Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории

Подождите немного. Документ загружается.

Ⱦɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɨ Į ɬɨɱɤɢ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɡɚɞɚɸɬɫɹ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɟɦ

ɝɪɚɮɢɤɚ F(x

; ɚ) ɫ ɩɪɹɦɨɣ ɥɢɧɢɟɣ ɩɨɞ ɭɝɥɨɦ 45°, ɤɚɤ ɧɚ ɪɢɫ. 6.2. Ⱦɥɹ ɤɚɠɞɨɣ

ɜɟɥɢɱɢɧɵ α > 0 ɢɦɟɸɬɫɹ ɞɜɚ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ: x

= 0 ɢ x

= [Į/(1 + ɚ)]

Ɍɨɱɤɚ x

= 0 ɧɟɭɫɬɨɣɱɢɜɚ ɢ ɨɬɬɚɥɤɢɜɚɟɬ ɫɨɫɟɞɧɢɟ ɬɨɱɤɢ. Ʌɨɤɚɥɶɧɚɹ

ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɶ ɞɪɭɝɢɯ ɬɨɱɟɤ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɭɬɟɦ ɥɢɧɟɚɪɢɚɡɚɰɢɢ

ɨɬɨɛɪɚɠɟɧɢɹ ɜ ɬɨɱɤɟ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ. ɂɦɟɟɦ

Ʌɨɤɚɥɶɧɭɸ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɶ ɯ

ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ Θ(Į). ȿɫɥɢ

0 < Θ < 1,

ɫɨɫɟɞɧɢɟ ɬɨɱɤɢ ɩɪɢɬɹɝɢɜɚɸɬɫɹ ɤ x

ɷɤɫɩɨɧɟɧɰɢɚɥɶɧɨ ɢ ɦɨɧɨɬɨɧɧɨ.

ȿɫɥɢ 0 > Θ > -1, ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɤ x

ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ ɡɚɬɭɯɚɸɳɢɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ. Ʉɨɝɞɚ

Θ = -1,

ɧɢ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨ, ɧɢ ɧɟɭɫɬɨɣɱɢɜɨ

. ɇɚɤɨɧɟɰ, ɟɫɥɢ ⏐Θ⏐>1, ɬɨ ɯ

ɧɟɭɫɬɨɣɱɢɜɨ. ɗɬɢ ɬɢɩɵ ɩɨɜɟɞɟɧɢɹ ɢɦɟɸɬ ɦɟɫɬɨ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɜ ɫɥɭɱɚɹɯ

0 < α< 2, 2 < α < 4, α = 4

ɢ 4 < α < 5.75, ɤɚɤ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 6.2.

Ʉɨɝɞɚ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɟ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨ, ɬ.ɟ. Į < 4, ɨɧɨ ɞɨɫɬɢɝɚɟɬɫɹ ɥɸɛɨɣ

ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɟɣ, ɧɚɱɢɧɚɸɳɟɣɫɹ ɢɡ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɣ ɬɨɱɤɢ. ȼ ɷɬɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ

ȼ ɫɥɭɱɚɟ ɨɛɳɟɝɨ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɩɨɬɟɪɹ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɢ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɩɨ ɫɰɟɧɚɪɢɸ ɪɨɠɞɟɧɢɹ

ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɣ 2-ɨɪɛɢɬɵ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɢ ɩɨɝɪɚɧɢɱɧɨɝɨ ɫɥɭɱɚɹ. — ɉɪɢɦ. ɪɟɞ.

ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɟ ɬɪɚɞɢɰɢɨɧɧɨɝɨ ɫɪɚɜɧɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɫɬɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ

ɩɨɤɚɡɵɜɚɟɬ, ɱɬɨ ɞɥɹ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɛɨɥɶɲɢɯ t ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ α ɜɟɞɟɬ ɤ

ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɸ x

. ȿɫɥɢ 4 < α < 5.75, ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɧɟ ɜɯɨɞɹɬ ɜ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɟ, ɚ

ɨɫɬɚɸɬɫɹ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ, ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɣ ɧɭɥɟɦ ɢ ɟɞɢɧɢɰɟɣ. Ɏɚɤɬɢɱɟɫɤɢ, ɤɚɤ ɬɨɥɶɤɨ

ɩɚɪɚɦɟɬɪ α ɩɪɟɜɵɲɚɟɬ 4, ɧɟɭɫɬɨɣɱɢɜɚɹ ɬɨɱɤɚ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɪɚɫɩɚɞɚɟɬɫɹ ɧɚ ɞɜɟ

ɭɫɬɨɣɱɢɜɵɟ ɬɨɱɤɢ ɫ ɩɟɪɢɨɞɨɦ 2, ɬ.ɟ. ɧɚ ɭɫɬɨɣɱɢɜɵɟ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɟ ɨɪɛɢɬɵ

ɞɥɢɧɵ 2. Ⱦɥɹ α = 4.2 ɧɚ ɪɢɫ. 6.3 ɩɨɤɚɡɚɧɵ ɞɜɟ ɧɟɜɵɪɨɠɞɟɧɧɵɟ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɵɟ

ɬɨɱɤɢ ɨɬɨɛɪɚɠɟɧɢɹ F

(x; 4.2), ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɧɵɟ ɤɚɤ

ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ.

Ʉɚɤ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɒɬɭɬɰɟɪɨɦ, 2-ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɣ ɰɢɤɥ ɫɬɚɧɨɜɢɬɫɹ

ɧɟɭɫɬɨɣɱɢɜɵɦ ɞɥɹ ɡɧɚɱɟɧɢɣ α, ɩɪɟɜɵɲɚɸɳɢɯ 4.8, ɢ ɤɚɠɞɚɹ 2-ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɚɹ

ɬɨɱɤɚ ɪɚɫɩɚɞɚɟɬɫɹ ɧɚ ɞɜɟ 4-ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɟ ɬɨɱɤɢ, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ

ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɦɭ ɰɢɤɥɭ ɞɥɢɧɵ 4, ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɧɨɦɭ ɤɚɤ {

}·

Ɋɢɫɭɧɨɤ 6.4 ɢɥɥɸɫɬɪɢɪɭɟɬ ɷɬɨɬ ɮɟɧɨɦɟɧ.

ɉɪɢ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ α ɷɬɨɬ ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɨɧɧɵɣ ɩɪɨɰɟɫɫ ɍɞɜɨɟɧɢɹ

ɩɪɨɞɨɥɠɚɟɬɫɹ, ɝɟɧɟɪɢɪɭɹ ɧɟɜɵɪɨɠɞɟɧɧɵɟ ɨɪɛɢɬɵ ɞɥɢɧɵ 2

(k =2,...). Ɍɚɤɢɟ

ɨɪɛɢɬɵ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɝɚɪɦɨɧɢɤɚɦɢ 2-ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɣ ɨɪɛɢɬɵ. Ɇɨɠɧɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ,

ɱɬɨ ɜɫɟ ɝɚɪɦɨɧɢɤɢ ɜɨɡɧɢɤɚɸɬ ɩɪɟɠɞɟ, ɱɟɦ ɩɚɪɚɦɟɬɪ α ɞɨɫɬɢɝɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɹ

5.54,

ɯɨɬɹ ɟɝɨ ɬɨɱɧɨɟ ɩɨɪɨɝɨɜɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨ. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɨɛɥɚɫɬɶ

ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ α, ɜɧɭɬɪɢ ɤɨɬɨɪɨɣ ɩɟɪɜɨɧɚɱɚɥɶɧɨ ɡɚɪɨɠɞɚɸɬɫɹ ɭɫɬɨɣɱɢɜɵɟ

ɜɵɟ ɨɪɛɢɬɵ ɞɥɢɧɵ k, ɤɨɬɨɪɵɟ ɡɚɬɟɦ ɫɬɚɧɨɜɹɬɫɹ ɧɟɭɫɬɨɣɱɢɜɵɦɢ ɢ

ɪɚɫɩɚɞɚɸɬɫɹ ɧɚ 2k-ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɟ ɨɪɛɢɬɵ, ɩɪɢ ɞɨɫɬɢɠɟɧɢɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɦ α

ɩɪɟɞɟɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ α

< 5.54, ɫɠɢɦɚɟɬɫɹ.

ɂɧɬɟɪɜɚɥ α

< α ≤ 5.75 ɧɚɡɜɚɧ ɨɛɥɚɫɬɶɸ ɯɚɨɫɚ. ɉɪɢ ɞɨɫɬɢɠɟɧɢɢ ɷɬɨɣ

ɨɛɥɚɫɬɢ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ α ɦɨɝɭɬ ɜɨɡɧɢɤɧɭɬɶ ɫɬɪɚɧɧɵɟ ɹɜɥɟɧɢɹ.

ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɜɛɥɢɡɢ ɡɧɚɱɟɧɢɣ 5.540 ɫɭɳɟɫɬɜɭɸɬ 3-ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɟ ɨɪɛɢɬɵ. Ɉɬ

ɧɢɯ ɫɬɚɪɬɭɟɬ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɟ 3

-ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɯ ɨɪɛɢɬ (k = 2,…) ɨɩɢɫɚɧɧɵɦ ɜɵɲɟ

ɫɩɨɫɨɛɨɦ. ɇɚ ɫɚɦɨɦ ɞɟɥɟ, ɟɫɥɢ ɦɵ ɦɨɠɟɦ ɥɨɤɚɥɢɡɨɜɚɬɶ 3-ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɭɸ

ɨɪɛɢɬɭ, ɡɚɦɟɱɚɬɟɥɶɧɚɹ ɬɟɨɪɟɦɚ Ʌɢ ɢ Ƀɨɪɤɟ (1975) ɭɬɜɟɪɠɞɚɟɬ, ɱɬɨ ɜ ɷɬɨɦ

ɫɥɭɱɚɟ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ F(x

; ɚ) ɞɨɥɠɧɵ ɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚɬɶ ɬɚɤɠɟ ɧɟɜɵɪɨɠɞɟɧɧɵɟ

ɬɨɱɤɢ ɜɫɟɯ ɩɟɪɢɨɞɨɜ ɢ ɧɟɫɱɟɬɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɯ (ɧɟ

ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɟɫɤɢ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɯ!) ɬɨɱɟɤ, ɱɶɢ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ

ɛɥɭɠɞɚɸɬ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ F.

Ɍɟɨɪɟɦɚ. (Ʌɢ ɢ Ƀɨɪɤɟ.) ɉɭɫɬɶ J — ɢɧɬɟɪɜɚɥ, ɢ ɨɬɨɛɪɚɠɟɧɢɟ F : J → J

ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ. ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ, ɱɬɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɬɨɱɤɚ α

∈ J, ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɣ ɬɨɱɤɢ

= F(

), α

= F

(α

) ɢ α

= F

(α

) ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹɦ

Ɍɨɝɞɚ (i) Ⱦɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ k = 1,2,... ɜ J ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɚɹ ɬɨɱɤɚ ɩɟɪɢɨɞɚ

k; (ii) ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɧɟɫɱɟɬɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ S

∈

J, (ɧɟ ɫɨɞɟɪɠɚɳɟɟ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɯ

ɬɨɱɟɤ), ɤɨɬɨɪɨɟ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ:

Ⱥ) Ⱦɥɹ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɯ ɩɨɩɚɪɧɨ ɧɟɪɚɜɧɵɯ ɪ, q ∈ S

Ȼ) Ⱦɥɹ ɤɚɠɞɨɣ ɬɨɱɤɢ p

∈

S ɢ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɣ ɬɨɱɤɢ q

∈

ɉɪɢ ɧɟɤɨɬɨɪɨɦ ɡɧɚɱɟɧɢɢ α ɧɚɲɚ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɚɹ ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ

ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɬɪɟɛɨɜɚɧɢɹɦ ɬɟɨɪɟɦɵ. ɉɪɢɦɟɪ ɯɚɨɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɨɜɟɞɟɧɢɹ

ɩɪɢɜɟɞɟɧ ɧɚ ɪɢɫ. 6.5.

ɋɭɦɦɢɪɭɹ ɫɤɚɡɚɧɧɨɟ, ɡɚɤɥɸɱɚɟɦ, ɱɬɨ, ɟɫɥɢ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨ ɢɡɦɟɧɹɸɳɚɹɫɹ

ɜɟɥɢɱɢɧɚ Į ɩɪɟɜɵɲɚɟɬ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ, ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ

ɤ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɸ ɩɟɪɟɫɬɚɟɬ ɛɵɬɶ ɦɨɧɨɬɨɧɧɨɣ, ɢ ɜɨɡɧɢɤɚɟɬ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ

ɨɫɰɢɥɥɹɬɨɪɧɨɝɨ ɬɢɩɚ. ȿɫɥɢ α ɭɜɟɥɢɱɢɜɚɬɶ ɞɚɥɟɟ, ɦɨɠɧɨ ɧɚɣɬɢ ɬɚɤɨɟ

ɡɧɚɱɟɧɢɟ, ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɨɦ ɫɢɫɬɟɦɚ ɝɟɧɟɪɢɪɭɟɬ ɰɢɤɥ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɝɨ ɩɟɪɢɨɞɚ k.

ɋɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɬɚɤɠɟ ɧɟɫɱɟɬɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ, ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɵɯ

ɜɵɩɭɳɟɧɧɵɟ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɮɥɭɤɬɭɢɪɭɸɬ ɜ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ

ɚɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢ ɢ ɧɟɩɪɟɞɫɤɚɡɭɟɦɨ, ɪɟɚɥɢɡɭɹ ɧɟɤɨɬɨɪɵɣ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɢɣ

(ɯɚɨɬɢɱɟɫɤɢɣ) ɩɪɨɰɟɫɫ.

Ɉɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɦɚɥɵɟ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɫɬɪɭɤɬɭɪɧɵɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɦɨɝɭɬ ɩɪɢɜɟɫɬɢ

ɤ ɛɨɥɶɲɢɦ, ɤɚɱɟɫɬɜɟɧɧɵɦ, ɢɡɦɟɧɟɧɢɹɦ ɩɨɜɟɞɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ. Ʉɪɨɦɟ ɬɨɝɨ, ɧɚ

ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɷɜɨɥɸɰɢɢ ɧɟɥɢɧɟɣɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɧɢɡɤɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɦɨɝɭɬ ɨɤɚɡɵɜɚɬɶ

ɫɢɥɶɧɨɟ ɜɥɢɹɧɢɟ ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ. ɉɪɢ ɤɨɧɫɬɪɭɢɪɨɜɚɧɢɢ ɦɨɞɟɥɟɣ ɷɬɚ

ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɱɚɫɬɨ ɜɵɩɚɞɚɟɬ ɢɡ ɩɨɥɹ ɡɪɟɧɢɹ. Ɇɨɠɧɨ ɡɚɤɥɸɱɢɬɶ, ɱɬɨ

ɤɚɱɟɫɬɜɟɧɧɵɟ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɫɬɪɭɤɬɭɪɧɵɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɢ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ,

ɜɦɟɫɬɟ ɫ ɜɨɡɦɨɠɧɵɦɢ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɹɦɢ ɢɡɦɟɪɟɧɢɣ ɷɬɢɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ,

ɡɚɫɬɚɜɥɹɸɬ ɭɫɨɦɧɢɬɶɫɹ ɜ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɢ ɩɪɟɞɫɤɚɡɚɧɢɹ ɩɨɜɟɞɟɧɢɹ ɧɟɥɢɧɟɣɧɵɯ

ɫɢɫɬɟɦ ɢ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɹ ɢɦɢ. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɞɚɠɟ ɟɫɥɢ ɦɨɞɟɥɶ ɩɨɫɬɪɨɟɧɚ

ɬɨɱɧɨ, ɧɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ ɩɪɟɞɫɤɚɡɚɧɢɟ ɢ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɟ ɦɨɝɭɬ ɨɤɚɡɚɬɶɫɹ ɧɟ-

ɜɨɡɦɨɠɧɵɦɢ ɜɫɥɟɞɫɬɜɢɟ ɧɟɭɫɬɪɚɧɢɦɵɯ ɨɲɢɛɨɤ ɢɡɦɟɪɟɧɢɣ.

ɗɬɨɬ ɩɪɢɦɟɪ ɩɨɤɚɡɵɜɚɟɬ, ɱɬɨ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɹ ɩɪɨɫɬɨɝɨ ɧɟɥɢɧɟɣɧɨɝɨ

ɞɟɬɟɪɦɢɧɢɪɨɜɚɧɧɨɝɨ ɪɚɡɧɨɫɬɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ

ɩɨɞɜɟɪɠɟɧɚ ɯɚɨɬɢɱɟɫɤɢɦ ɮɥɭɤɬɭɚɰɢɹɦ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɜɵɝɥɹɞɹɬ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦɢ ɢ

ɨɲɢɛɨɱɧɨ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɨɬɧɟɫɟɧɵ ɧɚ ɫɱɟɬ ɜɥɢɹɧɢɹ ɧɟɭɱɬɟɧɧɵɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ,

ɢɥɢ ɭɱɬɟɧɧɵɯ, ɧɨ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɦɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦɢ. ȼ ɞɟɬɟɪɦɢɧɢɪɨɜɚɧɧɵɯ

ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɪɚɡɧɨɫɬɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɯ ɩɨɞɨɛɧɵɟ ɹɜɥɟɧɢɹ ɧɟ ɧɚɛɥɸɞɚɸɬɫɹ —

ɯɚɨɫ ɩɨɪɨɠɞɟɬɫɹ ɢɦɟɧɧɨ ɧɟɥɢɧɟɣɧɨɫɬɶɸ. ɗɬɨɬ ɜɵɜɨɞ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɬɚɤɠɟ, ɱɬɨ ɜ

ɤɨɧɬɟɤɫɬɟ ɦɨɞɟɥɟɣ ɦɚɤɪɨɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɢɯ ɹɜɥɟɧɢɣ, ɨɫɧɨɜɚɧɧɵɯ ɧɚ ɥɢɧɟɣɧɵɯ

ɪɚɡɧɨɫɬɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɯ, ɜɜɟɞɟɧɢɟ ɜ ɫɬɪɭɤɬɭɪɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɪɚɜɞɨ-

ɩɨɞɨɛɧɵɯ, ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢ ɨɩɪɚɜɞɚɧɧɵɯ ɧɟɥɢɧɟɣɧɨɫɬɟɣ ɦɨɠɟɬ ɨɛɴɹɫɧɢɬɶ

ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɢɟ ɮɥɭɤɬɭɚɰɢɢ ɬɚɤ ɠɟ ɭɫɩɟɲɧɨ, ɢɥɢ ɟɳɟ ɛɨɥɟɟ ɭɫɩɟɲɧɨ, ɱɟɦ

ɜɜɟɞɟɧɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ.

Ⱦɢɫɤɪɟɬɧɚɹ ɜɟɪɫɢɹ ɨɪɢɝɢɧɚɥɶɧɨɣ ɦɨɞɟɥɢ ɏɚɚɜɟɥɶɦɨ ɢɦɟɟɬ ɫɨɜɟɪɲɟɧɧɨ

ɞɪɭɝɢɟ ɤɚɱɟɫɬɜɟɧɧɵɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ. ɋɢɫɬɟɦɚ ɛɨɥɶɲɟ ɧɟ ɩɪɨɹɜɥɹɟɬ ɛɟɡɭɫɥɨɜɧɨɣ

ɦɨɧɨɬɨɧɧɨɣ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɤ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɸ. ɗɬɨ ɡɧɚɱɢɬ, ɱɬɨ ɞɢɫɤɪɟɬɧɵɣ ɚɧɚɥɨɝ

ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɧɟ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɧɚɞɟɠɧɨ ɨɛɟɫɩɟɱɟɧ ɩɪɨɫɬɨɣ ɡɚɦɟɧɨɣ

ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ ɩɟɪɜɵɦɢ ɪɚɡɧɨɫɬɹɦɢ. ɇɚɩɪɨɬɢɜ, ɨɬɫɭɬɫɬɜɢɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɫɬɢ ɜ

ɬɨɦ, ɤɚɤ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɪɟɚɥɶɧɭɸ ɫɢɫɬɟɦɭ ɜ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɦ ɜɢɞɟ, ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɤ

ɭɫɢɥɟɧɢɸ ɮɭɧɞɚɦɟɧɬɚɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɬɨɝɨ ɮɚɤɬɚ, ɱɬɨ ɜɵɛɨɪ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ

ɜɪɟɦɟɧɢ ɦɨɠɟɬ ɢɦɟɬɶ ɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɨɟ ɜɥɢɹɧɢɟ ɧɚ ɤɚɱɟɫɬɜɟɧɧɵɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ

ɦɨɞɟɥɢ.

6.3 Ⱥɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɣ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɵɣ

ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɢɣ ɪɨɫɬ

ȼ ɝɥ. 5 ɦɵ ɞɨɤɚɡɚɥɢ, ɱɬɨ ɟɫɥɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɵ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ, ɬɨ ɜ

ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɣ ɦɨɞɟɥɢ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɫɬɚ ɦɨɝɭɬ ɧɚɛɥɸɞɚɬɶɫɹ ɩɪɟɞɟɥɶɧɵɟ

ɰɢɤɥɵ. ȼ ɷɬɨɣ ɝɥɚɜɟ ɛɭɞɟɬ ɩɨɤɚɡɚɧɨ, ɱɬɨ ɜ ɬɚɤɢɯ ɦɨɞɟɥɹɯ ɦɨɠɟɬ ɜɨɡɧɢɤɚɬɶ

ɛɨɥɟɟ ɫɥɨɠɧɨɟ ɩɨɜɟɞɟɧɢɟ, ɱɟɦ ɪɟɝɭɥɹɪɧɨ-ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɟ. Ʉɨɝɞɚ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɟ

ɬɟɪɹɟɬ ɫɜɨɸ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɶ ɢɡ-ɡɚ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɞɜɟ ɩɚɪɵ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɨ ɫɨɩɪɹɠɟɧɧɵɯ

ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɥɢɧɟɚɪɢɡɨɜɚɧɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɩɟɪɟɫɟɤɚɸɬ

ɦɧɢɦɭɸ ɨɫɶ, ɜ ɫɢɫɬɟɦɟ ɦɨɝɭɬ ɜɨɡɧɢɤɚɬɶ ɧɟɪɟɝɭɥɹɪɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ.

Ɇɵ ɢɡɭɱɚɟɦ ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ, ɫɨɫɬɨɹɳɢɟ ɢɡ ɬɪɟɯ ɱɚɫɬɟɣ:

ɞɜɭɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɟɧɧɵɯ ɢ ɨɞɧɨɣ ɩɨɬɪɟɛɢɬɟɥɶɫɤɨɣ. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɟɞɭɸɳɭɸ

ɡɚɞɚɱɭ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɫɬɚ:

ɉɟɪɟɦɟɧɧɵɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɵ ɜ ɪɚɡɞ. 5.8. ɉɭɫɬɶ (Ⱥ1-Ⱥ6) ɢɡ ɪɚɡɞ. 5.8 ɜɵɩɨɥɧɟɧɵ.

Ɍɨɝɞɚ ɫɢɫɬɟɦɭ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɮɨɪɦɟ

ɑɬɨɛɵ ɝɚɪɚɧɬɢɪɨɜɚɬɶ ɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚɧɢɟ ɚɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ, ɫɞɟɥɚɟɦ

ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ.

ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ 6.3.7. ɉɭɫɬɶ ɫɢɫɬɟɦɚ (6.3.3) ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɞɜɭɦɹ ɩɚɪɚɦɢ

ɩɪɨɫɬɵɯ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɨ ɫɨɩɪɹɠɟɧɧɵɯ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ, ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɧɵɯ

ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɤɚɤ z

1,2

(r), z

3,4

(r)

ɝɞɟ α

ɢ β

, — ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ. ɉɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬɫɹ, ɱɬɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɬɚɤɨɟ

ɡɧɚɱɟɧɢɟ r = r

, ɱɬɨ

ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ

Ɂɞɟɫɶ ɦɵ ɬɚɤɠɟ ɬɪɟɛɭɟɦ, ɱɬɨɛɵ ⏐r— r

⏐ɛɵɥɨ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɦɚɥɨ. ɗɬɨ

ɡɧɚɱɢɬ, ɱɬɨ ɹɤɨɛɢɚɧ ɢɦɟɟɬ ɞɜɟ ɩɚɪɵ ɱɢɫɬɨ ɦɧɢɦɵɯ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ,

ɤɨɬɨɪɵɟ ɩɪɢ ɩɪɨɯɨɠɞɟɧɢɢ r ɱɟɪɟɡ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ r

ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ

ɬɟɪɹɸɬ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɶ. ɂɡ ɩɪɢɦɟɪɨɜ, ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɵɯ ɭ Ȼɟɧɯɚɛɢɛɚ ɢ ɇɢɲɢɦɭɪɵ

(1979), ɦɵ ɜɢɞɢɦ, ɱɬɨ ɷɬɨ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɜɩɨɥɧɟ ɩɪɢɟɦɥɟɦɵɦ.

ɉɭɫɬɶ x = r— r

, ɢ ɧɚɩɢɲɟɦ ɜɟɡɞɟ z

(ɯ) ɜɦɟɫɬɨ z

(r). ɂɡ (6.3.5) ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ

ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɟ ɱɚɫɬɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɜɫɟɝɞɚ ɢɦɟɸɬ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɣ ɡɧɚɤ.

ȿɫɥɢ x ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ ɬɚɤ, ɱɬɨ α

(x) ɢ α

(ɯ) ɦɟɧɹɸɬ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɯ ɧɚ

ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ, ɬɨ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɶ ɬɟɪɹɟɬɫɹ. ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɬɟɨɪɢɢ ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɣ, ɜ

ɷɬɨɬ ɦɨɦɟɧɬ ɨɬ ɜɟɬɜɢ (k

) ɦɨɝɭɬ ɡɚɪɨɞɢɬɶɫɹ ɧɨɜɵɟ (ɜɨɡɦɨɠɧɨ, ɞɨɜɨɥɶɧɨ

ɫɥɨɠɧɵɟ) ɪɟɲɟɧɢɹ, ɡɚɜɢɫɹɳɢɟ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ. Ʉɚɤ ɬɨɥɶɤɨ x ɩɟɪɟɫɟɤɚɟɬ ɝɪɚɧɢɰɭ

ɨɛɥɚɫɬɢ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɢ ɢ ɧɟɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɢ (ɯ = 0), ɥɢɧɟɣɧɚɹ ɬɟɨɪɢɹ

ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɢ ɩɪɟɞɫɤɚɡɵɜɚɟɬ ɩɨɬɟɪɸ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɢ ɫɬɚɰɢɨɧɚɪɧɨɝɨ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ

ɜɜɢɞɭ ɷɤɫɩɨɧɟɧɰɢɚɥɶɧɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɮɭɧɤɰɢɢ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ t. Ɍɚɤɚɹ

ɷɤɫɩɨɧɟɧɰɢɚɥɶɧɨ ɪɚɫɬɭɳɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɧɟ ɦɨɠɟɬ ɨɩɢɫɵɜɚɬɶ ɪɟɚɥɶɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ

ɫɢɫɬɟɦɵ ɧɚ ɛɨɥɶɲɢɯ ɜɪɟɦɟɧɚɯ, ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɫ ɬɟɱɟɧɢɟɦ ɜɪɟɦɟɧɢ ɜɫɟ

ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɟɣ ɫɬɚɧɨɜɹɬɫɹ ɧɟɥɢɧɟɣɧɵɟ ɱɥɟɧɵ. ɂɦɟɧɧɨ ɩɨ ɷɬɨɣ ɩɪɢɱɢɧɟ ɩɪɢ

ɢɡɭɱɟɧɢɢ ɧɟɭɫɬɨɣɱɢɜɵɯ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɢɯ ɫɢɫɬɟɦ ɦɵ ɞɨɥɠɧɵ ɩɪɢɧɢɦɚɬɶ ɜɨ

ɜɧɢɦɚɧɢɟ ɧɟɥɢɧɟɣɧɨɫɬɢ.

ȼɜɟɞɟɦ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɹ ɚɦɩɥɢɬɭɞɵ

Ɂɚɧɝ (1989) ɞɨɤɚɡɚɥ ɫɥɟɞɭɸɳɭɸ ɬɟɨɪɟɦɭ.

Ɍɟɨɪɟɦɚ 6.3.1. ɉɭɫɬɶ ɡɚɞɚɱɚ ɨɩɬɢɦɢɡɚɰɢɢ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ (Ⱥ 1-A7). ȿɫɥɢ ⏐

-2

⏐,

⏐

⏐2

⏐ ɜɫɟ ɩɨɪɹɞɤɚ O(1) ɩɨ İ, ɬɨ

ɝɞɟ

ɢ D

— ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ ɱɟɬɵɪɟɯɦɟɪɧɵɟ ɜɟɤɬɨɪɵ ɢ

ɚ R(m), S(m), A

(m) ɢ ȼ

(ɬ) ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɫɤɚɥɹɪɧɵɦɢ ɮɭɧɤɰɢɹɦɢ,

Ɋɢɫ. 6.6. ɇɟɪɟɝɭɥɹɪɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɰɟɧ.

ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦɵɦɢ ɢɡ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ

Ɂɞɟɫɶ N = (n

)

4×6

. ȼɟɥɢɱɢɧɵ C

, D

, w

, v

, N ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɵ ɭ Ɂɚɧɝɚ (1989d).

Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ ɷɬɨɣ ɬɟɨɪɟɦɵ ɞɚɧɨ Ɂɚɧɝɨɦ (1989d).

ɉɪɢɛɥɢɠɟɧɢɟ (6.3.7) ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨ ɞɥɹ ɩɟɪɢɨɞɨɜ ɜɪɟɦɟɧɢ ɩɨɪɹɞɤɚ O(1/

ɍɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɶ ɪɟɲɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɟɫɤɢɦ ɩɨɜɟɞɟɧɢɟɦ ɮɭɧɤɰɢɣ

R(m) ɢ S(m) ɩɪɢ ɬ

→

∞

. ȿɫɥɢ ɨɧɢ ɫɬɪɟɦɹɬɫɹ ɤ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɢɸ ɢɥɢ

ɨɫɰɢɥɥɢɪɭɸɬ, ɬɨ ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɨɧɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨ. Ɋɚɫɱɟɬ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ

ɬɟɨɪɟɦɵ ɩɪɨɫɬ, ɧɨ ɭɬɨɦɢɬɟɥɟɧ.

Ɍɟɨɪɟɦɚ ɨɬɧɨɫɢɬɫɹ ɤ ɜɨɡɦɨɠɧɵɦ ɧɟɪɟɝɭɥɹɪɧɵɦ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹɦ, ɜɟɬɜɹɳɢɦɫɹ

ɨɬ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ. ȼ ɩɪɹɦɭɸ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɨɫɬɶ ɫɥɭɱɚɸ ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɢ

ɏɨɩɮɚ, ɩɪɢ ɩɚɪɟ ɩɪɨɫɬɵɯ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɵɯ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɡɚɜɢɫɹɳɟɟ ɨɬ

ɜɪɟɦɟɧɢ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɨɛɹɡɚɬɟɥɶɧɨ ɩɟɪɢɨɞɢɱɧɨ. ɋɭɩɟɪɩɨɡɢɰɢɹ ɝɚɪɦɨɧɢɤ Ⱥ ɢ ȼ,

ɜ ɫɥɭɱɚɟ, ɟɫɥɢ

ɧɟɫɨɢɡɦɟɪɢɦɵ, ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ.

Ɍɨɱɧɨ ɩɪɟɞɫɤɚɡɚɬɶ ɩɨɜɟɞɟɧɢɟ ɬɚɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɩɨɱɬɢ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨ.

ɂɥɥɸɫɬɪɚɰɢɹ ɩɨɜɟɞɟɧɢɹ p

(

, t) ɩɪɢ ɧɟɫɨɢɡɦɟɪɢɦɵɯ

ɞɚɧɚ ɧɚ ɪɢɫ. 6.6.

Ɋɢɫ. 6.7. Ɋɨɫɬ ɤɚɩɢɬɚɥɚ ɦɨɠɟɬ ɞɚɥɟɤɨ ɨɬɤɥɨɧɹɬɶɫɹ ɨɬ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ.

Ɋɚɡɧɨɫɬɶ ɦɟɠɞɭ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨɣ ɧɨɪɦɨɣ ɨɫɧɨɜɧɨɝɨ ɤɚɩɢɬɚɥɚ ɧɚ ɞɭɲɭ

ɧɚɫɟɥɟɧɢɹ ɢ ɟɝɨ ɪɚɜɧɨɜɟɫɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɞɜɭɯ ɱɚɫɬɟɣ ɜɢɞɚ:

R(m) sin A + C

R(m) cos Ⱥ ɢ D

S(m) sin ȼ + D

S(m) cos ȼ. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ,

ɟɫɥɢ

ɫɨɢɡɦɟɪɢɦɵ, ɧɚɛɥɸɞɚɟɦ ɪɟɝɭɥɹɪɧɨɟ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɟ ɞɜɢɠɟɧɢɟ,

ɯɨɬɹ ɜ ɬɟɱɟɧɢɟ ɤɚɠɞɨɝɨ ɩɟɪɢɨɞɚ ɩɨɜɟɞɟɧɢɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟɪɟɝɭɥɹɪɧɵɦ.

ɂɧɬɟɪɟɫɧɨ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɩɨɜɟɞɟɧɢɟ ɞɪɭɝɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɫɢɫɬɟɦɵ. ȿɫɥɢ

ɭɫɥɨɜɢɹ ɬɟɨɪɟɦɵ ɜɵɩɨɥɧɟɧɵ, ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɨ ɢ ɩɨɬɪɟɛɥɟɧɢɟ ɨɫɰɢɥɥɢɪɭɸɬ,

ɯɨɬɹ ɢɯ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɡɚɤɥɸɱɟɧɨ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ ɜɛɥɢɡɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ

ɪɚɜɧɨɜɟɫɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ. ɉɨɫɦɨɬɪɢɬɟ ɧɚ ɞɢɧɚɦɢɤɭ ɧɚɤɨɩɥɟɧɢɹ ɤɚɩɢɬɚɥɚ K

(t).

ȿɫɥɢ K

(t) = k

(

,t)L

exp(Jt), ɝɞɟ L

— ɩɟɪɜɨɧɚɱɚɥɶɧɚɹ ɱɢɫɥɟɧɧɨɫɬɶ

ɧɚɫɟɥɟɧɢɹ, ɬɨ ɮɨɧɞ ɤɚɩɢɬɚɥɚ ɪɚɫɬɟɬ ɨɫɰɢɥɥɹɬɨɪɧɨ, ɤɚɤ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫ. 6.7.

ɇɚ ɨɱɟɧɶ ɛɨɥɶɲɢɯ ɜɪɟɦɟɧɚɯ t ɨɫɧɨɜɧɨɣ ɤɚɩɢɬɚɥ ɦɨɠɟɬ ɞɚɥɟɤɨ ɨɬɤɥɨɧɢɬɶɫɹ ɨɬ

ɪɚɜɧɨɜɟɫɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ.

ɂɡ ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɵɯ ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɣ ɜɢɞɢɦ, ɱɬɨ ɜɛɥɢɡɢ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ

ɞɜɢɠɭɬɫɹ «ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ». ɗɬɨ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɦ

ɢɥɢ ɚɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɦ ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɡɚɞɚɧɧɵɯ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ.

6.4 Ⱦɢɧɚɦɢɤɚ ɝɨɪɨɞɨɜ — ɫɢɫɬɟɦɚ Ʌɨɪɟɧɰɚ

ɉɪɢɜɟɞɟɧɧɵɟ ɩɪɢɦɟɪɵ ɩɨɤɚɡɚɥɢ ɨɱɟɧɶ ɜɚɠɧɵɟ ɨɫɨɛɟɧɧɨɫɬɢ ɷɜɨɥɸɰɢɨɧɧɵɯ

ɫɢɫɬɟɦ. ȼ ɬɚɤɢɯ ɫɢɫɬɟɦɚɯ ɫ ɬɟɱɟɧɢɟɦ ɜɪɟɦɟɧɢ ɩɭɬɟɦ ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɣ ɜɨɡɧɢɤɚɸɬ

ɧɨɜɵɟ ɜɢɞɵ ɩɨɜɟɞɟɧɢɹ. ɉɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɣ ɦɨɠɟɬ ɩɟɪɟɜɟɫɬɢ

ɫɢɫɬɟɦɭ ɨɬ ɪɚɜɧɨɜɟɫɧɨɝɨ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ ɤ ɯɚɨɬɢɱɟɫɤɨɦɭ. ɉɪɢɦɟɪɨɦ ɡɚɪɨɠɞɟɧɢɹ

ɯɚɨɫɚ ɱɟɪɟɡ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɵɟ ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɰɟɧɚɪɢɣ Ʌɚɧɞɚɭ-ɏɨɩɮɚ

(

ɫɦ. ɪɚɡɞ. 3.7). Ʉɚɤ ɭɬɜɟɪɠɞɚɥɢ Ɋɸɷɥɶ ɢ Ɍɚɤɟɧɫ, ɦɚɥɨɜɟɪɨɹɬɧɨ, ɱɬɨ ɷɬɨɬ

ɫɰɟɧɚɪɢɣ ɜ ɩɪɢɪɨɞɟ ɪɟɚɥɢɡɭɟɬɫɹ. Ⱦɥɹ ɩɨɥɭɱɟɧɢɹ ɧɢɡɤɨɪɚɡɦɟɪɧɨɝɨ

ɦɧɨɝɨɨɛɪɚɡɢɹ

ɜ ɮɚɡɨɜɨɦ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ, ɧɚɡɵɜɚɟɦɨɝɨ ɫɬɪɚɧɧɵɦ ɚɬɬɪɚɤɬɨɪɨɦ, ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ

ɱɟɬɵɪɟɯ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɵɯ ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɣ. ɉɪɟɞɥɨɠɟɧɧɚɹ ɫɯɟɦɚ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ

ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɚ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ:

ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɚɹ ɬɨɱɤɚ → ɩɪɟɞɟɥɶɧɵɣ ɰɢɤɥ → 2-ɦɟɪɧɵɣ ɬɨɪ → 3-ɦɟɪɧɵɣ ɬɨɪ

→

ɫɬɪɚɧɧɵɣ ɚɬɬɪɚɤɬɨɪ.

ɗɬɚ ɫɯɟɦɚ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬ ɢɧɨɣ ɩɭɬɶ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹ ɯɚɨɫɚ ɜ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɢɯ

ɫɢɫɬɟɦɚɯ. ɋɬɪɨɝɨɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɫɬɪɚɧɧɵɯ ɚɬɬɪɚɤɬɨɪɨɜ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ:

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ 6.4.1. (ɋɬɪɚɧɧɵɣ ɚɬɬɪɚɤɬɨɪ.) Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ n-ɦɟɪɧɭɸ

ɫɢɫɬɟɦɭ dx/dt = f(x, r), ɝɞɟ r — ɫɤɚɥɹɪ. Ɉɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ A ɜ R

ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɬɪɚɧɧɵɦ ɚɬɬɪɚɤɬɨɪɨɦ ɫɢɫɬɟɦɵ, ɟɫɥɢ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ U,

ɨɛɥɚɞɚɸɳɟɟ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦɢ ɫɜɨɣɫɬɜɚɦɢ:

i) U ɹɜɥɹɟɬɫɹ n-ɦɟɪɧɨɣ ɨɤɪɟɫɬɧɨɫɬɶɸ Ⱥ.

ii)

ȿɫɥɢ ɯ(0) ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɢɬ U, ɬɨ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɝɨ t x(t) ɬɚɤɠɟ

ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɢɬ U ɢ x(t) → Ⱥ.

iii)

ȿɫɥɢ ɯ(0) ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɢɬ U, ɢɦɟɟɬ ɦɟɫɬɨ ɫɢɥɶɧɚɹ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɨɬ

ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ, ɬ.ɟ. ɦɚɥɵɟ ɜɚɪɢɚɰɢɢ x(0) ɡɚ ɤɨɪɨɬɤɢɣ ɩɪɨɦɟɠɭɬɨɤ

ɜɪɟɦɟɧɢ ɩɪɢɜɨɞɹɬ ɤ ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɵɦ ɪɚɡɥɢɱɢɹɦ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɣ ɫɢɫɬɟɦɵ.

iv)

Ⱥɬɬɪɚɤɬɨɪ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟɪɚɡɥɨɠɢɦɵɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɦ.

ɋɭɳɟɫɬɜɨɜɚɧɢɟ ɫɬɪɚɧɧɨɝɨ ɚɬɬɪɚɤɬɨɪɚ ɜ ɇɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɩɨ ɜɪɟɦɟɧɢ

ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɫɢɥɶɧɭɸ ɧɟɪɟɝɭɥɹɪɧɨɫɬɶ ɩɨɜɟɞɟɧɢɹ.

ɉɨɤɚɠɟɦ, ɱɬɨ ɬɚɤɨɟ ɩɨɜɟɞɟɧɢɟ ɦɨɠɟɬ ɧɚɛɥɸɞɚɬɶɫɹ ɜ ɨɱɟɧɶ ɩɪɨɫɬɵɯ

ɬɪɟɯɦɟɪɧɵɯ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɢɯ ɫɢɫɬɟɦɚɯ.

Ⱦɥɹ ɢɥɥɸɫɬɪɚɰɢɢ ɯɚɨɬɢɱɟɫɤɢɯ ɹɜɥɟɧɢɣ ɜ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɯ

ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɢɡɜɟɫɬɧɚ ɫɢɫɬɟɦɚ Ʌɨɪɟɧɰɚ. ȼ 1963 ɝ., ɜɧɟ ɫɜɹɡɢ ɫ ɢɞɟɹɦɢ

ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɣ, Ʌɨɪɟɧɰ ɨɩɭɛɥɢɤɨɜɚɥ ɫɬɚɬɶɸ, ɩɨɫɜɹɳɟɧɧɭɸ ɬɭɪɛɭɥɟɧɬɧɨɫɬɢ.

ɋɢɫɬɟɦɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ Ʌɨɪɟɧɰɚ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɬɪɟɯ ɨɛɵɤɧɨɜɟɧɧɵɯ

ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ

ɝɞɟ ı, r ɢ b - ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɟ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɵ.