâàåòñÿ òîëüêî íà
ãîðèçîíòàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ ÿáëî-
êà è íå âëèÿåò íà õàðàêòåð åãî äâèæåíèÿ ïî âåðòèêàëè.
38. Äâèæåíèå ïóëè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðåçóëü-
òàò ñëîæåíèÿ äâóõ äâèæåíèé: ðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ
ïî îñè X ñî ñêîðîñòüþ, ðàâíîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòè
0
v
H
, è
ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ïî âåðòèêàëè (îñè Y). Òðàåêòîðèåé
äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî B òî÷-
êà ïàäåíèÿ ïóëè â âîäó íà-
÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò XY
(ðèñ. 186),
H
v
ñêîðîñòü ïóëè
ïðè ïàäåíèè â âîäó, v
x
è v
y
ïðîåêöèè ñêîðîñòè íà îñè X è Y.
Òàê êàê v
x
= v
0
è
2
y
v
= 2gh, òî
ñêîðîñòü ïóëè ïðè ïàäåíèè â
âîäó v =
2
0
2
vgh
+
.
39. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåë â ïðîåêöèÿõ íà ãîðèçîí-
òàëüíóþ è âåðòèêàëüíóþ îñè èìåþò âèä (ìû ó÷ëè, ÷òî
ñîîòâåòñòâóþùèå âåêòîðû ñîíàïðàâëåíû è èõ ïðîåêöèè
ðàâíû ìîäóëÿì âåêòîðîâ):
s
1
= v
1
t, s
2
= v
2
t; h
1
=
2
2
gt
, h
2
=
2
2
gt
.
Ðèñ. 185
B
v
0
v
X
Y
v
v
x
y
A
h
Ðèñ. 186
!&
Òàê êàê âðåìåíà ïîëåòà ïî óñëî-
âèþ îäèíàêîâû è ðàâíû t =
1
1
s
v
= 2 ñ,
òî h
1
= h
2
= 19,6 ì è s
2
= v
2
t = 15 ì.
40. Ïðîåêöèè ñêîðîñòè ñíàðÿäà â
íà÷àëüíûé ìîìåíò íà ãîðèçîíòàëüíóþ
è âåðòèêàëüíóþ îñè (ðèñ. 187) ðàâíû:
v
0x
= v
0
cos α, v
0y
= v
0
sin α.
Êîîðäèíàòû ñíàðÿäà ñ òå÷åíèåì âðåìåíè èçìåíÿòñÿ
ïî çàêîíó:
x = s = v
0x
t, y = h = v
0y
t
2
2
gt
.
Ïî óñëîâèþ ïóøêà è òî÷êà ïàäåíèÿ ñíàðÿäà ðàñïîëî-
æåíû íà îäíîé ãîðèçîíòàëè, ò. å. â òî÷êå ïàäåíèÿ h = 0.
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî çíà÷åíèå â óðàâíåíèå äëÿ êîîðäèíàòû y,
íàõîäèì âðåìÿ ïîëåòà ñíàðÿäà:
t =
0
2
y
v
g
; t ≈ 100 c
(âòîðîé êîðåíü óðàâíåíèÿ t = 0 îïðåäåëÿåò ìîìåíò âûñ-
òðåëà). Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå t â óðàâíåíèå äëÿ êîîðäè-
íàòû x, íàõîäèì äàëüíîñòü ïîëåòà ñíàðÿäà:
s =
00
2
xy
vv
g
=
2
0
2
v
g
sin α sos α =
2
0
v
g
sin 2α; s ≈ 88,4 êì.
41. α = 45° (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 40).
42.
1
2
h
h
= tg
2
α.
43. Åñëè s < s
max
, òî ñóùåñòâóþò äâà óãëà α
1
è α
2
, ïðè
êîòîðûõ äëÿ äàííîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòè
0
v
H
äàëüíîñòü
ïîëåòà áóäåò ðàâíà s. Ýòîò ðåçóëüòàò ïîëó÷àåòñÿ íåïîñ-
ðåäñòâåííî èç óðàâíåíèÿ äëÿ èçìåíåíèÿ êîîðäèíàòû
x = s (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 40) è èçâåñòíîãî ñîîòíîøåíèÿ
òðèãîíîìåòðèè:
sin 2α = sin (180° 2α) = sin 2 (90° α).
Ðèñ. 187
!'
Äàëüíîñòü ïîëåòà s ïðè äàé-
íîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòè
0
v
H
áó-
äåò îäíà è òà æå ïðè óãëàõ áðî-
ñàíèÿ α
1
= α è α
2
= 90° α, ïðè-
÷åì
α =
1
2
arcsin
2
0
gs
v
.
Âñåãäà ñóùåñòâóþò äâå òðàåêòîðèè, äâèãàÿñü ïî êîòî-
ðûì áðîøåííîå òåëî ïîïàäàåò â îäíó è òó æå òî÷êó (ðèñ.
188). Ïîëîãàÿ òðàåêòîðèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ óãëó α, íà-
çûâàåòñÿ «íàñòèëüíîé», êðóòàÿ òðàåêòîðèÿ, ñîîòâåòñòâó-
þùàÿ óãëó 90° α, «íàâåñíîé».
44. Íàèìåíüøàÿ âûñîòà áåçîïàñíîãî ïîëåòà áîìáàðäè-
ðîâùèêîâ îïðåäåëÿåòñÿ íàèáîëüøåé âûñîòîé h
max
ïîäúåìà
ñíàðÿäîâ. Óðàâíåíèå èçìåíåíèÿ êîîðäèíàòû y èìååò âèä:
h = (v
0
sin α)
2
2
gt
(ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 40). Ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè ñíàðÿäà íà
îñü y â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ðàâíà v
y
= v
0
sin α gt.
 íàèâûñøåé òî÷êå ïîäúåìà v
y
= 0; îòñþäà âðåìÿ ïîäúåìà
t =
0
sin
v
g
α
è h
max
=
22
0
sin
2
v
g
α
= 2187 ì.
45. α ≈ 76° (ñì. ðåøåíèÿ çàäà÷ 40 è 44).
46. Êðèâîëèíåéíîå äâèæåíèå ìèíû ïî ïàðàáîëå ìîæíî
ïðåäñòàâèòü êàê ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ äâóõ ïðÿìîëèíåéíûõ
äâèæåíèé â ãîðèçîíòàëüíîì è âåðòèêàëüíîì íàïðàâëå-
íèÿõ. Ïåðåìåùåíèå ìèíû áóäåì îòñ÷èòûâàòü îò òî÷êè A
(ñì. ðèñ. 8). Ïðîåêöèè íà÷àëüíîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ìèíû
íà ãîðèçîíòàëüíóþ è âåðòèêàëüíóþ îñè ðàâíû
v
0x
= v
0
cos α, v
0y
= v
0
sin α.
Óðàâíåíèÿ äëÿ êîîðäèíàò x è y ìèíû èìåþò âèä:
x = s = (v
0
cos α)t, y = h = (v
0
sin α)t
2
2
gt
. (1)
Ðàññòîÿíèå ïî ãîðèçîíòàëè s è âûñîòà h òî÷êè ïàäå-
íèÿ ìèíû ñâÿçàíû ñ ðàññòîÿíèåì l ñîîòíîøåíèÿìè:
s = l cos β, h = l sin β. (2)
Ðèñ. 188
"
Ðåøàÿ ñîâìåñòíî óðàâíåíèÿ (1), à òàêæå èñïîëüçóÿ
ñîîòíîøåíèÿ (2), íàõîäèì èñêîìîå ðàññòîÿíèå:
l =
2
0
2
v
g
2
(sin cos cos sin ) cos
cos
αβ−αβ α
β
. (3)
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî ïî óñëîâèþ çàäà÷è
α = 2β, è ïðåîáðàçóÿ âûðàæåíèå (3), ïîëó÷èì
l =
βα
β
2
0
2
2sincos
cos
v
g
=
2
3
2
0
v
g
.
§ 4. Âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà
47. v =
2
R
T
π
, ãäå T = 1 ÷; v ≈ 0,8 ñì/ñ; ω = v/R =
= 1,7510
3
paä/ñ.
48. v =
2cos
R
T
πϕ
, ãäå T = 24 ÷; v ≈ 233 ì/ñ; a =
2
v
R
cos ϕ;
a ≈ 1,7 ñì/ñ
2
.
49. Ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü òî÷åê îáîäà øêèâà â ëþáîé
ìîìåíò ðàâíà ñêîðîñòè ãðóçà:
v =
2as
.
Êîãäà ãðóç ïðîéäåò ïóòü s = 1 ì, ñêîðîñòü ñòàíåò ðàâ-
íîé v = 20 ñì/ñ.
Óãëîâàÿ ñêîðîñòü
ω =
v
R
= 1 ðàä/ñ.
Ïîëíîå óñêîðåíèå òî÷êè À ñêëàäû-
âàåòñÿ èç óñêîðåíèÿ
a
τ
H
(a
τ
= a) öåíò-
ðîñòðåìèòåëüíîãî óñêîðåíèÿ
H
n
a
=
2
n
v
a
R
(pèc. 189):
=+ = +
22
222
2
4
.
4
A
as a
RR
aa Rs
Ðèñ. 189