Засєкіна Т.М. Фізика. 10 клас. Профільний рівень

Подождите немного. Документ загружается.

Ê³íåìàòèêà ïîñòóïàëüíîãî òà îáåðòàëüíîãî ðóõ³â ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè

³ âèçíà÷èòè: à) ïîëîæåííÿ àâòîìîá³ëÿ

³ ï³øîõîäà ó ìîìåíò ïî÷àòêó ñïîñòåðå-

æåííÿ; á) ç ÿêèìè øâèäêîñòÿìè ³ â ÿêî-

ìó íàïðÿì³ âîíè ðóõàëèñÿ; â) êîëè ³ äå

âîíè çóñòð³ëèñÿ.

5. Çà ãðàô³êîì çàëåæíîñò³ êîîðäè-

íàòè â³ä ÷àñó (ìàë. 35) ïîáóäóâàòè ãðà-

ô³ê çàëåæíîñò³ øâèäêîñò³ â³ä ÷àñó.

6. Íà ìàë. 36 (à ³ á) ïîäàíî ãðàô³êè,

ÿê³ õàðàêòåðèçóþòü ðóõ ï³øîõîäà. Ïî-

áóäóéòå íà ¿õ îñíîâ³ ãðàô³ê çàëåæíîñò³

(t).

§ 8 Відносність механічного руху

Â³äíîñí³ñòü ðóõó. 3

Ïåðåòâîðåííÿ Ãàë³ëåÿ. 3

Çàêîí äîäàâàííÿ øâèäêîñòåé. 3

Â³äíîñí³ñòü ðóõó. ßê ìè óæå ç’ÿñóâàëè, ùîá îïèñàòè ìåõàí³÷íèé ðóõ ³ âè-

çíà÷èòè éîãî ïàðàìåòðè – òðàºêòîð³þ, ïåðåì³ùåííÿ, ïðîéäåíèé øëÿõ, øâèä-

ê³ñòü òîùî, òðåáà íàñàìïåðåä îáðàòè ñèñòåìó â³äë³êó é îïèñóâàòè ðóõ ò³ëà

(ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè) â³äíîñíî ïåâíîãî ò³ëà â³äë³êó. Ïðè ðîçâ’ÿçóâàíí³ çàäà÷

ê³íåìàòèêè ñèñòåìó â³äë³êó âèáèðàþòü òàê, ùîá ðóõ â³äíîñíî ö³º¿ ñèñòåìè îïè-

ñóâàâñÿ íàéïðîñò³øèìè âèðàçàìè. Îñê³ëüêè ò³ëî â³äë³êó ìîæíà îáèðàòè äî-

â³ëüíî ³ òàêèõ ò³ë ìîæå áóòè áåçë³÷, òî é ðóõ ò³ëà ìîæíà îäíî÷àñíî ðîçãëÿäàòè

ó ê³ëüêîõ ñèñòåìàõ â³äë³êó.

Íàé÷àñò³øå ñèñòåìó â³äë³êó ïîâ’ÿçóþòü ³ç ò³ëîì â³äë³êó, ÿêå â ö³é ñèòóàö³¿

ââàæàºòüñÿ íåðóõîìèì: ³ç çåìëåþ, ³ç äåðåâàìè íà óçá³÷÷³, íàñåëåíèì ïóíêòîì

òîùî. Òàêó ñèñòåìó â³äë³êó óìîâíî íàçèâàþòü íåðóõîìîþ ³ ïîçíà÷àþòü ë³òå-

ðîþ K. Ç ³íøèìè ò³ëàìè, ùî ðóõàþòüñÿ â íåðóõîì³é ñèñòåì³ â³äë³êó ð³âíîì³ð-

íî ³ ïðÿìîë³í³éíî, ïîâ’ÿçóþòü ðóõîì³ ñèñòåìè â³äë³êó

′

, ðîçãëÿäàþ÷è ðóõ âè-

áðàíîãî ò³ëà â³äíîñíî îáîõ ñèñòåì â³äë³êó.

Â³äíîñíèé ìåõàí³÷íèé ðóõ – ðóõ ìàòåð³àëüíî¿

òî÷êè (÷è ò³ëà) â³äíîñíî ðóõîìî¿ ñèñòåìè â³äë³êó,

ÿêà ïåâíèì ÷èíîì ïåðåì³ùàºòüñÿ â³äíîñíî ³íøî¿,

óìîâíî ïðèéíÿòî¿ çà íåðóõîìó.

Ìàë. 36. Äî çàäà÷³ 6

Ð Î Ç Ä ² Ë 1

Ïåðåòâîðåííÿ Ãàë³ëåÿ. Ðîçãëÿ-

íåìî ðóõ ò³ëà, íàïðèêëàä, êàòåðà ïî

ð³÷ö³, â³äíîñíî ð³çíèõ ñèñòåì â³äë³-

êó – íåðóõîìî¿ (K), ïîâ’ÿçàíîþ ³ç

çåìëåþ, ³ ðóõîìî¿ (

′

), ïîâ’ÿçàíîþ

ç òå÷³ºþ ð³÷êè (ìàë. 37).

Ââàæàºìî, ùî ð³÷êà íå çì³íþº

øâèäê³ñòü ñâîº¿ òå÷³¿, òîáòî øâèä-

ê³ñòü òå÷³¿ (ðóõîìî¿ ñèñòåìè â³äë³-

êó)

ïîñò³éíà.

Ñèñòåìè êîîðäèíàò âèáèðàþòü

òàê, ùîá îñ³ X òà

′

çá³ãàëèñÿ, à ó

ìîìåíò ÷àñó t

= 0 çá³ãàëèñÿ ³ îñ³ Y

òà

′

. Ââàæàºìî, ùî ãîäèííèêè â

îáîõ ñèñòåìàõ â³äë³êó éäóòü îäíà-

êîâî.

Çà ÷àñ t êàòåð çì³ñòèâñÿ â³äíîñ-

íî çåìë³ (íåðóõîìî¿ ñèñòåìè â³äë³êó) íà â³äñòàíü l, çà òîé ñàìèé ÷àñ òå÷³ÿ ð³÷êè

(ðóõîìà ñèñòåìà â³äë³êó) – íà l

. Òîä³, çì³ùåííÿ

′

êàòåðà â³äíîñíî ðóõîìî¿ ñèñ-

òåìè â³äë³êó âèçíà÷àºòüñÿ çà ñï³ââ³äíîøåííÿì:

=−

′

lll. Àáî =+

′

ll l.

Òàêèì ÷èíîì, ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó êîîðäèíàòè ò³ëà (ó íàøîìó âèïàä-

êó êàòåðà) ó ñèñòåì³ K òà

′

ïîâ’ÿçàí³ ñï³ââ³äíîøåííÿìè: =

′

yy, =+

′

xx x, äå

– êîîðäèíàòà òî÷êè

′

â ñèñòåì³ êîîðäèíàò K ó ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó t.

Îñê³ëüêè øâèäê³ñòü òå÷³¿ (ðóõîìî¿ ñèñòåìè êîîðäèíàò)

³ ïåðåì³ùåííÿ,

ÿêå âîíà çä³éñíþº çà ÷àñ t, âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ

=υ

, òî ö³ ñï³ââ³äíî-

øåííÿ íàáóâàþòü âèãëÿäó:

=υ +

′

xtx

; =

′

yy;

′

Ñï³ââ³äíîøåííÿ

=υ +

′

xtx

′

íàçèâàþòü

ïåðåòâîðåííÿìè Ãàë³ëåÿ.

Êîîðäèíàòè ò³ëà çàëåæàòü â³ä ñèñòåìè â³äë³êó,

òîáòî º âåëè÷èíàìè â³äíîñíèìè.

Ð³âí³ñòü

′

âèðàæàº àáñîëþòíèé õàðàêòåð

÷àñó, òîáòî ÷àñ º âåëè÷èíîþ ³íâàð³àíòíîþ (íå-

çì³ííîþ).

Çâåðí³òü óâàãó! Âêàæåìî íà äåÿêå ïðèïóùåííÿ, ÿêå ìè çàñòîñóâàëè ïðè

âèâåäåíí³ ñï³ââ³äíîøåíü Ãàë³ëåÿ. ßê â³äîìî, äî ñèñòåìè â³äë³êó, îêð³ì ñèñòå-

ìè êîîðäèíàò, âõîäèòü ïðèëàä äëÿ âèì³ðþâàííÿ ÷àñó – ãîäèííèê. Ìè ðîçãëÿ-

äàºìî äâ³ ñèñòåìè â³äë³êó. Îòæå, ïîâèíí³ âèêîðèñòîâóâàòè äâ³ ñèñòåìè êîîð-

äèíàò ³ äâà ãîäèííèêè. Ó íàøèõ ðîçðàõóíêàõ ìè êîðèñòóâàëèñü îäíèì ÷àñîì ³

âñ³ â³äñòàí³ âèì³ðþâàëè îäíèì ³ òèì ñàìèì ìàñøòàáîì. Òîáòî ìè ââàæàëè, ùî

ó íåðóõîì³é ³ ðóõîì³é ñèñòåìàõ â³äë³êó ãîäèííèêè â³äðàõîâóþòü îäèí ³ òîé ñà-

ìèé ÷àñ, à â³äñòàí³ âèì³ðþþòüñÿ ç îäíàêîâèì ìàñøòàáîì. Öå ïðèïóùåííÿ âè-

êîíóºòüñÿ ïðè ðîçãëÿä³ ðóõó ò³ë, øâèäêîñò³ ÿêèõ ìàë³ ïîð³âíÿíî ç³ øâèäê³ñòþ

ñâ³òëà (υ << c, äå ñ = 3 · 10

ì/ñ – øâèäê³ñòü ñâ³òëà). Ïðè ðóñ³ ò³ë ³ç øâèäêîñòÿ-

ìè, áëèçüêèìè äî øâèäêîñò³ ñâ³òëà, ïåðåòâîðåííÿ Ãàë³ëåÿ íàáóâàþòü ³íøîãî

Ìàë. 37. Ðóõ ò³ëà â³äíîñíî ðóõîìî¿

òà íåðóõîìî¿ ñèñòåì â³äë³êó

Ê³íåìàòèêà ïîñòóïàëüíîãî òà îáåðòàëüíîãî ðóõ³â ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè

âèãëÿäó. Ïðî öå âè äåòàëüíî äîâ³äàºòåñÿ ïðè âèâ÷åíí³ ñïåö³àëüíî¿ òåîð³¿ â³ä-

íîñíîñò³ (ðîçä. 5).

Çàêîí äîäàâàííÿ øâèäêîñòåé. Ðîçãëÿíåìî òåïåð ðóõ ïëàâöÿ â³äíîñíî

ð³çíèõ ñèñòåì â³äë³êó (ìàë. 38).

Éîãî ïåðåì³ùåííÿ â³äíîñíî âîäè çà äå-

ÿêèé ÷àñ t ñòàíîâèòèìå

. Öå íåðóõîìà

ñèñòåìà â³äë³êó, ïîâ’ÿçàíà ç áåðåãîì. Ïåðå-

ì³ùåííÿ âîäè â³äíîñíî áåðåãà (òå÷³ÿ) çà òîé

ñàìèé ÷àñ ñòàíîâèòü

. Íà â³ääàëü

s âîäà

ïåðåíåñëà ³ ïëàâöÿ. Öå ðóõîìà ñèñòåìà

â³äë³êó. Ðåçóëüòóþ÷å ïåðåì³ùåííÿ â³äíîñíî

íåðóõîìî¿ ñèñòåìè â³äë³êó, ïîâ’ÿçàíå ç

Çåìëåþ, ñòàíîâèòèìå

, àáî

Îòæå: ïåðåì³ùåííÿ

ò³ëà â íåðóõîì³é ñèñòåì³

â³äë³êó äîð³âíþº âåêòîðí³é ñóì³ ïåðåì³ùåííÿ

ò³ëà â ðóõîì³é ñèñòåì³ â³äë³êó ³ ïåðåì³ùåííÿ

ðó-

õîìî¿ ñèñòåìè â³äë³êó â³äíîñíî íåðóõîìî¿.

Öå ïðàâèëî ïîâ’ÿçóº øâèäêîñò³ òîãî ñàìîãî ò³ëà ó äâîõ ñèñòåìàõ â³äë³êó. Ðîç-

ä³ëèâøè ñï³ââ³äíîøåííÿ

ss s=+

rr r

íà ÷àñ ðóõó t ä³ñòàíåìî:

υ=υ +υ

rr r

(ìàë. 39).

Öå îçíà÷àº, ùî øâèäê³ñòü ò³ëà

ó íåðóõîì³é ñèñ-

òåì³ â³äë³êó äîð³âíþº âåêòîðí³é ñóì³ øâèäêîñò³

ò³ëà â ðóõîì³é ñèñòåì³ â³äë³êó ³ øâèäêîñò³

ðóõî-

ìî¿ ñèñòåìè â³äë³êó â³äíîñíî íåðóõîìî¿ – êëàñè÷-

íèé çàêîí äîäàâàííÿ øâèäêîñòåé.

Òàêèì ÷èíîì, øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà òà-

êîæ º âåëè÷èíîþ â³äíîñíîþ, ùî çàëåæèòü

â³ä âèáîðó ñèñòåìè â³äë³êó.

Áóäü-ÿêèé ñêëàäíèé ðóõ ìîæíà ïîäàòè

ÿê ñóìó ïðîñòèõ íåçàëåæíèõ ðóõ³â. Ó öüîìó

ïîëÿãàº ñóòü ïðèíöèïó íåçàëåæíèõ ðóõ³â:

ÿêùî ò³ëî îäíî÷àñíî áåðå ó÷àñòü ó äåê³ëüêîõ ðóõàõ,

òî êîæåí ³ç ðóõ³â â³äáóâàºòüñÿ íåçàëåæíî â³ä ³íøèõ.

Ñàìå çàâäÿêè öüîìó ïðèíöèïó âåêòîðí³ âåëè÷èíè ìîæíà ðîçêëàäàòè íà

ñêëàäîâ³, íà ïðîåêö³¿ íà êîîðäèíàòí³ îñ³.

Дайте відповіді на запитання

Ó ÷îìó ñóòü â³äíîñíîñò³ ðóõó?1.

Ùî îçíà÷àþòü ðóõîìà ³ íåðóõîìà ñèñòåìè â³äë³êó?2.

Ñôîðìóëþéòå çàêîí äîäàâàííÿ øâèäêîñòåé ³ íàâåä³òü ïðèêëàä çàñòîñó-3.

âàííÿ öüîãî ïðàâèëà.

Ìàë. 38. Ðóõ ïëàâöÿ

Ìàë. 39. Äîäàâàííÿ øâèäêîñòåé

Ð Î Ç Ä ² Ë 1

Приклади розв’язування задач

Çàäà÷à 1. Äâà ò³ëà ðóõàþòüñÿ ç³ øâèäêîñòÿìè υ

³ υ

â³äïîâ³äíî. Âèçíà÷èòè

øâèäê³ñòü ðóõó äðóãîãî ò³ëà â³äíîñíî ïåðøîãî ó âèïàäêó, êîëè ò³ëà ðóõàþòüñÿ

â îäíîìó íàïðÿì³ ³ íàçóñòð³÷ îäíå îäíîìó.

Ðîçâ’ÿçàííÿ:

Â óìîâ³ çàäà÷³ âêàçàí³ øâèäêîñò³ ò³ë â³ä-

íîñíî Çåìë³ (íåðóõîìî¿ ñèñòåìè â³äë³êó K).

Ïðèéìåìî äðóãå ò³ëî çà ðóõîìó ñèñòåìó â³äë³-

êó (

′

), ùî ðóõàºòüñÿ â³äíîñíî Çåìë³ ç³ øâèä-

ê³ñòþ

(ìàë. 40).

Òîä³ êëàñè÷íèé çàêîí äîäàâàííÿ øâèä-

êîñòåé íàáóâàº âèãëÿäó:

υ=υ+υ

′

rrr

, äå υ

–

øâèäê³ñòü ïåðøîãî ò³ëà â³äíîñíî Çåìë³,

′

–

øâèäê³ñòü äðóãîãî ò³ëà â³äíîñíî ïåðøîãî.

ßêùî ò³ëà ðóõàþòüñÿ â îäíîìó íàïðÿì³, òî

ó ïðîåêö³ÿõ íà â³ñü Õ çàêîí çàïèñóºòüñÿ ó âè-

ãëÿä³

υ=υ+υ

′

. Çâ³äñè υ=υ−υ

′

Ó âèïàäêó, êîëè ò³ëà ðóõàþòüñÿ íàçóñòð³÷

îäíå îäíîìó, òî ïðîåêö³ÿ øâèäêîñò³ ðóõó äðóãî-

ãî ò³ëà áóäå â³ä’ºìíîþ:

υ=−υ+υ

′

, çâ³äñè υ=υ−−υ =υ+υ

′

1212

() .

Â³äïîâ³äü: υ

− υ

; υ

+ υ

Çàäà÷à 2. Ïë³ò ïðîïëèâàº á³ëÿ ïóíêòó À ó òîé ìîìåíò, êîëè â³ä íüîãî â³ä-

ïðàâëÿºòüñÿ óíèç çà òå÷³ºþ ð³÷êè äî ïóíêòó Â ìîòîðíèé ÷îâåí. Â³äñòàíü ì³æ

ïóíêòàìè 15 êì ÷îâåí ïðîïëèâ çà 0,75 ãîä ³ ïîâåðíóâ íàçàä. Ïîâåðòàþ÷èñü ó

ïóíêò À ÷îâåí çóñòð³â ïë³ò íà â³äñòàí³ 9 êì â³ä ïóíêòó Â. Âèçíà÷èòè øâèäê³ñòü

òå÷³¿ u òà øâèäê³ñòü ÷îâíà â³äíîñíî âîäè υ.

Äàíî:

= 15 êì;

= 9 êì;

t = 0,75 ãîä

Ðîçâ’ÿçàííÿ:

Ðîçâ’ÿçàííÿ ö³º¿ çàäà÷³ íàáàãàòî ñïðîùóºòüñÿ, ÿêùî ñèñ-

òåìó â³äë³êó ïîâ’ÿçàòè ç ïëîòîì. Ó òàê³é ñèñòåì³ ïë³ò òà ð³÷êà

íåðóõîì³. Öå îçíà÷àº, ùî â³äíîñíî ïëîòà ìîòîðíèé ÷îâåí ðó-

õàºòüñÿ äî ïóíêòó Â ³ ó çâîðîòíîìó íàïðÿì³ ç îäíàêîâîþ øâèä-

ê³ñòþ. ×àñ ðóõó ÷îâíà ó ïðÿìîìó òà çâîðîòíîìó íàïðÿìàõ 2t,

u – ?

υ – ?

â³äñòàíü, ÿêó â³í ïðè öüîìó ïðîõîäèòü, s = s

+ s

. Øâèäê³ñòü ÷îâíà â³äíîñíî âîäè:

υ= = .=

⋅

Çà öåé ÷àñ ïë³ò ïðîéøîâ â³äñòàíü s

− s

Òàêèì ÷èíîì, øâèäê³ñòü òå÷³¿

−

== =

⋅⋅

6êì

êì

220,75ãîäãîä

Â³äïîâ³äü:

υ=

êì

ãîä

, =

êì

ãîä

u .

Ìàë. 40. Äî çàäà÷³ 1.

Ê³íåìàòèêà ïîñòóïàëüíîãî òà îáåðòàëüíîãî ðóõ³â ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè

Вправа 4

1. Øâèäê³ñòü âåëîñèïåäèñòà – 36 êì/ãîä, à øâèäê³ñòü çóñòð³÷íîãî â³òðó

4 ì/ñ. ßêà øâèäê³ñòü â³òðó â ñèñòåì³ â³äë³êó, ïîâ’ÿçàí³é ç âåëîñèïåäèñòîì?

2. Åñêàëàòîð ìåòðî ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ 0,8 ì/ñ. Çà ÿêèé ÷àñ ïàñàæèð

ïåðåì³ñòèòüñÿ íà 40 ì â³äíîñíî çåìë³, êîëè â³í ñàì ³äå ó íàïðÿì³ ðóõó ç³ øâèä-

ê³ñòþ 0,2 ì/ñ ó ñèñòåì³ â³äë³êó, ïîâ’ÿçàíèé ç åñêàëàòîðîì?

3. Øâèäê³ñòü ðóõó ÷îâíà â³äíîñíî âîäè â n ðàç³â á³ëüøà, í³æ øâèäê³ñòü òå-

÷³¿ ð³÷êè. Ó ñê³ëüêè ðàç³â äîâøå ÷îâåí ïëèâå ì³æ äâîìà ïóíêòàìè ïðîòè òå÷³¿,

í³æ çà òå÷³ºþ? Ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷ó äëÿ çíà÷åíü n = 2 ³ n = 11.

4. Ìîòîðíèé ÷îâåí, ùî ìàº â ñèñòåì³ â³äë³êó, ïîâ’ÿçàí³é ç âîäîþ, øâèä-

ê³ñòü 6 ì/ñ, ìàº ïåðåïðàâèòèñü ÷åðåç ð³÷êó íàéêîðîòøèì øëÿõîì. ßêèé êóðñ

â³äíîñíî áåðåãà òðåáà òðèìàòè ï³ä ÷àñ ïåðåïðàâè, ÿêùî øâèäê³ñòü òå÷³¿ ð³÷êè

ñòàíîâèòü 2 ì/ñ.

5. Ïàñàæèð ïîòÿãà, ùî ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ 36 êì/ãîä, áà÷èòü ïðîòÿãîì

60 ñ ñóñ³äí³é ïî¿çä çàâäîâæêè 600 ì, ÿêèé ³äå ïàðàëåëüíî ïåðøîìó â îäíîìó

íàïðÿì³. Âèçíà÷èòè: à) ç ÿêîþ øâèäê³ñòþ éäå äðóãèé ïî¿çä ³ ñê³ëüêè ÷àñó ïà-

ñàæèð äðóãîãî ïîòÿãà áà÷èòü ïåðøèé çàâäîâæêè 900 ì; á) ÷àñ, ïðîòÿãîì ÿêîãî

ïàñàæèðè êîæíîãî ç ïî¿çä³â áà÷àòü ïðîõîäæåííÿ ñóñ³äíüîãî ïîòÿãà, çà óìîâè

êîëè âîíè ðóõàþòüñÿ íàçóñòð³÷ îäèí îäíîìó.

6. Ì³æ äâîìà ïóíêòàìè, ðîçòàøîâàíèìè íà ð³÷ö³ íà â³äñòàí³ 100 êì îäèí

â³ä îäíîãî, êóðñóº êàòåð. Êàòåð ïðîõîäèòü öþ â³äñòàíü çà òå÷³ºþ çà 4 ãîä, à ïðî-

òè òå÷³¿ – çà 10 ãîä. Âèçíà÷èòè øâèäê³ñòü òå÷³¿ ð³÷êè ³ øâèäê³ñòü êàòåðà â³ä-

íîñíî âîäè.

7. Ðèáàëêà ïëèâå ÷îâíîì óãîðó ïî ð³÷ö³. Ïðîïëèâàþ÷è ï³ä ìîñòîì, â³í

óïóñòèâ ðÿò³âíèé êðóã. ×åðåç ãîäèíó ðèáàëêà ïîì³òèâ âòðàòó ³, ïîâåðíóâøè

íàçàä, äîãíàâ êðóã çà 6 êì íèæ÷å â³ä ìîñòà. ßêà øâèäê³ñòü òå÷³¿ ð³÷êè, ÿêùî

ðèáàëêà, ðóõàþ÷èñü óãîðó ³ âíèç ïî ð³÷ö³, ãð³á îäíàêîâî?

8. Âàãîí çàâøèðøêè 2,4 ì, ùî ðóõàâñÿ ç³ øâèäê³ñòþ 15 ì/ñ, ïðîáèëà êóëÿ,

ÿêà ëåò³ëà ïåðïåíäèêóëÿðíî äî ðóõó âàãîíà. Çì³ùåííÿ îòâîð³â ó ñò³íêàõ âàãî-

íà îäèí â³äíîñíî ³íøîãî äîð³âíþº 6 ñì. ßêà øâèäê³ñòü êóë³?

9. Â³äíîñíî ñèñòåìè

′

ð³âíÿííÿ ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè ìàº âèãëÿä:

′

45xt; =

′

0y ; =

′

0z . ßêèé âèãëÿä ìàº ð³âíÿííÿ ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè

â³äíîñíî ñèñòåìè K, ÿêùî: à) ñèñòåìà

′

íåðóõîìà â³äíîñíî ñèñòåìè K, à ¿¿ ïî-

÷àòîê ìàº êîîðäèíàòè (3; 0; 0); á) ñèñòåìà

′

ðóõàºòüñÿ â³äíîñíî ñèñòåìè K ð³â-

íîì³ðíî ³ ïðÿìîë³í³éíî âçäîâæ îñ³ Õ ç³ øâèäê³ñòþ 5 ì/ñ ³ ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò

ðóõó ïî÷àòêè êîîðäèíàò òà îñ³ ñèñòåì

′

³ K çá³ãàëè-

ñÿ; â) ñèñòåìà

′

ðóõàºòüñÿ â³äíîñíî ñèñòåìè K ð³â-

íîì³ðíî ³ ïðÿìîë³í³éíî âçäîâæ â³ñ³ Y ç³ øâèäê³ñòþ

3 ì/ñ ³ ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ðóõó ïî÷àòêè êîîðäè-

íàò òà â³ñ³ ñèñòåì

′

K çá³ãàëèñÿ.

10. Äâà ñòåðæí³ ïåðåòèíàþòüñÿ ï³ä êóòîì 2α ³

ðóõàþòüñÿ ç îäíàêîâèìè øâèäêîñòÿìè υ ïåðïåí-

äèêóëÿðíî ñàìèì ñîá³ (ìàë. 41). ßêîþ º øâèäê³ñòü

ðóõó òî÷êè ïåðåòèíó ñòåðæí³â?

Ìàë. 41. Äî çàäà÷³ 10

Ð Î Ç Ä ² Ë 1

§ 9 Рівномірний та нерівномірний рух

Ð³âíîì³ðíèé òà íåð³âíîì³ðíèé ðóõè. 3

Ñåðåäíÿ òà ìèòòºâà øâèäê³ñòü. 3

Ô³çè÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿. 3

Ð³âíîì³ðíèé òà íåð³âíîì³ðíèé ðóõè. Ïðè ð³âíîì³ðíîìó ðóñ³ ò³ëî (ìàòåð³-

àëüíà òî÷êà) çà áóäü-ÿê³ ð³âí³ ³íòåðâàëè ÷àñó çä³éñíþº îäíàêîâ³ ïåðåì³ùåííÿ.

Ð³âíîì³ðíèì, ÿê ìè ç’ÿñóâàëè, ìîæå áóòè ïðÿìîë³í³éíèé ðóõ, ³, ÿê ç’ÿñóºìî

çãîäîì, – ð³âíîì³ðíèé ðóõ ïî êîëó.

Ð³âíîì³ðíèé ðóõ òðàïëÿºòüñÿ â ïðèðîä³ äóæå ð³äêî. Ð³âíîì³ðíî ðóõàþòü-

ñÿ ê³íåöü ñòð³ëêè ãîäèííèêà, ìîëåêóëà ãàçó â³ä îäíîãî ñï³âóäàðó äî ³íøîãî. Ó

ðåàëüíîìó æèòò³ íàé÷àñò³øå ìè ìàºìî ñïðàâó ç íåð³âíîì³ðíèì ðóõîì, êîëè

ò³ëî çà ð³âí³ ³íòåðâàëè ÷àñó çä³éñíþº ð³çí³ ïåðåì³ùåííÿ.

Ñåðåäíÿ òà ìèòòºâà øâèäê³ñòü. Äëÿ îïèñó íåð³âíîì³ðíîãî ðóõó êîðèñòó-

þòüñÿ ïîíÿòòÿìè ñåðåäíüî¿ òà ìèòòºâî¿ øâèäêîñò³. Ïðè÷îìó ñåðåäíÿ øâèä-

ê³ñòü íåð³âíîì³ðíîãî ðóõó ìàº ïîäâ³éíå òëóìà÷åííÿ: ÿê ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ïå-

ðåì³ùåííÿ ³ ÿê ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ïðîõîäæåííÿ øëÿõó.

1) ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ïåðåì³ùåííÿ – âåêòîðíà âåëè÷èíà, ùî âèçíà÷àºòü-

ñÿ â³äíîøåííÿì ïåðåì³ùåííÿ äî ³íòåðâàëó ÷àñó, ïðîòÿãîì ÿêîãî â³äáóëîñÿ öå

ïåðåì³ùåííÿ:

υ= =

rr r

ss s

ttt t

äå

… – ïåðåì³ùåííÿ ò³ëà çà â³äïîâ³äí³ ³íòåðâàëè ÷àñó t

, t

… .

2) ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ïðîõîäæåííÿ øëÿõó – ñêàëÿðíà âåëè÷èíà, ùî âè-

çíà÷àºòüñÿ â³äíîøåííÿì ïðîéäåíîãî øëÿõó äî ³íòåðâàëó ÷àñó ðóõó ò³ëà:

υ= =

ll l

ttt t

äå l

, l

… – ä³ëÿíêè øëÿõó, ïðîéäåí³ çà â³äïîâ³äí³ ³íòåðâàëè ÷àñó t

, t

Çíà÷åííÿ öèõ øâèäêîñòåé ìîæå íå çá³ãàòèñÿ. Íàïðèêëàä, ÿêùî òðàºêòî-

ð³ÿ ðóõó êðèâîë³í³éíà. Ïðîéäåíèé øëÿõ çàâæäè á³ëüøèé çà ïåðåì³ùåííÿ.

Ùî âèçíà÷àº ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ïðÿìîë³í³éíîãî íåð³âíîì³ðíîãî ðóõó?

Íàïðèêëàä, ðóõàþ÷èñü ïðÿìîë³í³éíî, àâòîìîá³ëü çà 1 ãîä ïðî¿õàâ 60 êì. Îòæå,

ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü éîãî ðóõó – 60 êì/ãîä. Àëå àâòîìîá³ëü ïðîòÿãîì ö³º¿ ãîäèíè

ì³ã ãàëüìóâàòè ïåðåä ñâ³òëîôîðàìè, çóïèíÿòèñü ³ çíîâó íàáèðàòè øâèäê³ñòü.

Òîìó ìè íå ìîæåìî çíàòè, ÿêîþ áóëà éîãî øâèäê³ñòü, íàïðèêëàä, ÷åðåç 10 õâ

â³ä ïî÷àòêó ðóõó, ³ ÿêå ïåðåì³ùåííÿ çä³éñíèâ àâòîìîá³ëü çà ö³ 10 õâ.

Ê³íåìàòèêà ïîñòóïàëüíîãî òà îáåðòàëüíîãî ðóõ³â ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè

Òàêèì ÷èíîì, ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü õàðàêòåðèçóº

ðóõ ò³ëà íà ïåâí³é ä³ëÿíö³ òðàºêòîð³¿ çà âåñü ÷àñ

ðóõó, àëå íå äàº ³íôîðìàö³¿ ïðî ðóõ ò³ëà ó ïåâí³é

òî÷ö³ òðàºêòîð³¿ (ó ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó).

Îñîáëèâ³ñòþ ìåõàí³÷íîãî ðóõó º éî ãî íåïåðåðâí³ñòü: í³ êîîðäèíàòè ò³ëà, í³

éîãî øâèäê³ñòü íå ìîæóòü çì³ íþâàòèñü ñòðèáêàìè. Òîìó äëÿ õàðàêòåðèñòèêè íå-

ð³âíîì³ðíîãî ðóõó çà ñòîñîâóþòü ïîíÿòòÿ ìèòòºâî¿ øâèä êîñò³.

Ùîá âèçíà÷èòè ìèòòºâó øâèäê³ñòü òðåáà çìåíøóâàòè ³íòåðâàë ÷àñó, çà ÿêèé

çä³éñíþºòüñÿ ïåðåì³ùåííÿ. ×èì ìåíøèì áóäå öåé ³íòåðâàë, òèì ìåíøå ïåðåì³-

ùåííÿ çä³éñíþâàòèìå ò³ëî (ìàë. 45).

Êîëè øâèäê³ñòü âèçíà÷àòèìåòüñÿ

çà äîñèòü êîðîòêèé ³íòåðâàë ÷àñó

∆t

→

³ ïåðåì³ùåííÿ áóäå ìàëèì

(íàáëèæàºòüñÿ äî òî÷êè

→

0),

òî äð³á

/∆t ïðÿìóº äî äåÿêîãî ãðà-

íè÷íîãî çíà÷åííÿ, òîáòî øâèäê³ñòü

ïðàêòè÷íî íå çì³íþâàòèìåòüñÿ í³

çà çíà÷åííÿì, í³ çà íàïðÿìîì.

Ãðàíè÷íå çíà÷åííÿ (ìåæà, ãðàíèöÿ), äî ÿêîãî ïðÿ-

ìóº äð³á ∆

/ ∆ t ïðè ∆t

→

0 íàçèâàþòü ìèòòºâîþ

øâèäê³ñòþ ó ïåâí³é òî÷ö³ àáî ó ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó.

Ìàòåìàòè÷íî öå çàïèñóºòüñÿ òàê:

lim( / )

∆→

υ= ∆ ∆

Âèðàç lim

îçíà÷àº «ãðàíèöÿ», à âèðàç ∆t

→

0, çîáðàæåíèé ï³ä íèì, ïîêàçóº,

çà ÿêî¿ óìîâè öÿ ãðàíèöÿ îòðèìàíà.

Ìèòòºâà øâèäê³ñòü çá³ãàºòüñÿ ç íàïðÿìîì òîãî ìàëîãî ïåðåì³ùåííÿ, ÿêå

çä³éñíþº ò³ëî çà äîñèòü êîðîòêèé ³íòåðâàë ÷àñó.

Ñàìå ìèòòºâó øâèäê³ñòü ô³êñóº ñï³äîìåòð àâòîìîá³ëÿ.

Íàäàë³, ãîâîðÿ÷è ïðî øâèäê³ñòü íåð³âíîì³ðíîãî ðóõó, ìè ìàòèìåìî íà

óâàç³ ñàìå ìèòòºâó øâèäê³ñòü.

Ïðî ìèòòºâó øâèäê³ñòü ìîæíà ãîâîðèòè é ó âèïàäêó ð³âíîì³ðíîãî ðóõó.

Ìèòòºâà øâèäê³ñòü ð³âíîì³ðíîãî ðóõó â áóäü-ÿê³é òî÷ö³ ³ ó áóäü-ÿêèé ÷àñ º îä-

íàêîâîþ.

Ìèòòºâà øâèäê³ñòü íåð³âíîì³ðíîãî ðóõó â ð³çíèõ òî÷êàõ òðàºêòîð³¿ ³ ó ð³ç-

í³ ìîìåíòè ÷àñó – ð³çíà.

Ô³çè÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿. Ìèòòºâà øâèäê³ñòü âèçíà÷àº ìåõàí³÷íèé (ô³çè÷-

íèé) çì³ñò ïîõ³äíî¿.

Âèõîäÿ÷è ç îçíà÷åííÿ ìèòòºâî¿ øâèäêîñò³ â³äíîøåííÿ ∆

/ ∆ t íàçèâàþòü

ïî õ³ä íîþ âåêòîðà ïåðåì³ùåííÿ

â³ä ÷àñó t.

Ô³çè÷íèé (ìåõàí³÷íèé) çì³ñò ïîõ³äíî¿: âåëè-

÷èíà ìèòòºâî¿ øâèäêîñò³ ó ìîìåíò ÷àñó t

äîð³âíþº

çíà÷åííþ ïîõ³äíî¿ â³ä ïåðåì³ùåííÿ

′

ó òî÷ö³ t

lim( / )

sts

∆→

′

υ= ∆ ∆ = .

rrr

Òðàºêòîð³ÿ

Ìàë. 42. Äî âèçíà÷åííÿ ìèòòºâî¿ øâèäêîñò³

Ð Î Ç Ä ² Ë 1

Îñê³ëüêè ïåðåì³ùåííÿ òî÷êè ó ïðîñòîð³ ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê îäíî÷àñíó

çì³íó âñ³õ ¿¿ êîîðäèíàò, òî ìîæíà âèçíà÷èòè ìèòòºâó øâèäê³ñòü òî÷êè ó íà-

ïðÿì³ â³äïîâ³äíî¿ îñ³:

∆→

∆

′

υ= =

∆

lim

;

∆→

∆

′

υ= =

∆

lim

;

∆→

∆

′

υ= =

∆

lim

Íèæ÷å ïîäàíî òàáëè÷í³ çíà÷åííÿ ïîõ³äíèõ äåÿêèõ ôóíêö³é, ÿê³ ìè âèêî-

ðèñòîâóâàòèìåìî ï³ä ÷àñ âèâ÷åííÿ ìåõàí³êè:

′

=() 1t

;

−

′

()

tnt;

′

α= α(sin ) cos

;

′

α=− α(cos ) sin

′

= 0ñ

– ïîõ³äíà â³ä ñòàëî¿ âåëè÷èíè äîð³âíþº íóëþ.

Íàâåäåìî ïðèêëàäè âèçíà÷åííÿ ïîõ³äíî¿:

à)

=++

2xt t

;

′′

=++=+

(2)21xtt t;

á)

3yx;

′′

==⋅=

(3 ) 3 2 6yx xx;

â)

=α+2sin

;

′′

=α+=α(2sin ) 2cos

;

ã)

=α+2sin( )

;

ππ

′′

=α+=α+(2sin( )) 2cos( )

;

ä)

=π10cos2xt – öå âèïàäîê ñêëàäåíî¿ ôóíêö³¿. Ó öüîìó âèïàäêó ñïåðøó

âèçíà÷àþòü ïîõ³äíó

′

π=− π(10 cos 2 ) 10 sin 2tt

, à ïîò³ì ïîõ³äíó

′

π=π(2 ) 2t

, à ðå-

çóëüòàò çàïèñóþòü:

′

=− ⋅ π π =− π π10 2 sin2 20 sin2xtt

Дайте відповіді на запитання

Íàâ³ùî ââîäÿòü ïîíÿòòÿ ñåðåäíüî¿ òà ìèòòºâî¿ øâèäêîñò³? Êîëè çàñòî-1.

ñîâóþòü êîæíå ç íèõ äëÿ îïèñó ðóõó?

×èì â³äð³çíÿºòüñÿ ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ïåðåì³ùåííÿ â³ä ñåðåäíüî¿ øâèä-2.

êîñò³ ïðîõîäæåííÿ øëÿõó?

Ùî îçíà÷àº âèðàç 3.

lim

∆→

∆

? Ó ÷îìó ïîëÿãàº ô³çè÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿?

Приклад розв’язування задач

Çàäà÷à. Âåëîñèïåäèñò ïåðøó ïîëîâèíó ÷àñó ï³ä ÷àñ ïåðå¿çäó ç îäíîãî ïóíê-

òó â ³íøèé ¿õàâ ç³ øâèäê³ñòþ 12 êì/ãîä, à äðóãó ïîëîâèíó ÷àñó (÷åðåç ïðîêîë

øèíè) éøîâ ï³øêè ç³ øâèäê³ñòþ 4 êì/ãîä. ßêà ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ðóõó âåëî-

ñèïåäèñòà?

Ê³íåìàòèêà ïîñòóïàëüíîãî òà îáåðòàëüíîãî ðóõ³â ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè

Äàíî:

υ=

êì

ãîä

;

υ=

êì

ãîä

;

Ðîçâ’ÿçàííÿ:

Ðîçãëÿäàòèìåìî ðóõ âåëîñèïåäèñòà â³äíîñíî äîðîãè (ìàë. 43).

υ−?

Ðóõ âåëîñèïåäèñòà â ö³ëîìó íåð³âíîì³ðíèé, àëå íà ïåðø³é ³ äðóã³é ÷àñòè-

íàõ øëÿõó â³í ðóõàâñÿ ð³âíîì³ðíî ç â³äïîâ³äíèìè øâèäêîñòÿìè.

Òîä³ ìîäóë³ ïåðåì³ùåííÿ

=υ

111

st ³ =υ

222

st.

Ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ðóõó

υ=

. Ï³äñòàâëÿþ÷è â³äïîâ³äí³ âèðàçè äëÿ ïå-

ðåì³ùåííÿ ³ âðàõîâóþ÷è, ùî çà óìîâîþ

, îòðèìóºìî:

(

)

υ+υ

υ+υ υ+υ

υ= = =

11 22 1 2

tt t

Îá÷èñëåííÿ:

υ= =

êì êì

12 4

êì

ãîä ãîä

2ãîä

Â³äïîâ³äü: υ

= 8 êì/ãîä.

Ïðîàíàë³çóºìî â³äïîâ³äü. Ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ðóõó âèçíà÷àºòüñÿ ÿê ñåðåäíº

àðèôìåòè÷íå ¿¿ çíà÷åíü. Àëå ïîä³áíèì ÷èíîì âîíà âèçíà÷àºòüñÿ ëèøå ó âèïàä-

êó, êîëè ³íòåðâàëè ÷àñó îäíàêîâ³. Ìîæåòå ïåðåêîíàòèñü ó öüîìó, ðîçâ’ÿçàâøè

ïåðøó çàäà÷ó âïðàâè 5.

Вправа 5

1. Ïåðøó ïîëîâèíó øëÿõó âåëîñèïåäèñò ðóõàâñÿ ç³ øâèäê³ñòþ 12 êì/ãîä,

à äðóãó ïîëîâèíó – (÷åðåç ïðîêîë øèíè) éøîâ ï³øêè ç³ øâèäê³ñòþ 4 êì/ãîä.

ßêîþ áóäå ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ðóõó âåëîñèïåäèñòà ó öüîìó âèïàäêó?

2. Âåëîñèïåäèñò çà ïåðø³ 5 ñ ïðî¿õàâ 40 ì, çà íàñòóïí³ 10 ñ – 100 ì, à çà

îñòàíí³ 5 ñ – 20 ì. Âèçíà÷èòè ñåðåäí³ øâèäêîñò³ íà êîæí³é ç ä³ëÿíîê ³ íà âñüî-

ìó øëÿõó.

3. Àâòîìîá³ëü ïðîõîäèòü ïåðøó òðåòèíó øëÿõó ç³ øâèäê³ñòþ υ

, à òó ÷àñ-

òèíó øëÿõó, ùî çàëèøèëàñÿ, ç³ øâèäê³ñòþ υ

= 50 êì/ãîä. Âèçíà÷èòè øâèä-

ê³ñòü ðóõó àâòîìîá³ëÿ íà ïåðø³é ä³ëÿíö³ øëÿõó, ÿêùî ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ðóõó

= 37,5 êì/ãîä.

Ìàë. 43. Äî çàäà÷³

Ð Î Ç Ä ² Ë 1

4. Àâòîìîá³ëü ïðî¿õàâ â³äñòàíü â³ä À äî Â ç³ øâèäê³ñòþ 60 êì/ãîä, à íàçàä

ïîâåðòàâñÿ ç³ øâèäê³ñòþ 20 êì/ãîä. ßêà ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ðóõó àâòîìîá³ëÿ?

5. Âåëîñèïåäèñò ¿õàâ ç îäíîãî ì³ñòà äî ³íøîãî. Îäíó ÷àñòèíó øëÿõó â³í

ïðî¿õàâ ç³ øâèäê³ñòþ 12 êì/ãîä, ³íøó – ç³ øâèäê³ñòþ 6 êì/ãîä. Ïîò³ì (äî ê³í-

öÿ øëÿõó) éøîâ ï³øêè ç³ øâèäê³ñòþ 4 êì/ãîä. Âèçíà÷èòè ñåðåäíþ øâèäê³ñòü

ðóõó âåëîñèïåäèñòà íà âñüîìó øëÿõó.

6. Ïîòÿã ïåðøó ïîëîâèíó øëÿõó ðóõàâñÿ ç³ øâèäê³ñòþ â n = 1,5 ðàçà á³ëü-

øîþ, í³æ ï³ä ÷àñ äîëàííÿ äðóãî¿ ïîëîâèíè øëÿõó. Ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ïî¿çäà

íà âñüîìó øëÿõó ñòàíîâèëà 43,5 êì/ãîä. ßê³ øâèäêîñò³ ðóõó ïîòÿãà íà ïåðø³é

³ äðóã³é ïîëîâèíàõ øëÿõó?

7. Ðóõ ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè çàäàíî ð³âíÿííÿì x = at + bt

+ ct

, äå a = 5 ì/ñ,

b = 0,2 ì/ñ

, ñ = 0,1 ì/ñ

. Âèçíà÷èòè øâèäê³ñòü òî÷êè ó ìîìåíòè ÷àñó t

= 2 c

òà

= 4 c, à òàêîæ ñåðåäíþ øâèäê³ñòü ïðîòÿãîì ³íòåðâàëó ÷àñó â³ä t

äî t

. Ïðè ðîç-

â’ÿçóâàíí³ çàäà÷³ ñêîðèñòàòèñü ïîíÿòòÿì ïîõ³äíî¿.

§ 10 Прямолінійний рівноприскорений рух

Ïðèñêîðåííÿ. 3

Ð³âíîïðèñêîðåíèé ïðÿìîë³í³éíèé ðóõ. 3

Øâèäê³ñòü ³ ïåðåì³ùåííÿ ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó. 3

Ïðèñêîðåííÿ. Ïðè íåð³âíîì³ðíîìó ðóñ³ øâèäê³ñòü (ïàì’ÿ òàéòå, ùî ìè

ìàºìî íà óâàç³ ìèòòºâó øâèäê³ñòü, àëå ñëîâî «ìèòòºâà» äëÿ ñïðîùåííÿ íå

âæèâàòèìåìî) ó ð³çíèõ òî÷êàõ òðàºêòîð³¿ ³ ó ð³çí³ ìîìåíòè ÷àñó – ð³çíà. Òîáòî

øâèäê³ñòü ïîñò³éíî çì³íþºòüñÿ â³ä òî÷êè äî òî÷êè, â³ä îäíîãî ìîìåíòó ÷àñó äî

íàñòóïíîãî.

Ï³ä ÷àñ ðóõó øâèäê³ñòü ìîæå çì³íþâàòèñÿ ïî-ð³çíîìó – äóæå ñòð³ìêî (ðóõ

êóë³ â ðóøíèö³, ñòàðò ðàêåòè, ðîçá³ã ë³òàêà) ³ ïîð³âíÿíî ïîâ³ëüíî (ïî÷àòîê ðóõó

ïîòÿãà, ãàëüìóâàííÿ àâòîìîá³ëÿ). Î÷åâèäíî, äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ñòð³ìêîñò³

çì³íè øâèäêîñò³ ìàº ³ñíóâàòè ïåâíà ô³çè÷íà âåëè÷èíà. Ó ô³çèö³ öþ âåëè÷èíó

íàçèâàþòü ïðèñêîðåííÿì.

Ïðèñêîðåííÿ (

) – âåêòîðíà âåëè÷èíà, ùî âèçíà-

÷àºòüñÿ â³äíîøåííÿì çì³íè øâèäêîñò³ ò³ëà äî ³íòåð-

âàëó ÷àñó, ïðîòÿãîì ÿêîãî â³äáóëàñÿ òàêà çì³íà:

υ−υ

∆υ

∆∆

a ,

äå

– ïî÷àòêîâà øâèäê³ñòü ò³ëà,

– éîãî ê³íöåâà

øâèäê³ñòü, ∆t – ³íòåðâàë ÷àñó, ïðîòÿãîì ÿêîãî â³ä-

áóëàñÿ çì³íà øâèäêîñò³.