Засєкіна Т.М. Фізика. 10 клас. Профільний рівень

Подождите немного. Документ загружается.

Ê³íåìàòèêà ïîñòóïàëüíîãî òà îáåðòàëüíîãî ðóõ³â ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè

§ 14 Криволінійний рух.

Рівномірний рух по колу

Ïåðåì³ùåííÿ ³ øâèäê³ñòü ïðè êðèâîë³í³éíîìó ðóñ³. 3

Îñíîâí³ õàðàêòåðèñòèêè ð³âíîì³ðíîãî ðóõó ïî êîëó. 3

Ïåðåì³ùåííÿ ³ øâèäê³ñòü ïðè êðèâîë³í³éíîìó ðóñ³. Äîñ³ ìè ðîçãëÿäàëè

ïðÿìîë³í³éí³ ðóõè: ð³âíîì³ðíèé ïðÿìîë³í³éíèé ðóõ, çà ÿêîãî âåêòîð øâèäêî-

ñò³ íå çì³íþºòüñÿ í³ çà ìîäóëåì, í³ çà íàïðÿìîì

= const

òà ð³âíîïðèñêîðåíèé

ïðÿìîë³í³éíèé ðóõ, çà ÿêîãî âåêòîð øâèäêîñò³ çì³íþºòüñÿ çà ìîäóëåì. Âåê-

òîðè øâèäêîñò³

³ ïåðåì³ùåííÿ

ï³ä ÷àñ ïðÿìîë³í³éíîãî ðóõó íàïðàâëåí³

â îäèí á³ê.

ßê íàïðàâëåí³ âåêòîðè øâèäêîñò³

³ ïåðåì³ùåííÿ

ïðè êðèâîë³í³éíîìó ðóñ³?

Íåõàé ïðîòÿãîì ïåâíîãî ³íòåðâàëó ÷àñó ò³ëî ðóõàºòüñÿ êðèâîë³í³éíîþ òðà-

ºêòîð³ºþ â³ä òî÷êè À äî òî÷êè Â (ìàë. 71). Ïðîéäåíèé ò³ëîì øëÿõ – öå äîâæèíà

äóãè

, à ïåðåì³ùåííÿ – öå âåêòîð, íàïðàâëåíèé óçäîâæ õîðäè

uuur

ßêùî ðîçãëÿäàòè ðóõ çà êîðîòø³ ³íòåðâàëè ÷àñó, òî ìîæíà ñòâåðäæóâàòè,

ùî ìèòòºâà øâèäê³ñòü ò³ëà ó òî÷ö³ òðàºêòîð³¿ íàïðàâëåíà ïî äîòè÷í³é äî äóãè

â ö³é òî÷ö³.

Ó òîìó, ùî øâèäê³ñòü íàïðàâëåíà ïî äîòè÷í³é, ìîæíà ïåðåêîíàòèñÿ, ïðè-

êëàâøè äî òî÷èëüíîãî äèñêà ñòàëåâèé í³æ: ³ñêðè â³ä íüîãî âèë³òàòèìóòü ïî äî-

òè÷í³é äî ì³ñöÿ ïðèêëàäàííÿ íîæà (ìàë. 72, à). Ïî äîòè÷í³é â³äë³òàþòü ÷àñòêè

áàãíþêè â³ä êîë³ñ àâòîìîá³ëÿ, ùî çàáóêñóâàâ (ìàë. 72, á).

Òàêèì ÷èíîì, ìèòòºâà øâèäê³ñòü ò³ëà ó ð³çíèõ òî÷êàõ êðèâîë³í³éíî¿ òðà-

ºêòîð³¿ ìàº ð³çíèé íàïðÿì. Çà ìîäóëåì öÿ øâèäê³ñòü ìîæå áóòè îäíàêîâîþ â

óñ³õ òî÷êàõ, à ìîæå ³ çì³íþâàòèñü.

Ìàë. 71. Íàïðÿì ìèòòºâî¿ øâèäêîñò³ ò³ëà

ï³ä ÷àñ éîãî êðèâîë³í³éíîãî ðóõó

Ð Î Ç Ä ² Ë 1

Íàâ³òü êîëè çà ìîäóëåì øâèäê³ñòü íå çì³íþºòüñÿ, ¿¿ íå ìîæíà ââàæàòè ïî-

ñò³éíîþ, àäæå øâèäê³ñòü – âåëè÷èíà âåêòîðíà. À äëÿ âåêòîðíî¿ âåëè÷èíè ìî-

äóëü ³ íàïðÿì îäíàêîâî âàæëèâ³.

Òîìó êðèâîë³í³éíèé ðóõ – öå çàâæäè ðóõ ç ïðèñêîðåííÿì. Ïðèñêîðåííÿ

êðèâîë³í³éíîãî ðóõó ïîâ’ÿçàíå ç³ çì³íîþ íàïðÿìó øâèäêîñò³.

Îñíîâí³ õàðàêòåðèñòèêè ð³âíîì³ðíîãî ðóõó ïî êîëó. ßê ìè óæå ç’ÿñóâàëè,

ðóõ êðèâîë³í³éíîþ òðàºêòîð³ºþ â³äáóâàºòüñÿ ïî äóãàõ ê³ë (äèâ.

§ 6). Ùîá äî-

ñë³äèòè ïðèñêîðåííÿ ïðè êðèâîë³í³éíîìó ðóñ³, ðîçãëÿíåìî âèïàäîê ð³âíîì³ð-

íîãî ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè ïî êîëó.

Ð³âíîì³ðíèé ðóõ ïî êîëó – öå ðóõ ç³ ñòàëîþ çà ìîäóëåì øâèäê³ñòþ ³ ç ïðè-

ñêîðåííÿì, çóìîâëåíèì çì³íîþ íàïðÿìó øâèäêîñò³. Öþ øâèäê³ñòü ïðèéíÿòî

íàçèâàòè ë³í³éíîþ.

ßê â³äîìî, ïðèñêîðåííÿ âèçíà÷à-

ºòüñÿ

υ−υ

àáî

∆υ

Çðîçóì³ëî, ùî âåêòîð

íàïðàâëå-

íèé òàê ñàìî, ÿê

∆υ

, áî ÷àñ t º ñêàëÿð-

íîþ âåëè÷èíîþ.

Íåõàé ò³ëî ðóõàºòüñÿ ïî êîëó ðà-

ä³óñîì r ³ â äåÿêèé ìîìåíò ÷àñó, ÿêèé

ìè ïðèéìåìî çà ïî÷àòêîâèé (t

= 0),

âîíî ïåðåáóâàòèìå ó òî÷ö³ À (ìàë. 73).

Ë³í³éíà øâèäê³ñòü

ó ö³é òî÷ö³

íàïðàâëåíà ïî äîòè÷í³é. ×åðåç äåÿêèé

ìàëèé ³íòåðâàë ÷àñó t ò³ëî áóäå â òî÷ö³

Â. Ââàæàòèìåìî, ùî ³íòåðâàë ÷àñó íà-

ñò³ëüêè ìàëèé, ùî äóãà

çá³ãàºòüñÿ

ç õîðäîþ ÀÂ (íà ìàëþíêó äëÿ íàî÷íîñ-

ò³ òî÷êè â³ääàëåí³). Ó òî÷ö³ Â ò³ëî ìà-

òèìå ë³í³éíó øâèäê³ñòü

(ÿêà çà ìîäóëåì íå çì³íèëàñü υ=υ

, çì³íèâñÿ ëèøå

¿¿ íàïðÿì). Çíàéäåìî ð³çíèöþ âåêòîð³â

³ υ

çà ïðàâèëîì â³äí³ìàííÿ âåêòîð³â:

ïåðåíåñåìî âåêòîð

ïàðàëåëüíî ñàìîìó ñîá³ òàê, ùîá â³í ³ âåêòîð

âèõîäèëè

Ìàë. 73. Âåêòîð ïðèñêîðåííÿ

íàïðàâëåíèé òàê ñàìî, ÿê ∆

Ìàë. 72. Íàïðÿì ðóõó: à – ³ñêîð; á – ÷àñòîê áàãíþêè

Ê³íåìàòèêà ïîñòóïàëüíîãî òà îáåðòàëüíîãî ðóõ³â ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè

ç òî÷êè À. Òîä³ âåêòîð ∆υ

, ïðîâåäåíèé â³ä ê³íöÿ âåêòîðà

äî ê³íöÿ âåêòîðà, υ

º ¿õ ð³çíèöåþ.

Ç ìàëþíêó âèäíî, ùî âåêòîð

∆υ

íàïðàâëåíî ìàéæå äî öåíòðà êîëà. ² ÿêùî

òî÷êè À ³ Â äóæå áëèçüê³, òî âåêòîð

∆υ

íàïðàâëåíî òî÷íî äî öåíòðà êîëà. Òàêèé

íàïðÿì ìàº ³ ïðèñêîðåííÿ

Îòæå, ïðè ð³âíîì³ðíîìó ðóñ³ ò³ëà ïî êîëó

éîãî ïðèñêîðåííÿ â óñ³õ òî÷êàõ êîëà ñïðÿìîâàíî

ïî ðàä³óñó äî öåíòðà êîëà, éîãî òàê ³ íàçèâàþòü –

äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ.

ßê â³äîìî ç êóðñó ãåîìåòð³¿, äîòè÷íà, ïðîâå-

äåíà äî ïåâíî¿ òî÷êè êîëà, º ïåðïåíäèêóëÿðíîþ

äî ðàä³óñà, ïðîâåäåíîãî ó öþ òî÷êó. Îòæå, âåêòîð

äîöåíòðîâîãî ïðèñêîðåííÿ

ó êîæí³é òî÷ö³ êîëà

ïåðïåíäèêóëÿðíèé äî âåêòîðà ë³í³éíî¿ øâèäêî-

ñò³

(ìàë. 74).

Ç’ÿñóºìî, â³ä ÷îãî çàëåæèòü ìîäóëü äîöåí-

òðîâîãî ïðèñêîðåííÿ. Ðîçãëÿíåìî òðèêóòíèê,

óòâîðåíèé âåêòîðàìè

òà

∆υ

(äèâ. ìàë. 73).

Â³í ð³âíîáåäðåíèé, îñê³ëüêè ð³âí³ ìîäóë³

υ=υ

Òðèêóòíèê ÎÀÂ – òàêîæ ð³âíîáåäðåíèé. Ö³ òðè-

êóòíèêè ïîä³áí³, ÿê ð³âíîáåäðåí³ ç ð³âíèìè êóòà-

ìè ïðè âåðøèí³.

Ç ïîä³áíîñò³ òðèêóòíèê³â:

∆υ υ

AB r

Îñê³ëüêè, ÿê çãàäóâàëîñü âèùå, õîðäà ÀÂ çá³ãàºòüñÿ ç äóãîþ

, äîâæè-

íà ÿêî¿ º ïðîéäåíèé ò³ëîì øëÿõ ³ç ïîñò³éíîþ çà ìîäóëåì ë³í³éíîþ øâèäê³ñòþ

ïðîòÿãîì ÷àñó t. Â³í äîð³âíþº υt.

Òîìó

∆υ υ

υtr

, àáî

∆υ υ

. Îñê³ëüêè

∆υ

º ìîäóëü ïðèñêîðåííÿ, òî äîöåí-

òðîâå ïðèñêîðåííÿ âè-

çíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ

a = υ

/r.

Îòæå, ìîæíà ñòâåð-

äæóâàòè, ùî ó áóäü-ÿê³é

òî÷ö³ êðèâîë³í³éíî¿ òðà-

ºêòîð³¿ (ìàë. 75) ò³ëî ðó-

õàºòüñÿ ç ïðèñêîðåííÿì,

íàïðàâëåíèì äî öåíòðà

òîãî êîëà, ÷àñòèíîþ ÿêî-

ãî º ä³ëÿíêà, ùî ì³ñòèòü

öþ òî÷êó. Ìîäóëü ïðè-

ñêîðåííÿ çàëåæèòü â³ä

øâèäêîñò³ ò³ëà ³ ðàä³óñà

â³äïîâ³äíîãî êîëà.

Ìàë. 74. Íàïðÿìè âåêòîð³â

ë³í³éíî¿ øâèäêîñò³

òà äîöåíòðîâîãî ïðèñêîðåííÿ

Ìàë. 75. Äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ êðèâîë³í³éíîãî ðóõó

Ð Î Ç Ä ² Ë 1

Ð³âíîì³ðíèé ðóõ ïî êîëó õàðàêòåðèçóºòüñÿ òàêîæ ñïåöèô³÷íèìè ê³íåìà-

òè÷íèìè âåëè÷èíàìè: êóòîâèì ïåðåì³ùåííÿì, êóòîâîþ øâèäê³ñòþ, ïåð³îäîì

³ ÷àñòîòîþ.

Ïåð³îä îáåðòàííÿ ( Ò ) – ÷àñ îäíîãî ïîâíîãî îáåð-

òó òî÷êè, ùî ðóõàºòüñÿ ïî êîëó.

Îäèíèöÿ ïåð³îäó – ñåêóíäà, [Ò] = 1 ñ.

ßêùî ò³ëî ðîáèòü N îáåðò³â, òî

, t – ÷àñ îáåðòàííÿ; N – ê³ëüê³ñòü

çðîáëåíèõ îáåðò³â.

Îáåðòîâà ÷àñòîòà (n) – ê³ëüê³ñòü îáåðò³â çà

îäèíèöþ ÷àñó: n = N/t.

Îäèíèöÿ îáåðòîâî¿ ÷àñòîòè – îáåðòè çà ñåêóíäó,

[n] = 1

−

Ëåãêî ïîì³òèòè, ùî ì³æ ÷àñòîòîþ ³ ïåð³îäîì îáåð-

òàííÿ ³ñíóº âçàºìíî îáåðíåíà çàëåæí³ñòü:

n =

òà

Íåõàé ò³ëî ð³âíîì³ðíî ðóõàºòüñÿ ïî êîëó ðàä³óñà

r ³ çà ïåâíèé ÷àñ t ïåðåì³ùàºòüñÿ ç òî÷êè À â òî÷êó Â

(ìàë. 76). Êóò ϕ, ÿêèé ïðè öüîìó îïèñóº ðàä³óñ, íàçèâà-

ºòüñÿ êóòîì ïîâîðîòó, àáî êóòîâèì ïåðåì³ùåííÿì.

Îäèíèöåþ êóòîâîãî ïåðåì³ùåííÿ º ðàä³àí, [ϕ] = 1 ðàä.

1 ðàä äîð³âíþº öåíòðàëüíîìó êóòó ì³æ äâîìà ðà-

ä³óñàìè, äîâæèíà äóãè ÿêîãî äîð³âíþº ðàä³óñó.

Çà îäèí îáåðò ò³ëî çä³éñíþº êóòîâå ïåðåì³ùåííÿ

2π ðàä.

Êóò ó ðàä³àíàõ ³ öåé ñàìèé êóò ó ãðàäóñàõ ϕ° ïîâ’ÿçàí³ ñï³ââ³äíîøåííÿì:

180

ϕ°π

ϕ=

Êóòîâå ïåðåì³ùåííÿ – àêñ³àëüíèé âåêòîð

∆ϕ

. Àêñ³àëüí³ âåêòîðè âèêî-

ðèñòîâóþòüñÿ ïðè ðîçãëÿä³ îáåðòàëüíîãî ðóõó. Âîíè íàïðàâëåí³ âçäîâæ îñ³

îáåðòàííÿ.

Òàêèì ÷èíîì, çà àíàëîã³ºþ ç ê³íåìàòèêîþ ïîñòóïàëüíîãî ðóõó, ìîæíà ïî-

áóäóâàòè ê³íåìàòèêó îáåðòàëüíîãî ðóõó.

Ìàë. 76.

Êóòîâå ïåðåì³ùåííÿ

Ê³íåìàòèêà ïîñòóïàëüíîãî òà îáåðòàëüíîãî ðóõ³â ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè

Ð³âíÿííÿ îáåðòàëüíîãî ðóõó – öå çàëåæí³ñòü

âåêòîðà êóòîâîãî ïåðåì³ùåííÿ â³ä ÷àñó:

()tϕ=ϕ

Êóòîâà øâèäê³ñòü

òî÷êè, ùî ð³âíîì³ðíî ðóõà-

ºòüñÿ ïî êîëó, âèçíà÷àºòüñÿ â³äíîøåííÿì êóòîâîãî

ïåðåì³ùåííÿ äî ³íòåðâàëó ÷àñó, ïðîòÿãîì ÿêîãî öå

ïåðåì³ùåííÿ â³äáóëîñÿ:

∆ϕ

ω=

∆

Îäèíèöÿ êóòîâî¿ øâèäêîñò³ – ðàä³àí çà ñåêóíäó, [ω] = 1 ðàä/ñ.

Êóòîâà øâèäê³ñòü – âåêòîðíà âåëè÷èíà. Íàïðàâëåíèé âåêòîð

óçäîâæ îñ³

îáåðòàííÿ, ïðè÷îìó òàê, ùî íàïðÿì îáåðòàííÿ ³ íàïðÿì

óòâîðþþòü ïðàâî-

ãâèíòîâó ñèñòåìó (ìàë. 77): ÿêùî äèâèòèñü óñë³ä âåêòîðó

, òî îáåðòàííÿ â³ä-

áóâàºòüñÿ çà ãîäèííèêîâîþ ñòð³ëêîþ.

Îñê³ëüêè êóòîâå ïåðåì³ùåííÿ çà

÷àñ, ùî äîð³âíþº ïåð³îäó, ñòàíîâèòü 2π

ðàä, òî êóòîâî¿ øâèäêîñò³ ìîæå áóòè

âèçíà÷åíèé ÷åðåç ïåð³îä ³ îáåðòîâó

÷àñòîòó:

ω = 2πn àáî

ω=

Ïðè ð³âíîì³ðíîìó ðóñ³ ïî êîëó

êóòîâà øâèäê³ñòü ïîñò³éíà:

= const.

Ïðè íåð³âíîì³ðíîìó ðóñ³ ïî êîëó

êóòîâà øâèäê³ñòü çì³íþºòüñÿ (âàð³à-

òèâíà)

= var. Òîìó ïðè íåð³âíîì³ð-

íîìó ðóñ³ ïî êîëó çàñòîñîâóþòü ìèò-

òºâó êóòîâó øâèäê³ñòü

lim

∆→

∆ϕ

ω=

∆

Ë³í³éíà øâèäê³ñòü. ßê ìè óæå ç’ÿñóâàëè, ë³í³éíà øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà çà-

ëèøàºòüñÿ ñòàëîþ çà ìîäóëåì, âåñü ÷àñ çì³íþºòüñÿ çà íàïðÿìîì ³ â áóäü-ÿê³é

òî÷ö³ òðàºêòîð³¿ ðóõó ò³ëà íàïðàâëåíà ïî äîòè÷í³é, ïðîâåäåí³é äî êîëà ÷åðåç

öþ òî÷êó.

Çà ïåð³îä T ò³ëî ïðîõîäèòü øëÿõ, ùî äîð³âíþº äîâæèí³ êîëà l = 2πr, òîä³

ìîäóëü ë³í³éíî¿ øâèäêîñò³ âèçíà÷àºòüñÿ: υ = 2πr/T àáî υ = 2πr · n.

Îäèíèöÿ ë³í³éíî¿ øâèäêîñò³ – ìåòð çà ñåêóíäó, [υ] = 1 ì/ñ.

Ëåãêî ïîáà÷èòè çâ’ÿçîê ë³í³éíî¿ ³ êóòîâî¿ øâèä-

êîñòåé: υ = ωr.

ßê ìè ðàí³øå âñòàíîâèëè, äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ a = υ

/r, âðàõîâóþ÷è

çâ’ÿçîê ë³í³éíî¿ ³ êóòîâî¿ øâèäêîñò³, ìîæíà âèðàçèòè ³ òàê: a = ω

Ìàë. 77. Íàïðÿì âåêòîðà

êóòîâî¿ øâèäêîñò³

Ð Î Ç Ä ² Ë 1

Çâåðí³òü óâàãó! ßê âèäíî ç ôîðìóë, äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ â îäíîìó

âèïàäêó çàëåæèòü â³ä ðàä³óñà ïðÿìî ïðîïîðö³éíî, à â ³íøîìó – îáåðíåíî ïðî-

ïîðö³éíî. Öåé ïàðàäîêñàëüíèé, íà ïåðøèé ïîãëÿä, âèñíîâîê â³äîáðàæàº òîé

ôàêò, ùî, ÿêùî ó ò³ë, ÿê³ ðóõàþòüñÿ ïî êîëó, îäíàêîâ³ ë³í³éí³ øâèäêîñò³, òî

äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ á³ëüøå ó òîãî ç íèõ, ÿêå ðóõàºòüñÿ ïî êîëó ìåíøîãî

ðàä³óñà; ÿêùî îäíàêîâ³ ¿õ êóòîâ³ øâèäêîñò³, òî äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ á³ëü-

øå òàì, äå á³ëüøèé ðàä³óñ.

Ãîëîâíîþ îñîáëèâ³ñòþ ð³âíîì³ðíîãî ðóõó ïî êîëó º òå, ùî â³äáóâàºòüñÿ ïå-

ð³îäè÷íå ïîâòîðåííÿ ïîëîæåííÿ ò³ëà ³ â³äïîâ³äíà ïåð³îäè÷íà çì³íà âåëè÷èí,

ùî õàðàêòåðèçóþòü ðóõ. Ç ïîä³áíèìè ïåð³îäè÷íèìè çì³íàìè âåëè÷èí ìè çó-

ñòð³íåìîñü ïðè âèâ÷åíí³ êîëèâàíü.

Дайте відповіді на запитання

×èì â³äð³çíÿþòüñÿ çì³íè øâèäêîñò³ ïðè ïðÿìîë³í³éíîìó ³ êðèâîë³í³é-1.

íîìó ðóõàõ?

×è ìîæíà ââàæàòè ð³âíîì³ðíèé ðóõ ïî êîëó ð³âíîïðèñêîðåíèì?2.

ßêùî ïðè ðóñ³ ïî êîëó çì³íþâàòèìåòüñÿ ³ ìîäóëü øâèäêîñò³, òî ÿê öå 3.

âïëèâàòèìå íà ïðèñêîðåííÿ?

ßêèìè ñïåöèô³÷íèìè ê³íåìàòè÷íèìè âåëè÷èíàìè õàðàêòåðèçóºòüñÿ 4.

ðóõ ïî êîëó?

Приклади розв’язування задач

Çàäà÷à 1. ßê â³äîìî, äîáîâå îáåðòàííÿ Çåìë³ ñòàíîâèòü 24 ãîä. Ç ÿêîþ êó-

òîâîþ òà ë³í³éíîþ øâèäê³ñòþ ðóõàþòüñÿ òî÷êè ïîâåðõí³ Çåìë³, ðîçòàøîâàí³

íà åêâàòîð³? Ðàä³óñ Çåìë³ – 6400 êì. Ââàæàòè, ùî â³ñü îáåðòàííÿ ïðîõîäèòü

êð³çü ïîëþñè.

Äàíî:

T = 24 ãîä = 86 400 ñ;

=⋅

6,4 10 ìR

Ðîçâ’ÿçàííÿ:

Ââàæàòèìåìî îáåðòàííÿ Çåìë³ ð³âíîì³ðíèì.

Êóòîâó øâèäê³ñòü âèçíà÷àºìî çà ôîðìóëîþ

ω=

ω – ?

υ – ?

Ë³í³éíà øâèäê³ñòü â³äïîâ³äíî:

υ=ωr ,

−

υ= ⋅ ⋅ ⋅ =

ðàä ì

7,3 10 6,4 10 ì 47

ññ

Â³äïîâ³äü:

−

ω= ⋅

ðàä

7,3 10

; υ=

Çàäà÷à 2. Âåëîñèïåäèñò ¿äå ïî äîðîç³ ç³ øâèäê³ñòþ 10 ì/ñ. Ñê³ëüêè îáåðò³â

çà ñåêóíäó ðîáëÿòü êîëåñà âåëîñèïåäà, ÿêùî âîíè íå êîâçàþòü? ßêå äîöåíòðî-

âå ïðèñêîðåííÿ ìàþòü òî÷êè íà îáîä³ êîëåñà, ÿêùî éîãî ðàä³óñ 35 ñì?

Äàíî:

υ = 10 ì/ñ;

r = 0,35 ì

Ðîçâ’ÿçàííÿ:

Êîëåñî âåëîñèïåäà áåðå ó÷àñòü îäíî÷àñíî ó äâîõ ðóõàõ:

ïîñòóïàëüíîìó ç³ øâèäê³ñòþ

′

òà îáåðòàëüíîìó ç ë³í³éíîþ

øâèäê³ñòþ

. Íàïðÿìè âåêòîð³â öèõ øâèäêîñòåé ïîêàçàí³

íà ìàë. 78. Âåêòîð øâèäêîñò³ ïîñòóïàëüíîãî ðóõó çá³ãàºòüñÿ

ν – ?

a – ?

Ê³íåìàòèêà ïîñòóïàëüíîãî òà îáåðòàëüíîãî ðóõ³â ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè

ç íàïðÿìîì ðóõó âåëîñèïåäà,

òîìó â óñ³õ òî÷êàõ êîëåñà â³í

ìàº îäíàêîâèé íàïðÿì (÷åðâî-

íà ñòð³ëêà íà ìàëþíêó), âåêòîð

ë³í³éíî¿ øâèäêîñò³ ó ð³çíèõ

òî÷êàõ êîëåñà ñïðÿìîâàíèé ïî

äîòè÷í³é, ïðîâåäåí³é ÷åðåç öþ

òî÷êó.

Îñê³ëüêè êîëåñî ðóõàºòüñÿ

áåç ïðîêîâçóâàííÿ, òî òî÷êà À,

ùî ñòèêàºòüñÿ â öåé ìîìåíò ç

äîðîãîþ, ìàº øâèäê³ñòü, ÿêà äî-

ð³âíþº íóëþ. Çâ³äñè âèïëèâàº,

ùî øâèäê³ñòü ïîñòóïàëüíîãî

ðóõó äîð³âíþº çà ìîäóëåì ë³í³é-

í³é øâèäêîñò³.

Òàêèì ÷èíîì, äàíå â óìîâ³

çíà÷åííÿ øâèäêîñò³ ìè ìîæåìî

âèêîðèñòîâóâàòè äëÿ âèçíà÷åí-

íÿ äîöåíòðîâîãî ïðèñêîðåííÿ:

100

=285

0,35 ì ñ

a =

Ê³ëüê³ñòü îáåðò³â, ùî ðîáèòü çà ñåêóíäó êîëåñî (òîáòî îáåðòîâó ÷àñòîòó),

âèçíà÷àºìî çà ôîðìóëîþ:

υ = 2πnr,

2 r

n =

4,55 =

⋅

Â³äïîâ³äü:

285

; n = 4,55 c

−1

Вправа 10

1. Çà ÿêèé ÷àñ êîëåñî, ùî ìàº êóòîâó øâèäê³ñòü 4π ðàä/ñ, çðîáèòü 100 îáåð-

ò³â?

2. ßêùî ðàä³óñ êîëîâî¿ îðá³òè øòó÷íîãî ñóïóòíèêà Çåìë³ çá³ëüøèòè â

4 ðàçè, òî éîãî ïåð³îä îáåðòàííÿ çá³ëüøèòüñÿ ó 8 ðàç³â. Ó ñê³ëüêè ðàç³â çì³-

íèòüñÿ øâèäê³ñòü ðóõó ñóïóòíèêà ïî îðá³ò³?

3. Õâèëèííà ñòð³ëêà ãîäèííèêà ó òðè ðàçè äîâøà â³ä ñåêóíäíî¿. Îá÷èñëèòè

ñï³ââ³äíîøåííÿ ë³í³éíèõ øâèäêîñòåé ê³íö³â ñòð³ëîê.

4. Îá÷èñëèòè äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ òî÷îê êîëåñà àâòîìîá³ëÿ, ÿê³ äîòè-

êàþòüñÿ äî äîðîãè, ÿêùî àâòîìîá³ëü ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ 72 êì/ãîä ³ ïðè

öüîìó îáåðòîâà ÷àñòîòà êîëåñà ñòàíîâèòü 8 ñ

−1

Ìàë. 78. Ïîñòóïàëüíèé

òà îáåðòàëüíèé ðóõ êîëåñà

Ð Î Ç Ä ² Ë 1

5. Äâ³ ìàòåð³àëüí³ òî÷êè ðóõàþòüñÿ ïî êîëàõ ðàä³óñàìè R

³ R

, ïðè÷îìó

= 2R

. Ïîð³âíÿòè ¿õ äîöåíòðîâ³ ïðèñêîðåííÿ ó âèïàäêàõ: à) êîëè ¿õ ë³í³éí³

øâèäêîñò³ îäíàêîâ³; á) êîëè ¿õ ïåð³îäè îäíàêîâ³.

6. ßêà ë³í³éíà øâèäê³ñòü òî÷îê çåìíî¿ ïîâåðõí³ íà øèðîò³ 60° ï³ä ÷àñ äî-

áîâîãî îáåðòàííÿ Çåìë³? Ââàæàòè, ùî ðàä³óñ Çåìë³ – 6400 êì.

7. Ðàä³óñ ðóêîÿòêè êîëîâîðîòà êðèíèö³ â 3 ðàçè á³ëüøèé â³ä ðàä³óñà âàëà,

íà ÿêèé íàìîòóºòüñÿ òðîñ. ßêà ë³í³éíà øâèäê³ñòü ê³íöÿ ðóêîÿòêè ï³ä ÷àñ ï³ä-

í³ìàííÿ â³äðà ç ãëèáèíè 10 ì çà 20 ñ?

8. Äèòÿ÷èé çàâîäíèé àâòîìîá³ëü, ðóõàþ÷èñü ð³âíîì³ðíî, ïðîéøîâ øëÿõ

s çà ÷àñ t. Âèçíà÷èòè îáåðòîâó ÷àñòîòó, êóòîâó øâèäê³ñòü êîë³ñ ³ äîöåíòðîâå

ïðèñêîðåííÿ òî÷îê íà îáîä³ êîëåñà, ÿêùî éîãî ä³àìåòð d. ßêùî º ìîæëèâ³ñòü,

âèçíà÷èòè âêàçàí³ ó çàäà÷³ ïàðàìåòðè íà äîñë³ä³.

9. Âèçíà÷èòè ðàä³óñ äèñêà, ùî îáåðòàºòüñÿ, ÿêùî ë³í³éíà øâèäê³ñòü òî-

÷îê, ùî çíàõîäÿòüñÿ íà éîãî êðàþ 6 ì/ñ, à òî÷îê, ùî çíàõîäÿòüñÿ áëèæ÷å íà

15 ñì äî éîãî öåíòðà, – 5,5 ì/ñ.

10. Íà ãîðèçîíòàëüí³é îñ³ îáåðòàþòüñÿ ç ÷àñòîòîþ 3000 îáåðò³â çà õâèëè-

íó äâà òîíêèõ äèñêè, çàêð³ïëåí³ íà â³äñòàí³ 100 ñì îäèí â³ä îäíîãî. Ïóùåíà

ïàðàëåëüíî îñ³ êóëÿ ïðîáèâàº îáèäâà äèñêè, ïðè÷îìó äðóãà ïðîáî¿íà çì³ùåíà

â³äíîñíî ïåðøî¿ íà êóò 45°. Ïðîáèâøè äèñêè, êóëÿ çàãëèáëþºòüñÿ ó ñò³íó íà

60 ñì. Âèçíà÷èòè: à) øâèäê³ñòü êóë³ ï³ä ÷àñ ðóõó ¿¿ ì³æ äèñêàìè; á) ÷àñ ðóõó â

ñò³í³; â) ñåðåäíº çíà÷åííÿ ïðèñêîðåííÿ êóë³ ï³ä ÷àñ ðóõó ó ñò³í³.

§ 15 Рівномірний та нерівномірний обертальні рухи

Õàðàêòåðèñòèêè íåð³âíîì³ðíîãî îáåðòàëüíîãî ðóõó. 3

Ê³íåìàòè÷í³ ð³âíÿííÿ îáåðòàëüíîãî ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè 3 .

Ñï³ââ³äíîøåííÿ ð³âíÿíü ê³íåìàòèêè ïîñòóïàëüíîãî ³ îáåð-

òàëüíîãî ðóõ³â.

Õàðàêòåðèñòèêè íåð³âíîì³ðíîãî îáåðòàëüíîãî ðóõó.

Ðóõ ïî êîëó (îáåðòàëü-

íèé ðóõ) ìîæå áóòè ÿê ð³âíîì³ðíèì, òàê ³ íåð³âíîì³ðíèì. Ïðè ð³âíîì³ðíîìó ðóñ³

ïî êîëó ë³í³éíà øâèäê³ñòü çì³íþºòüñÿ ò³ëüêè çà íàïðÿìîì. Ïðè íåð³âíîì³ðíîìó

ðóñ³ – ³ çà íàïðÿìîì, ³ çà ÷èñëîâèì çíà÷åííÿì.

Îñê³ëüêè ë³í³éíå ïðèñêîðåííÿ õàðàêòåðèçóº çì³íó ë³í³éíî¿ øâèäêîñò³ ³ çà

÷èñëîâèì çíà÷åííÿì, ³ çà íàïðÿìêîì, òî éîãî ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿä³ ñóìè

äâîõ ñêëàäîâèõ:

rr r

àà à, äå íîðìàëüíå (äîöåíòðîâå) ïðèñêîðåííÿ

a õà-

ðàêòåðèçóº çì³íó øâèäêîñò³ çà íàïðÿìîì ³ ñïðÿìîâàíå äî öåíòðà êîëà

;

òàíãåíö³àëüíå (àáî äîòè÷íå) ïðèñêîðåííÿ

õàðàêòåðèçóº çì³íó ìîäóëÿ

øâèäêîñò³ ³ íàïðÿìëåíå ïî äîòè÷í³é äî òðàºêòîð³¿ a

= ∆υ/∆t (ìàë. 79).

Ê³íåìàòèêà ïîñòóïàëüíîãî òà îáåðòàëüíîãî ðóõ³â ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè

Ìîäóëü ë³í³éíîãî àáî ïîâíîãî

ïðèñêîðåííÿ:

aaa.

Êóò α, ÿêèé óòâîðþº âåêòîð ë³-

í³éíîãî ïðèñêîðåííÿ

ç ðàä³óñîì-

âåêòîðîì ðóõîìî¿ òî÷êè, âèçíà÷à-

ºòüñÿ ÿê çàëåæí³ñòü tgα = a

Ïðè ð³âíîì³ðíîìó îáåðòàíí³

ò³ëà ïî êîëó òàíãåíö³àëüíå ïðèñêî-

ðåííÿ â³äñóòíº.

Ïðè íåð³âíîì³ðíîìó ðóñ³ ïî êîëó

êóòîâà øâèäê³ñòü

çì³íþºòüñÿ, ùî

âèêëèêàº êóòîâå ïðèñêîðåííÿ.

Êóòîâå ïðèñêîðåííÿ (

) âèçíà÷àºòüñÿ â³äíîøåí-

íÿì çì³íè êóòîâî¿ øâèäêîñò³ îáåðòàííÿ äî ³íòåðâà-

ëó ÷àñó, çà ÿêèé öÿ çì³íà â³äáóëàñü:

ω−ω

∆ω

ε= =

∆∆

Îäèíèöÿ êóòîâîãî ïðèñêîðåííÿ – ðàä³àí çà ñåêóíäó â êâàäðàò³, [ε] = 1 ðàä/ñ

Âåêòîð

ñï³âïàäàº ç âåêòîðîì

, ÿêùî îáåðòàííÿ ïðèñêîðåíå, ³ íàïðàâëå-

íèé ó ïðîòèëåæíèé á³ê, ÿêùî îáåðòàííÿ ñïîâ³ëüíåíå.

Âèðàç ∆

/∆t õàðàêòåðèçóº ñåðåäíþ çà ÷àñ ∆t ñòð³ìê³ñòü çì³íè êóòîâî¿ øâèä-

êîñò³ ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè. Éîãî íàçèâàþòü ñåðåäí³ì êóòîâèì ïðèñêîðåí-

íÿì.

ßêùî çìåíøóâàòè ³íòåðâàë ÷àñó, çà ÿêèé çì³íþºòüñÿ êóòîâà øâèäê³ñòü, òî

öèì ìåíøèì áóäå öåé ³íòåðâàë ∆t

→

0, òèì ìåíøîþ áóäå çì³íà êóòîâî¿ øâèäêî-

ñò³ ∆

→

0, à äð³á ∆

/∆t ïðÿìóº äî äåÿêîãî ãðàíè÷íîãî çíà÷åííÿ. Öþ ãðàíèöþ

íàçèâàþòü ìèòòºâèì êóòîâèì ïðèñêîðåííÿì òî÷êè ó ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó:

∆→

∆ω

ε= =ω

′

∆

lim

Íåð³âíîì³ðíèé îáåðòàëüíèé ðóõ º äîñèòü ñêëàäíèì, òîìó íàäàë³ áóäåìî

äîñë³äæóâàòè ðóõ ç³ ñòàëèì êóòîâèì ïðèñêîðåííÿì

= const, òîáòî ð³âíîïðèñ-

êîðåíèé îáåðòàëüíèé ðóõ. Êóòîâà øâèäê³ñòü ð³âíîïðèñêîðåíîãî îáåðòàëüíîãî

ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ:

ω=ω +ε

rr r

t .

Ùîá âñòàíîâèòè çâ’ÿçîê ì³æ êóòîâèì ³ ë³í³éíèì ïðèñêîðåííÿìè, ñêîðè-

ñòàºìîñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿì

∆υ

∆ω =

, òîä³

∆ω ∆υ

ε= =

∆∆trt

. Îñê³ëüêè çà îçíà÷åííÿì

∆υ

∆

– òàíãåíö³àëüíå ïðèñêîðåííÿ, òî

ε=

Ìàë. 79.

Ñêëàäîâ³

ë³í³éíîãî

ïðèñêîðåííÿ

Ð Î Ç Ä ² Ë 1

Îòæå, ïðè ð³âíîì³ðíîìó ðóñ³ ïî êîëó º ëèøå äîöåíòðîâå (íîðìàëüíå ïðè-

ñêîðåííÿ), ÿêå çóìîâëåíå çì³íîþ íàïðÿìó ë³í³éíî¿ øâèäêîñò³:

υπ

==ω=πn ==ωυ

222

arr

Ïðè íåð³âíîì³ðíîìó ðóñ³ ïî êîëó âèíèêàº òàíãåíö³àëüíå (äîòè÷íå) òà êóòî-

âå ïðèñêîðåííÿ, ÿê³ ïîâ’ÿçàí³ ì³æ ñîáîþ çàëåæí³ñòþ:

=εar.

Ê³íåìàòè÷í³ ð³âíÿííÿ îáåðòàëüíîãî ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè.

Ïðè ð³âíîì³ðíîìó îáåðòàíí³, òîáòî ðóñ³ ç ïîñò³éíîþ êóòîâîþ øâèäê³ñòþ,

êóòîâå ïåðåì³ùåííÿ âèçíà÷àºòüñÿ ïëîùåþ ïðÿìîêóòíèêà, îäíà ç³ ñòîð³í ÿêîãî

t, à äðóãà ω (ìàë. 80, à): ϕ = ωt. Ó âèïàäêó íåð³âíîì³ðíîãî ðóõó ïî êîëó ç³ ñòàëèì

êóòîâèì ïðèñêîðåííÿì ãðàô³ê êóòîâî¿ øâèäêîñò³ ìàº âèãëÿä, çîáðàæåíèé íà

ìàë. 80, á.

ßêùî íà ãðàô³êó (ìàë. 80, á) âèä³ëèòè âóçüêó ñìóæêó

′

abc d

, øèðèíà ÿêî¿

â³äïîâ³äàº ìàëîìó ³íòåðâàëó ÷àñó ∆t, òî âîíà ìàëî â³äð³çíÿºòüñÿ â³ä ïðÿìî-

êóòíèêà abcd. Ïðè äîñèòü

ìàëîìó ∆t ìîæíà ââàæàòè,

ùî ðóõ â³äáóâàºòüñÿ ç ïî-

ñò³éíîþ êóòîâîþ øâèäê³ñòþ,

òîìó ïëîùà ïðÿìîêóòíè-

êà abcd ÷èñåëüíî äîð³âíþº

êóòîâîìó ïåðåì³ùåííþ çà

ìàëèé ³íòåðâàë ÷àñó ∆t. Íà

òàê³ ñìóæêè ìîæíà ðîçáèòè

âñþ ïëîùó ô³ãóðè, ðîçòàøî-

âàíî¿ ï³ä ãðàô³êîì êóòîâî¿

øâèäêîñò³. Îòæå, êóòîâå ïå-

ðåì³ùåííÿ ïðè ð³âíîïðèñêî-

ðåíîìó ðóñ³ ïî êîëó âèçíà÷à-

ºòüñÿ ïëîùåþ òðàïåö³¿ ABCO,

îñíîâàìè ÿêî¿ º â³äð³çêè

CB = ω, OA = ω

³ âèñîòà ÿêî¿

OC = t. Âðàõîâóþ÷è, ùî ïðè ð³âíîïðèñêîðåíîìó îáåðòàíí³

ω=ω +ε

t ,

îòðèìóºìî:

ϕ=ω +

. Ó âåêòîðí³é ôîðì³

ϕ=ω +

Äëÿ ð³âíîïðèñêîðåíîãî îáåðòàííÿ âèêîíóºòüñÿ òàêîæ ôîðìóëà:

2ω−ω=εϕ

Ñï³ââ³äíîøåííÿ ð³âíÿíü ê³íåìàòèêè ïîñòóïàëüíîãî ³ îáåðòàëüíîãî ðóõ³â.

Äëÿ ïîñòóïàëüíîãî ðóõó îñíîâíèìè õàðàêòåðèñòèêàìè º ïåðåì³ùåííÿ ³ øâèä-

ê³ñòü, äëÿ îáåðòàëüíîãî – êóò ïîâîðîòó (êóòîâå ïåðåì³ùåííÿ) ³ êóòîâà øâèä-

ê³ñòü.

Ó òàáëèö³ ïîäàíî ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ð³âíÿííÿìè ïîñòóïàëüíîãî òà îáåð-

òàëüíîãî ðóõ³â ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè.

Ìàë. 80. Ãðàô³÷íå âèçíà÷åííÿ

êóòîâîãî ïåðåì³ùåííÿ:

à – ð³âíîì³ðíîãî;

á – ð³âíîïðèñêîðåíîãî îáåðòàëüíîãî ðóõ³â