Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Решебник

Подождите немного. Документ загружается.

310 Гл.

12.

Кратные интегралы

6. у2 - 5ж

Н-

а;2 = О, у^ - 7ж + х^ = О, у =

х/\/3,

у = 0.

2/2 -Ь 4х + х^ = О, 2/^ + бж + ж^ = О, 2/ =

ж/\/3,

2/ = ^За^-

8. 2/^ - Зж + ж^ = О, у2 _ 5д; _|- х^ = О, 2/ = \/За;, 2/ = О-

9. у2 + 2х + х^ =

О,

у2 + 4х + х^ =

О,

у = х, 2/ = 0.

10.

2/2 + 2х + х^ = О, у2 + 10а; 4- х^ = О, 2/ = \/За:, 2/ = 0.

Ответы. 1.5 =

47Г/3

\/3.

2. 5 =

тг

+ 2. 3. 5 = бтг/З -f 5v/3/2.

5 = 7г/3 - 2 4- ^/З. 5.5 =

27г/3.

б. 5 =

тг

+ 3\/3/2. 7. 5 = бтг/б.

8. S = 47г/3 +

\/3.

9. 5 = 37Г/4 + 3/2. 10. 5 = Зтг 4- 6\/3.

12.8.

Вычисление массы плоской пластины

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти массу плоской пластины D с по-

верхностной плотностью fi = 1л{х,у)у ограниченной заданными кри-

выми.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Масса пластины D с поверхностной плотностью /i(x,2/) опреде-

ляется формулой

771= fi{x,y)dxdy.

Вычисляем полученный двойной интеграл. Записываем ответ,

не забывая о размерности.

ПРИМЕР 1. Найти массу пластины D с поверхностной плотностью

/i = 16х + 92/2/2, ограниченной кривыми

= -, 2/ =

О,

2/^ = 16х {у > 0).

РЕШЕНИЕ.

Масса пластины D с поверхностной плотностью /х = 16x4-92/^/2

определяется формулой

Г/* Л. 92'2^

= л

(l6x +

dxdy.

12.8. Вычисление массы плоской пластины 311

Вычисляем полученный двойной интеграл в декартовых коор-

динатах:

а) зададим область D системой неравенств:

Г О

< 1/4,

< 2/ < 4^Д.

Неравенство О < ж следует из того, что у'^ = 1бж, т.е. х неотрица-

тельно;

б) перейдем от двойного интеграла к повторному:

1/4 ^у/Х

/ / I 1бж Н——- ] dxdy = dx / I 16а: Н—— | dy]

в) последовательно интегрируем, используя свойства определен-

ного интеграла:

1/4 4v^

' .2

1/4

= ( ( 16жу + — ) dx

160 1 x^l'^ dx = 2.

о о

|4v^

1/4 ^ з> -^-/^ '/^

Ответ, m = 2 ед. массы.

ПРИМЕР 2. Найти массу пластины D с поверхностной плотностью

yi =

a:^/(a;^

+ 2/^)) ограниченной кривыми

2/2-42/ + х2=0, г/2-82/-Ьж2=:0, 2/="^, х = 0.

РЕШЕНИЕ.

Масса пластины D с поверхностной плотностью /х =

х'^/{х"^-\-у'^)

определяется формулой

Вычисляем полученный двойной интеграл:

312

Гл. 12.

Кратные интегралы

а) так как область D ограничена окружностями и прямыми, про-

ходящими через начало координат, поставленную задачу проще ре-

шать в полярных координатах

X =

cos if,

у =

QsiiKf.

При этом область

перейдет

область D', ограниченную линиями

7Г

^ = 4sinv?, g = Ssmip, ^=-^^

^"^2"'

а искомая масса определяется формулой

т = —2 2 ^^^У

—

11 cos^ ^ gdg

dip.

D D'

Зададим неравенствами область D' в полярных координатах:

Г 7г/6 <

(у9

< 7г/2, 1

(у^

< ^ <

б)

перейдем

от

двойного интеграла

повторному

7г/2

5sm(^

= / / cos^

(р

gdgdip = / cos^ (pd(f g dg\

я/6 4 sin 03

я/6 4sinv3

последовательно интегрируя, получим

7г/2

д> sirup

7г/2

= / cos^ ipd(^ I gdg = cos^

7г/6 4sinv? 7г/6

8 sin<^

dip =

4 sin

7Г/2

4 simp

24:

7Г/6

sin

cos ipdip = ( 3(^

—

- sin

4(^

7Г/2

7Г

3\/3

7г/6

Ответ, т

•= тг -\-

3v3/8 ед. массы.

12.8. Вычисление массы плоской пластины 313

ПРИМЕР 3. Найти массу пластины D с поверхностной плотностью

/i = х/у^, ограниченной кривыми

2 2

JC о »*' о X / X \

^ +

У^

= l, 1^ + у^ = 3, у = -, х = 0 (у>-,х>0).

РЕШЕНИЕ.

Масса пластины D с поверхностной плотностью /х = х/у^ опре-

деляется формулой

Вычисляем полученный двойной интеграл:

а) зададим область D неравенствами в декартовой системе коор-

динат

D= ^ (х,2/): 16

> х/А,

Так как область D ограничена эллипсами и прямыми, проходящими

через начало координат, поставленную задачу проще решать в обоб-

щенных полярных координатах

{

X =

Ад

cos

(/?,

у =

sirup.

При этом (^,

(р)

е D\

а.

искомая масса определяется формулой

•^dxdy= -p^Agdgd<p.

JJ У^ J J g^sm^'cp

D D'

Чтобы найти область D', заменяем в неравенствах, определяющих

область D, X на Agcosip и у на ^sin<^:

16^2 C0S2 (^ 2-2 /о

1 < -~ + г

< 3,

gsirnp >

Ад

cos (/?/4, ^ cos

> 0.

Решая эти неравенства относительно д и if, получаем

1<д<уД,

—

< (^ <

—

314

Гл.

12.

Кратные интегралы

б) переходим от двойного интеграла к повторному:

7г/2 V3

= , . . Agdgd(p= d(p lQg~

J J

Q^sin^'ip

J J

7Г/4

последовательно интегрируя, получаем

7г/2 у/3

т = 16 I ^^^-^^^ / Q-^dg = 16

о COS ip ,

^'•^dg;

sm (f

sirup

sin^if J

7Г/4

Ответ, m = 4 ед. массы.

4sin^

(f J

7г/2

7г/4

2g'

= 4.

Условия ЗАДАЧ. Найти массу пластины D с поверхностной

плотностью fi, где D ограничена заданными линиями.

/i = 2a; +

2/^,

х = i, у =

О,

у = у/х.

fi =

x'^

+ y,

fi =

x'^

+ 2y,

/i==a;-f2/^,

х-у

х = 1, у = 0, у = 2^х.

а: =

О,

= 4, у = х^ {х >0).

х = 0, 2/ = 1, у = х2/4 (ж > 0).

О,

2/ =

О,

х^ +

2/^

= 4, х^ +

2/^

= 9

(х > О, у < 0).

X =

О,

2/ = О, х^ +

2/^

= 3, х^ +

2/^

= 5

(х<0,

2/>0).

О,

2/ = О, х^ + у^ = 4, х^ +

2/^

= 16

(х<0,

2/>0).

8. /i(x,2/)=2/, 2/ = О, 2/ =

а;\/3,

х^ + ^ = 1, х^ + ^ = 9

(2/>0,

у<хуД),

5. /i =

6. /х =

7. /х =

х^ + 2/^'

22/-ж

х^ + 2/^'

у-х

х2 + 2/^'

12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах 315

9. ф,у) = ^, у = 0, у = х, ^ + 2/2 = 1, ^+2/2^4

(у > О, у < х).

X X V X у

10./х(а:,г/) = —, х = 0, у^х, — + ^ = 1, _ + ^=25

(ж > О, у > х).

Ответы. l.m = 448/15. 2. m = 11/7. 3. m = 448/15. А. т = 11/7.

m = 2. 6. m = 3(\/5-\/3). 7. m = 4. 8. m = 52/3. 9. m = (\/2-l)/2.

10.

m=18(\/2-l).

12.9.

Тройной интеграл

в декартовых координатах

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить тройной интеграл

/ / / f[x,y,z)dxdydz,

где область

О.

ограничена некоторыми поверхностями.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Зададим область П системой неравенств, например,

а < а: < Ь,

У\{х) <у< У2{х),

zi{x,y) <z< Z2{x,y).

Перейдем от тройного интеграла к повторному:

f{x,y,z)dxdydz= dx dy f{x,y,z)dz.

Q a yi{x) zi{x,y)

Используя свойства определенного интеграла, последовательно

интегрируем сначала по z (считая х

is.

у постоянными), затем по у

(считая X постоянной), затем по х.

Записываем ответ.

316

Гл.

12.

Кратные интегралы

ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ тройной интеграл

1 I 1 х^

sh.

(ху) dx dy

dzy

где

О.

ограничена плоскостями

РЕШЕНИЕ.

Зададим область Q неравенствами. Очевидно, что

< z < 1.

Для у возможны неравенства О < у < х/2 или х/2 < у < 0. Если

0^2/^ 2:/2, то

и для х имеем

< ж < 2. Если же х/2 < у < О, то

ж <

и область не примыкает к плоскости а; = 2. Значит, мы должны

принять, что

< у < х/2 и определить П системой неравенств

<ж <2,

< 2/ < х/2,

0<z<l.

Перейдем от тройного интеграла к повторному:

2 х/2 1

/ / /

ж^

sh {ху) dx dy dz = dx / dy x^ sh (xy) dz.

Г2

0 0

Используя свойства определенного интеграла, последовательно

интегрируем сначала по z (считая х и у постоянными), затем по у

(считая X постоянной), затем по х:

2 х/2 1

/ / /

ж^

sh (ху) dx dy dz = I dx I dy I x^ sh [xy) dz =

2 x/2 1 2 x/2

dx x^sh (xy) dy dz = dx x^ sh {xy) dy

•

0 0

2 ch {xy)

-I

x/2

0 0 0

= /x(ch^

chO Ых =

12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах

317

= sh- -2= sh2-2.

Ответ. х^

sh.

{xy)dxdydz = sh2— 2.

Условия ЗАДАЧ. Вычислить тройной интеграл по области П,

ограниченной заданными поверхностями.

/ / /

4:y^ze^'^

dxdydz^ х

—

О,

у = 1, у = х, z =

z = 1.

/ / / 32/^z^e"'^^ dx dy dz, ж = О, ?/ = -2, у = Ах, z =

О,

z = 1.

Ill

Sx'^z^e'^y^'^

dx dydz, x =^0, у = 2, у = 2x, z =

О,

z = -1.

/ / / 2y^z

cos{7rxy)

dx dydz, x = 0, у = 1, у = 2x, 2 = 0, г = 7Г^.

6. / / / y'^z ch (ж^) dxdydz, x = 0, у =

—1,

у = x, z = 0, z

—

/ / / yz^ cos{xy) dx dy dz, x = l, ^/^'тг,

г/

z = 0.

8. / / /

^^-2:

sh (Зд;?/) dx dy dz, x = 1, у = 2x, 2/ = 0, 2 = 0, z = l.

9. / / / y^z eh (2x2/) dxdydz, x = 0, у = 1, у = x, z = 0, z = A.

10.

/ / / 3x2^ sin(a:y) dxdyd^;,

у =

7г,

О,

z = 0.

Ответы.

1. / = e-2. 2. / = 2e-^ 3. / = 4e-8. 4. / = 4. 5. / =

IGTT^.

6./ = 2chl-2. 7.7 = 8. 8./=(sh6-6)/72. 9. J =

ch2-1.

10.7 = 2.

318 Гл.

12.

Кратные интегралы

12.10.

Тройной интеграл

в цилиндрических координатах

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить тройной интеграл

/ / / f{x,y,z)dxdydz,

где область Q ограничена поверхностями

Z = gi{x^ + 2/^), Z = д2{х^ + у^).

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Поскольку

— тело вращения вокруг оси 0Z, удобно перейти

к цилиндрическим координатам

Q cos

v?,

у = Qsm^,

z = z.

При этом {g^ip,z) G П', a искомый интеграл определяется формулой

f{x,y^z)dxdydz= f{Q cos

<^,

sin

(/?,

dgdtp dz.

Зададим область О.' неравенствами. Для этого сначала заме-

ним в уравнениях поверхностей х на

д cos ip

и у на. gsiiKp. Тогда ft'

определяется неравенствами gi{g^)<z<д2{д^) или g2{g^)^z<gi{g'^).

Чтобы выбрать правильные неравенства, решаем уравнение

gi{g^) = д2{д^) относительно д. Если оно имеет два решения gi и

д2 (О < ^1 < ^2)7 то исследуем, какал из функций gi{g^) или д2{д^)

больше другой на промежутке ^i < ^ < ^2- Предположим для опре-

деленности, что gi{g^) < д2{д^) при ^i < ^ < ^2- Тогда область О!

определяется системой неравенств

{

gi< д< Р2,

{g,(p,z):

gi{g'')<z<g2{g^),

о < if <27г

Если уравнение д\[д^) = д2{д^) имеет единственное положительное

решение ^ = ^2? то неравенства для д имеют вид

< ^ < ^2-

12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах 319

Переходим от тройного интеграла к повторному:

/ / / f{^^

У)

z)dxdydz = / / / fio cos

(^,

sin

(р,

dg d(f dz =

27Г

Q2 92{Q)

dip gdg / f

{g cos

(f,

sin

(p^z)

dz,

0 Qi giig)

И последовательно интегрируем, используя свойства определенного

интеграла.

Записываем ответ.

ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ тройной интеграл

JJJ

х^

У^

dx dy dz,

где область

ограничена поверхностями

9 г^г—^ И

-у/^Л^,

z = — -x^-y

РЕШЕНИЕ.

Поскольку Q — тело вращения вокруг оси 0Z, удобно перейти

к цилиндрическим координатам

д cos

(р,

у = gsinip,

Z = Z.

При этом (g^ip^z) G П', а искомый интеграл определяется формулой

/ / / ~~2

2^^^У^'^~

/ / /

^^^'^

Qdgdipdz.

Зададим область П' неравенствами. Для этого сначала заменим

в уравнениях поверхностей х на gcosip и у на gsiinp. Тогда ft' опре-

деляется неравенствами 9д/2 < Z < 11/2

—д'^

или 11/2

—д^"

< z < 9д/2.

Чтобы выбрать правильные неравенства, решаем уравнение

9 11 2