Живоглядов В.Г. Теория движения транспортных и пешеходных потоков

Подождите немного. Документ загружается.

415

6. Изучение зависимости задержки одной транспортной единицы на

РКД от интенсивности прибытия к стоп-линии примыканий (рис 4.28).

Анализ проведен на основе данных таблицы 4.1. Для правильного выбора

вида аналитической зависимости выполняются промежуточные вычисления.

На отрезке изменения переменной x, т.е. х



[0,1; 0,22] выберем точки х

= 0,1

и х

= 0,22 наиболее удаленных друг от друга (крайние).

0,1 0,115 0,13 0,145 0,16 0,175 0,19 0,205 0,22

Интенсивность прибытия на примыканиях, ТЕ/с

Задержка транспортных

средств , с

Рис. 4.28. Зависимость задержки одной транспортной единицы на РКД от интен-

сивности прибытия к стоп-линии примыканий

Вычисляем х

арм

, х

геом

, х

гарм

по формулам (2.265) и на графике геомет-

рически находятся соответствующие значения переменной у. По данным табл

(4.1) определяем у

арм

, у

геом

, у

гарм

, при этом используются формулы (2.265) и

(2.266):

арм

0,16

арм

14,60937328

6,923101

геом

0,148324

геом

6,508342006

4,747287

гарм

0,1375

гарм

2,899406762

4,026609

Сравнивая числовые значения у*

, у*

с у

арм

, у

геом

, у

гарм

и оцени-

вая погрешности проведенных вычислений по формулам (2.266)-(2.272) по-

лучим следующие результаты:

-y

арм

7,686272

-y

геом

1,761055

-y

геом

0,414759

-y

арм

10,58276

-y

гарм

4,023694

-y

гарм

1,127203

-y

арм

9,862086

После этого выбирается минимальная погрешность ε из ε

, (i=1, 2,…7).

451

416

ε= min (ε

, ε

) = 0,414759

Так как ε

совпадает с ε

, то в качестве аналитической зависимости хо-

рошим приближением служит зависимость у= аb

, с неизвестными парамет-

рами а и b. Для уточнения этих параметров используется МНК. Согласно

этому методу значения параметров функциональной зависимости а и b сле-

дует выбрать так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наименьшей

(уравнение (2.273)), т.е. F(а, в) =







baxfy

)),;((( будет минимальной, где ε

= у

– f (x

; a, b) – i-я погрешность (i=1, 2,…7).

Необходимым условием существования минимума функции двух пе-

ременных является равенство нулю всех ее частных производных. Значения

параметров а и b найдем из системы уравнений (2.275). Поскольку зависи-

мость получилась нелинейная, то следует применять преобразование коор-

динат к функции у=аb

: Прологарифмировав у=аb

, получим: lg y=lg a+x*lg

b, т.е. Z = A

t + B

, где Z =lg у; A

= lg b; B

= lg a; t = x.

Система уравнений (2.275) примет следующий вид (случай линейной

зависимости):























znBtA

tztBtA

или























ynaxb

yxaxb

111

lglglg

lglg)(lg

Далее, находим значения а и b, путем решения системы матричным ме-

тодом, предварительно осуществив расчеты, которые приведены в табл.4.12.

452

417

Таблица 4.12

Данные расчетов для МНК при определении зависимости задержки одной

транспортной единицы от интенсивности прибытия

i x

lgy

1 0,1 1,529799 0,184634279 0,01 0,0184634

2 0,115 2,528523 0,402866904 0,013225 0,0463297

3 0,13 3,398606 0,531300826 0,0169 0,0690691

4 0,145 5,377946 0,730616412 0,021025 0,1059394

5 0,16 6,923101 0,840300664 0,0256 0,1344481

6 0,175 9,150467 0,961443278 0,030625 0,1682526

7 0,19 12,07868 1,082019322 0,0361 0,2055837

8 0,205 17,52553 1,243671142 0,042025 0,2549526

9 0,22 27,68895 1,442306454 0,0484 0,3173074

∑

1,44 86,20159 7,419159281 0,2439 1,320346

Итак, дана матрица коэффициентов при неизвестных вида:

0,2439

1,44

а также матрица свободных членов

1,320346

7,4191593

Используя X=L

-1

M, получим

9,872628079

0,755269461

где lg a= -0,755269461, lg b= 9,872628079, отсюда a=0,175683323,

b=7458097889. Эмпирическая зависимость у=аb

при найденных значениях a

и b принимает вид: y=0,1756833*7 458 097 888

Для определения точности выбора эмпирической кривой, т.е. макси-

мального отклонения табличных значений от аппроксимирующей кривой

y=0,1756833*7 458 097 888

составим сравнительную табл. 4.13.

453

418

Таблица 4.13

Результаты отклонений табличных значений от значений, вычисленных по

эмпирической формуле y=0,1756833*7 458 097 888

выч

0,1

1,529799

1,706056252

0,1762576

11,52

0,115

2,528523

2,399290131

0,1292328

5,11

0,13

3,398606

3,374210627

0,0243954

0,72

0,145

5,377946

4,745277449

0,6326682

11,76

0,16

6,923101

6,673459532

0,2496414

3,61

0,175

9,150467

9,385133451

0,2346660

2,56

0,19

12,07868

13,19866098

1,1199853

9,27

0,205

17,52553

18,56176606

1,0362368

5,91

0,22

27,68895

26,10409949

1,5848484

5,72

Результаты отклонений табличных значений от вычисленных по эмпи-

рической формуле представлены на рис. 4.29.

0,1 0,115 0,13 0,145 0,16 0,175 0,19 0,205 0,22

Yi,Yiвыч

Yiвыч

Рис. 4.29. Результаты отклонений табличных значений от значений, вычисленных

по эмпирической формуле y=0,1756833*7 458 097 888

Таким образом, размах отклонений значений табличных от вычислен-

ных 0,0243954÷0,6326682, среднее взвешенное отклонение составляет

0,7211,76 %, что дает основание подтвердить точность выбранной эмпири-

ческой кривой.

7. Изучение зависимости временного интервала, необходимого для

пропуска полной очереди транспортных средств t

на РКД от интенсивно-

сти прибытия к стоп-линии. Анализ проведен но основе данных таблицы 4.1

и рис. 4.18. Для правильного выбора вида аналитической зависимости вы-

полняются промежуточные вычисления. На отрезке изменения переменной x,

454

419

т.е. х



[0,1; 0,22] выберем точки х

= 0,1 и х

= 0,22 наиболее удаленных друг

от друга (крайние). Вычисляем х

арм

, х

геом

, х

гарм

по формулам (2.265) и на

графике геометрически находятся соответствующие значения переменной у.

По данным таблицы (4.1) определяем у

арм

, у

геом

, у

гарм

, при этом используют-

ся формулы (2.265) и (2.266).

арм

0,16

арм

14,61184792

6,57677

геом

0,148324

геом

8,153233841

4,694989

гарм

0,1375

гарм

4,549405551

4,200252

Сравнивая числовые значения у*

, у*

с у

арм

, у

геом

, у

гарм

и оцени-

вая погрешности проведенных вычислений по формулам (2.267)-(2.273) по-

лучены следующие результаты:

-y

арм

8,035078

-y

геом

3,458245

-y

геом

1,576464

-y

арм

10,4116

-y

гарм

2,027364

-y

гарм

0,349153

-y

арм

9,916859

После этого выбирается минимальная погрешность ε из ε

, (i=1, 2,…7).

ε= min (ε

, ε

) = 0,349153

Так как ε

совпадает с ε

, то в качестве аналитической зависимости хо-

рошим приближением служит зависимость у=х/(ах+b), с неизвестными пара-

метрами а и b. Для уточнения этих параметров используется МНК. Согласно

этому методу значения параметров функциональной зависимости а и b сле-

дует выбрать так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наименьшей

(уравнение (2.274)), т.е. F(а, в) =







baxfy

)),;((( будет минимальной, где ε

= у

– f (x

; a, b) – i-я погрешность (i=1, 2,…7).

Необходимым условием существования минимума функции двух пе-

ременных является равенство нулю всех ее частных производных. Значения

параметров а и b найдем из системы уравнений (2.275). Поскольку зависи-

мость получилась нелинейная, то следует применять преобразование коор-

динат к функции у=х/(ах+b): Преобразовав у=х/(ах+b), получим: 1/у=

=(ах+b)/х=a+b/x, т.е. Z = A

t + B

, где Z =1/у; A

= b; B

= a; t = 1/x.

455

420

Система уравнений (2.275) примет следующий вид: (случай линейной

зависимости):























znBtA

tztBtA

или























naxb

xaxb

111

/1)/1(

Далее, находим значения а и b, путем решения системы матричным ме-

тодом, предварительно осуществив расчеты, которые приведены в табл. 4.14

Таблица 4.14

Данные расчетов для МНК при определении зависимости временного интер-

вала, необходимого для пропуска полной очереди от интенсивности прибытия

i x

1/y

1/x

(1/x

)

1/x

1 0,1 2,486219 0,402217188 10 100 4,02217188

2 0,115 3,171832 0,315275186 8,695652174 75,614367 2,741523356

3 0,13 4,026319 0,248365819 7,692307692 59,171598 1,910506296

4 0,145 5,121461 0,195256798 6,896551724 47,562426 1,34659861

5 0,16 6,57677 0,152050313 6,25 39,0625 0,950314456

6 0,175 8,607191 0,116181923 5,714285714 32,653061 0,663896705

7 0,19 11,64233 0,085893488 5,263157895 27,700831 0,452070991

8 0,205 16,68411 0,059937254 4,87804878 23,79536 0,292376849

0,22 26,73748 0,037400687 4,545454545 20,661157 0,170003122

∑

1,44 85,05371 1,612578656 59,93545853 426,2213 12,54946226

Итак, дана матрица коэффициентов при неизвестных вида:

426,2213

59,93546

а также матрица свободных членов

12,549462

1,6125787

Используя X=L

-1

M, получим

Х=

0,066854108

-0,266039219

где a= -0,266039219, b= 0,066854108, отсюда эмпирическая зависимость у=х/

/(ах+b) при найденных значениях a и b принимает вид:

y=x/(-0,2660392*x+0,0668541).

456

421

Для определения точности выбора эмпирической кривой, т.е. макси-

мального отклонения табличных значений от аппроксимирующей кривой

y=x/(-0,2660392*x+0,0668541) составим сравнительную табл. 4.15

Таблица 4.15

Результаты отклонений табличных значений от значений, вычисленных по

эмпирической формуле y=x/(-0,2660392*x+0,0668541)

выч

0,1

2,486219

2,484460553

0,0017584

0,07

0,115

3,171832

3,17157405

0,0002582

0,01

0,13

4,026319

4,028633083

0,0023141

0,06

0,145

5,121461

5,127584666

0,0061241

0,12

0,16

6,57677

6,587660544

0,0108901

0,17

0,175

8,607191

8,62185983

0,0146689

0,17

0,19

11,64233

11,65168342

0,0093573

0,08

0,205

16,68411

16,64492233

0,0391920

0,23

0,22

26,73748

26,42490283

0,3125741

1,17

Результаты отклонений табличных значений от вычисленных по эмпи-

рической формуле представлены на рис. 4.30.

0,1 0,115 0,13 0,145 0,16 0,175 0,19 0,205 0,22

Yi,Yiвыч

Yiвыч

Рис. 4.30. Результаты отклонений табличных значений от значений, вычисленных

по эмпирической формуле y=x/(-0,2660392*x+0,0668541)

Таким образом, размах отклонений значений табличных от вычислен-

ных 0,00025820,3125741, среднее взвешенное отклонение составляет 0,01 

1,17 %, что дает основание подтвердить точность выбранной эмпирической

кривой.

8. Изучение зависимости временного интервала, оставшегося в зеле-

ном такте после пропуска полной очереди транспортных средств на РКД

от интенсивности прибытия к стоп - линиям примыканий. Анализ проведен

на основе данных таблицы 4.1 и рис. 4.19. Для правильного выбора вида ана-

457

422

литической зависимости выполняются промежуточные вычисления. На от-

резке изменения переменной x, т.е. х



[0,1; 0,22] выберем точки х

= 0,1 и х

0,22 наиболее удаленных друг от друга (крайние). Вычисляется х

арм

, х

геом

, х

гарм

по формулам (2.264) и на графике геометрически находятся соответст-

вующие значения переменной у. По данным таблицы (4.1) определяем у

арм

, у

геом

, у

гарм

, при этом используются формулы (2.265), (2.666)

арм

0,16

арм

0,241071

0,264706

геом

0,148324

геом

,200446

0,296552

гарм

0,1375

гарм

0,166667

0,314123

Сравнивая числовые значения у*

, у*

с у

арм

, у

геом

, у

гарм

и оцени-

вая погрешности проведенных вычислений по формулам (2.267)-(2.273) по-

лучены следующие результаты:

-y

арм

0,023634

-y

геом

0,096106

-y

геом

0,06426

-y

арм

0,073052

-y

гарм

0,098039

-y

гарм

0,147457

-y

арм

0,055481

После этого выбирается минимальная погрешность ε из ε

, (i=1, 2,…7).

ε= min (ε

, ε

) =0,023634

Так как ε

совпадает с ε

, то в качестве аналитической зависимости хо-

рошим приближением служит зависимость у=ах+b, с неизвестными парамет-

рами а и b. Для уточнения этих параметров используется МНК. Согласно

этому методу значения параметров функциональной зависимости а и b сле-

дует выбрать так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наименьшей

(уравнение (2.274)), т.е. F(а, в) =







baxfy

)),;((( будет минимальной, где ε

= у

– f (x

; a, b) – i-я погрешность (i=1, 2,…7).

Необходимым условием существования минимума функции двух пе-

ременных является равенство нулю всех ее частных производных. Значения

параметров а и b найдем из системы уравнений (2.275).

Система уравнений (2.275) примет следующий вид:

458

423























ynbxa

yxxbxa

111

)(

Далее, находим значения а и b, путем решения системы матричным ме-

тодом, предварительно осуществив расчеты, которые приведены в табл. 4.16.

Таблица 4.16

Данные расчетов для МНК при определении зависимости временного интервала в

зеленом такте для проезда сходу от интенсивности прибытия

)

1 0,1 0,375 0,01 0,0375

2 0,115 0,350649

0,013225

0,040325

3 0,13 0,324324

0,0169 0,042162

4 0,145 0,295775

0,021025

0,042887

5 0,16 0,264706

0,0256 0,042353

6 0,175 0,230769

0,030625

0,040385

7 0,19 0,193548

0,0361 0,036774

8 0,205 0,152542

0,042025

0,031271

9 0,22 0,107143

0,0484 0,023571

∑

1,44 2,294457

0,2439 0,337229

Итак, дана матрица коэффициентов при неизвестных вида:

0,2439

1,44

а также матрица свободных членов

0,3372285

2,2944571

Используя X=L

-1

M, получим

Х=

-2,213674218

0,609127547

где a= -2,213674218, b= 0,609127547, отсюда эмпирическая зависимость у=

=ах+b при найденных значениях a и b принимает вид:

y=-2,2136742*x+0,6091275.

Для определения точности выбора эмпирической прямой, т.е. макси-

мального отклонения табличных значений от аппроксимирующей прямой

y=-2,2136742*x+0,6091275 составим сравнительную табл. 4.17.

459

424

Таблица 4.17

Результаты отклонений табличных значений от значений, вычисленных по

эмпирической формуле y=-2,2136742*x+0,6091275

выч

0,1 0,375 0,387760126 0,01276 3,40

0,115 0,350649 0,354555012 0,003906 1,11

0,13 0,324324 0,321349899 0,002974 0,92

0,145 0,295775 0,288144786 0,00763 2,58

0,16 0,264706 0,254939673 0,009766 3,69

0,175 0,230769 0,221734559 0,009035 3,92

0,19 0,193548 0,188529446 0,005019 2,59

0,205 0,152542 0,155324333 0,002782 1,82

0,22 0,107143 0,122119219 0,014976 13,98

Результаты отклонений табличных значений от вычисленных по эмпи-

рической формуле представлены на рис. 4.31.

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,1 0,115 0,13 0,145 0,16 0,175 0,19 0,205 0,22

Yi,Yiвыч

Yiвыч

Рис. 4.31. Результаты отклонений табличных значений от значений, вычисленных

по эмпирической формуле y=-2,2136742*x+0,6091275

Таким образом, размах отклонений значений табличных от вычислен-

ных 0,002974÷0,014976, среднее взвешенное отклонение составляет 0,92

÷13,98 %, что дает основание подтвердить точность выбранной эмпириче-

ской прямой.

9. Изучение зависимости количества транспортных средств, прошед-

ших перекресток сходу на РКД от интенсивности прибытия к стоп – лини-

ям примыканий. Анализ проводится на основе данных таблицы 4.1 и рис.

4.20. Для правильного выбора вида аналитической зависимости выполняются

промежуточные вычисления. На отрезке изменения переменной x, т.е. х



[0,1; 0,22] выберем точки х

= 0,1 и х

= 0,22 наиболее удаленных друг от

друга (крайние). Вычисляем х

арм

, х

геом

, х

гарм

по формулам (2.264) и на графи-

460