Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и планет

Подождите немного. Документ загружается.

7.5. Физическая модель

В этой главе речь шла о сейсмологической модели

Земли.

Представляет интерес распределение в недрах Земли

многих других физических параметров, таких как тепло

емкость, коэффициент теплового расширения, адиабати

ческие температуры, коэффициенты теплопроводности и

вязкости, коэффициент электропроводности, который

рассматривался в § 4..3, и т. д. Модель Земли, в которой

даны распределения всех этих величин, условно можно

назвать физической моделью Земли.

Идея метода, позволяющего получить искомые рас

пределения, весьма проста. Следует теоретически вскрыть

зависимость искомой величины от объема (или плотности)

и температуры и, беря значение величины в некоторой

точке (р0, Т0) из эксперимента, дальнейший ее ход в

недрах Земли найти, подставляя в соответствующую фор

мулу распределения рИ) и Т{1). Сейчас, если иметь в ви

ду принципиальную сторону вопроса, рассматриваемая

проблема представляет собой пройденный этап геофизи

ки. Однако нелишне напомнить, что еще совсем недавно,

скажем, 30 лет назад, картина была совсем другой.

В те времена как геофизики, так и специалисты по

физике высоких давлений ие имели опыта работы при

давлениях в сотни килобар и в мегабарной области и, по

существу, не были психологически готовы к восприятию

соответствующих результатов. Казалось, что если от

обычного давления в одну атмосферу перейти к давлени

ям, в миллион раз большим, то и многие свойства веще

ства могут претерпеть большие непредсказуемые из

менения.

Однако единица давления — атмосфера является, по

существу, не очень удачной единицей, когда речь идет об

изучении сжимаемости конденсированных сред. Характер

ным давлением в этом случае будет давление порядка

модуля сжатия, т. е. давление порядка сотен килобар (см.

табл. 5).

Реальной физической характеристикой среды, харак

теристикой более осязаемой, чем давление, является

среднее расстояние между атомами, которое имеет поря

док постоянной решетки.

Если обратиться к табл. 5, то мы увидим, что давле

ние на границе М лежит в пределах 2,2—9,7 кбар, а на

границе мантия — ядро равно 1354 кбар, т, е. на протя-

женпп мантии давление увеличивается более чем в 100

раз. Соответствующее изменение постоянной решетки в

процентах равно

Аа_ _ 1 'о лг _ _ 1 0 ( ) = 5 , 5 : . 3 ^ _ ^ ^ ^

а 3(>0Ы 3-3,3

т. е. но существу очень невелико. В недрах Земли ве

щество сжато слабо, и соответственно электронное строе

ние атомов в условиях земных недр меняется незначи

тельно. Ото позволяет оценить многие физические пара

метры земных недр с помощью методов физики твердо

го тела и физики высоких давлений.

Построение физической модели Земли в указанном

выше смысле было выполнено в основном в Институте

физики Земли АП СССР в конце пятидесятых н начале

шестидесятых годов. Некоторые результаты были незави

симо получены канадским геофизиком Аффеном, амери

канским геофизиком Берчем и другими.

Чтобы построить термодинамику мантии и ядра Зем

ли и рассчитать термодинамические коэффициенты, необ

ходимо определить две новые функции плотности земных

недр: 6 (р )— дебаевскую температуру и f(p) — параметр

Грюнайзена (см. стр. 173). Эти две функции полностью

определяют термодинамику дебаевской модели твердого

тела. Дебаевская температура разграничивает темпера

турную область на высокотемпературную Т 2s 0, в ко

торой свойства конденсированной среды подчиняются

законам классической статистической физики и где для

теплоемкости справедлив закон Дюлонга и Пти, и низко

температурную Т « 0 , где свойства среды подчиняются

законам квантовой статистической физики и теплоем

кость не постоянна, а убывает пропорционально кубу аб

солютной температуры (с ~ Г3) при приближении к абсо

лютному нулю. В случае земных недр, мантии и ядра мы

имеем дело с классическим предельным случаем Т ~^ 0 .

Построение любой модели твердого тела начинается

с того, что истинный спектр частот атомных колебаний

заменяется некоторым более простым, поддающимся рас

чету спектром. Если сделать самое простое предположе

ние и считать, что все частоты атомных колебаний рав

ны, то мы придем к эйнштейновской модели твердого те

ла (1907 г.). Эта модель сыграла большую роль в истории

физики, так как именно на ней А. Эйнштейн ввел кван

товые представления в физику твердого тела, что позво

лило объяснить падение теплоемкости при низких темпе

ратурах — явление, ставившее в тупик классическую

физику. Следующий шаг был сделан в 1912 г. П. Дебаем.

Предложенная им модель оказалась достаточной для

многих задач, в том числе и для тех, которые рассматри

ваются в этом параграфе.

Чтобы лучше понять смысл дебаевской температуры,

поясним, как она определяется. В дебаевской модели

твердого тела истинный спектр собственных колебаний

атомов, составляющих рассматриваемое тело, заменяет

ся простым модельным спектром, в котором число соб

ственных частот, приходящихся на интервал от ш до

ю + Дм, равно

где v — средняя скорость звука:

vP и vs — скорости продольных и поперечных акустиче

ских волн (т. е. скорости объемных сейсмических волн),

V — объем твердого тела. Полное число собственных

частот равно 3iV, где N — число атомов в рассматривае

мом теле. Дебаевская частота <вд определяется как мак

симальная (предельная) частота в дебаевском спектре

[формула (59)].

Кванты тепловых колебаний в твердом теле называ

ются фононами, в отЛичие от световых квантов — фото

нов. Энергию фонона с дебаевской частотой (од можно

записать в двух видах:

где h — постоянная Планка, деленная на 2л, к — посто

янная Больцмана (газовая постоянная, отнесенная к од

ному атому), 0 — дебаевская температура. Таким обра

зом, дебаевская температура — это измеренная в градусах

энергия предельного дебаевского фонона. В предельном

случае высоких температур Т ^ 0 тепловой энергии до

статочно, чтобы возбудить весь спектр тепловых колеба

ний атомов, и это соответствует классическому предель

ному случаю. Обращаясь к формуле (61), легко видеть,

что данные сейсмологии позволяют нам определить де-

баевскую температуру как функцию глубины в мантии

2 л V

(59)

ед = Тшд = Л'0 , 0 = у -

(61)

Земли, т. е. Q(l). Оказывается, что данные сейсмологии

позволяют определить 0U) и для ядра Земли. Так реша

ется первая часть задачи определения функции ®{1) для

земных недр.

Вторая необходимая нам функция — это параметр

Грюнайзена *{(1). Эта функция характеризует изменение

дебаевской частоты при изменении плотности и опреде

ляется как логарифмическая производная дебаевской

температуры 0 (р) по плотности:

]ii 0 р (П tfe

(62)

rf 111 р 0 (I) dp '

Нам известны функции 0(0 и pH), поэтому формула

(62) позволяет вычислить функцию Как всякая ло

гарифмическая производная, — медленно изменяю

щаяся величина порядка единицы. Обе функции 0U) и

“(Ш для мантии и ядра показаны на рис. 38 и 39.

g'lnQ

d \пр

ffi

i,B

в,В

W Ofl

Ofi

в-10*к

!,z

0 ,8

Глубина у пн

Рис. 38. И зм енен ие дебаеискои тем п ера

ту р ы ( 1) и п арам етр а Г р ю н ай зен а (?)

в м ан ти и Зем ли с глуби ной .

2 3 00 т о 5ооо т о

Глубина, нм

Рис. 30. Изменение дебаев

ской температуры (1) и пара

метра Грюнайзена (?) в яд

ре Земли с глубиной.

Чтобы рассчитать дебаевекую температуру по фор

муле ((H), кроме средней скорости v (60), которая опре

деляется по данным сейсмологии (см. табл. 5), необхо

димо еще знать средний атомный вес вещества

А. Для

мантии нпролитового состава А «2 2. Это дает для де

баевской температуры на глубине 100 км значение

0 ,„„ ~ 660 К.

Соответственно можно считать, что классический пре

дельный случай в недрах Земли реализуется для глубин,

где Т 5= 1000 °С, т. е, в большей части земных недр. В клас

сическом предельном случае удельная теплоемкость при

постоянном объеме cv дается законом Дюлонга и Пти

3 R 3 It

cv = lT v = T ’ (b3)

где R = 8,314 ■ 107 эрг/(моль ■ град) = 8,314 Дж/(моль X

X град) — газовая постоянная, М — относительная моле

кулярная масса, v — число атомов в молекуле, Я — сред

няя относительная атомная масса.

Удельная теплоемкость при постоянном давлении ср

равна

су(1 - \-yaT), (64)

где Т — абсолютная температура, а сс — коэффициент теп

лового расширения, который может быть рассчитан по

формулам

rvf>

а ^ у — =у — , (bo)

где Ks и Кт — адиабатический и изотермический модули

сжатия соответственно. Адиабатический и изотермиче

ский коэффициенты сжимаемости (3S и рг связаны с

теплоемкостями термодинамической формулой

Р г K S __ ср

Р5 Кт ~ Су' (ЬЬ)

Вычислив по формулам (63) — (66) термодинамические

коэффициенты, можно рассчитать адиабатической гра

диент температуры в мантии и ядре Земли по формуле

где g — ускорение силы тяжести, I — глубина. Рассчи

танные таким образом термодинамические коэффициенты

для разных глубин сведены в табл. 7 и 8. Принятые при

расчете распределения температуры слабо влияют на

значения чисел, приведенных в табл. 7 и 8.

Поясним теперь подробно, как получают для мантии

Земли распределение коэффициента теплопроводности

xU),: что поучительно в методическом отношении. Ко

эффициент теплопроводности мантии Земли х склады

вается из двух частей: х„ — решеточной части коэффи

циента теплопроводности, обусловленной обычным меха

низмом переноса тепла в диэлектриках за счет диффузии

тепловых колебаний кристаллической решетки — фоно

лой, х — лучистой части коэффициента теплопроводно

сти, обусловленной переносом тепла инфракрасными

электрЛмагнитными волнами. Таким образом,

х = х,, + хл. (68)

Теоретически можно определить зависимость ир от тем

пературы и плотности через известные нам функции

Таблица 7

Значения термодинамических величин мантии Земли при распреде

лении температур вдоль адиабатического градиента

Глубина, см

Т, К

ос- Hi*,

—1

град

° V

(£-)

ioo 'ад

100

1500

68,1 1.19

200

1575

62,5

1,19

1,051

600

1800

25,5 1,06 1,205

1000

1950

16,9 1.04

1,295

1800

2160

11.0

1,02 1,44

2900

2400

9,5

1,02 1,61

Таблица 8

Значения термодинамических величин земного ядра при распреде

лении температур вдоль кривой плавления

Глубина, км

Т, К

a- 10s,

град 1

V '

( Г' )

\ Г!>оо / ад

2900

4300

1,08 1,07

3600

4900

0,79

1,055

1,14

4400

5650

0,67

1,05

1,26

5000

6050

0,616

1,05

1,31

6371

6300

0,577

1,05

1,37

(69)

0(р) и 'у(р) — дебаевскую температуру и параметр Грю

найзена:

F1 8е3

Хр ’

где V — объем элементарной ячейки среды (Т7 ~1/р),

Л — некоторая нормировочная постоянная, определяемая

экспериментально. Оценим теперь изменение хр с глу

биной. Обозначим индексами I и «100» величины, отно

сящиеся к глубинам I и 100 км соответственно; тогда

(69) перепишется следующим образом:

' * - * ■ « <70>

Для определения хрюо предположим, что мантия со

стоит из дунита (ультраосновная горная порода, близ

кая по своим физическим свойствам к мантийным поро

дам), и воспользуемся экспериментальным значением для

средней теплопроводности дунита при 0°С, хр(Г =

= 273 К) = 1,24 • Ю-2 кал/(см • с • град). Далее, из (70) сле

дует, что на протяжении первых 100 км влияние темпе

ратуры на изменение хр более существенно, чем влияние

давления (или изменения плотности). Поэтому Хрюо МОЖ-

const _

но наити из соотношения хр = —jr - . Определив постоян

ную из условия хр = 1,2 • 10~2 при Т = 273 К, получим

const = 3,4 кал/(см-с),хр100 = Ф—. Подставляя этов(70),

1 100

определим окончательное выражение для решеточной

части коэффициента теплопроводности мантии:

при I ^ 100 км,

(71)

При температурах порядка 2000—5000 К в неметал

лах заметный вклад в коэффициент теплопроводности

может давать механизм лучистого переноса тепла. Вы

ражение для хл имеет вид

хл = 4 (72)

" п.

где о* = — — = 1,37 -10 12 кал/(с • см2 ■ град4) — посто-

60 К е“

янная Стефана — Больцмана, а — коэффициент поглоще

ния, п — показатель преломления, с — скорость света в

пустоте, h — постоянная Планка, деленная на 2л, к —

постоянная Больцмана. Основная неопределенность в хл

заключена в а. По-видимому, выбор подходящего значе

ния а для земных недр еще долго будет оставаться не-

176

х Р ;

3,4

определенным. Пока подходящей оценкой можно счи

тать aV 100 см~‘.

Качественно изменение х в мантин Земли можно опи

сать так. Вначале коэффициент теплопроводности убы

вает примерно по закону Т~1 [формула (71)]. На глуби

нах 100—-200 км темп нарастания температуры замед

ляется, а сами температуры становятся весьма высокими.

В значении х (68) становится заметным вклад хл. Та

ким образом, где-то на глубинах 100—200 км располо

жен минимум коэффициента теплопроводности; другими

словами, здесь находится теплозапирающий слой, пре

пятствующий выходу тепла земных недр наружу. Мы

здесь отвлекаемся от конвективного переноса тепла в

этой зоне. Однако низкие значения х в наружной зоне

Земли в любом случае затрудняют вынос внутреннего

тепла Земли наружу. По тем же причинам у Луны, Ве

неры, Марса и Меркурия примерно на тех же глубинах

также должен располагаться аналогичный теплозапира

ющий слой. Значение х в нижней мантии по крайней

мере на порядок больше, чем в верхней.

Вопрос о теплопроводности земного ядра не требует

специального рассмотрения. Дело в том, что в металлах

коэффициент теплопроводности х связан с коэффициен

том электропроводности о законом Видемана — Франца

где к — постоянная Больцмана, е — заряд электрона, L —

= 5,86-10-9 кал-Ом/(с град2). Значение а ~ ЗЮ 3 Ом- 1-см-1

(см. § 4.3) и величина Т ~ 5 • 103 К позволяют с помощью

формулы (73) оценить коэффициент теплопроводности

земного ядра:

х ~ 5,86-10-9-3-103-5-'103~0,1 кал/(см-страд). (74)

Важным параметром физической модели Земли яв

ляется вязкость. Значение этого сложного и еще плохо

определенного параметра для физики планетных недр

столь велико, что этот вопрос выделен в отдельный

параграф.

В этой книге мы ограничили себя в основном рас

смотрением вопросов, связанных со строением Земли и

планет. Однако при переходе к более фундаментальным

проблемам эволюции планет и течений в их недрах

(73)

7.6. Реологическая модель коры и мантии

перед памп встает проблема выбора физических парамет

ров, определяющих законы таких течений. В обобщенном

смысле эти параметры можно назвать «вязкостью» зем

ных недр. Часто говорят о значениях «эффективной вяз

кости» земных недр. Однако дать четкое определение

вязкости земных недр все еще трудно. Проще дать оп

ределение вязкости жидких ядер Земли, Венеры и Мер

курия или вязкости жидких планет-гигантов. В этих слу

чаях мы имеем дело с обычной ньютоновской вязкостью.

Вязкость земного ядра каким-либо непосредственным

путем оценить трудно. Если воспользоваться данными о

поглощении продольных сейсмических волн во внешнем

ядре (зона Е), то для средней вязкости внешнего ядра

получается оценка

г] < 10® пуаз (зона Е). (75)

Оценку (75) следует понимать так. Если бы средняя вяз

кость внешнего ядра была ^ 10“ пуаз, то при прохожде

нии через него P-волн с периодами ~1 с они ослабля

лись бы сильнее, чем это наблюдается по данным сей-

смологчш.

Из физических соображений можно полагать, что вяз

кость внешнего ядра Земли вряд ли больше 103 пуаз. То

же самое можно сказать о жидких ядрах Венеры и Мер

курия, а вязкость планет-гигантов еще меньше. Перейдем

теперь к основной теме — определению вязкости твердых

частей Земли, ее коры и мантии.

В § 1.5, посвященном предсказанию землетрясений,

отмечалось, что если бы кора и мантия состояли из иде

альных кристаллов без дефектов, то они обладали бы

теоретической прочностью, превышающей прочность

реальных пород в 103 раз. Еще большее значение нали

чие дефектов в реальных горных породах имеет для их

вязкости. Именно, если бы кора и мантия состояли из

идеальных кристаллов, то их вязкость практически рав

нялась бы бесконечности, т. е. они не обладали бы свой

ством текучести.

В 20-е годы при обсуждении представлений А. Веге

нера о дрейфе материков одним из основных возраже

ний против его гипотезы было то, что кристаллические

твердые породы мантии Земли не могут течь, так как

твердые тела не обладают свойством текучести. В дей

ствительности, если обратиться к данным геологии н гео

физики, то можно указать по крайней мере на три фак

та, свидетельствующие о способности каменной оболочки

Земли к медленному течению: во-первых, смятие наруж

ных штстов Земли в горные сооружения; во-вторых,

послеледниковые поднятия Фенноскандии и обширных

территорий в Канаде и, наконец, близость фигуры нашей

планеты (см. §§ 2.2—2.4) к равновесной фигуре, соот

ветствующей современной угловой скорости вращения

Земли. Однако мы знаем, что вращение Земли медленно

замедляется из-за эффекта приливного трения. Угловая

скорость вращения молодой Земли ~ 4 • К)" лет назад была

примерно вдвое больше современной, н соответственно

сжатие фигуры молодой Земли было значительно боль

ше современного значения. Тот факт, что современное

значение сжатия Земли близко к равновесному значе

нию, как раз и указывает на то, что вся каменная обо

лочка планеты (ее кора и мантия) испытала крупномас

штабное течение, в результате которого фигура Земли

стала более близкой к сфере.

Способность к медленным неупругнм деформациям

твердых поликристаллических тел обусловлена наличием

и них точечных и линейных дефектов кристаллической

структуры — вакансий и дислокаций. Эти дефекты всегда

присутствуют в реальных кристаллах. Они возникают при

росте кристаллов после их образования и при пластиче

ской деформации. В физику твердого тела понятие о теп

ловых дефектах было введено одним из ее основателей

Я. И. Френкелем в 1926 г. Френкель рассуждал следую

щим образом. По мере роста температуры происходит

увеличение амплитуд тепловых колебаний. В твердом те

ле всегда имеется некоторое небольшое число атомов (или

ионов, если тело построено из ионов) с весьма большими

амплитудами колебаний. Под влиянием тепловых флук

туаций эти атомы могут быть выброшены из своих нор

мальных положений — узлов кристаллической решетки —

и перейти в междоузельные положения. В результате

последующих тепловых флуктуаций междоузельные ато

мы могут удалиться па достаточные расстояния от своих

«материнских» узлов, так что их взаимодействием с ос

тавшимися вакантными узлами (вакансиями) можно пре

небречь. Следовательно, дефект по Френкелю состоит из

пары невзаимодействующих частиц. Одна из них — меж-

доузельный атом, другая — вакансия, которая ведет себя

пак квазичастица. На рис. 40 показано положение меж-

тузелыюго атома в решетке NaCl. Естественно, что воз

можен и обратный процесс, при котором дефект по Френ

келю рекомбинирует: при этом междоузельпый атом сое