Засєкіна Т.М. Фізика. 10 клас. Профільний рівень

Подождите немного. Документ загружается.

Ê³íåìàòèêà ïîñòóïàëüíîãî òà îáåðòàëüíîãî ðóõ³â ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè

Îäèíèöÿ ïðèñêîðåííÿ – ìåòð çà ñåêóíäó â êâàäðàò³, [a] = 1 ì/ñ

Îñê³ëüêè ïðèñêîðåííÿ õàðàêòåðèçóº ñòð³ìê³ñòü çì³íè øâèäêîñò³ ò³ëà ï³ä

÷àñ éîãî íåð³âíîì³ðíîãî ðóõó, à ñàìà øâèäê³ñòü õàðàêòåðèçóº ñòð³ìê³ñòü çì³íè

ïîëîæåííÿ (êîîðäèíàòè) ò³ëà, òî ö³ âåëè÷èíè ïåâíèì ÷èíîì ïîâ’ÿçàí³ îäíà ç

îäíîþ.

Âèðàç

∆υ

∆

õàðàêòåðèçóº ñåðåäíþ çà ÷àñ ∆t ñòð³ìê³ñòü çì³íè øâèäêîñò³

ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè. Öå íàçèâàþòü ñåðåäí³ì ïðèñêîðåííÿì.

ßêùî çìåíøóâàòè ³íòåðâàë ÷àñó, çà ÿêèé çì³íþºòüñÿ øâèäê³ñòü, òî, ÷èì

ìåíøèì áóäå öåé ³íòåðâàë

∆→0t , òèì ìåíøîþ áóäå çì³íà øâèäêîñò³ ∆υ→

0 ,

à äð³á

∆υ

∆

ïðÿìóº äî äåÿêîãî ãðàíè÷íîãî çíà÷åííÿ. Öþ ãðàíèöþ íàçèâàþòü

ìèòòºâèì ïðèñêîðåííÿì òî÷êè ó ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó:

∆→

∆υ

′

==υ

∆

lim

Ðóõ ò³ëà, ïðè ÿêîìó çà áóäü-ÿê³ îäíàêîâ³ ³íòåðâà-

ëè ÷àñó øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà çì³íþºòüñÿ îäíàêîâî,

òîáòî ïðèñêîðåííÿ ï³ä ÷àñ ðóõó ò³ëà çàëèøàºòüñÿ

âåñü ÷àñ ñòàëèì çà íàïðÿìîì ³ ÷èñëîâèì çíà÷åí-

íÿì:

= const, íàçèâàºòüñÿ ð³âíîïðèñêîðåíèì.

Ð³âíîïðèñêîðåíèé ïðÿìîë³í³éíèé ðóõ.

Ð³âíîïðèñêîðåíèé ïðÿìîë³í³é-

íèé ðóõ ìîæå áóòè âëàñíå ïðèñêîðåíèì, ÿêùî øâèäê³ñòü ò³ëà ç ÷àñîì çðîñòàº

(ìàë. 44) ³ âåêòîðè

υυ

,,a íàïðàâëåí³ â îäèí á³ê, ³ ñïîâ³ëüíåíèì, ÿêùî øâèä-

ê³ñòü ñïàäàº (ìàë. 45) ³ âåêòîð

íàïðàâëåíèé ïðîòèëåæíî äî âåêòîð³â

υυ

, .

Çâåðí³òü óâàãó! Ó ïîñ³áíèêàõ ç ô³çèêè ³ â çàäà÷àõ âæèâàþòü ò³ëüêè òåðì³í

«ð³âíîïðèñêîðåíèé ðóõ», çâàæàþ÷è íà òå, ùî ð³âíîñïîâ³ëüíåíèé ðóõ â³äð³çíÿ-

ºòüñÿ çíàêîì ïðîåêö³¿ âåêòîðà ïðèñêîðåííÿ.

Çíà÷åííÿ ïðèñêîðåííÿ ðóõó âèçíà÷àºòüñÿ, âèõîäÿ÷è ç âåêòîðíèõ âëàñòè-

âîñòåé ö³º¿ ô³çè÷íî¿ âåëè÷èíè. Çîêðåìà, ó ïðîåêö³ÿõ íà â³ñü Õ ìàòèìåìî âèðàç

äëÿ ïðèñêîðåííÿ:

υ−υ

0xx

Ìàë. 44. Ïðèñêîðåíèé ðóõ Ìàë. 45. Ñïîâ³ëüíåíèé ðóõ

Ð Î Ç Ä ² Ë 1

Ó âèïàäêó ïðèñêîðåíîãî ðóõó a

> 0, îñê³ëüêè øâèäê³ñòü ðóõó çá³ëüøóºòü-

ñÿ, îòæå, υ

− υ

> 0 ³ âåêòîð ïðèñêîðåííÿ çá³ãàºòüñÿ ç íàïðÿìîì ðóõó.

ßêùî ðóõ ñïîâ³ëüíåíèé ³ øâèäê³ñòü ç ÷àñîì çìåíøóºòüñÿ (υ

− υ

< 0, a

< 0),

òî é âåêòîð ïðèñêîðåííÿ íàïðàâëåíèé ïðîòèëåæíî äî íàïðÿìó ðóõó.

Ïðîòå ñë³ä ïàì’ÿòà-

òè, ùî çíàê ïðîåêö³¿ ïðè-

ñêîðåííÿ ùå çàëåæèòü â³ä

âèáîðó ñèñòåìè â³äë³êó.

Ó öüîìó ëåãêî ïåðåêî-

íàòèñü, ÿêùî ðîçãëÿíóòè

âèïàäîê, êîëè îáèäâà ò³ëà

ðóõàþòüñÿ, íàïðèêëàä,

ð³âíîïðèñêîðåíî, àëå ó

ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìàõ

(ìàë. 46).

Øâèäê³ñòü ³ ïåðåì³ùåííÿ ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó. ²ç ôîðìóë äëÿ ïðèñêî-

ðåííÿ ëåãêî îòðèìàòè ê³íåìàòè÷íå ð³âíÿííÿ øâèäêîñò³ äëÿ ð³âíîïðèñêîðå-

íîãî ðóõó:

υ=υ +

at àáî â ïðîåêö³ÿõ íà îáðàíó â³ñü Õ: υ=υ +

xoxx

at.

Ïîáóäóºìî ãðàô³ê ð³âíîïðèñêî-

ðåíîãî ðóõó (ìàë. 47), ð³âíÿííÿ ÿêîãî

υ=υ +

xoxx

at.

Ãðàô³ê øâèäêîñò³ ðóõó – ïðÿìà ÀÂ,

â³äð³çêè êîîðäèíàò ÎÀ ³ ÎÑ ðàçîì ç îð-

äèíàòîþ ê³íöåâî¿ øâèäêîñò³ óòâîðþþòü

òðàïåö³þ ÎÀÂÑ. Ïðîâåäåìî â ö³é òðà-

ïåö³¿ ñåðåäíþ ë³í³þ DÅ. ×åðåç òî÷êó Å

ïðîâåäåìî â³äð³çîê ÊÍ, ïàðàëåëüíèé îñ³

÷àñó. Ç ìàëþíêà âèäíî, ùî øâèäê³ñòü ó

òî÷ö³ Å á³ëüøà â³ä ïî÷àòêîâî¿ øâèäêîñò³

íà ∆υ

³ íà ∆υ

ìåíøà â³ä ê³íöåâî¿

øâèäêîñò³

Îòæå, ó òî÷ö³ Å ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü υ

çà ÷àñ ðóõó t.

Ç êóðñó ãåîìåòð³¿ â³äîìî, ùî ñåðåäíÿ

ë³í³ÿ òðàïåö³¿ äîð³âíþº ï³âñóì³ îñíîâ:

OA BC

, àáî

υ+υ

υ=

Òîáòî äëÿ ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü âèçíà÷àºòüñÿ ÿê

ñåðåäíº àðèôìåòè÷íå.

Ï³äêðåñëèìî, öÿ ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà ò³ëüêè äëÿ âèïàäêó ð³âíîïðèñêî-

ðåíîãî ðóõó, ó âèïàäêó äîâ³ëüíîãî íåð³âíîì³ðíîãî ðóõó ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü âè-

çíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ

υ=

Ìàë. 46. Ð³âíîïðèñêîðåíèé ðóõ ò³ë,

ùî ðóõàþòüñÿ íàçóñòð³÷ îäèí îäíîìó

Ìàë. 47. Ãðàô³ê ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³

ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó

Ê³íåìàòèêà ïîñòóïàëüíîãî òà îáåðòàëüíîãî ðóõ³â ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè

Ìîæíà ïåðåêîíàòèñü ó òîìó, ùî ïåðåì³ùåííÿ ïðè ð³âíîïðèñêîðåíîìó ðóñ³

âèðàæàºòüñÿ ïëîùåþ òðàïåö³¿ ÎÀÂÑ (ìàë. 47). Ç êóðñó ãåîìåòð³¿ â³äîìî, ùî

ïëîùà òðàïåö³¿ äîð³âíþº äîáóòêó ï³âñóìè îñíîâ íà âèñîòó. Ó íàøîìó âèïàäêó

äîâæèíà îäí³º¿ îñíîâè

, ³íøî¿

, âèñîòà òðàïåö³¿ – t . Ï³âñóìà îñíîâ – öå

ñåðåäíÿ ë³í³ÿ òðàïåö³¿, òîáòî, ÿê ìè äîâåëè, ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ð³âíîïðèñêîðå-

íîãî ðóõó.

Ê³íåìàòè÷íå ð³âíÿííÿ ïåðåì³ùåííÿ ïðè ð³âíîïðèñêîðåíîìó ðóñ³ â ïðîåê-

ö³ÿõ íà âèáðàíó â³ñü:

=υ +

ßêùî ïî÷àòêîâà øâèäê³ñòü äîð³âíþº íóëþ, òî υ

0õ

= 0, òî s

= a

/2.

Äëÿ ïðÿìîë³í³éíîãî ðóõó ïðîåêö³ÿ âåêòîðà ïåðåì³ùåííÿ âèçíà÷àºòüñÿ ÿê

=−

sxx, òîä³

=+υ+

xx t

Ìîæíà âèâåñòè é ³íøó ôîðìóëó äëÿ ïåðåì³ùåííÿ.

²ç

υ=υ +

xoxx

at âèðàçèìî ÷àñ

υ−υ

0xx

³ ï³äñòàâèìî éîãî ó ê³íåìàòè÷íå

ð³âíÿííÿ ïåðåì³ùåííÿ

⎛⎞

υ−υ υ−υ

=υ +

⎜⎟

⎝⎠

xxxxx

Ï³ñëÿ ñïðîùåíü:

υ−υ

, àáî

υ−υ =

xx xx

as.

Ö³ ôîðìóëè äàþòü çìîãó çíàéòè ïåðåì³ùåííÿ ò³ëà, ÿêùî â³äîìèìè º ïðè-

ñêîðåííÿ, ïî÷àòêîâà ³ ê³íöåâà øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà.

Ó âåêòîðí³é ôîðì³ ê³íåìàòè÷í³ ð³âíÿííÿ ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó ìàþòü

âèãëÿä:

=υ +

;

2.asυ−υ=

Дайте відповіді на запитання

Çà áóäü-ÿêîãî íåð³âíîì³ðíîãî ðóõó çì³íþºòüñÿ øâèäê³ñòü. ßê ïðèñêî-1.

ðåííÿ õàðàêòåðèçóº öþ çì³íó?

ßê ñïðÿìîâàíî âåêòîð ïðèñêîðåííÿ ïðè ïðÿìîë³í³éíîìó ð³âíîïðèñêî-2.

ðåíîìó ðóñ³? Â ÿêîìó âèïàäêó ïðîåêö³ÿ ïðèñêîðåííÿ ìàº äîäàòíå, à â ÿêîìó

â³ä’ºìíå çíà÷åííÿ?

3. Øâèäê³ñòü ïðÿìîë³í³éíîãî ðóõó ò³ëà ùîñåêóíäè çá³ëüøóºòüñÿ íà 2 %:

à) â³ä ïî÷àòêîâîãî çíà÷åííÿ; á) â³ä çíà÷åííÿ øâèäêîñò³ íà ïî÷àòêó êîæíî¿ ñå-

êóíäè. ×è ñòàëå ïðèñêîðåííÿ ò³ëà â îáîõ âèïàäêàõ?

Ð Î Ç Ä ² Ë 1

4. Ò³ëî ïî÷èíàº ðóõàòèñü ³ç ñòàíó ñïîêîþ ïðÿìîë³í³éíî, ïðîõîäÿ÷è ùîñå-

êóíäè øëÿõ, íà 1 ì á³ëüøèé, í³æ çà ïîïåðåäíþ ñåêóíäó. ×è ñòàëå ïðèñêîðåííÿ

ò³ëà?

5. ×è ìîæóòü äâà ò³ëà, ÿê³ ðóõàþòüñÿ ïî îäí³é ïðÿì³é â ïðîòèëåæíèõ íà-

ïðÿìàõ, ìàòè îäíàêîâ³ âåêòîðè ïðèñêîðåíü?

Приклад розв’язування задач

Óðàõîâóþ÷è, ùî âñ³ òðè âåêòîðè

ñïðÿìîâàí³ âçäîâæ îäí³º¿ ïðÿìî¿,

òî ìîäóë³ ¿õ ïðîåêö³é äîð³âíþþòü ìîäóëþ ñàìèõ âåêòîð³â, à çíàêè ïðîåêö³é

âèçíà÷àþòüñÿ òèì, ÿê íàïðàâëåí³ âåêòîðè â³äíîñíî âèáðàíî¿ êîîðäèíàò-

íî¿ îñ³. ßêùî çíàêè ïðîåêö³é âåêòîð³â

ñï³âïàäàþòü, òî ìîäóëü øâèäêîñò³

υ çðîñòàº ç ÷àñîì – ò³ëî ðîçãàíÿºòüñÿ ³ âñ³ âåêòîðè

íàïðàâëåí³ â îäèí

á³ê. ßêùî

ïðîòèëåæí³, òî ò³ëî – ãàëüìóº, ³ âåêòîð

íàïðàâëåíèé ïðî-

òèëåæíî äî âåêòîð³â

υυ

, .

Çàäà÷à. Ð³âíÿííÿ ðóõó ò³ëà çàäàíî ó âèãëÿä³

15 0,4xt t

, äå âñ³ âåëè÷èíè

çàäàíî â Ñ². Âèçíà÷èòè ïî÷àòêîâó øâèäê³ñòü ³ ïðèñêîðåííÿ ðóõó ò³ëà, à òàêîæ

êîîðäèíàòó ³ øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà ÷åðåç 5 ñ.

Äàíî:

15 0,4xt t

;

= 5ct

Ðîçâ’ÿçàííÿ:

Ïîð³âíÿºìî öå ð³âíÿííÿ ðóõó

15 0,4xt t

³ç çàãàëüíèì:

=+υ+

xx t

Î÷åâèäíî, ùî x

= 0, êîåô³ö³ºíò ïðè t äîð³âíþº υ

= 15 ì/ñ,

à ïðè t

â³äïîâ³äíî a/2 = 0,4, çâ³äêè a = 0,8 ì/ñ

υ−

−?a

−?x

υ−?

Êîîðäèíàòó ÷åðåç 5 ñ âèçíà÷èìî ç ð³âíÿííÿ ïðè t = 5 c:

0,8

15 5 c 5 c 85 ì

ñ2

x =⋅+ ⋅=

Øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà âèçíà÷èìî çà ôîðìóëîþ υ = υ

+ at ïðè t = 5 c:

ìì

15 0,8 5 ñ 19 ì ñ

ññ

υ= + ⋅ =

Âèçíà÷èòè çíà÷åííÿ øâèäêîñò³ ³ ïðèñêîðåííÿ ìîæíà, ñêîðèñòàâøèñü òà-

êîæ âèçíà÷åííÿì ïîõ³äíî¿.

υ= = + = +

′′

(15 0,4 ) 15 0,8xtt t

, ïðè t = 5 c:

ìì

15 0,8 5 ñ 19 ì ñ

ññ

υ= + ⋅ =

=υ = + =

′′

(15 0,8 ) 0,8ì ñat.

Â³äïîâ³äü: υ=

15ì ñ ; =

0,8 ì ña ; = 85ìx ; υ=19ì ñ .

Ê³íåìàòèêà ïîñòóïàëüíîãî òà îáåðòàëüíîãî ðóõ³â ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè

Вправа 6

1. Ðóõ ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè çàäàíî ð³âíÿííÿìè: x = 8t

+ 4; y = 6t

− 3; z = 0.

Âñ³ âåëè÷èíè çàïèñàíî â Ñ². Âèçíà÷èòè ìîäóë³ øâèäêîñò³ òà ïðèñêîðåííÿ ó ìî-

ìåíò ÷àñó t = 10 c.

2. ßêèé øëÿõ ïðîéäå ò³ëî çà ÷àñ t = 10 c â³ä ïî÷àòêó ðóõó, ÿêùî ð³âíÿííÿ

éîãî ðóõó x = 2t

+ 3t + 4, y = 3t

+ 4t − 2, z = 0? (Âñ³ âåëè÷èíè çàïèñàíî â Ñ²).

3. Ïî ñõèëó çàâäîâæêè 100 ì ëèæíèê ç’¿õàâ çà 20 ñ, ðóõàþ÷èñü ³ç ïðèñêî-

ðåííÿì 0,3 ì/ñ

. ßêó øâèäê³ñòü ìàâ ëèæíèê íà ïî÷àòêó ³ â ê³íö³ ñõèëó?

4. Êóëüêà, ùî êîòèòüñÿ ïîõèëèì æîëîáîì ç³ ñòàíó ñïîêîþ, çà ïåðøó ñåêóí-

äó ïðîéøëà 10 ñì. ßêèé øëÿõ êóëüêà ïðîéäå çà òðè ñåêóíäè?

5. Ó ñê³ëüêè ðàç³â øâèäê³ñòü ðóõó êóë³ óñåðåäèí³ ñòâîëà ðóøíèö³ ìåíøà,

í³æ ï³ä ÷àñ ïîñòð³ëó?

6. Ò³ëî, ðóõàþ÷èñü ð³âíîïðèñêîðåíî, ïðîòÿãîì ÷åòâåðòî¿ ñåêóíäè ïðîéøëî

35 ì. Ç ÿêèì ïðèñêîðåííÿì ðóõàëîñü ò³ëî? ßêà éîãî øâèäê³ñòü íàïðèê³íö³ ÷åòâåð-

òî¿, à òàêîæ äåñÿòî¿ ñåêóíäè ðóõó? ßêèé øëÿõ ïðîéøëî ò³ëî çà äðóãó, à òàêîæ çà

ï’ÿòó ñåêóíäó? ßêèé øëÿõ ïðîéøëî ò³ëî çà äðóãó ³ òðåòþ ñåêóíäè, ðàçîì óçÿò³?

7. Çà ÷àñ t = 10 c ò³ëî ïðîéøëî s = 18 ì, ïðè öüîìó éîãî øâèäê³ñòü çá³ëüøèëàñü

ó n = 5 ðàç³â. Ââàæàþ÷è ðóõ ð³âíîïðèñêîðåíèì, âèçíà÷èòè ïðèñêîðåííÿ ò³ëà.

8. Ò³ëî, ÿêå ðóõàëîñü ð³âíîì³ðíî ç øâèäê³ñòþ 2 ì/ñ, ç äåÿêî¿ òî÷êè À ïî÷è-

íàº ðóõàòèñü ç ïðèñêîðåííÿì 0,5 ì/ñ

. ×åðåç 30 ñ ³ç ö³º¿ ñàìî¿ òî÷êè ñë³äîì çà

ïåðøèì ò³ëîì ïî÷èíàº ðóõàòèñü ³ç ïî÷àòêîâîþ øâèäê³ñòþ 5 ì/ñ ³ ïðèñêîðåííÿì

2 ì/ñ

äðóãå ò³ëî. ×åðåç ñê³ëüêè ÷àñó äðóãå ò³ëî íàçäîæåíå ïåðøå?

9. Ò³ëî ïî÷èíàº ðóõ ç òî÷êè À ³ ðóõàºòüñÿ ñïåðøó ð³âíîïðèñêîðåíî ïðîòÿ-

ãîì ÷àñó t

, à ïîò³ì ç òèì ñàìèì çà ìîäóëåì ïðèñêîðåííÿì – ñïîâ³ëüíåíî. ×åðåç

ÿêèé ÷àñ â³ä ïî÷àòêó ðóõó ò³ëî ïîâåðíåòüñÿ ó òî÷êó À?

10. Äîâåä³òü, ùî ï³ä ÷àñ ïðÿìîë³í³éíîãî ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó áåç ïî-

÷àòêîâî¿ øâèäêîñò³ ñïðàâäæóºòüñÿ ð³âí³ñòü s

: s

: ... s

= 1 : 3 : ...(2n − 1) – â³ä-

ñòàí³, ÿê³ ïðîõîäèòü ò³ëî çà ïîñë³äîâí³ îäíàêîâ³ ³íòåðâàëè ÷àñó, â³äíîñÿòüñÿ ÿê

ïîñë³äîâí³ íåïàðí³ ÷èñëà.

§ 11 Графічне зображення рівноприскореного руху

Ãðàô³ê ïðîåêö³¿ ïðèñêîðåííÿ 3 a

= a

(t).

Ãðàô³ê ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³

3 υ

= υ

(t).

Ãðàô³ê ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ s

= s

(t) ³ êîîðäèíàòè x = x (t).

Ãðàô³ê ïðîåêö³¿ ïðèñêîðåííÿ a

= a

(t). Îñê³ëüêè ï³ä ÷àñ ð³âíîïðèñêîðå-

íîãî ðóõó ïðèñêîðåííÿ º âåëè÷èíîþ ñòàëîþ, òî ãðàô³êîì çàëåæíîñò³ ïðîåêö³¿

ïðèñêîðåííÿ â³ä ÷àñó º ïðÿìà, ïàðàëåëüíà îñ³ ÷àñó (ìàë. 48).

Çà ïëîùåþ ô³ãóðè, îáìåæåíî¿ ãðàô³êîì òà ïåðïåíäèêóëÿðîì, îïóùåíèì

íà â³ñü ÷àñó, ìîæíà âèçíà÷èòè øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà ó ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó t

Ð Î Ç Ä ² Ë 1

Ãðàô³ê ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³ υ

= υ

(t). ßê âèäíî ç ð³â-

íÿííÿ

υ=υ +

xoxx

at, çàëåæí³ñòü ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³ â³ä

÷àñó ë³í³éíà, òîìó ãðàô³êîì º ïðÿìà (ìàë. 49) (ïîð³âíÿé-

òå ç â³äîìèì âàì ãðàô³êîì ôóíêö³¿ y = ax + b,

§4).

Êóò íàõèëó ãðàô³êó çàëåæíîñò³ ïðîåêö³¿ øâèäêî-

ñò³ â³ä ÷àñó âèçíà÷àºòüñÿ ÷èñëîâèì çíà÷åííÿì ïðèñêî-

ðåííÿ, ÿêå ãðàô³÷íî ìîæíà âèçíà÷èòè òàê:

tga

υ−υ

==β

Çà ïëîùåþ ô³ãóðè îáìåæåíî¿ ãðàô³êîì øâèäêîñò³

òà ïåðïåíäèêóëÿðîì, îïóùåíèì íà â³ñü ÷àñó ìîæíà âè ç-

íà÷èòè äîâæèíó ïðî éäåíîãî øëÿõó íà äàíèé ìîìåíò ÷àñó

. Òàêîæ çà öèì ãðàô³êîì ìîæíà çàïèñàòè çàêîí ðóõó.

Çàëåæíî â³ä ïðîåêö³¿ ïðèñêîðåííÿ ³ ïî÷àòêîâî¿

øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà ãðàô³ê ìàòèìå ð³çíèé âèãëÿä.

Òàê, äëÿ çîáðàæåíèõ íà ìàë. 50 ãðàô³êàõ âèêîíóþòüñÿ

òàê³ óìîâè:

1) υ

> 0, a

> 0;

2) υ

> 0, a

< 0;

3) υ

< 0, a

> 0;

4) υ

< 0, a

< 0.

ßêùî υ

= 0, òî ïðÿìà âèõîäèòèìå ç ïî-

÷àòêó êîîðäèíàò ³, çàëåæíî â³ä çíà÷åííÿ ïðî-

åêö³¿ ïðèñêîðåííÿ, áóäå íàïðàâëåíà âãîðó àáî

âíèç. Íàïðÿì ïðÿìèõ çàëåæèòü â³ä çíà÷åííÿ

ïðèñêîðåííÿ: ÷èì á³ëüøå éîãî çíà÷åííÿ, òèì

êðóò³øå çä³éìàºòüñÿ ÷è ñïàäàº ãðàô³ê. Çâåð-

í³òü óâàãó íà òå, ùî ãðàô³êè 2 ³ 3 ïåðåòèíàþòü

â³ñü ÷àñó. Öå îçíà÷àº, ùî ó äåÿêèé ìîìåíò

÷àñó ¿õ øâèäê³ñòü äîð³âíþâàëà íóëþ (ò³ëî çó-

ïèíÿëîñü) ³ ïðîäîâæóâàëî ðóõ ó çâîðîòíîìó

íàïðÿì³.

Ãðàô³ê ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ s

= s

(t) ³ êîîðäèíàòè x = x (t). Ê³íåìàòè÷í³

ð³âíÿííÿ ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ

=υ +

³ êîîðäèíàòè =+υ+

xx t

º êâàäðàòíèìè ð³âíÿííÿìè âèãëÿäó y = c + bx + ax

, òîìó ãðàô³êàìè çàëåæ-

íîñò³ ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ ³ êîîðäèíàòè â³ä ÷àñó º ïàðàáîëè (äèâ. §4).

Ã³ëêè öèõ ïàðàáîë çã³äíî ç ïàðàìåòðàìè ðóõó ìàþòü ð³çíèé âèãëÿä.

ßêùî υ

= 0 ³ a

> 0, òî ãðàô³êè ìàþòü âèãëÿä, ÿê íà ìàë. 51.

ßêùî υ

= 0 ³ a

< 0, òî ã³ëêè ïàðàáîëè çîð³ºíòîâàí³ âíèç (ìàë. 52).

ßêùî

υ≠

³ ≠

0x , òî âåðøèíà ïàðàáîëè çì³ùóºòüñÿ â òî÷êó, êîîðäèíà-

òè ÿêî¿ âèçíà÷àþòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿìè:

=−

(ìàë. 53).

Ìàë. 48. Ãðàô³ê

ïðîåêö³¿ ïðèñêîðåííÿ

Ìàë. 49. Ãðàô³ê

ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³

Ìàë. 50. Âèãëÿä ãðàô³êà υ

= υ

(t)

ïðè â³äïîâ³äíèõ çíà÷åííÿõ

³ a

Ê³íåìàòèêà ïîñòóïàëüíîãî òà îáåðòàëüíîãî ðóõ³â ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè

Çà ô³çè÷íèì çì³ñòîì øâèäê³ñòü

º ïîõ³äíîþ â³ä ïåðåì³ùåííÿ, âîä-

íî÷àñ çà ãåîìåòðè÷íèì çì³ñòîì ïî-

õ³äíà âèçíà÷àºòüñÿ êóòîì íàõèëó

äîòè÷íî¿ äî êðèâî¿, òîìó øâèäê³ñòü

ðóõó ò³ëà ó ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó t

âèçíà÷àºòüñÿ òàíãåíñîì êóòà íà-

õèëó äîòè÷íî¿ äî ãðàô³êà ïðîåêö³¿

ïåðåì³ùåííÿ ³ â³ññþ ÷àñó (ìàë. 54)

υ = tgα.

Çà çì³íîþ êóòà íàõèëó äîòè÷íèõ

äî ãðàô³êà ìîæíà ïðîñë³äêóâàòè çà

çì³íîþ øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà.

Îñîáëèâîñò³ ïîáóäîâè ãðàô³êà øëÿ-

õó ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó l = l(t)

ïîëÿ-

ãàþòü ó òîìó, ùî â³í ðîçòàøîâàíèé âè-

êëþ÷íî íàä â³ññþ ÷àñó, îñê³ëüêè øëÿõ

íå ìîæå íàáóâàòè â³ä’ºìíèõ çíà÷åíü.

Дайте відповіді на запитання

Ó ÿêèõ âèïàäêàõ ãðàô³ê ïðî-1.

åêö³¿ øâèäêîñò³ ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó íàïðÿìëåíèé âãîðó, à â ÿêèõ – âíèç?

Ùî îçíà÷àº ïåðåòèí ãðàô³êîì ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³ îñ³ ÷àñó?

ßêó ôîðìó ìàº ãðàô³ê ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ? ×èì â³äð³çíÿþòüñÿ ãðà-2.

ô³êè ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ ³ êîîðäèíàòè?

Ðîçêàæ³òü, ÿê çà ãðàô³êàìè ïðèñêîðåííÿ, øâèäêîñò³ òà ïåðåì³ùåííÿ 3.

âèçíà÷èòè:

à) øâèäêîñò³ äëÿ áóäü-ÿêîãî ìîìåíòó ÷àñó çà ãðàô³êîì ïðèñêîðåííÿ;

á) çàêîí ðóõó çà ãðàô³êîì øâèäêîñò³;

â) çì³íó øâèäêîñò³ çà ãðàô³êîì ïåðåì³ùåííÿ;

ã) ïðèñêîðåííÿ çà ãðàô³êîì øâèäêîñò³.

Ìàë. 51. Ãðàô³ê ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ

³ êîîðäèíàòè ïðè υ

= 0 ³ a

> 0

Ìàë. 52. Ãðàô³ê ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ

³ êîîðäèíàòè ïðè υ

= 0 ³ a

> 0

Ìàë. 53. Ãðàô³ê ðóõó ïðè:

1. υ

> 0, a

< 0; 2. υ

< 0, a

> 0

Ìàë. 54.

Çà òàíãåíñîì êóòà

íàõèëó äîòè÷íî¿ äî

ãðàô³êà ïðîåêö³¿

ïåðåì³ùåííÿ ìîæíà

âèçíà÷èòè øâèäê³ñòü

ó ïåâíèé ìîìåíò

÷àñó

Ð Î Ç Ä ² Ë 1

Приклади розв’язування задач

Çàäà÷à 1. Çà ãðàô³êîì, ùî ìàº çëàìè (ìàë. 55), íàêðåñëèòè ãðàô³ê çàëåæ-

íîñò³ øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà â³ä ÷àñó òà îõàðàêòåðèçóâàòè éîãî.

Ðîçâ’ÿçàííÿ:

Ðîçãëÿíåìî ãðàô³ê çàëåæíîñò³ êîîðäèíàòè â³ä ÷àñó: ïðîòÿãîì ÷àñó t

ò³ëî ðóõà-

ëîñÿ ð³âíîì³ðíî ³ ïðÿìîë³í³éíî (tgα = υ).

Ïðîòÿãîì ÷àñó â³ä t

äî t

– ð³âíîñïîâ³ëüíåíî, ïðè÷îìó, îñê³ëüêè â òî÷êàõ

Â ³ À ñïî ñòåð³ãàþòüñÿ çëàìè, òî öå îçíà÷àº, ùî øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà ð³çêî çì³íè-

ëàñÿ: ó òî÷ö³ Â â³ä υ = tgα äî υ

= tgα

, ó òî÷ö³ À â³ä υ

= 0, îñê³ëüêè α

= 0 äî υ =

tgα.

Ïðîòÿãîì ÷àñó â³ä t

äî t

ò³ëî ðóõàëîñü ð³âíîì³ðíî ç òàêîþ ñàìîþ øâèäê³ñ-

òþ, ùî áóëà ³ íà ïî÷àòêó ðóõó.

Îñê³ëüêè ãðàô³ê çàëåæíîñò³ êîîð-

äèíàòè â³ä ÷àñó ìàº çëàìè, òî ãðàô³ê

çàëåæíîñò³ øâèäêîñò³ ðóõó â³ä ÷àñó

ìàòèìå ðîçðèâè ó ìîìåíòè ÷àñó t

òà

(ìàë. 56).

Çàäà÷à 2. Çà ãðàô³êîì ïðîåêö³¿ ïå-

ðåì³ùåííÿ (ìàë. 57) ïîáóäóâàòè ãðà-

ô³ê øâèäêîñò³ òà ïðèñêîðåííÿ.

Ðîçâ’ÿçàííÿ:

Çà ãðàô³êîì çàëåæíîñò³ ïðîåêö³¿

ïåðåì³ùåííÿ â³ä ÷àñó ïðîàíàë³çóºìî

õàðàêòåð ðóõó ò³ëà.

Íà ïî÷àòêó ðóõó äî ìîìåíòó t

ò³-

ëî ðóõàºòüñÿ ó íàïðÿì³ ïðîòèëåæíî-

ìó äî â³ñ³ Õ, ïðîåêö³ÿ øâèäêîñò³ ðóõó

â³ä’ºìíà.

Ç ìîìåíòó ÷àñó t

ò³ëî çì³íþº íà-

ïðÿì ðóõó ³ äî ìîìåíòó t

ðóõàºòüñÿ

ó íàïðÿì³ îñ³ Õ. Ïðîåêö³ÿ øâèäêîñò³

ïðè öüîìó äîäàòíà.

Îñê³ëüêè íà ³íòåðâàë³ â³ä 0 äî t

ã³ëêè ïàðàáîëè ñïðÿìîâàí³ âãîðó, òî

ïðîòÿãîì öüîãî ïåð³îäó ïðèñêîðåííÿ

ò³ëà çàëèøàºòüñÿ äîäàòíèì.

Äî ìîìåíòó ÷àñó t

ò³ëî ïðîäîâæóº

ðóõàòèñü ó òîìó ñàìîìó íàïðÿì³, ïðî-

åêö³ÿ øâèäêîñò³ äîäàòíà, àëå çìåíøó-

ºòüñÿ çà ìîäóëåì, òîìó ïðèñêîðåííÿ –

â³ä’ºìíå.

Ç ìîìåíòó t

ò³ëî çì³íþº íàïðÿì

ðóõó ³ äî ìîìåíòó t

çíîâó ðóõàºòüñÿ

ó íàïðÿì³, ïðîòèëåæíîìó â³ñ³ Õ, òîìó

ïðîåêö³ÿ øâèäêîñò³ â³ä’ºìíà ³ çðîñòàº

Ìàë. 56.

Ãðàô³ê çàëåæíîñò³ øâèäêîñò³ â³ä ÷àñó

Ìàë. 57.

Ãðàô³ê ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ

Ìàë. 55.

Ãðàô³ê ðóõó ò³ëà

Ê³íåìàòèêà ïîñòóïàëüíîãî òà îáåðòàëüíîãî ðóõ³â ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè

çà ìîäóëåì, îñê³ëüêè ïðîòÿãîì óñüîãî ³íòåðâà-

ëó â³ä t

äî t

ïðèñêîðåííÿ â³ä’ºìíå (ã³ëêè ïà-

ðàáîëè íàïðàâëåí³ âíèç).

Ãðàô³êè ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³ òà ïðîåêö³¿

ïðèñêîðåííÿ óêàçàíî íà ìàë. 58.

Вправа 7

1. Ðóõè ìàòåð³àëüíèõ òî÷îê çàäà-

íî òàêèìè ð³âíÿííÿìè: à)

10 0,4xtt;

á)

=−

2xtt; â) =− +

42xtt; ã) =− −

6xtt.

Âñ³ âåëè÷èíè çàïèñàíî â Ñ². Íàïèñàòè çàëåæ-

í³ñòü υ = υ(t) äëÿ êîæíîãî âèïàäêó; ïîáóäóâàòè

ãðàô³êè öèõ çàëåæíîñòåé; âèçíà÷èòè âèä ðóõó

ó êîæíîìó âèïàäêó.

2. Õëîï÷èê ç’¿õàâ íà ñàí÷àòàõ ç ãîðè, ùî

ìàº ñõèë 40 ì, çà 10 ñ, à ïîò³ì ïðî¿õàâ ïî ãî-

ðèçîíòàëüí³é ä³ëÿíö³ ùå 20 ì ³ çóïèíèâñÿ.

Îá÷èñëèòè øâèäê³ñòü ó ê³íö³ ñõèëó, ïðèñêî-

ðåííÿ íà êîæí³é ä³ëÿíö³, çàãàëüíèé ÷àñ ðóõó ³ ñåðåäíþ øâèäê³ñòü íà âñüîìó

øëÿõó. Íàêðåñëèòè ãðàô³ê øâèäêîñò³.

3. Âåëîñèïåäèñò ïåðø³ 4 ñ ðóõàâñÿ ç³ ñòàíó ñïîêîþ ç ïðèñêîðåííÿì 1 ì/ñ

, à

ïîò³ì 0,1 õâ ¿õàâ ð³âíîì³ðíî, à îñòàíí³ 20 ì, ïîêè íå çóïèíèâñÿ, ð³âíîñïîâ³ëü-

íåíî. Îá÷èñëèòè ñåðåäíþ øâèäê³ñòü çà âåñü ÷àñ ðóõó. Ïîáóäóâàòè ãðàô³ê υ

(t).

4. Íà ìàë. 59 ïîäàíî ãðàô³ê çàëåæíîñò³ êîîðäèíàòè ò³ëà â³ä ÷àñó. Ï³ñëÿ

ìîìåíòó ÷àñó t

êðèâà ãðàô³êà – ïàðàáîëà. ßêèé ðóõ çîáðàæåíî íà öüîìó ãðà-

ô³êó? Ïîáóäóâàòè ãðàô³ê çàëåæíîñò³ øâèäêîñò³ ò³ëà â³ä ÷àñó.

5. Çà íàâåäåíèìè íà ìàë. 60 ãðàô³êàìè íàïèñàòè ð³âíÿííÿ çàëåæíîñò³ υ

(t) ³

ð³âíÿííÿ õ = õ(t). Ââàæàòè, ùî ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò (t = 0) ò³ëî ïåðåáóâàº ó ïî÷àò-

êó êîîðäèíàò (x = 0). Ïîáóäóâàòè ãðàô³êè çàëåæíîñò³ õ = õ(t) äëÿ êîæíîãî ç ò³ë.

6. Çà ãðàô³êàìè çàëåæíîñò³ a

(t), íàâåäåíèìè íà ìàë. 61, à ³ 61, á, ïîáóäó-

âàòè ãðàô³êè υ

(t), ââàæàþ÷è, ùî ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó (t = 0) øâèäê³ñòü

ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè äîð³âíþº íóëþ.

7. Ðóõè äâîõ àâòîìîá³ë³â ïî øîñå îïèñóþòüñÿ ð³âíÿííÿìè: x

= 2t + 0,2t

Ìàë. 58. Ãðàô³êè ïðîåêö³¿

øâèäêîñò³ òà ïðèñêîðåííÿ

Ìàë. 59. Äî çàäà÷³ 4 Ìàë. 60. Äî çàäà÷³ 5

Ð Î Ç Ä ² Ë 1

= 80 − 4t. Âñ³ âåëè÷èíè çàïèñàíî â Ñ².

Îïèñàòè êàðòèíó ðóõó; âèçíà÷èòè ÷àñ

³ ì³ñöå çóñòð³÷³ àâòîìîá³ë³â; â³äñòàíü

ì³æ íèìè ÷åðåç 5 ñ; êîîðäèíàòó ïåðøî-

ãî àâòîìîá³ëÿ ó òîé ìîìåíò ÷àñó, êîëè

äðóãèé ïåðåáóâàâ íà ïî÷àòêó â³äë³êó.

Ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷ó àíàë³òè÷íî ³ ãðàô³÷íî.

8. Ìàòåð³àëüíà òî÷êà

ðóõàºòüñÿ âçäîâæ â³ñ³ Õ ç³

øâèäê³ñòþ

(ìàë. 62). Îäèí

ï³ä îäíèì íàêðåñëèòè ãðà-

ô³êè ïðîåêö³é ïðèñêîðåííÿ

(t), ïåðåì³ùåííÿ s

(t) òà ïðî-

éäåíîãî øëÿõó l(t). Âèçíà÷è-

òè ñåðåäíº çíà÷åííÿ ìîäóëÿ

øâèäêîñò³ çà ÷àñ ðóõó â³ä t =

0 äî t = 2τ.

9. Íà ìàë. 63 íàâåäåíî

ãðàô³ê øâèäêîñò³ ò³ëà, ÿêå

ðóõàºòüñÿ ïðÿìîë³í³éíî. Íà

ÿêó ìàêñèìàëüíó â³äñòàíü â³ä

ïî÷àòêîâîãî ïîëîæåííÿ â³ä-

õîäèòü ò³ëî çà ÷àñ ðóõó?

10. Íàêðåñë³òü ãðàô³ê çàëåæíîñò³ êîîðäèíàòè â³ä ÷àñó äëÿ ïðÿìîë³í³éíîãî

ðóõó, ùî îäíî÷àñíî çàäîâîëüíÿº äâ³ âèìîãè: à) ïðîòÿãîì ³íòåðâàëó ÷àñó â³ä 2

äî 6 ñ ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ðóõó äîð³âíþº 5 ì/c; á) ìàêñèìàëüíà øâèäê³ñòü ïðî-

òÿãîì òîãî ñàìîãî ³íòåðâàëó ÷àñó äîð³âíþº 15 ì/c.

Ìàë. 61. Äî çàäà÷³ 6 Ìàë. 62. Äî çàäà÷³ 8

Ìàë. 63. Äî çàäà÷³ 9