Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Решебник

Подождите немного. Документ загружается.

320 Гл.

12.

Кратные интегралы

Это уравнение имеет единственное положительное решение ^ = 1.

Следовательно,

< ^ < 1. При

< ^ < 1

9 ^ И 2

Таким образом, область П' определяется системой неравенств:

0< ^< 1,

9/2д <z< 11/2 - ^2,

О < v^ < 27Г

Переходим от тройного интеграла к повторному:

COS^

cos"^

(f +

sin^ (^

/ / / ^T";—^dxdydz= / / / — ; , о . 2 Qdgdifdz

J J J x^ -\-y^ J J J g^ cos2

+ g^

sm"^

27Г

11/2-^=^

/ cos^ if d(f gdg / dz.

0 0 9Q/2

Последовательно интегрируя, получаем

27Г

11/2-^2

/ cos^ (fd(p gdg / dz =

тт

I—

0 0 9Q/2 0

Ответ. / / / —z -dxdydz = тг.

Условия ЗАДАЧ. Вычислить тройной ипт^еграл по областей fi,

ограниченной заданными поверхностлми.

-j^—^dxdydz, ж2 +

2/^

+ 4а: = 0,

= 8 - у^, г = 0.

I I

f-^^^^-^dxdydz,

ж2 + ?/2-42/ = 0, z = 6-a:2, 2=^0.

12.11.

Тройной интеграл

сферических координатах

321

dxdydzj х^

2/^

4у

О,

ж^,

z =

V^^

у^

ж^

у^

41 I

—=^===dxdydz, ж^+у2-4х

О, Z

10-2/^, Z

/ //-^—^dxdydz,

ж^

у^ -4ж

z =

у^,

z =

/ / /

"^ ^dxdydz, Z

i/36

ж2

2/2,

z =

2 32 32 2

Ответы.

-—7г.

10-7Г.

32—.

96—.

22-7г.

3 35 35 3

6. 42-7Г.

—7г. 8. 0. 9. 0. 10.

12.11.

Тройной интеграл

в сферических координатах

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить тройной интеграл

1 f{x,y,z)dxdydz,

о.

где область

ограничена поверхностями

z^^R\

±i/''' +

322 Гл.

12.

Кратные интегралы

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Поскольку П ограничена сферой и круглым конусом, удобно

перейти к сферическим координатам

X = ^cos</?sin6,

у = gsm(psm9,

Z = QCOSO.

Возможные границы изменения сферических координат суть

0<^<ОО, 0<^<7Г, 0<<^<27Г.

При этом (^, 0,

у?)

G П', а искомый интеграл определяется формулой

f{x,y^z)dxdydz =

III-

-III

f{g

cos ip

sin

sin в,

g cos

в) g sin в dg

d(p.

Заменяем в уравнениях поверхностей х на ^ cos

sin

в,

у на

^sin if sine и Z

КЗ.

дcos ^. Получаем

g = R, tge = ±\a\.

Зададим область Q' с помощью системы неравенств:

0<g<R,

Oi<e< 02,

О < (^ < 27Г,

где границы изменения в находим, решая уравнение tg0 = ±|а| и

учитывая, что в может изменяться только от

до тг.

ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ

О.

ограничена также плоскостями у = kix и

у = к2Х, проходящими через ось 0Z, уравнения которых в сферичес-

ких координатах имеют вид tg(p = ki и tg(p = к2, находим границы

изменения

(р,

решая эти уравнения.

Переходим от тройного интеграла к повторному:

///

f{x,y,z)dxdydz =

12.11.

Тройной интеграл в

сферических

координатах 323

-^(^

^^^

^ ^^^

^^^

^ ^^^ ^)

^^^ ^

^^ ^^ ^^ ~

= dip smOde f{gcos(psme,gsm(f sine,

QCOsO)

dg,

0 6/i

и последовательно интегрируем, используя свойства определенного

интеграла.

Записываем ответ.

ПРИМЕР. Вычислить тройной инт,еграл

Г.2

j 1 ]

^^Г^^^'^У^^^

2(?e область Г2 ограничена поверхностями

,2 , 7,2

РЕШЕНИЕ.

Поскольку

О.

— область, ограниченная верхней полусферой и

верхним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатам

X = дcos if sine,

z = gcosO.

При этом {д,в,(р) G Cl', a искомый интеграл определяется форму-

лой

/ / / ~ ^dxdydz = cos^ if

д^

sin в

dgd9d(f.

Заменяем в уравнениях поверхностей х на ^cos(^sin^, у на

^sin(/?sin^ и Z на gcosO. Получаем

^ = 6, tg6> = \/3.

Зададим область Q' с помощью системы неравенств:

П' = <

< ^ < 6,

{д,в,^):

0<^<7г/3, \,

0<(р<27г.

324 Гл.

12.

Кратные интегралы

Переходя от тройного интеграла к повторному и последова-

тельно интегрируя, получаем

/ / / ~2 2 ^^dydz— j I j cos^

(pQ^

sin в dg

dO dip

27Г ТГ/З 6

= / cos^

(f dip

cos (pdp dg = Збтг.

Ответ. / / / -2 2 ^^ ^^ ^^ ~ ^^^'

Условия ЗАДАЧ. Вычислить тройной инт^еграл по области Q,

ограниченной заданными поверхностлми.

Г Г Г х^ [х^+у

-j—^dxdydz, z = >/Зб~^^^^"^2^^^, ^"^V

^' J

х^

у^'^'''^^'^^'

^16-^^-2/"'

^=Y

63 *

x^ +

2/^

ж^ +

2/^

X^ + у2

x2 +2/^

12.12.

Вычисление объемов с помощью тройного интеграла 325

'/// \/а;2 + 2/2

dx dy dz, z = y/SQ

—

ж^

—

2/2, z =

x^ -\r 2/2

Ответы. 1. 757Г/2. 2. бЗтг. 3. 0. 4. 0. 5. 0. 6. 27г. 7. бтг.

^. 0. 9. 0. 10. 0.

12.12.

Вычисление объемов

с помощью тройного интеграла

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти объем тела П, ограниченного за-

данными поверхностлми.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ИСКОМЫЙ объем равен

V= fffl-dxdydz. (1)

Зададим область Q неравенствами.

Вычисляем тройной интеграл, сводя его к повторному, и запи-

сываем ответ, не забывая о размерности.

ПРИМЕР 1. Найти объем тела П, ограниченного поверхностями

ж = 1772^, x = 2v^, z = ~-2/, z = 0.

РЕШЕНИЕ.

Зададим область

О.

неравенствами. Поскольку 17у/2у > 2>/2у,

для X имеем неравенства 2у/2у < х < 17\/2у. Поскольку у фигурирует

под знаком квадратного корня, у > 0. Для z возможны неравенства

< г < 1/2 - 2/ или l/2-y <z <0. В первом случае

< у < 1/2. Во

втором случае у > 1/2, т.е. область неограничена, что неприемлемо.

326

Гл.

12.

Кратные интегралы

Итак,

П=

(х,г/,2):

0<2/<1/2, \,

< Z < 1/2 - г/

Вычисляем объем по формуле (1), сводя тройной интеграл к

повторному:

V = /// 1

•

dx dy dz = dy / dx / dz = 1.

Ответ. У = 1 ед. объема.

Пример 2. Найти объем тела f2, ограниченного поверхностями

z = -Vx^^^, z = — -x^-y'^.

РЕШЕНИЕ.

Поскольку П — тело вращения вокруг оси 0Z, удобно исполь-

зовать цилиндрические координаты

Q cos

V?,

у = Qsinip,

Z = Z.

При этом {g^ip^z) G J1', а искомый объем определяется формулой

V= f f f gdgdifdz, (2)

где область

Cl'

ограничена поверхностями

9 11 о

Зададим область

О.

неравенствами. Возможны два случая: либо

9д/2 <z< 11/2-д'^, либо 11/2-^^ <z< 9д/2. В первом случае ^ < 1,

во втором случае ^ > 1, т.е. область неограничена, что неприемлемо.

Итак,

0< ^<1,

^'=1

(Q.^.Z):

9g/2<z<ll/2-g\

< v? < 27Г

12.12.

Вычисление объемов с помощью тройного интеграла 327

Вычисляем объем по формуле (2), сводя тройной интеграл к

повторному:

27Г

11/2-е^

V = d(f gdg / dz = 27г.

о о 9^/2

Ответ. У = 27Г ед. объема.

ПРИМЕР 3. Найти объем тела П, ограниченного поверхностями

Узб"

^ У

х'^

+ у2

РЕШЕНИЕ.

Поскольку Г2 — область, ограниченная верхней полусферой и

верхним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатам

X = gcosipsmO^

у = gsijupsmOy

—

gcosO.

При этом {д,в,(р) G Г2', а искомый объем определяется формулой

V= I I I д'^sinedgdedip. (3)

Заменяем в уравнениях поверхностей хиз.

cos

(р

sin ^, у

яа.

sin

(р

sin в

и 2 на дсозв. После преобразований получаем

^ = 6, tg(9 = \/3.

Область П' ограничена этими поверхностями.

Зададим область Q' системой неравенств

П'

= <

< ^ < б, ^

{д,в,^):

0<е<7г/3, >.

О < (^ < 27Г

Вычисляем объем по формуле (3), сводя тройной интеграл к

повторному:

27Г 7Г/3 6

V = I dф 1 sinOdO I g'^dg =

12тт.

о о

328 Гл.

12.

Кратные интегралы

Ответ. V = 727Г ед. объема.

Условия задач. Найти объемы тел, ограниченных поверхностлми

х = 2у/у,

= 2у^,

х^^у^=5,

х'^

+ у'^ -2х = 0,

х^

+ у^-2у = 0,

х = у/у,

= \/^,

у = 2у/х,

z = 0,

г = 0,

2 = 0,

z = 0,

z = 4-2/^.

2 = 4-х2.

z = l-~y.

z = 1

—

z = 2x.

6. z = V4 - a;2 - у2, z = ^3(х2 + y^).

z=V'9^^^2^^, 2 = 0, x2+2/2 = 1 (x2 + 2/2<l).

2 _ „2

z - \

z — у

/x2 + у2

/ 3 •

Ix^

24 •

S. z= y/9-x

9. z = y/A -

x'^

- 2/2,

10.

z = ж^ + у2, 2 = л/ж^ + 2/2.

Ответы. 1. У = 4/15. 2. F = 4/15. 3. У = 8/5. 4. У = 157г/4.

5. V = 157Г/4. 6. У =

27Г

(8/3 - 5\/3/4). 7. У = 27г (9 - 16\/2/3).

8. У = 97Г. 9. У = 647Г/5. 10. V = тг/б.

12.13.

Вычисление массы тела

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти массу тела Г2 с плотностью

fi{x,y,z),

ограниченного заданными поверхностлми.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Масса тела П с плотностью ii{x,y,z) определяется формулой

771= /// ^{x,y,z)dxdydz.

Зададим область

О.

неравенствами.

Вычисляем тройной интеграл, сводя его к повторному, и запи-

сываем ответ, не забывая о размерности.

12.13.

Вычисление массы тела 329

ПРИМЕР 1. Найти массу тела

с плотностью /i = 2ж, ограничен-

ного поверхностями

X = 2у/2у, X = у/2у, z = l-y, z = 0.

РЕШЕНИЕ.

Масса тела

с плотностью /х = 2ж определяется формулой

т= /// 2xdxdydz.

Зададим область D. неравенствами. Поскольку 2л/2у > \/2^,

для X имеем неравенства >/2у < х < 2у/2у. Поскольку у фигурирует

под знаком квадратного корня, у > 0. Для z возможны неравенства

О < Z <

1 —

у или l

—

y<z<0. В первом случае

< у < 1. Во втором

случае 2/ > 1, т.е. область неограничена, что неприемлемо.

Итак,

V^<x<

2у^,

П= l{x,y,z): 0<2/< 1,

0<z<l-y

Вычисляем т, сводя тройной интеграл к повторному:

1 2^2^ 1-у

т = /// 2xdxdydz — I dy I 2xdx dz = 1.

^ 0 y% 0

Ответ, m = 1 ед. массы.

ПРИМЕР 2. Найти массу тела Q с плотностью fi

z, ограничен-

ного поверхностями

РЕШЕНИЕ.

Масса тела

О.

с плотностью /i = z определяется формулой

т = /// zdxdydz.