Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Решебник
Подождите немного. Документ загружается.
330
Гл.
12. Кратные интегралы
Поскольку Q — тело вращения вокруг оси 0Z, удобно перейти к
цилиндрическим координатам
X =
д
cos if,
у = QsiiKp,
z — z.
При этом (^, (^, z) G П', а искомая масса определяется формулой
V = / / / zQdgdip dz.
Заменяем в уравнениях поверхностей х на gcos(p и у на. д sirup. По-
лучим
д = 2, Z = 0, Z = ^.
2.
Зададим область О.' системой неравенств
0< ^<2,
П'=
<
(^,^,z): 0<z<g^/2,
О < 9? < 27Г
>
.
— \ dip \ gdg \ zdz —
87Г
3 '
3.
Вычисляем т, сводя тройной интеграл к повторному:
27Г
2 ^V2
т
0 0 о
Ответ. V = 87г/3 ед. массы.
ПРИМЕР
3. Найти массу тела Г^ с плотностью /i = 2О2;, ограничен-
ного поверхностями
= \/1 - а:2
Г
а;^
+ у^
РЕШЕНИЕ.
1.
Масса тела fi с плотностью \i = 20z определяется формулой
771= /// 20zdxdydz.
12.13.
Вычисление массы тела
331
Поскольку о. — область, ограниченная верхней полусферой и верх-
ним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатам:
X = ^cos<^sin^,
Z = QCOSO.
При этом {д,в,(р) G П', а искомая масса определяется формулой
411
••
т= I I I 20д sin
в cos
в d(f
dO
dg.
Заменяем в уравнениях поверхностей х на
^
cos
(^
sin
б,
уна^д sin
(р
sin в
и
2:
на gcosO. Получаем
Область П' ограничена этими поверхностями.
2.
Зададим область fi' системой неравенств
fi'= 1
0<g<h
{g.e.if):
0<6<arctg2,
0<(р<27г
3.
Вычисляем m, сводя тройной интеграл к повторному:
27Г arctg 2
771 = 20
d(p / sin
б cos
0d^ /
sin в cos
0
d^ / g^dg = 407г
sin^l?
0 0 0
Здесь мы воспользовались формулой
arctg 2 ^4
О
4
= 47Г.
sin^e
^=arctg2 l + tg^^
0=arctg 2
Ответ, m = 47Г ед. массы.
332 Гл.
12.
Кратные интегралы
Условия ЗАДАЧ. Найти массу тела с плотностью /х, ограничен-
ного заданными поверхностями.
1.
/i
=
2у^е^^, ж
=
О, у
=
1,
У
= X, 2 = 0, Z
=
1.
2.
fi =
y'^e-''y,
х
=
0, 2/= -2, у
=
4а:, z = О,
z
=
l.
3.
/i
=
2/2e^^/2, а;=:0, у
=
2, у
=
2ж, z = О, z =-1.
Г.2
"^^ /^
=
^2
•
2 >
2:^
+
2/^-42/
=
О,
г =
4-x^
г =
0.
х-^ 4- г/
5.
fJ^
=
-^—5-'
ж'^ + У^-4а:
=
0,
z
= 10~y^,
z
= 0.
х^
/ ж
-j-
ту
7
^' /1 2 2
2(^^ + у")
^'
^= 2_L 2^
2;= л/1-а;2-у2^
z = .
3:^
+
2/"^
3
8. /i
=
32z,
z
=
y^l-x^-y\ z
=
y/^Ty^.
9. /i = 52,
z
= \/l6
—
ж^
—
г/2,
z
x^
+
y^
9
10.
/i
=
lOz,
z
= y^4
-
x^
-
2/2, z
=
д/х^Т^
Ответы. 1. m
=
e
-
2. 2. m
=
2e~^. 3. m
=
4e
-
8. 4. m
=
57г/2.
5.
m
=
177Г/2. 6. m
=
17l7r/4. 7. m
=
197г/96. 8. m = 47г. 9. m
=
2887Г.
10.
m
=
327Г.
Глава 13
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
При изучении темы ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ вы по-
знакомитесь с понятием интеграла по поверхности от функции трех
переменных и научитесь сводить его к двойному (а затем — к по-
вторному), проецируя заданную поверхность на одну из координат-
ных плоскостей. Кроме того, вы научитесь вычислять интегралы по
части цилиндрической и сферической поверхностей.
С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете найти коорди-
наты единичного нормального вектора поверхности (вычислить част-
ные производные и длину вектора), вычислить полученные вами по-
вторные интегралы, выполнить все численные расчеты и проверить
правильность полученных вами результатов.
13.1.
Поверхностный интеграл
первого рода
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить поверхностный инт,еграл
f{x,y,z)da,
II-
S
где Е — часть поверхности, описываемая уравнением F{x,y,z) = О
и некоторыми неравенствами.
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Поверхностный интеграл сводится к двойному
проецированием Е на координатную плоскость XOY по формуле
/ / f{x, у, z) da = / / /(ж, у, z(x, у)) 1——г, (1)
S D
где D — проекция Е на плоскость XOY, j — угол между нормалью
к поверхности Е и осью 0Z; z{x, у) определяем из уравнения поверх-
ности F{x, у, z) = 0.
334 Гл.
13.
Поверхностные интегралы
ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ уравнение F{^x^y^z)
=•
О не определяет одно-
значно функцию Z = z(x,2/), то проецируем Е на другую координат-
ную плоскость или используем криволинейные координаты (можно
также разбить поверхность на части и воспользоваться аддитивнос-
тью интеграла).
1.
Единичные нормальные векторы щ = {cosа,cos/?,cos7} к по-
верхности, заданной уравнением F{x^ у, z) = О, определяются форму-
лой
gradF
По = ±1 TFT-
|gradF|
2.
Проекцию D поверхности Е на плоскость XOY находим, ис-
ключая Z из условий, определяющих Е.
3.
Находим Z = z(a:, г/), решая уравнение F(x, t/, z) = 0.
4.
Переходим от поверхностного интеграла к двойному по фор-
муле (1) и вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному.
Записываем ответ.
ПРИМЕР. Вычислить поверхностный интеграл
{-X -h Зу 4-
4:z)
da,
Ih
Е
где Е — часть плоскости
х + 2г/-+-32г = 1,
расположенная в первом октанте (т.е. о: > О, у > О,
2:
> 0).
РЕШЕНИЕ.
1.
Единичные нормальные векторы щ = {cos а, cos ^, cos
7}
к по-
верхности, заданной уравнением F{x,
г/,
г) = О, определяются форму-
лой
gradF
В данном случае F{x, у, 2) = х + 2^ + 3z
—
1. Следовательно,
^ ,{1,2,3} . , 3
по = ±-д^, |cos7| = ^.
2.
Поверхность Е определяется условиями
_ Г, а;+ 2?/+ 32 = 1, 1
13.1.
Поверхностный интеграл первого рода
335
Ее проекцию D на плоскость XOY находим, исключая z из условий,
определяющих S:
(а:, г/,
г)
z = {l-x-
22/)/3,
х>0, у>0, г>0
( ж>0.
- X - 2у)/3
Отсюда
D
=
{{x,y):
О
<
2/
< 12, 1
< а: < 1 - 22/ /
3.
Из уравнения x-\-2y-{-3z-l =0 находим z{x,y) = (1-а;-22/)/3.
4.
Переходим от поверхностного интеграла к двойному по фор-
муле (1) и вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному:
lj{~x + 4у + 3z) da= [{-X + 4у + Зг)
у/й
dxdy^
г=(1-ж-2у)/3
1/2 1-2у
= ^jj{l-2x + 2y)dxdy = ^jdy I (l-2x + 2y)da: = ^.
Ответ.
{-X-]-Ay
+ Sz) da =
"Is"'
Условия ЗАДАЧ. Вычислить поверхностные интегралы.
l.jlxyzda, Е= <|(x,T/,z) : х > О, т/> 0,'z >
О
Г*
JJ{y-^z)da,
Е= < (x,2/,z) :
>0,
у>0, z>OJ
336 Гл.
13.
Поверхностные интегралы
3.
11 (зх + ^z) da, Е = I (х,у,z) :
ж4-2//2 + г/3 = 1,
^>0,
г/>0, z>0
Г Г
Г a; +
22/
+ 3z = l,
4.
//(x + lSy-f 24z)d(7, E=U2^,y»'^):
E
5
. zda, E= ^ (ж,2/,^) :
a^>0, y>0, z>0
a;2 + у2 +
2:2
= 1, I
z>0 I
6. {x + у
Л-
z) da, E =
<
(x,
2/, 2:)
:
7.
/bdcT, E=: <(x,2/,2;):
S. JJ{x^ +
y^)da,
Е=|(х,2/,г):
2^>0, 2/>0, ;^>0
0<г< 1 J
x2 +2/2-^2 = 0, I
0<z<l J
9. {xy-\-yz-\- zx)da, E=<(x,2/,z):
10. [fV^^T^da, ^={{x,y,z):
J
J I 0 < z < 1/2
0<z < 1
x^ + 2/2 - 42;2 = 0,
Ответы. 1. V3/120. 2.
\/3/3.
3. 35/6. 4. \/Т4/2. 5. 27г.
6.
\/3/2.
7. 12(1 + б\/3)7г/15. 8. \/27г/2. 9. 0. 10.
\/57г/3.
13-2.
Интеграл
по цилиндрической поверхности
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить поверхностный интеграл
// f{x,y,z)da,
Е
где Е — часть поверхностей х^
Л-
у^
—
г^, вырезаемая плоскостями
Z
—
О
и Z = h.
13.2.
Интеграл по цилиндрической поверхности
337
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1.
Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейные
координаты
^ ж = gcos^p,
Z — Z.
в этих координатах поверхность задается условиями
5]= <
2.
Так как
то
(^,^,z): 0<^<27Г,
О
< Z < /i
da
==
rd(pdz^
27Г h
>
.
// f{xjy^z)da = r d(f f {r cos (f
J
r sin if, z)dz.
E 0 0
3.
Вычисляем повторный интеграл и записываем ответ.
ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ поверхностный интеграл
//
{х'^
+
у'^)
da,
где Е — часть поверхности ж^ + 2/^ = 1, вырезаемая плоскостями
г = 0, z = 2.
РЕШЕНИЕ.
1.
Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейные
координаты
X = gcosip,
у =
gsinif,
Z — Z.
в этих координатах поверхность задается условиями
0<г <2
338
Гл.
13.
Поверхностные интегралы
2.
Так как da
—
1
-
c?(p(izHX^ + y^ = l, то имеем
27Г 2
11 {х^ -^y^)d(T= d(p dz.
s 0 0
3.
Вычисляем повторный интеграл:
27Г 2
{х'^
+ y^)da= d^ dz =
A7r.
о о
Ответ.
Условия ЗАДАЧ. Вычислить поверхностные интегралы.
Е =
+ z)
dcr,
Е =
1.
/ / xda,
Е
2.
ll{x +
y)dcT,
Е
2
E
5.
ff{2-x^~y^)d(7, E =
E
6. ff{x'^ + z)da,
E =
7.
II y/^Vy^dcj,
E
=
E
S
(a;,
2/,^) •
S
(ж,
2/,
2:)
:
z = 0, z = 2
x2 +
2/2
= 4,
z = 0,
2;
= 4
ж^ + у^ = 1,
Z = 0, Z
=:=
1
x2
4-
у2 = 2,
z = 0,z = l
x^
+ y^ = h
z = 0, z = 2
x'^-\-y^
= h
;г = 0, z = 3
x2 -f г/2 = 4,
2 = 0, z = l
13.3.
Интеграл по
сферической
поверхности
339
I. {xy-\-z'^)da, Е= l{x,y,z) :
}.
Л ^9-x^-y^da, Е - I (х, у, z) :
10.///
Z
л-
х'^
+
у"^
da, Е =
<
{х, у, z) :
х2 +2/2 = 1,
2 = 0, z = l
х'^
+ у^ = 1,
Z
= о, z = l
х'^
+
у'^
= 2,
2 = 0, z = 2
Ответы. 1. 0. 2. 0. 3. 27г. 4. 0. 5.
Атг.
6. 127г. 7. Зтг.
27г/3.
9. 47Г. 10. 327Г.(А/2-1)/3.
13.3.
Интеграл
по сферической поверхности
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить поверхностный инт^еграл
// f{x,y,z)da,
где Т, — верхняя полусфера
х'^-{-у'^+
z'^
= г^, z>0.
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1.
Вводим на заданной поверхности (сфере) криволинейные коор-
динаты
^ ж = gcosipsmO,
у = ^siiK^sin^,
Z = gcosO.
В этих координатах поверхность задается условиями
Е= <
д = г,
{д,в,^р):
0<^<7г/2,
О < (^ < 27Г